高数(微积分的总结,考点考题与练习详细)

更新时间:2024-05-19 02:55:01 阅读量: 综合文库 文档下载

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高数一串讲教材所讲主要内容如下:一元函数微分学( 第三章、第四章)第一章函数及其图形第二章极限和连续高等数学(一)微积分多元函数微积分(第六章)一元函数积分学(第五章) 全书内容可粗分为以下三大部分:

第一部分 函数极限与连续(包括级数) 第二部分 导数及其应用(包括多元函数)

第三部分 积分计算及其应用 (包括二重积分和方程)

第一部分 函数极限与连续

一、关于函数概念及特性的常见考试题型: 1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

二、 极限与连续 常见考试题型:

1、求函数或数列的极限。

2、考察分段函数在分段点处极限是否存在, 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。 4、求函数的渐进线。

5、级数的性质及等比级数。 6、零点定理。

每年必有的考点

第三部分 导数微分及其应用 常见考试题型:

1、导数的几何意义;

2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。

3、求函数的导数:复合函数求导, 隐含数求导,参数方程求导; 4、讨论函数的单调性和凹凸性,求曲线的拐点; 5、求闭区间上连续函数的最值; 6、实际问题求最值。

每年必有的考点

第四部分 积分计算及应用

考试常见题型

1、不定积分的概念与计算; 2、定积分的计算;

3、定积分计算平面图形的面积; 4、定积分计算旋转体的体积; 5、无穷限反常积分 6、二重积分 7、微分方程

最近几年考题中,积分计算的题目较多, 而且也有一定的难度。

函数、极限与连续

(一)基本概念

1.函数:常量与变量,函数的定义

2.函数的表示方法:解析法,图示法、表格法

3.函数的性质:函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性

4.初等函数:基本初等函数,复合函数,初等函数,分段表示的函数,建立函数关系 5.极限:数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算,无穷小量与无穷大量,无穷小量的性质,无穷小量的比较,两个重要极限

6.连续:函数在一点连续,左右连续,连续函数,间断点及其分类,初等函数的连续性,闭区间上连续函数性质的叙述

重点:函数概念,基本初等函数,极限的计算

难点:建立函数关系,极限概念

(二)基本要求

1. 理解函数的概念,了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。 2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。

3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 4. 了解复合函数、初等函数的概念。 5. 会列简单应用问题的函数关系式。

6. 了解极限的概念,知道数极限的描述性定义,会求函数的左、右极限。

7. 了解无穷小量的概念,了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系,以及无穷小量的比较等关系。

8. 掌握极限的四则运算法则.

9. 掌握用两个重要极限求一些极限的方法。 10. 了解函数连续性的定义,会求函数的连续区间。 11. 了解函数间断点的概念,会判别函数间断点的类型。

12. 记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质,知道闭区间上的连续函数的几个性质。 一元函数微分学

(一)基本概念

1.导数:导数的定义及几何意义,函数连续与可导的关系,基本初等函数的导数,导数的四则运算法则,复合函数求导法则,隐函数求导法则,对数求导法举例,用参数表示的函数的求导法则,高阶导数

2.微分:微分的概念与运算,微分基本公式表,微分法则,一阶微分形式的不变性 3.中值定理:罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述

4.导数应用:用洛比达法则去求七种未定式极限问题,函数的单调性判别法,函数的极值 及其求法,函数图形的凹凸性及其判别法,拐点及其求法,水平与垂直渐近线,最大值、最小值问题,导数在经济问题的应用

重点:导数概念和导数的计算,极值,最大利润问题

难点:导数的应用

(二)基本要求

1. 理解导数与微分概念,了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。

2. 熟记导数与微分的基本公式,熟练掌握导数与微分的四则运算法则。 3. 熟练掌握复合函数的求导法则。

4. 掌握隐函数的微分法,取对数求导数的方法,以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。 5. 知道一阶微分形式的不变性。

6. 了解高阶导数概念,掌握求显函数的二阶导数的方法。

7. 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论;知道柯西定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式

8. 掌握洛比达法则求极限问题

9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念

10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点(包括判别)的方法,了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系

11.掌握用二阶导数求曲线凹凸(包括判别)的方法,会求曲线的拐点 12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线

13. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法 不定积分

(一)基本概念

1.不定积分:原函数、不定积分概念,不定积分的性质,基本积分公式表

2.积分法:第一换元积分法,第二换元积分法,分部积分法,有理函数积分举例,三角有理式积分举例,积分表的使用

重点:积分概念与计算,在几何上的应用

难点:积分的计算及其应用

(二)基本要求

1.理解原函数与不定积分概念,了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系 2.熟记积分基本公式,熟练掌握第一换元积分法和分部积分法

