2007级用 - 《大学物理学习指导书》（下）（1-20单元 答案 附录

第一单元 毕奥—萨伐尔定律

［知识点精要］

1． 毕奥—萨伐尔定律：电流元Idl在P点产生的磁感应强度为：

????0Idl?r dB?34?r????0qv?r2．运动电荷产生的磁场：B?

4?r33．磁场的叠加原理 导线L中的电流在P点产生的磁感应强度等于每个电流元单独存在时，在P点产生的磁感应强度的矢量和，即

?????0Idl?r B??dB?4??r3或 B????Bi

i4．三种特殊形状载流导线产生的磁场： (1)“无限长”直线电流周围的磁场 B??0I 2?a?0I2a

(2)载流线圈圆心处的磁场 B?(3)均匀密绕“无限长”直载流螺线管内的磁场 B??0nI

??5．磁矩： Pm?ISn

［典型例题］：

例1-1．有一折成如图所示的无限长导线，已知电流I=10A，半圆半径R=0.5cm，试求圆心O点的磁感应强度。

解：O点的磁场可看成是半无限长载流导线AB、CD和半圆弧BC电流产生的磁场的叠加。AB、BC产生的磁场方向相同，均垂直纸面向里；CD产生的磁场为零。 故 B0??0I?0I?I1??0?0(?1) 4?R4R4R? 1

例1-2 图示为两条穿过Y轴垂直于X-Y平面的平行长直导线的俯视图，两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到X轴的距离皆为a。 (1)推导出X轴上P点处的磁感应强度B(X)的表达式。 (2)求P点在X轴上何处时，该点的B取得最大值。

解：B1?B2??0I 2?r由对称性，X轴上任一点P的磁感应强度 B一定沿X轴方向。设B 与X轴夹角为φ，那么

B?2B1cos??2??0I2?a?x22?aa?x?0I ?a22??0Ia?(a2?x2)

显然x=0处，B最大，为：B?

例1-3 圆盘半径R，表面电荷面密度是σ，圆盘绕轴线以匀角速度ω旋转时，求圆盘中心的磁感应强度。

解：当带电圆盘旋转时，其上电荷做圆周运动形成电流，在空间产生磁场圆盘上的电流可以看成是半径连续变化的圆形电流的叠加。可取半径r，宽为dr的细圆环，旋转时，细圆环上电流为

dI???2?rdr?????rdr 2?在dr非常小，可将细圆环看成线电流，该线电流在圆心O处产生的磁感应强度为

dB??0dI2r??0??2dr

因半径不同的细圆环在0处产生的磁感应强度的方向相同，则O处总磁感应强度为 B?dB???0??2?R01dr??0??R

2

例1-4 如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转，试求圆筒内部的磁感应强度。

由\B??0nI\，这里nI??q????l?2?R??????R2?l2??B??0??R

2

练习一

一、选择题

1-1．正方形线圈边长为 l ,通过电流I，那么顶点的磁感应强度B为：（ ）

?A?2?0I2?0I2?0I ?B? ?C? ?D?以上都不对 4?l2?l?l1-2．无限长的直导线在A点弯成半径为R的园环，则当通以电流I时，园心O处的

磁感应强度大小等于： （ ）

?A??0I2?R ?B??0I4R ?C?0

?D??0I(1?1) ?E??0I(1?1)

2R?4R?

1-3．两半径为R的相同的导体细园环，互相垂直放置，且两接触点A，B连线为环的直径，现有电流I沿AB连线方向由A端流入，再由B端流出，则环中心处的磁感应强度大小为：

?A?0 ?B??0I/4R ?C?2?0I/4R ?D?2?0I/R ?E?2?0I/8R （ ）

1-4．一载有电流I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管(R=2r),两螺线管单位长度上的匝数相等。两螺线管中的磁感应强度大小BR和Br应满足：

(A)BR=2Br (B)BR=Br (C)2BR=Br (D)BR=4Br

( )

1-5．距一根载有电流强度为3×104A的电线1m处的磁感应强度的大小为 (A) 3×10-5T (B) 6×10-3T (C) 0.6T (D) 1.9×10-2T

( )

二、填空题：

1-6．载有电流I的导线由两根半无限长直导线和半径为R的、以xyz坐标系原点O为中心的3/4圆弧组成，圆弧在yOz平面内，两根半无限长直导线分别在xOy平面和xOz平面内且与x轴平行，电流流向如图所示。O点的磁感应强度B

z R O x I y ???i=___________ (用坐标轴正方向单位矢量,j,k表示)

3

1-7．在如图所示的回路中，两共面半圆的半径分别为a和b，且有公共圆心O，当回路中通有电流I时，圆心O处的磁感应强度B0 =_______________，方向___________。

1-8．空间直角坐标中，有一沿oy轴放置的长直截流导线，电流沿y轴正向，则在原点O处取一电流元Idl，此电流元在(0,0,a)点处的磁感应强度的大小为 ，方向为 。

