2019届高考数学一轮复习 第九章 解析几何单元质检 文 新人教B版

2019届高考数学一轮复习 第九章 解析几何单元质检 文 新人教B版

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是( )

A.3x-4y+4=0

B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0 C.3x-4y+16=0

D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0

2.(2017宁夏石嘴山第三中学模拟)双曲线C:为( )

=1的渐近线方程为y=±x,则曲线C的离心率

A. B. C. D.

3.(2017湖南岳阳一模)已知直线l:=1(a>0,b>0)将圆C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,则直线l与两

坐标轴围成的三角形的面积的最小值为( ) A.8 C.2

B.4 D.1

4.抛物线y=8x的焦点到双曲线

2

=1的渐近线的距离为( )

A.1 B. C. D.

5.已知椭圆

2

=1(a>b>0)与双曲线

2

2

=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m( )

的等比中项,n是2m与c的等差中项,则椭圆的离心率是

A. B.

2

2

C. D.

的直线方程是( )

6.过点A(0,3),被圆(x-1)+y=4截得的弦长为2

A.y=-x+3

B.x=0或y=-x+3

C.x=0或y=x+3 D.x=0

7.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)+(y-3)=4相交于A,B,则A.-1 C.1

B.0 D.10

22

的值为( )

8.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( ) A.对任意的a,b,e1>e2

B.当a>b时,e1>e2;当a

D.当a>b时,e1e2

9.(2017湖南岳阳一模)已知双曲线=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲

线的一个交点为P,若|PF|=4,则双曲线的离心率为( ) A.C.

+1

B.2(D.2

+1)

10.已知抛物线y=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=( )

22

A. C.3

B. D.9

11.已知抛物线y=2px(p>0)与双曲线

2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于

原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=( ) A.3

B.6

C.12 D.42

12.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于

A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )

A. B.

C. D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2017北京丰台一模)已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,则k的取值范围是 .

14.抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为 .

15.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x+y-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为 .

2

2

2

16.若方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:

①若C为椭圆,则14或t<1; ③曲线C不可能是圆;

④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1

其中正确的命题是 .(把所有正确命题的序号都填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.

(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)+y=4. (1)求圆C的方程;

(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.

19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方. (1)求k的取值范围;

(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.

2

2

2

20.(12分)

已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与

椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点. (1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:

(2)若存在直线l,使得

,求b的取值范围.

21.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;

(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.

22.(12分)已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点

P在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

参考答案

单元质检九 解析几何

1.D 解析设所求直线方程为3x-4y+m=0,

由=3,解得m=16或m=-14.

即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.

2.B 解析由题意知,,即b=a.

又c=a,所以e=,故选B.

3.B 解析圆C:x+y-2x-4y+4=0的圆心坐标为(1,2),

22

则=1≥2,∴ab≥8,

当且仅当a=2,b=4时,等号成立.

∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=ab≥4.

∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是4,故选B.

4.A 解析抛物线y=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线

2

=1的渐近线x±y=0的距离

d==1.

2

2

2

5.D 解析由题意可知2n=2m+c,

又m+n=c,所以m=2

2

2

.因为c是a,m的等比中项,

所以c=am,代入m=2

,解得e=.

6.B 解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;

此时被圆(x-1)+y=4截得的弦长为2

2

2

.

当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为2

,圆的半径为2,

所以弦心距为=1.

由点到直线距离公式得=1,解得k=-.

综上,所求直线方程为x=0或y=-x+3.

7.B 解析依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为,

从而易得cos,即=45°,所以∠ACB=90°,所以=0,故选B.

8.D 解析由条件知=1+=1+,

当a>b时,,则,所以e1

当ae2.

所以,当a>b时,e1e2.

9.A 解析抛物线y=8x的焦点F(2,0),两曲线的一个交点为P,

2

若|PF|=4,则P(2,4)或(2,-4),可得=4,

即=4,解得a=2

2

-2.∴e=+1.

10.A 解析由题意可知,抛物线y=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).

又双曲线

-y2=1的左顶点为A(-,0),所以直线AM的斜率为.由题意得

,解得a=.

11.B 解析因为双曲线的离心率为2,

所以e=2

=4,即b2=3a2,

所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得

x=p或x=0,

故xA=xB=p,

又因为|AF|=xA+12.A 解析

p+=7,所以p=6.

如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.

由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4. 故a=2.

不妨设M(0,b),则,即b≥1.

所以e=.

又0

13.2

2

解析以AB为直径圆的方程为(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程可得

(1+k)x+(2k-4)x+4=0.

∵直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,∴Δ=(2k-4)2-16(1+k2)≥0,化为3k2+4k≤0.解得-≤k≤0,

则k的取值范围是.

14.8 解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.

又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1.

又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以15.

p2=36,所以p=8.