(2)当??x??1时 或x?0,x?0,??x??x?2?1,即??x??1,有?1?x?0。 ?2或x?0,??x??x?1?1,?x?0,即?,有x?2.得

x??2或x?2?x?2?e,x??1,?x?2,?1?x?0, f???x????x2?1

e,0?x?2,?2?x?1,x?2

六、判断奇偶函数的方法

偶函数f(x)的图象关于y轴对称;奇函数f(x)的图象关于原点对称。

奇偶函数的运算性质

1. 奇函数的代数和仍为奇函数,偶函数的代数和仍为偶函数。

2. 偶数个奇(偶)函数之积为偶函数;奇数个奇函数的积为奇函数。 3. 一奇一偶的乘积为奇函数

4. 两个奇函数复合仍为奇函数,一奇一偶复合为偶函数,两个偶函数复合仍为偶函数。

判断方法 1.用定义

2..若f(x)+f(-x)=0,则f(x)为奇函数,这种方法适合用定义比较困难的题目。 例11 判断下列函数的奇偶性:

(1)f?x??3?1?x??3?1?x?; (2)f?x??ln221?x; 1?x (3)f?x??11(a>0,a≠1常数) ?x2a?12222 解(1)由f??x??3?1???x???3?1?x??3?1?x??3?1?x??f?x?,知f(x)为偶函数

(2)由f?x??f??x??ln1?x1???x? ?ln1?x1???x? ?ln1?x1?x1?x1?x?ln?ln??ln1?0,知f(x)为奇函数。 1?x1?x1?x1?x1a?x111ax1a1???1?????

1221?ax21?ax?12?1ax (3)由f??x??ax?1?ax11111 ?????????f?x?,知f(x)为奇

1?ax21?ax2ax?12函数

七、周期函数的判断与周期的求法

1.周期函数周期的求法

(1)若T为f(x) 的周期,则f(ax+b)的周期为

T?a?0? a (2)若f(x)的周期为T1,g(x)的周期为T2,则c1f(x)+c2g(x)的周期为T1,T2的最小公倍数。

2.周期函数的判断方法。 (1)用定义。

(2)用周期函数的运算性质。

常见函数的周期:sinx,cosx,其周期T=2π;tanx,cotx,sinx,cosx,其周期T=π。 例12 求下列函数周期 (1)f?x??2tan 解(1)由tanxx44 (2)f?x??sinx?cosx; (3)f?x??x??x?。 ?3tan;

23?xx?的周期T1??2?,tan的周期T2??3?。故f(x)的周期性期

112332为6π。

(2)由f??x???sinx?cosx??2sinxcosx

22222 ?1?12131sin2x?1??1?cos4x???cos4x,知2444f(x)的周期

T?2?1??。 42 (3)设x?n?r?0?r?1?,n?Z,T为任意整数,由

f?x?T??f?n?T?r??n?T?r??n?T?r??n?T?r??T??n?r???n?r??n?r??f?x?知任意整数均为其周期,则最小周期T=1。

例13 若函数f?x?????x????的图形关于两条直线x=a和x=b对称(b>a),则f(x)为周期函数。

证 由条件函数的对称性知

f?a?x??f?a?x?, (1) f?b?x??f?b?x?, (2)

故函数在a,b中点(a+b)/2处的值等于点a?b?ab?a/和b?处的函数值 22b?a??b?a????a???2?b?a?。 2??2?从而猜想如果f(x)为周期函数,则周期应为 ?b???事实上f?x?2?b?a???f?b??x?b?2a???f?b??x?b?2a???f?2a?x?

?f?a??a?x???f?a??a?x???f?x? 所以f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数。

八、单调函数的判断方法

1.用定义。

2.利用单调函数的性质。

(1)两个递减(增)函数的复合是递增函数,一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。

例14 设??x?,??x?及f(x)为递增函数证明:若

??x??f?x????x? (1) 则 ????x???f?f?x???????x?? (2) 证 设x0为三个函数公共域内的任一点,则 ??x0??f?x0????x0? 由(1)以及函数f(x)的递增性知f???x0???f?f?x0??,????x0???f???x0??; 从而 ????x0???f?f?x0??