1-9．半径为R的细导线环上，流过的电流为I，则到环上所有各点距离都为y的一点处的磁感应强度的大小B= (y＞R)。

1-10．两条相距为d的无限长平行载流直导线，通以同向电流，已知P点离第一条导线和第二条导线的距离分别为r1和r2，两根载流导线在P点产生的磁感应强度B1和B2的夹角α= 。

1-11．一长直螺线管是由直径d=0.2mm的漆包线密绕而成，当它通以I=0.5A的电流时，其内部的磁感应强度B= 。(忽略绝缘层厚度)

?1-12．真空中有一电流元Idl,在由它起始的矢径r的端点处的磁感应强度的数学表达式为 。

1-13．有二根导线，分别长2米和3米，将它们弯成闭合的圆，且通以电流I1和I2，已知两个圆电流在圆心处的磁感应强度相等。则两圆电流的比值I1/I2为：

1-14．若把氢原子的基态电子轨道看作是圆轨道，已知电子轨道半径r=0.53×10-10m，绕核运动速度大小v=2.18×106m/s，则氢原子基态电子在原子核处产生的磁感应强度B的大小为 。

三、计算题：

1-15．假定地球的磁场是由地球中心的小电流环产生的，已知地极附近磁感应强度B为6.27×10-5T，地球半径为R=6.37×106m，试用毕奥—萨伐尔定律求小电流环的磁矩大小。

1-16．如图，在球面上互相垂直的三个线圈1、2、3通有相同的电流，电流方向如箭头所示，试指出球心O点的磁感应强度的方向。(写出在直角坐标系中的方向余弦角)

4

第二单元 安培环路定理

［知识点精要］

1．安培环路定理 真空磁场中，磁感应强度B沿任意闭合路径L的环流等于穿过以该闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流代数和的μ0倍。即

?它表明磁场是“有旋场”。

［典型例题］

L??B?dl??0?Ii

例2-1 如图所示， 宽度为d的导体薄片上有电流I沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布，导体外在导体片中线附?近处的磁感应强度B的大小为 。

解：在中部取图示环路abcda

??IB?dl???l 0?d在4段路径中，有两段路径与磁感线垂直，故

2B?l??0

?II?l， ∴B?0

2dd例2-2 在半径为R的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r

的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a，如图，今在此导体上通以电流I，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O′点的磁感应强度的大小为 。

解：设导体内的电流密度为j，则j?I?(R?r)22

??O′点的磁感应强度B视为长直导线产生的磁感应强度B1和电流密度为-j的空腔产生的磁

????感应强度B2的矢量和：B?B1?B2

显然B2=0，由安培环路定理可求出 B1??0?ja(j?a2)?0 2?a2?0aI2?(R2?r2)

∴ B?B1? 5

练习二

一、选择题

2-1．磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R，x坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上，图(A)～(E)哪一条曲线表示B—x的关系? ( )

2-2．四条平行的无限长直导线，垂直通过边长为a=20cm的正方形顶点，每条导线中的电流都是I=20A,这四条导线在正方形中心O点产生磁感应强度为

(A)B=0 (B)B=0.4×１0-4T (C)B=0.8×１0-4T (D)B=1.6×１0-4T ( )

2-3．如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过x1=1、x2=3的点，且平行于Y轴，则磁感应强度B等于零的地方是 ( )

(A)在x=2的直线 (B)在x＞2的区域 (C)在x＜2的区域 (D)不在OXY平面上

2-4．在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L2回路外有电流I3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则：

(A)(B)(C)(D)???L1B?dl??B?dl,BP1?BP2,

L2L1B?dl??B?dl,BP1?BP2,

L2L1B?dl??B?dl,BP1?BP2,

L2?L1B?dl??B?dl,BP1?BP2,

L2 ( ) 2-5．如图，在一圆形电流I所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L，则由安培

6

环路定理可知 ( )

(A)?LB?dl?0，且环路上任意一点B=0 (B)?LB?dl?0，且环路上任意一点B≠0 (C)?LB?dl?0，且环路上任意一点B≠0

(D)?LB?dl?0，且环路上任意一点B=常量

二、填空题

2-6．一半径为a的无限长载流导线，沿轴向均匀地流有电流I，若作一个半径为R=5a、高为 l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a(如图)，则B?S上的积分??B??dS?在圆柱侧面

? 。

2-7．如图所示，磁感应强度B?沿闭合曲线L的环流 ?LB??dl?? 。

2-8．有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流均为I，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向相反，则

(1) 在r＜R1处磁感强度大小为 (2) 在r＞R3处磁感强度大小为

2-9．如图，平行的无限长直载流导线A和B，电流强度均为I，垂直纸面向外，两根载流导线之间相距为a，则

(1)AB中点(p点?)的磁感应强度Bp= 。 (2)磁感应强度B沿图中环路 l 的线积分

?LB??dl?? 。

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第三单元 磁场的高斯定理 磁介质

［知识点精要］

1．磁通量 在磁场中，穿过任意曲面S的磁通量为：

???m???B?dS

s2．磁场的高斯定理：在磁场中，穿过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零，即

????B?dS?0

S它表明了磁场是“无源场”

