高中数学选修2-1新教学案：第一章常用逻辑用语小结与复习

2-1 第一章 常用逻辑用语

小结与复习(学案)

【知识归类】

1．命题：能够判断真假的陈述句.

2. 四种命题的构成:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若?p则?q;逆否命题: 若?q则?p.

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:

原命题为真,它的逆命题 . 原命题为真,它的否命题 .

原命题为真,它的逆否命题 . 逆命题为真,它的否命题 . 原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是 . 逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假. 3. 充分条件与必要条件:

p?q:p是q充分条件; q是p必要条件;

p?q:p是q的充分必要条件，简称充要条件.

4. 逻辑联接词: “且”、“或”、“非”分别用符号“?”“ ?”“ ?”表示，意义为： 或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定. 按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”. p:矩形有外接圆; q:矩形有内切圆.

p或q: p且q:

非p:

5. 全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.

6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题叫特称命题.

7. 对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语: 正面词语 否定词语 等于= 大于(>) 小于(<) 是 都是 至多有n个 任意的 正面词语 所有的 任意两个 至多有一个 至少有一个 否定词语 8. 反证法的逻辑基础: (1) p与?p的真假相异,因此,欲证p为真,可证?p为假,即将?p作为条件进行推理,如果导致矛盾,那么?p必为假,从而p为真.

(2) “若p,则q”与“若?q则?p”等价.欲证“若p,则q”为真,可由假设“?q”

来证明“?p”,即将“?q”作为条件进行推理,导致与已知条件p矛盾.

（3）由“若p,则q”的真假表可知，“若p,则q”为假，当且仅当p真q假，所以我们假设“p真q假”，即从条件p和?q出发进行推理，如果导致与公理、定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“若p,则q”是真命题.

后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论，推出矛盾”. 【题型归类】

题型一：四种命题之间的关系

例1 命题“若a2?b2?0(a、b?R），则a=b=0”的逆否命题是（ ）. (A) 若 a?b?0(a,b?R),则a2?b2?0 (B) 若 a=b?0(a,b?R),则a2?b2?0 (C) 若 a?0且b?0(a,b?R),则a2?b2?0 (D) 若 a?0或b?0(a,b?R),则a2?b2?0 题型二：充分、必要条件题型

例2 “ ?,?,?成等差数列”是“等式sin(?+?)=sin2?成立”的 （ ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分有不必要的条件 变式练习：“a?1”是“对任意的正数x,2x?ax?1”的 （ ）.

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分有不必要的条件 例3 已知p:?2?1?x?13?2;q:x?2x?1?m?0(m?0)，若?p是?q的必要但

22不充分条件，求实数m的取值范围. 题型三：复合命题真假的判断

例4 已知p:方程x?mx?1?0有两个不等的负实数根；

q：方程4x?4?m?2?x?1?0无实根, 若p或q为真，p且q为假，求m的取值范

22围.

变式练习：设有两个命题, p :不等式x?x?1?a的解集为R, q:函数f(x)? ??7?3a?在R上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a的取值范围

x是 .

题型四：全称命题、特称命题

例5 设A,B为两个集合,下列四个命题:

(1)A?B??x?A,有x?B (2) A?B?A?B?? (3) A?B?B?A (4) A?B??x?A使得x?B

其中真命题的序号为 .

变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( ). (A) 有一个?使sin?90?????sin? (B) 存在实数x，使sinx??2

(C) 对一切?,sin?180?????sin? (D) sin15??sin60?cos45??cos60?sin45? 题型五：综合应用

例6 已知关于x的实系数二次方程x2?ax?b?0有两个实数根?,?.证明: ??2 且??2是2??4?b且b?4的充要条件.

【思想方法】

1.数学思想：本部分用到的数学思想有：划归思想，分类讨论思想亦即否定思想.

2.数学方法:本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过“举反例”来说明.

1．对任意实数给出下列命题：

（1）“a?b”是“ac?bc”的充要条件； （2）“a?5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

22（3）“a?b”是“a?b” 的充分条件；

（4）“a?5”是“a?3”的必要条件

其中真命题的个数是 （ ）. （ A ） 1 ( B ) 2 （ C ） 3 （ D ） 4 2. “x?y”是“x?y”的 （ ） （ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件

3.设a?R则a?1是1a?1 的 （ ）

（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件

4. “x?5”的一个必要不充分条件是 （ ） （ A ）x?6 ( B ) x?3 （ C ）x?6 （ D ）x?100 5.在?ABC中， “A>30?”是“sinA?12 ”的 （ ）

（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件 6. 设M,N是两个集合，则“M?N??”是“M?N??”的 ( ) （ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件 7. 已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 （ ）

（ A ）??p??q （ B ）p?q C ）??p????q? （ D ）??p????q? 8. 已知命题：对任意的实数x，若x?2则x2?4.写出它的逆、否、逆否命题，并判断其真假.

9.已知命题：矩形的对角线相等. (1)写出这个命题的否命题,并判断真假； （2）写出这个命题的否定，并判断真假.

10.已知方程x??2k?1?x?k?0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.

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2-1 第一章 常用逻辑用语

小结与复习(教案)

【知识归类】

1．命题：能够判断真假的陈述句.

2. 四种命题的构成:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若?p则?q;逆否命题: 若?q则?p.

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:

原命题为真,它的逆命题真假不一定. 原命题为真,它的否命题真假不一定.

原命题为真,它的逆否命题真命题. 逆命题为真,它的否命题真命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是同真同假. 逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假. 3. 充分条件与必要条件:

p?q:p是q充分条件; q是p必要条件;

p?q:p是q的充分必要条件，简称充要条件.

4. 逻辑联接词: “且”、“或”、“非”分别用符号“?”“ ?”“ ?”表示，意义为： 或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定. 按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”. p:矩形有外接圆; q:矩形有内切圆.

p或q:矩形有外接圆或内切圆（真） p且q:矩形有外接圆且有内切圆（假）

非p:矩形没有外接圆（假）

5. 全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.

6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题叫特称命题. 7. 对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语: 正面词语 否定词语

正面词语 所有的 任意两个 至多有一个 至少有一个

等于= 大于(>) 小于(<) 是 都是 不都是 某个 任意的 不等于? 不大于? 不小于? 不是 至多有n个

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