2 解析圆C:x+y-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1. 由圆的性质知:S四边形PACB=2S△PBC, 又因为四边形PACB的最小面积是2,

2

2

所以S△PBC的最小值为S=1=rd(d是切线长),所以d最小值=2.

由圆心到直线的距离就是PC的最小值,可得,又因为k>0,所以

k=2.

16.② 解析若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-t≠t-1,

解得1

若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;

若t=时,该曲线表示为圆,所以③不正确;

若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1

17.解(1)由得圆心C(3,2).

又因为圆C的半径为1,

所以圆C的方程为(x-3)+(y-2)=1. 显然切线的斜率一定存在, 设所求圆C的切线方程为y=kx+3,

2

2

即kx-y+3=0,则所以|3k+1|==1,

,即2k(4k+3)=0.

所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.

(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上, 可设圆心C为(a,2a-4),

则圆C的方程为(x-a)+[y-(2a-4)]=1. 又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y), 则

2

2

2

2

=2,

整理得x+(y+1)=4,设为圆D,

所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点, 所以2-1≤

≤2+1,

解得a的取值范围为.

18.解(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,

则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.

所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1, 所以圆C的方程为(x+1)+y=1. (2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),

2

2

则直线PA方程为

整理得(y0-a)x-yx0+ax0=0.

,

因为直线PA与圆C相切,可得化简得(x0+2)a-2y0a-x0=0,

同理可得PB方程(x0+2)b-2y0b-x0=0, 所以a,b为方程(x0+2)x-2y0x-x0=0的两根,

22

2

=1,

所以|AB|=|a-b|==2,

令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2,

求得|AB|min=,|AB|max=.

|AB|的取值范围是.

19.解(1)抛物线y=x的焦点为

2

.

由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k). 因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,

所以1-k>,解得k<.

因为k>0,所以0

(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形. 理由如下:

假设四边形ABDC为梯形. 由题意,设B(x1,

),C(x2,

),D(x3,y3),

联立方程消去y,得x-kx+k-1=0,

2

由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.

同理,得x2=-2

-1.

对函数y=x求导,得y'=2x,

所以抛物线y=x在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,

2

抛物线y=x在点C处的切线CD的斜率为2x2=-由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.

2

-2.

若AB∥CD,则k=-2

-2,即k2+2k+2=0,

因为方程k+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.

若AC∥BD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.

所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾. 因此四边形ABDC不可能为梯形.

20.解(1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为,则=0,即x+y=2.

联立解得

所以直线l的方程为y=0或y-0=(x+2),化为x-4y+2=0.

(2)椭圆C2:+y2=1的离心率e=.

设2c是椭圆C1:=1(a>b>0)的焦距,

则,又a=b+c,可得a=2b,c=222

b,椭圆C1的方程化为x2+4y2=4b2.

设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去y得(1+4k)x+16kx+16k-4=0,

2

2

2

2

所以x3+x4=,x3x4=,

|PQ|=.

联立

2

2

2

2

2

消去y得(1+4k)x+16kx+16k-4b=0,

所以x1+x2=,x1x2=,

|AB|==.

因为,所以||=3||,

即3×.

所以b=1+2

∈(1,9],即b∈(1,3].

所以b的取值范围是(1,3].

21.解(1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,

由双曲线的一条渐近线方程为y=x,

可得因为c==1,解得a=b.

=2,所以a=b=.

由此可得双曲线方程为=1.

(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x+y=c,

2

2

2

,即m=n. ①

所以将①代入圆的方程,得3n+n=c,解得n=222

c,m=c.

将点A代入双曲线方程,得=1,

化简,得

c2b2-c2a2=a2b2,又因为c2=a2+b2,

所以上式化简整理得

4

4

c4-2c2a2+a4=0,

2

两边都除以a,整理得3e-8e+4=0,

解得e=2

或e=2,因为双曲线的离心率e>1,

(负值舍去).

2

所以该双曲线的离心率e=22.(1)解由已知,a=2b.

又椭圆=1(a>b>0)过点P,故

=1,解得b2=1.所以椭圆E的方

程是

+y2=1.

(2)证明设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组2=0,

得x+2mx+2m-22

①

2

方程①的判别式为Δ=4(2-m).

由Δ>0,即2-m>0,解得-由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m-2.

2

2

所以点M的坐标为,直线OM方程为y=-x.

由方程组得C,D.

所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m).

2

又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)+(y1-y2)]

22

=[(x1+x2)-4x1x2]=2

[4m-4(2m-2)]=22

(2-m).

2

所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

由Δ>0,即2-m>0,解得-由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m-2.

2

2

所以点M的坐标为,直线OM方程为y=-x.

由方程组得C,D.

所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m).

2

又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)+(y1-y2)]

22

=[(x1+x2)-4x1x2]=2

[4m-4(2m-2)]=22

(2-m).

2

所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

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