3．磁介质中的安培环路定理：

(1)介质在磁场中被磁化，介质表面出现磁化电流，改变了原来的磁场。在充满各向同性均匀介质情况下，磁感应强度

B??rB0

μr叫相对磁导率。顺磁质μr＞1，抗磁质μr＜1，两者都接近1，铁磁质，μr>>1。

?(2) 在应用安培环路定理时，为避免出现磁化电流向，引入辅助矢量H

??BH???B??r?0

(3) 在稳恒磁场中

???H?dl??Ii

L此即介质中的安培环路定理，∑Ii是L内传导电流的代数和。

［典型例题］： ????例3-1 已知磁场的磁感应强度B?ai?bj?ck(T)，求通过一开口向Z轴正向半径

2为R的半球的磁通量的大小Φm= c?R Wb。

例3-2有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的P点(如图)的磁感强度B的大小为

(A)

??0I2?(a?b)2?a?0I?Ia?b(C)0ln (D) ［ B ］

?(a?2b)2?bb

(B)

?0Ilna?b b8

练习三

一、选择题

3-1．图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大?

(A)Ⅰ 区域 (B)Ⅱ 区域 (C)Ⅲ 区域 (D)Ⅳ 区域 (E)最大不止一个 ( )

3-2．如图所示，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I，则对于图中的L1、 L2、 L3、 L4回路，下述各式哪一个是正确的? ( )

????(A)?H?dl?2I (B)?H?dl?I

L1L2L3L4????(C)?H?dl??I (D)?H?dl??I

3-3．有一内部充满相对磁导率为μr的均匀磁介质的螺线管，其长为L，半径为a(L>>a)，总匝数为N，通以稳恒电流I，则管中一点的：

(A) 磁感应强度大小B=μrNI/L。 (B) 磁感应强度大小B=μ0μrNI。

(C) 磁场强度大小H=μ0NI/L。 (D) 磁场强度大小H=NI/L。 ( )

二、填空题

?Φ = 。若通过S面上某面元dS的元磁通为dΦ，而线圈中的电流增加为2I

时，通过同一面元的元磁通为dΦ′，则dΦ：dΦ′= 。

3-5．一个绕有500匝导线的平均周长50cm的细环，载有0.3A电流时，铁芯的相对磁导率为600。(1)铁芯中的磁感应强度B为 。(2)铁芯中的磁场强度H为 。

3-6．磁场强度H和磁导率μ的国际单位分别是 和 。

3-7．一半径为R圆筒形的导体，筒壁很簿，可视为无限长，通以电流I，筒外有一层厚为d，磁导率为μ的均匀顺磁性介质，介质外为真空，画出此磁场的H—r图及B—r图。(要求：在图上标明曲线端点的坐标及所代表的函数值，不必写出计算过程)

3-4．真空中有一载有稳恒电流I的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S的磁通量

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第四单元 洛仑磁力 安培力

[知识点精要]

?1. 磁场对运动电荷的作用——洛仑磁力 电荷为q的粒子以速度V在磁场中运动时

???f?qv?B

所受洛仑磁力为

2. 磁场对载流导线的作用——安培力

(1)安培定律 电流元Idl在磁场中受到安培力为

???dF?Idl?B

?????B是Idl所在处的磁感应强度。均匀磁场中一段载流导线受力 F?IL?B

??(2) 磁力矩 磁矩是Pm的任意形状的载流平面线圈，在磁感应强度为B的均匀磁场中

所受力矩为

??其中，磁矩Pm?ISn

(3) 磁力的功和磁力矩的功

???M?Pm?B

磁力的功 载流导线在恒定磁场中移动时，磁力(安培力)的功为

A?I???m

磁力矩的功 载流线圈在恒定磁场中转动时，磁力矩所做的功为

A?I???m

ΔΦm表示通过线圈平面磁通量的增量。

［典型例题］

例4-1 如图一导体板放在磁感应强度为B的匀强磁场中，B的方向垂于导体板的左、右侧面，导体极板的截面形状为矩形，面积为S，且通有电流I，在图示情况下导体板的上侧面将积累 电荷，载流子受的洛仑兹力fm 。 (注：导体板中单位体积内载流子数为n) ???解：导体中自由电子f??ev?B,上侧面积累负电荷f的大小为f?evB

IB ∵ I?envS ∴ f?

nS???例4-2 磁场中某点处的磁感应强度为B=0.04i?0.02j(T)，一电子以速度

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第八单元 位移电流 麦克斯韦方程组

［知识点精要］

1．位移电流

(1) 位移电流 位移电流假说的中心思想是变化着的电场也能激发磁场。通过某曲面的位移电流强度Id等于该曲面电位移通量的时间变化率，即

??d?DId?,?D???D?dS

dt式中，?D表示穿过该曲面的电位移通量，它相当于“位移电荷”，而

dD相当于“位移电流dt密度矢量”。充电时Id与E方向相同；放电时Id与E方向相反。

(2) 全电流定律 通过某截面的全电流等于通过该截面的传导电流I和位移电流Id的代数和，即

I全?I?Id全电流总是连续的。于是，在一般情况下安培环路定理推广为

?H?dl?I全?I?Id

2.麦克斯韦方程组 麦克斯韦把电磁场的规律归结为一组方程（略）；考虑到介质的影响时，还要附加三个物质方程：

????D??E B??H J??E

［典型例题］

例8-1 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确。 (A)位移电流是由变化电场产生的。 (B)位移电流是由线性变化磁场产生的。 (C)位移电流的热效应服从焦耳一楞次定律。