??x0??。 同理可证 f?f?x0?????由x0的任意性知,于是(2)式成立。

九、函数有界性的判断

判断函数是否有界,经常用定义。 例15 判断下列函数是否有界: (1)f?x??x1; (2)??fx?,x??0,1?。 221?xx 解(1)由f(x)的定义域是R。

xxx11???当x?0时,f?x??,当, ????x?0时,f0?0,有f0?1?x21?x22x22知x?R时,f?x??1,所以f(x)为有界函数。 21M?1??0,1?。

f?x0?? (2)?M?0,取x0? 1?M?1?M?1?M.1M?1由无界函数的定义知f(x)在(0,1)上无界。

第二节 函数极限与连续

§2.1 函数极限内容网络图

?limf(x)?A?x??limf(x)?A?x??x0 函数极限定义?

limf(x)???x?x0?limf(x)????x?? 性质??唯一性 ,有界性,不等式,保号性,四则运算 夹逼定理

判断函数极限存在准则 单调有界定理 单侧极限与双侧极限

函数极限与数列极限——归结原则。

函数极限与连续 关系定理 函数极限与无穷小

无穷大与无穷小 无穷小的阶——高阶、同阶、等价。

函数连续定义——limf(x)?f(x0)或lim?y?0

x?x0?x?0 可去间断点

第一类间断点 跳跃间断点

间断点分类 第二类间断点

最大(小)值定理

闭区间上连续函数的性质 初等函数在其定义域内的 零值点定理(根的存在定理) 闭区间上连续

介值定理

§2.2内容提要与释疑解难

一、函数极限的概念

1.

x???limf(x)?A:若存在一个常数A,???0,?X?0,当x?X时,都有f(x)?A??。

2. limf(x)?A:把1中“x?X”换成“x??X”。

x???3. limf(x)?A:把1中“x?X”换成“x?X”。

x??定理limf(x)?A?limf(x)?A且limf(x)?A.

x??x???x???4.limf(x)?A:设f(x)在x0的某空心邻域内U?x0?有定义,若存在一个常数A,

x?x00???0,???0,当0?x?x0??时,都有f(x)?A??。

5.lim?f(x)?A: 设f(x)在x0的某左半邻域U?(x0)内有定义,若存在一个常数A,

x?x00???0,???0,当???x?x0?0时,都有f(x)?A??。

此时也可用记号f(x0?0)或f(x0)表示左极限值A,因此可写成

x?x0?lim?f(x)?f(x0?0)或lim?f(x)?f(x0)

x?x0?6. lim?f(x)?A:设f(x)在x0的某右半邻域U?(x0)内有定义,若存在一个常数

x?x00A,???0,???0,当0?x?x0?8?时,都有f(x)?A??。此时也可用f(x0?0)或

??f(x0)表示右极限A。因此可写成lim?f?x??f?x0?0?或lim?f(x)?fx0。

x?x0x?x0??f?x??A. 定理 limf?x??A?lim?f?x??A且lim?x?x0x?x0x?x0该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法,而如果在x0的左右极限存在且相等,则在该点的极限存在,否则不存在。

7.limf(x)??:?M?0,???0,当0?x?x0??时,都有f(x)?M。此时称

x?x0x?x0时,f(x)是无穷大量。

而limf(x)???,只要把公式中“f(x)?M”改成“f(x)?M”,limf(x)???,

x?x0x?x0只要把上式中“f(x)?M”改成“f(x)??M”。

8.limf(x)??:?M?0,?X?0。当x?X时,都有f(x)?M。

x??读者同理可给出lim(??或??)f(x)??(??或??)定义。

x??注:limf(x)?A(常数)与limf(x)??的区别,前者是表明函数极限存在,后者

x?x0x?x0指函数极限不存在,但还是有个趋于无穷大的趋势。因此,给它一个记号,但还是属于极限不存在之列,以后,我们说函数极限存在,指的是函数极限值是个常数。

9.limf(x)?0。称f(x)当x?x0是无穷小量。这里的x0可以是常数,也可以是

x?x0??,??或?。

定理 limf(x)?A(常数)?f(x)?A??(x)。

x?x0

其中lim?(x)?0。

x?x010.若???0,?M?0,当x?U(xx,?)时,都有f(x)?M,称f(x)当x?x0时是有界量。

0二、无穷小量阶的比较,无穷小量与无穷大量关系

设limf(x)?0,limg(x)?0,

x?x0x?x0(这里x0可以是常数,也可以是?,??,??,以后我们不指出都是指的这个意思) (1)若limx?x0f(x)?0,称f(x)当x?x0时是g(x)的高阶无穷小量,记作 g(x)f(x)??(g(x))(x?x0).。

(2)若limx?x0f(x)?c(常数)?0,,称f(x)当x?x0时是g(x)的同价无穷小量。 g(x)f(x)?1,称f(x)当x?x0时是g(x)的等价无穷小量,记作g(x)(3)若limx?x0f?x?~g?x??x?x0?,此时(2)式也可记作f?x?~cg?x??x?x0?。