(D)位移电流的磁效应不服从安培环路定理。 ( ) 例8-2 充了电的由半径为r的两块圆板组成的平行板电容器，在放电时两板间的电

?tRC场强度的大小为E?E0e，式中E0、R、C均为常数，则两板间的位移电流的大小为_________，其方向与场强方向_________。

??d?DdDdE1?解： Id??S??0S??0?r2E0eRC??0?r2E0eRC

dtdtdtRCRCtt与电场方向相反。

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练习八

一、选择题

8-1．空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i(t)，则： ( )

(A)圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场。

(B)任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零。 (C)沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零。

(D)沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零。

?8-2．如图，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L1、L2磁场强度H的环流中，

(A)(C)

必有： （ ）

L1?H?dL??H?dL (B) ?H?dL??H?dL

L2L1L2L2L1L1?H?dL??H?dL (D) ?H?dL?0

8-3．图示为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场E，其方向垂直纸面向内，E的大小随时间t线性增加，p为柱体内与轴线相距为r的点，则

(1)p点的位移电流密度的方向为_____________； (2)p点感生磁场的方向为_______________。

8-4．平行板电容器的电容C为20.0μF，两板上的电压变化率为dU/dt =1.50×106 V·S-1，则平行板电容器中的位移电流为________。

8-5．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为

??D?dS??q， ①；

SC?E?dl???d?m， ②； dtd?D， ④ dt??B?dS?0， ③；

SH?dl??I?C试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。(1)变化的磁场一定伴随有电场，_____________；(2)磁感应线是无头无尾的，_______________；(3)电荷总伴随有电场，______________。

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第九单元 电磁场小结

练习九

一 选择题

9-1．在磁感强度为B的均匀磁场中作一半径为r的半球面S，S边

?S 线所在平面的法线方向单位矢量n与B的夹角为 ，则通过半球面S

的磁通量(取弯面向外为正)为

? (A) πr2B． . (B) 2 r2B． ??B?(C) -πr2Bsinα． (D) -πr2Bcosα． ［ ］ n

9-2．如图，边长为a的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q的点电荷．此正方形以角速度?绕AC轴旋转时，在中心O点产生的磁感强度大小为B1；此正方形同样以角速度?绕过O点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O点产生的磁感强度的大小为B2，则B1与B2间的关系为

q A q (A) B1 = B2． (B) B1 = 2B2． (C) B1 =

9-3．载流的圆形线圈(半径a1 )与正方形线圈(边长a2 )

通有相同电流I．若两个线圈的中心O1 、O2处的磁感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1∶a2为 (A) 1∶1 (B)

(C)

1B2． (D) B1 = B2 /4． [ ] 2O q q C

a2 a1 O1 I O2 I 2?∶1

2?∶8 [ ]

2?∶4 (D)

9-4．如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或 I1 平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框的运动情况从对着大平板看是： (A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动． I2 (C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． ［ ］

9-5．如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕

而成，每厘米绕10匝．当导线中的电流I为2.0 A时，测得铁环内的磁感应强度的大小B为1.0 T，则可求得铁环的相对磁导率μr为(真空磁导率μ0 =4π×10-7 T·m·A-1) (A) 7.96×102 (B) 3.98×102

(C) 1.99×102 (D) 63.3 ［ ］

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?9-6．半径为a的圆线圈置于磁感强度为B的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，

?线圈电阻为R；当把线圈转动使其法向与B的夹角α=60°时，线圈中通过的电荷与线圈

面积及转动所用的时间的关系是 ［ ］ (A) 与线圈面积成正比，与时间无关． (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比．

(C) 与线圈面积成反比，与时间成正比． (D) 与线圈面积成反比，与时间无关．

?9-7．如图所示，直角三角形金属框架abc放在均匀磁场中，磁场B平行于ab边，bc的长度为l．当金属框架绕ab边以匀角速度?转动时，abc回路中的感应电动势ε和a、c

两点间的电势差Ua – Uc为

1B?l2． 212(B) ε=0，Ua – Uc =?B?l

2122(C) ε=B?l，Ua – Uc =B?l

2122(D) ε=B?l，Ua – Uc =?B?l． ［ ］

2(A) ε=0，Ua – Uc =

b ?? l ?B c a

9-8．有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r1和r2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为μ1和μ2．设r1∶r2=1∶2，μ1∶μ2=2∶1，当将两只螺线

管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L1∶L2与磁能之比Wm1∶Wm2分别为： (A) L1∶L2=1∶1，Wm1∶Wm2 =1∶1． (B) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶1．

(C) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶2． (D) L1∶L2=2∶1，Wm1∶Wm2 =2∶1．

[ ]