(4)若limf(x)x?x0?x?x0?k?c(常数)?0(k?0常数),称f(x)当x?x0时是x?x0的k

阶无穷小量。

由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用,因此,引入

若limx?x0f(x)?1。记作f(x)~g(x)(x?x0), g(x)如果f(x),g(x)均是无穷小量,称为等价无穷小量;如果f(x),g(x)均是无穷大量,称为等价无穷大量;如果f(x),g(x)既不是无穷小也不是无穷大,我们称为等价量。

例如 limf(x)?A(常数)?0,则f(x)~A(x?x0)。

x?x0注:A不能为零,若A=0,f(x)不可能和0等价。 无穷小量的性质:

1.若?1(x),?2(x),?,?m(x)当x?x0时,均为无穷小量,则 (i)lim?c1?1(x)?c2?2(x)???cm?m(x)??0.

x?x0其中c1,c2,?cm均为常数。

(ii)lim?1(x)?2(x)??m(x)?0。

x?x02.若f(x)当x?x0时是有界量,?(x)当x?x0时是无穷小量,则

x?x0limf(x)?(x)?0。

无穷大量的性质:

1.有限个无穷大量之积仍是无穷大量。 2.有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。 无穷小量与无穷大量之间的关系: 若limf(x)??,则limx?x0x?x01?0; f(x)0若limf(x)?0,且???0,当x?U(x0,?)时f(x)?0,则limx?x0x?x01??。 f(x)

三、函数连续的概念。

定义1 若limf(x)?f(x0),称f(x)在x?x0处连续。

x?x0用???语言可写为

定义 设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义,若???0,???0,当x?x0??时,都有f(x)?f(x0)??,称f(x)在x?x0处连续。

用函数值增量?y形式可写为

定义 若lim?y?0,称f(x)在x?x0处连续。

?x?0若lim?f(x)?f(x0),称f(x)在x?x0处左连续。

x?x0若lim?f(x)?f(x0),称f(x)在x?x0处右连续。

x?x0定理f(x)在x0处连续?f(x)在x0处既是左连续又是右连续。 如果

f(x)在x?x0处不连续,称x?x0为f(x)的间断点。

间断点的分类:

(1)若limf(x)?A(常数),但f(x)在x?x0处不连续,称x?x0是f(x)的可去间断x?x0点。

若x?x0为函数f(x)的可去间断点,只须补充定义或改变

f(x)在x?x0处的函数值,使函数在该点连续。但须注意,这时函数与f(x)已经不是同

一个函数但仅在x?x0处不同,在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数F(x),使F(x)在某闭区间上处处连续,因而有某种性质。当x?x0时,也具有这种性质。而x?x0时,F(x)?f(x),所以f(x)在x?x0的范围内也具有这种性质,从而达到了我们的目的。

例如 f(x)?sinxsinx,limf(x)?lim?1, x?0x?0xx?sinx?,x?0,但f(x)在x?0处没定义,知f(x)在x?0处不连续,设F(x)??x

??1,x?0.则F?x?在x?0处连续,但F?x?与f?x?定义域不同, 虽

F(x)与f(x)不是同一函数,但在x?0处完全相同,又如

?sinx?,x?0, f(x)??x?x?0.?0,?sinxsinx?,x?0,设F(x)??x limf(x)?lim?1?f(0)?0,知f(x)在x?0处不连续。

x?0x?0x?x?0.?1,则F(x)在x?0处连续,虽然F(x)与f(x)定义域相同,但在x?0处,两个函数值不同,知F(x)与f(x)不是同一函数,但仅在x?0不同,其余点函数值处处相同。

(2)若lim?f(x)?f(x0?0).lim?f(x)?f(x0?0),但f(x0?0)?f(x0?0),称

x?x0x?x0x?x0为f(x)的跳跃间断点,称f(x0?0)?f(x0?0)为f(x)的跳跃度。

(1)(2)两种类型的特点是左右极限都存在,我们统称为第一类间断点。

(3)若x0处,左、右极限至少有一个不存在,我们称x?x0为f(x)的第二类间断点。 若limf(x)??,我们也称x?x0为f(x)的无穷型间断点,属于第二类间断点。

x?x0

四、函数极限的性质

在下述六种类型的函数极限:

(1)limf(x) (2) limf(x) (3) limf(x) (4) limf(x)

x???x???x??x?x0(4) lim?f(x) (6)lim?f(x)

x?x0x?x0它们具有与数列极限相类似的一些性质,我们以limf(x)为例,其它类型极限的相应性质

x?x0的叙述只要作适当修改就可以了。

性质1(唯一性)若极限limf(x)存在,则它只有一个极限。

x?x0性质2(局部有界性)若极限limf(x)存在,则存在x0的某空心邻域U(x0),使f(x)x?x00在U(x0)内有界。

注意:limf(x)存在,只能得出f(x)在x0的某邻域内有界,得不出f(x)在其定义域

x?x00内有界。

性质3 若limf(x)?A,limg(x)?B,且A?B,则存在x0的某空心邻域

x?x0x?x0U(x0,?0),使x?U(x0,?0)时,都有f(x)?g(x)。

性质4(局部保号性) 若limf(x)?A?0(或?0),则对任何常数

x?x0000???A(或A???0),存在x0的某空心邻域U(x0),使得对一切x?U(x0),都有 f(x)???0(或f(x)???0)成立。

性质5(不等式)若limf(x)?A,limg(x)?B,且存在x0的某空心邻域

x?x0x?x000U(x0,?0),使得对一切x?U(x0,?0),都有f(x)?g(x),则A?B。

性质6 (复合函数的极限)若lim?(x)?u0,limf(u)?A,且存在x0的某空心邻

x?x0u?u000域U(x0,??),当x?U(x0,??)时,?(x)?u0 ,则limf[?(x)]?limf(u)?A。

x?x0u?u000性质6是求极限的一个重要方法——变量替换法,即

x?x0limf(?(x))令?(x)?ulimf(u)?A。

且x?x0,?(x)?u0u?u0性质7(函数极限的四则运算)若limf(x)与limg(x)x?x0x?x0均存在,则函数

f(x)?g(x),f(x)?g(x),cf(x)(c为常数)在x?x0时极限均存在且

1

x?x0lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)x?x0x?x0; (2)

x?x0lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x);

x?x0x?x0(3)limcf(x)?Climf(x);又若limg(x)?0,则x?x0x?x0x?x0f?x?在x?x0时的极限也存g?x?在,且有

limf(x)f(x)x?x0(4)lim。 ?x?x0g(x)limg(x)x?x0利用极限的四则运算,可得下列重要结果。

a0xn?a1xn?1??an?1x?anlim(a0,?,an,b0,?,bm均为常数,a0?0,b0?0) x??bxm?bxm?1???b01m?1x?bm11?L?a?ann?1n?1xnxx?limmx??x11b0?b1?L?bm?1m?1?bmxxa0?a1上面的结论可作为公式用。

?0,n?m1?a0xn???,n?m 1?b0xm???,n?m性质8(归结原则或海涅(Heine)定理)limf(x)存在的充要条件是:

x?x0?limxn?x0?xn?x0,n?1,2,??,极限limf(xn)都存在且相等。

n??n??逆否定理若存在两个数列

??,?xn???,?xn?=x0,limxn??=x0,且limxnn??n??n??n???)?A,limf(xn??)?B,A?B或存在?xn?,limxn?x0,limf(xn)不存在,则limf(xnn??n??n?x0limf(x0)不存在。

此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。

五、函数连续的性质

若函数f(x)在点x?x0处连续,即limf(x)?f(x0),利用极限的性质1-5可得到函

x?x0数在x?x0连续的局部有界性,局部保号性,不等式等,只要把U(x0)改成U(x0)即可,读者自己叙述出来。

利用极限的四则运算,我们有

性质1(连续函数的四则运算)若f(x),g(x)在点x?x0处连续,则

0f(x)?g(x),f(x)g(x),cf(x)(c为常数)性质

f(x)(g(x0)?0)在x?x0处也连续。 g(x)2 若u??(x)在x0处连续,y?f(u)在u0??(x0)处连续,则

x?x0x?x0y?f(?(x))在x?x0处也连续且limf(?(x))?f(?(x0))?f(lim?(x))

x?x0limf(x)g(x)(0)?limex?x0x?x0??g(x)lnf(x)?ex?x0limg(x)lnf(x)????(??)??e???0。 ?e?????。

x?x0limf(x)g(x)(0??)?limeg(x)lnf(x)?ex?x0limg(x)lnf(x)????(??)?

三、已知函数的表达式,求函数的极限

1.求函数极限的四种重要方法 (1)极限的四则运算;(2)等价量替换;(3)变量替换;(4)洛必达法则。

对于未定式的极限,先用等价量替换或变量替换或极限的四则运算化简,再利用洛必达法则求极限。很多情况下,这几种方法常常综合运用。

例1 求limx?0x?arcsinx. 3x1??12(1?x)2(?2x)211?x02。 ()?lim??2x?006x63x13解 limx?0x?arcsixn0()=lim3x?00x1?cosxx(1?cosx).