9-9．用导线围成的回路(两个以O点为心半径不同的同心圆， O O ??在一处用导线沿半径方向相连)，放在轴线通过O点的圆柱形均匀

?B?(B) ?B?(A) 磁场中，回路平面垂直于柱轴，如图所示．如磁场方向垂直图面 向里，其大小随时间减小，则(A)→(D)各图中哪个图上正确表示

O O ??了感应电流的流向？ ［ ］ BB??(C) ??(D)

二 填空题

9-10．将半径为R的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R)的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i (如上图)，则管轴线磁感强度的大小是__________________

9-11．如图所示，一半径为R，通有电流为I的圆形回路，位于Oxy平面内，圆心为

?O．一带正电荷为q的粒子，以速度v沿z轴向上运动，当带正电荷的粒子恰好通过O点时，作用于圆形回路上的力为________，作用在带电粒子上的力为________．

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O h R z ? v x q O y I1 I2 i O′

y 3I O I x

第9-10题图 第9-11题图 第9-12题图 第9-13题图

9-12．有两个竖直放置彼此绝缘的圆形刚性线圈(它们的直径几乎相等)，可以分别绕它们的共同直径自由转动．把它们放在互相垂直的位置上．若给它们通以电流（如图），则它们转动的最后状态是_______________________________．

9-13．在xy平面内，有两根互相绝缘，分别通有电流3I和I的长直导线．设两根导线互相垂直(如图)，则在xy平面内，磁感强度为零的点的轨迹方程为 。

9-14．一面积为S的平面导线闭合回路，置于载流长螺线管中，回路的法向与螺线管轴线平行．设长螺线管单位长度上的匝数为n，通过的电流为I?Imsin?t（电流的正向与回路的正法向成右手关系），其中Im和ω为常数，t为时间，则该导线回路中的感生电动势为____ _____．

9-15．如图所示，一段长度为l的直导线MN，水平放置在载电流为I的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，则t秒末导线两端的电势差UM-UN = 。

I

O t M N I

? a l

t

L第9-15题图 第9-16题图

9-16．一线圈中通过的电流I随时间t变化的曲线如图所示．试定性画出自感电动势εL随时间变化的曲线．(以I的正向作为ε的正向)

?9-17．面积为S的平面线圈置于磁感强度为B的均匀磁场中．若线圈以匀角速度绕意时刻t时通过线圈的磁通量为_____________，线圈中的感应电动势为___________．若

??位于线圈平面内且垂直于B方向的固定轴旋转。在时刻t = 0，B与线圈平面垂直．则任

30

?均匀磁场B是由通有电流I的线圈所产生，且B =kI (k为常量)，则旋转线圈相对于产生磁

场的线圈最大互感系数为______________．

?9-18．坡印廷矢量S的物理意义： ________________ ______________________； 其定义式为 ____________________．

三 计算题

9-19．（本题5分）一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A电流，在导线内部作一平面S，S的一个边是导线的中心轴线，另一 边是S平面与导线表面的交线，如图所示．试计算通过沿导线长度

S 方向长为1m的一段S平面的磁通量． (真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T·m/A，铜的相对磁导率μr≈1)

9-20．（本题5分）螺绕环中心周长l = 10 cm，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A．管内充满相对磁导率μr = 4200的磁介质．求管内磁场强度和磁感强度的大小．

9-21．（本题10分）一内外半径分别为R1, R2的均匀带电平面圆 ? (t) 环，电荷面密度为，其中心有一半径为r的导体小环(R1>>r)，二者

R2 同心共面如图．设带电圆环以变角速度ω（t）绕垂直于环面的中心R1 r 轴旋转，导体小环中的感应电流i等于多少？方向如何(已知小环的

电阻为R＇)？ ?? 9-22．（本题10分）如图所示，在纸面所在的平面内有一载有C 电流I的无限长直导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈 D l I ?ACD．该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平行．今使线圈v ??ACD在纸面内以匀速v远离长直导线运动，且v与长直导线相垂 a A 直．求当线圈AC边与长直导线相距a时，线圈ACD内的动生电动势．

9-23．（本题5分）一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm．环心材料的磁导率μ=μ0．求在电流强度I为多大时，线圈中磁场的能量密度w =1 J/ m3？ (μ0=4π×10-7

T·m/A)

9-24．（本题5分）给电容为C的平行板电容器充电，电流为i = 0.2e-t ( SI )，t = 0时电容器极板上无电荷．求： (1) 极板间电压U随时间t而变化的关系． (2) t时刻极板间总的位移电流Id (忽略边缘效应)．

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第十单元 光的双缝干涉

［典型例题］

例10-1. 在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n的透明介质中从A沿某路径传播到B，若A、B两点位相差为3?，则此路径AB的光程为 ( )

(A) 1.5λ (B) 1.5nλ (C) 3λ (D) 1.5λ/n

例10-2. 如图所示，波长为λ的平行单色光斜入射到距离为d的双缝上，入射角为θ。在图中的屏中央O处(S1O?S2O)，两束相干光的位相差为____________。