例2 求lim?x?0解 lim?x?001?cosx()?lim?,

x?0x(1?cosx)(1?x(1?cosx)0cosx)1?cosx1由x?0时,1?cosx~2,1?cosx~2?x?2xx2?,1?cosx~,得 22x22?1。 原式=lim?x?0x2x??22注:本题虽然是未定式,但巧妙地用变量替换,并没用洛必法则就直接求出了极限。 例3 求limx?01?tanx?1?sinx。 2xln(1?x)?x解 原式?limtanx?sinxx?ln1(?x)?x?1?tanx?1?sinxx?0??

?limx?0sinx(1?cosx),

x?ln(1?x)?x?1?tanx?1?sinxcosx??x2,由x?0时,sinx~x,1?cosx~21?tanx?1?sinx~2,cosx~1,得

x2x?1x202原式?lim?lim()

x?02x?ln(1?x)?x?4x?0ln(1?x)?x0?12x1x(1?x)1lim?lim??。 4x?012x?0?x2?11?x1?x2?cosx例4 求lim.

x?0(x?x2sinx)解 原式?lim1?x2?cosx(x?x)sinx(1?x?cosx)2x?022,

由x?0时,sinx~x,1?x?cosx~2,得

1?x2?cosx11?x2?cosx0?lim() 原式?limx?02(x?x2)?x2x?0x2?x30 ?12x?sinx012?cosx133lim()?lim???. 2x?02x?3x202x?02?6x224xsinx?sin2x例5 求lim.

x?0x4解

12xsinxx?sinxx?sx0ix01?cos2n?1. ?lim??lim()?lim()?limx?0xx?0x?0x?03x26x3x303x20(1?x)(1?3x)?(1?nx)例6 求lim. n?1x?1(1?x)1n?1?x(1?nx)01解法一 由lim()?limn?,故

x?1(1?x)x?10?1n1?x1?3x1?nx1111??原式?lim=???.

x?11?x1?x1?x23nn!1(1?1?t)(1?31?t)?(1?n1?t)解法二 原式设1?x?tlim, n?1t?0t1?由(1?1?t)????1?(?t)?n?nttt??1t?n?1. ?1?~?(?t)?(t?0),得原式?lim23t?0nnn!tn?1?e2?(1?x)例7 求lim.

x?0x解法一 原式?lim2xe?ex?0x22ln(1?x)x??e2lim2ln(1?x)?2xe2ln(1?x)?2x?1x?0x,

2ln(1?x)且x?0时,?2?0,知ex?1~2ln(1?x)?2,得 x2ln(1?x)?2ln(1?x)?x02x原式=?elim??2e2lim() 2x?0x?0x0x1?1?x121?x??2elim??e2lim?e2lim?e2.

x?0x?0x(1?x)x?01?x2x解法二 原式?lime?ex?0x2x?022ln1?(x)x0()??limex?002ln1?(x)x1?x?ln1(?x)1?x ?22x ??2elimx?(1?x)ln(1?x)x?(1?x)ln1(?x)02??2elim() 22x?00x(1?x)x ??2elim例8 求lim(x?021?ln(1?x)?1ln1(?x)?e2lim?e2.

x?0x?02xx12?cotx). 2x

2解原式

21cos2xsin2x?x2cos2xs?lim(2?)(???)?lim?limx?0xx?0x?0sin2xx2sin2xx?x2cx4x

ionsinx?xcosxsinx?xcosx ?3x?0xxsinx?xcosxsinx由lim?lim(?cosx)?2。得 x?0x?0xxsinx?xcosx0cosx?cosx?xsinx2sinx2原式?2lim()?2lim?lim?.

x?0x?003x?0x3x33x2cos(sinx)?cosx例9 求lim. 4x?0xsinx?xsinx?x?2sinsin22解 原式?lim 4x?0xsinx?xsinx?xsinx?xsinx?x由x?0时,sin,,sin,得 ~~2222?lim?2?sinx?x?sinx?x原式?lim221sinx?xsinx?xx?0x4??2limx?0x?x3 12??limsinx?xxx?0x3?limx?sinx01?cosx21x?0x3(0)?limx?03x2?limx?03x2?6. 3例10 求limx2x???(x?2?2x?1?x).

解 原式

1x?tlim1111t?0?3(?2?2?1?) t2ttt2?2?lim1?2t?21?t?1t?0?t2(00)?lim21?2t21?tt?0?2t ?11?t?1?2t11?t?1?22limt0t?0?t1?2t?1?t?2limt?0?t(0) ?12limt?0(121?t?221?2t)?12(12?1)??1?4. 例11 求lim?lnxln(1?x)x?1.

解 原?1令1?x?tlim?lnt?t?0?ln(1?t)lnt?tlim?0??tlnt?limt?0?t?1(?)?limtt?0??lim?1t?0?t?0.

t2e?1x2例12 求limx?0x100.

解 原式设1x?ttlimt50?50!2???et(?)用50次洛必达法则tlim???et?0.

1例13 求limx?0(sinxx)x2. ?1(sixn解法一 原式?lim??sinxsinx?x?1)1x2x?0??1?(x?1)??x?1???

?????式

?e解

lnsinxx(0)20xsinx?x0()x?00x3lim?ex?0limcosx?13x2?e

1?x20lim2()20x?03x?e?16. 原

式oiisn法二

lnsinx?lnx0()x?00x2lim

xcx?s?limex?0?e?ecosx1?sinxxlimx?02x?ex?0limxx2x2s ?sinxx?06xlim?e.

例14 求lim(sinx??xcosx?sinx?0???x?02x3?0?lim?ex?0limcosx?xsinx?cosx6x2?e?e?1621?cos)x. xx11ln(s2int?cots)解 原式令?tlim(sin2t?cost)t?lime

t?0t?0xt ?et?0limlimln(sin2t?cost)?t?0si2nt?cots()?e?e2.

t?x2co2st?sitn?1?例15 求lim??ln()?.

x?0?x?xlnln?1?0xlimln()(?)?lime解 ????x?0?x?0x?lnlntlim1设?tlimet?et???t???xsinx例16 求lim?x.

x?0x11lnlnt?()t??e1t???tlntlim?e0?1.

解 lim?xx?0sinx?0??e0x?0?limsinxlnx?ex?0?limxlnx

?elnx??????1?x?0x???limx?0?lim?e?1x1x2?e?limxx?0??e0?1.

ex?e2x???enxx). 例17 求lim(x?0nex?e2x???enxx?()(1) 解 limx?0n11

?ex?0limln(e?ex2z???exnxex?2e2x???nenxlim)?lnn0x2xnx()?ex?0e?e???e0

?e1?2?3???nn?en(n?1)2n?en?12.

?1tf(xt)dt例18 设f(x)在x?0的某邻域内连续,f(0)?0,f?(0)?2,求lim0.

x?0xx解 ?10tf(xt)dt令xt?u?0u11xf(u)du?2?0uf(u)du,于是 xxx=

x?ouf(u)du0xf(x)f(x)原式?lim()?lim?limx?0x?03x2x?03x0x31f(x)?f(0)12lim?f?(0)? 3x?0x332x?sinx例19 求lim.

x??3x?cosx2x?sinx?2?cosx分析 因为lim()?lim(极限不存在),所以洛必达法则不适

x??3x?cosx?x???3?sinx用,宜改用其它方法。

12?sinx2?02x解 原式?lim??.

x??13?033?cosxxex?cosx例20 求limx.

x???e?sinxex?cosx?ex?sinx?ex?cosx?分析由于limx()?limx()?limx()??,

x???e?sinx?x???e?cosx?x???e?sinx?无限循环,所以不能用洛必达法则.

11?xcosx1?0e解 原式?lim??1.

x???11?01?xsinxe2.利用泰勒公式求函数极限。

若f(x)?Ax?o(x),A?0常数(x?0),则f(x)~Ax。事实上,

kkkf(x)Axk?o(xk)1o(xk)lim?lim?lim(1??k)?1. kx?0Axkx?0x?0AxAx因此,利用带有佩亚诺余项的泰勒公式可以求出某些函数极限,当x?0时,若

f(x)?Axk?o(xk)~Axk(A?0). g(x)?Bxm?o(xm)~Bxm(B?0).

??,?kf(x)Ax?A则lim?limm??,x?0g(x)x?0Bx?B?0,?k?m,k?m, k?m.例21 求limcosx?ex?0x4?x22?x22.

解 由于cosx?ex2x4x21x44?(1???o(x))?(1???o(x4),

2!4!22!4?x22(1141cosx?e?)x?0(x4)~?x4(x?0),所以 limx?04!812x4??limx?014x112. ??412x对于求x?x0时的函数极限,若用泰勒公式求极限,可令x?x0?t,变成求t?0时的t的函数极限,再利用上述的方法去解决。

3.利用夹逼定理求函数极限。

例22 求lim?x[].

x?01x解

1?1?1?1????,且x?0,两边同乘以x,得1?x?xxx???1??1?x???1. ?x?由lim?(1?x)?1,lim?1?1,根据夹逼定理知,lim?x???1. x?0x?0x?0?x?例23 求limx?0sintdtx???x.

分析 本题虽然属于\?\型,但不能用洛必达法则,因为 ?x?limsinx不存在。

x???x???limx?0sinxdt因此,用其它方法,

?2n, 解 对任意自然数 n,有 ?0sintdt?n?0sintdtx?0sintdt2(n?1)2n??当n??x?(n?1)?时,成立不等式 .