例10-3. 双缝干涉实验装置如图所示，双缝与屏之间的距离D=120cm，两缝之间的距离d=0.50mm，用波长λ=5000A°的单色光垂直照射双缝。

(1) 求原点O(零级明条纹所在处)上方的第五级明条纹的坐标X (2) 如果用厚度 l?1.0?10?2mm，折射率n=1.58的透明薄膜复盖在图中的S2缝后面，求上述第五级明条纹的坐标x′

解：(1)r2?r1?5?又r2?r1?dx DD?6mm dx(2)r2'?(n?1)l?r1'?5?，又r2'?r1'?d

DD∴ x??[5??(n?1)l]??8mm

d∴ x?5?例10-4. 薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长λ=5461?的平面光波正入射到钢片上，屏幕距双缝的距离为D=2.00m，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为△x=12.0mm。

(1) 求两缝间的距离

(2) 从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离? (3) 如果使光波斜入射到钢片上，条纹间距将如何改变?

解：(1)由xk?k?(2) ?x20(3) 中央明纹偏向另一侧，条纹间距不变。

DD， 得 ?x?x5?x?5?10? dd10?D∴ d??0.91mm

?x?2?x?2?12.0?24.0mm

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例10-5. 在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别为l1和l2，并且

l1?l2?3?，λ为入射光的波长，双缝之间的距离为d，双缝到屏幕的距离为D，如图. 求：

(1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离.

(2) 相邻明条纹间的距离.

解：(1)如图，设P0为零级明纹中心，则

??(l1?r1)?(l2?r2)?0, ??r2?r1?l1?l2

又

P0Or2?r1?，∴P0O?3D?/d Dd(2) 在屏上距O点为x处，

dx?3? D明纹条件 δ=±kλ (k=1,2,3,…)

∴ xk=(kλ+3λ)D/d ∴ Δxk=xk+1-xk=Dλ/d

光程差 ??

练习十

一、选择题：

10-1. 在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是： (A)使屏靠近双缝； (B)使两缝的间距变小；

(C)把两个缝的宽度稍微调窄；(D)改用波长较小的单色光源。 ( )

10-2. 在双缝干涉实验中，若单色光源S到两缝S1S2距离相等，则观察屏上中央明条纹位于图中O处，现将光源S向下移动到示意图中的S′位置，则：

(A)中央明条纹也向下移动，且条纹间距不变； (B)中央明条纹向上移动，且条纹间距增大； (C)中央明条纹向下移动，且条纹间距增大；

(D)中央明条纹向上移动，且条纹间距不变； ( )

10-3．在双缝干涉实验中，双缝间距为2mm，双缝与屏的间距为300cm，入射光的波长为600nm，在屏上形成的干涉图样的明条纹间距为(1nm=10-9m)。 ( )

(A) 4.5mm (B) 0.9mm (C) 3.1mm (D) 1.2mm

10-4．真空中波长为λ的单色光，在折射率为n的均匀透明媒质中，从A点沿某一路径传播到B点，路径的长度为l，A、B两点光振动位相差记为△φ，则

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(A) l=3λ/2时， △φ=3π. (B) l=3λ/(2n)时，△φ=3nπ.

(C) l=3λ/(2n)时，△φ=3π. (D) l=3nλ/2时， △φ=3nπ ( )

10-5．在双缝干涉实验中，入射光的波长为λ，用玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大2.5λ，则屏上原来的明纹处

(A) 仍为明条纹； (B) 变为暗条纹；

(C) 既非明纹也非暗纹； (D) 无法确定是明纹，还是暗纹 ( )

二、填空题：

10-6．在双缝干涉实验中，所用单色波长为λ=562.5nm，双缝与观察屏的距离 D=1.2m，若测得屏上相邻明条纹间距为△x=1.5mm则双缝的间距d= 。

10-7．如图所示，在双缝干涉实验中 SS1=SS2用波长为λ的光照射双缝S1和S2，通过空气后在屏幕E上形成干涉条纹。已知P点处为第三级明条纹，则S1和S2到P点的光程差为 ，若将整个装置放于某种透明液体中，P点为第四级明条纹，则该液体的折射率为n= 。

10-8．如图所示，假设有两个同相的相干点光源S1和S2，发出波长为λ的光。A是它们连线的中垂线上的一点，若在S1与A之间插入厚度为e、折射率为n的薄玻璃片，则两光源发出的光在A点的位相差△φ= 。若已知λ=5000?，n=1.5，A点恰为第四级明纹中心，则e= ?