(n?1)?xn?n??由lim2n2n22(n?1)2(n?1)2?lim?,lim?lim?.根据夹逼定理

x???(n?1)?n??(n?1)?x???n???n?n??知原式=

2. ?2n2n是x的函数,是分段函数,即f(x)?,n??x?(n?1)?.

(n?1)?(n?1)?注:这里

4.利用定义证明函数极限的存在

利用函数极限定义证明函数极限与利用数列极限定义证明数列极限存在完全类似,在这里我们就不再重复了,一般情况,能不用尽量不用。除非要求用定义证,且考研出这种题的可能性较小。

例24 用定义证明limn1?x?1,其中n?N。

x?0证 不妨设

0?x?1,则

n1?x?1?x(1?x)nn?1?(1?x)nn?2???(1?x)?1n?x,

任给??0,要使n1?x?1??,由n1?x?1?x(0?x?1),

1,??,当0?x??时,都有只要x??,取??min?limn1?x?1。

x?0n1?x?1??,由定义知

注:这里用了公式(a?b)(an?1?an?2b???bn?1)

?an?an?1b??abn?1?an?1b???abn?1?bn?an?bn。

至于用函数极限的单调有界定理求函数极限的可能性更小。

四、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数,确定字母常数数值。

这种题型考的可能性更大,因为这种题型更能考察考生运用无穷小量阶的比较和洛必

达法则分析问题,解决问题的能力。

54a例25 求lim[(x?7x?2)?x]?b?0,求常数a, b.

x???解 令

1?t,当x???时,t?0?,于是 x?(1?7t?2t5)a1?171a?? 原式?lim?[(5?4?2)?]?lim??5at?0t?0t?tttt?t1?5a(1?7t?2t5)a?1?lim??b?0, t?0t由lim?t?0,知分子当t?0时,是分母的同阶无穷小量,所以

t?0t?0lim?t1?5a(1?7t?2t5)a?1?0.

??得1?5a?0,即a?1,从而 5515原式?lim?t?0(1?7t?2t)?11?(7t?2t)?1?lim? t?0tt?5?151(7t?2t5)17?lim?5?lim?(7?2t4)?。 t?0t5t?05ln(1?x)?(ax?bx2)例26 设lim?2,求常数a,b. 2x?0x1?(a?2bx)ln(1?x)?(ax?bx2)0解 lim()?lim1?x?2, 2x?0x?00x2x由lim2x?0,知分子是分母的同阶无穷小量,得lim?x?0?1??a?2bx??0?1?a.

x?01?x??11??2b?1?2bx20?1?2b(1?x)有a?1,于是lim1?x, ()?lim?2?x?0x?02x022解得b??.故a?1,b??525。 22例27 试确定常数k1c,使得当x???时,arcsin(x?x?x)~c。 kxarcsinx(2?x?x)?1. 解 由题意知limx???cxk2由于arcsin(x?x?x)=arcsin

xx?x?x2~xx?x?x2

?x?x11?1x32~?111?(x???), 21x211?122arcsin(x2?x?x)1xkx?lim?lim?1, 所以limx???x???cc2cx???1x2kkxx必有k?1111,此时,?1,因此c?,k?. 22c221?1f(x)?1x?c?0,c为常数,求常数a和k,使x?0时,

x2例28 已知limx?0f?x?~axk.

1?解 limx?01f?x??1x?c,由limx2?0,知

x?0x1f(x)f(x)?1)?0,必有lim?0,从而

x?0xxlim(1?x?01?limx?01f(x)?1x?lim2x?0x1f(x)f(x)x?lim?c(常数), x?02x31x2(1?f(x)?1)x得limf(x)?1,即f(x)~2cx3,所以k?3,a?2c. 3x?02cxax?sinx?c?0, 3x?0xln(1?t)?bdtt例29 确定常数a,b,c的值,使lim解 由x?0时,ax?sinx?0,且极限c?0, 知分子、分母是同阶无穷小量有

ln(1?t3)lim?dt?0,必有b?0.由于 x?0txblimax?sinx0a?cosxa?cosx()?lim?lim?c?0, 32x?0x?0ln((1?x3))x?00ln(1?t)xx?0dttxx?02且limx?0,知lim(a?cosx)?0?a?1,得a?1,从而 x?012x1?cosx12lim?lim??c x?0x?0x22x21故a?1,b?0,c?,

23ln(1?t3)0ln(1?t)dt??bdt?0 (1) 注:lim?x?0ttxb

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/a9m7.html

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