10-9．光强均为 l0的两束相干光相遇而发生干涉时，在相遇区域内有可能出现的最大光强是 。

10-10. 若一双缝装置的两个缝分别被折射率为n1和n2的两块厚度均为e的透明介质所遮盖，此时由双缝分别到屏上原中央极大所在处的两束光的光程差δ=_______________。

10-11. 在双缝干涉实验中，双缝间距为d,双缝到屏的距离为D(D>>d)，测得中央零级明纹与第五级明纹之间的距离为x，则入射光的波长为 ________________。

10-12. 在双缝干涉实验中，两缝分别被折射率为n1和n2的透明薄膜遮盖，二者的厚度均为e。波长为λ的平行单色光垂直照射到双缝上，在屏中央处，两束相干光的位相差△φ=________________。

34

三、计算题：

10-13．在双缝干涉实验中，若用半圆筒形薄玻璃片(折射率n1=1.4)覆盖缝S1，用同样厚度的玻璃片(折射率n2=1.7)覆盖缝S2，将使屏原来未放玻璃时的中央明条纹所在处O变为第五级明纹，设单色光波长λ=4800?，求玻璃片的厚度t。

10-14．白色平行光垂直入射到间距为d=0.25mm的双缝上，距缝50cm处放置屏幕，分别求第一级和第五级明纹彩色带的宽度。(设白光的波长范围是从4000?到7600?)。

10-15．在双缝干涉实验中，双缝间距d=0.45mm，双缝与屏间距离D=1.2m，若测得屏上干涉条纹相邻明条纹间距为1.5mm，求光源发出的单色光的波长λ。

10-16．在双缝干涉实验中，波长?＝550 nm的单色平行光垂直入射到缝间距d＝2×-4

10 m的双缝上，屏到双缝的距离D＝2 m．求：

(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；

- (2) 用一厚度为e＝6.6×105 m、折射率为n＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将

-移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 109 m)

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第十一单元 光的薄膜干涉

［典型例题］

例11-1．白光垂直照射到空气中一厚度为e=3800?的肥皂膜上，肥皂膜的折射率n=1.33，在可见光的范围内(4000?—7600?)，哪些波长的光在反射中增强? 解：上表面反射有半波损失，计算光程差时需要增加附加的半波长

2ne+λ/2=kλ，

依题意 4000?≤λ=4ne/(2k-1)≤7600?， (k取正整数) 由此可得：当k=2，λ=6739?； k=3，λ=4043?

例11-2．用波长λ=500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射在由两块玻璃板(一端刚好接触成为劈棱)构成的空气劈尖上，劈尖角θ=2×10-4rad。如果劈尖内充满折射率为n=1.40的液体，求从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离。 解：第5个明纹，k=5，则

2ne+λ/2=5λ， 即e=9λ/4n ∴ l 0=e0/θ=9λ/4θ， l =e/θ=9λ/4nθ ∴ Δl=l0-l′ =[9λ(1-1/n)]/4θ=1.6mm

例11-3．在 Si的平表面上形成了一层厚度均匀的SiO2的薄膜，为了测量薄膜厚度，将它的一部分腐蚀成劈形(示意图中的AB段)。现用波长为6000?的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹。在图中AB段共有8条暗纹，且B处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度。(Si折射率3.42，SiO2折射率为1.50)。

解：上下表面反射都有半波损失，计算光程差时不必考虑附加的半波长，设膜厚为e

B处暗纹2ne=(2k+1)λ/2， (k=0,1,2,…) B处第8条暗纹对应上式 k=7

∴ e=(2k+1)λ/4n=1.5×10-3mm

例11-4．若在迈克尔逊干涉仪的可动反射镜M移动0.620mm的过程中，观察到干涉条纹移动了2300条，则所用光波长为 。

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练习十一

一、选择题：

11-1. 两块平玻璃构成空气劈尖，左边为棱边，用单色平行光垂直入射，若上面的平玻璃慢慢地向上平移，则干涉条纹 ( ) (A) 向棱边方向平移，条纹间隔变小。(B) 向棱边方向平移，条纹间隔变大。

(C) 向棱边方向平移，条纹间隔不变。(D) 向远离棱边的方向平移，条纹间隔不变。 (E) 向远离棱边的方向平移，条纹间隔变小。

11-2．用劈尖干涉法可检测工件表面缺陷，当波长为λ的单色平行光垂直入射时，若观察到的干涉条纹如图所示，每一条纹弯曲部分的顶点恰好与其左边条纹的直线部分的连线相切，则工件表面与条纹弯曲处对应的部分： ( ) (A)凸起，且高度为λ/4 (B)凸陷，且高度为λ/2 (C)凹陷，且深度为λ/2 (D)凹陷，且深度为λ/4

11-3. 检验滚珠大小的干涉装置示意如图(a)．S为光源，L为会聚透镜，M为半透半反镜．在平晶T1、T2之间放置A、B、C三个滚珠，其中A为标准件，直径为d0．用波长为?的单色光垂直照射平晶，在M上方观察时观察到等厚条纹如图(b)所示．轻压C端，条纹间距变大，则B珠的直径d1、［ ］

(A) d1＝d0＋?，d2＝d0＋3?． (B) d1＝d0-?，d2＝d0－3?．

(C) d1＝d0＋????2，d2＝d0＋?． (D) d1＝d0-???2，d2＝d0－??．

11-4. 在折射率为n′=1.68的平板玻璃表面涂一层折射率为n=1.38的MgF2透明薄膜，可以减少玻璃表面的反射光。若用波长λ=500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直入射，为了尽量减少反射，则MgF2薄膜的最小厚度应是： ( )

(A)90.6nm (B)78.1nm (C)181.2nm (D)156.3nm

11-5. 单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，若薄膜的厚度为e，且n1＜n2＞n3，λ1为入射光在n1中波长，则两束反射光的光程差为 ( )

(A) 2n2e (B) 2n2e-λ1/(2n1)

C珠的直径d2与d0的关系分别为：

37

(C) 2n2e-

11n1λ1 (D) 2n2e-n2λ122

11-6. 若把牛顿环装置(都是用折射率为1.52的玻璃制成的)由空气搬入折射率为1.33的水中，则干涉条纹 ( )

(A)中心暗斑变成亮斑 (B)变疏 (C)变密 (D)间距不变 二、填空题：

11-7. 在垂直照射的劈尖干涉实验中，当劈尖的夹角变大时，干涉条纹将向 方向移动，相邻条纹间的距离将变 。

11-8. 用波长为λ的单色光垂直照射到空气劈尖上，从反射光中观察干涉条纹，距顶点为 l 处是暗条纹，使劈尖角θ连续变大，直到该点处再次出现暗条纹为止。劈尖角的改变量△θ是 。

11-9. 用波长为λ的单色光垂直照射如图所示的牛顿环装置，观察从空气膜上下表面反射的光形成的牛顿环，若使平凸透镜慢慢地垂直向上移动，从透镜顶点与平面玻璃接触到两者距离为d的移动过程中，移过视场中某固定观察点的条纹数目等于 。

11-10. 在牛顿环装置的平凸透镜和平板玻璃间充以某种透明液体，观测到第十个明环的直径由充液前的14.3cm变成充液后的12.7cm。这种液体的折射率n= 。

11-11. 用λ=6000?的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为 μm。

11-12. 已知在迈克尔逊干涉仪中使用波长为λ的单色光。在干涉仪的可动反射镜移动一距离d的过程中，干涉条纹将移动 条。

三、计算题：

11-13. 两块平板玻璃构成一空气劈尖长L=4cm，一端夹住一金属丝，如图所示，现以波长为λ=5890?的钠光垂直入射。

(1) 若观察到相邻明纹(或暗纹)间距离l=0.1mm,求金属丝的直

径d=?

(2)将金属丝通电，受热膨胀，直径增大，在此过程中，从玻璃

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片上方离劈棱距离为L/2的固定观察点上发现干涉条纹向左移动2条，问金属丝的直径膨胀了多少?

11-14. 折射率为1.60的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈尖(劈尖角θ很小)用波长λ=600nm的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹。假如在劈尖内充满n=1.40的液体时的相邻明纹间距比劈尖内是空气时的间距缩小ΔL=0.5mm，那么劈尖角θ应是多少?

11-15. 用波长λ=500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射在由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上，在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边l=1.56cm的A处是从棱边算起的第四条暗条纹中心.

(1) 求此空气劈尖的劈尖角θ；

(2) 改用600nm的单色光垂直照射到此劈尖上仍观察反射光的干涉条纹，A处是明条纹还是暗条纹?

(3) 在第(2)问的情形从棱边到A处的范围内共有几条明纹? 几条暗纹?

11-16. 透镜表面通常复盖着一层 MgF2(n=1.38)的透明薄膜，为的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为使氦氖激光器发出的波长为6328?的激光毫不反射地透过，试求此薄膜必须有多厚?最薄厚度为多少?(设光线垂直入射)。

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第十二单元 惠更斯一菲涅耳原理、单缝衍射

［典型例题］

例12-1.波长为λ的单色光垂直入射在缝宽a =4λ的单缝上，对应于衍射角φ=30°，单缝处的波面划分为 4 个半波带。

例12-2.在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光(λ1≈ 5890?)中央明纹宽度为4.0mm，则λ2=4420?的蓝紫光的中央明纹宽度为 3mm 。

例12-3．若有一波长为λ=6000?的单色平行光，垂直入射到缝宽a=0.6mm的单缝上，缝后放置一焦距f=40cm的透镜。试求：(1)屏上中央明纹的宽度；(2)若在屏上P点观察到一明纹，op=1.4mm，问P点处是第几级明纹，对P点而言狭缝处波面可分成几个半波带?

练习十二

一、选择题：

12-1. 在夫琅和费单缝衍射实验中，对于给定的入射单色光，当缝宽度变小时，除中央亮纹的中心位置不变外，各级衍射条纹。

(A)对应衍射角变小； （B）对应的衍射角变大；

(C)对应衍射角也不变； （D）光强也不变； ( )

12-2．在如图所示的单缝夫琅和费衍实验装置中，S为单缝，L为透镜，C为放在L的焦平面处的屏幕。当把单缝S垂直于透镜光轴稍微向上平移时，屏幕上的衍射图样。 ( )

(A) 向上平移； (B) 向下平移；

(C) 不动； (D)条纹间距变大。

12-3．波长λ=5000?的单色光垂直照射到宽度a=0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹，今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d=12mm，则凸透镜的焦距f为：

(A) 2m (B) 1m (C) 0.5m (D) 0.2m； (E) 0.1m

( )

12-4．波长为λ的单色平行光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹的位置对应的衍射角为θ=±?/6，则缝宽的大小为

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