利润最大值模型

利润最大值模型

摘要

本文首先就售价和预期销售量(千桶)的关系的问题上做了售价售量模型讨论，应用数据拟合的知识，就所得的数据（见表1）建立了一条关于售价和预期销售量的拟合曲线，通过观察拟合的曲线和原数据的拟合程度确定了售价和预期销售量呈线性关系。其中用方程是可以表示为

y(x)=-5.1333*x+50.4222

表1 售价 2．00 2．50 3．00 3．50 4．00 4．50 5．00 5．50 6．00 预期销41 38 34 32 29 28 25 22 20 售量（千桶） 在确定了销售价格和销售量的关系后，我们又在销售量上下功夫，建立了销售增长因子模型，据表2数据体现，适当的广告费投入能够增大销售增长因子，能提高销售量，这样就能增大利润，我们又拟合了关于广告费和销售增长因子的关系曲线，通过观察得知广告费和销售增长因子呈二次关系。其中用方程可以表示为

h(z)=-0.0004*z^2+0.0409*z+1.0188

表2 广告费（千元） 0 10 20 30 40 50 60 70 销售增长因子 1．00 1．40 1．70 1．85 1．95 2．00 1．95 1．80 为了能够得到最大利润，结合方程1和方程2，进一步得到了最终关于利润模型的函数关系方程

w=(x-2)*y*h-z

=(x-2)*( -5.1333*x+50.4222)*( -0.0004*z^2+0.0409*z+1.0188)-z

运用遗传函数ga()算法找到了最优值，再把最优值回带到最优化问题求解函数，得到最终的利润关于售价和广告费的最优解，实现利润最大化。

关键词：

数据拟合 遗传算法 最优化算法 售价售量模型 销售因子增长模型 利润模型

一、 问题重述

利润的最大化是每个商家的最终目的追求，利润最大化过程中有销售价格的定制，也有投入广告费的成本，以及店面位置的选定等等众多因素，在应用已知数据作出判断，才能在市场上占有优势主导地位。本文就售价的定位和广告费的投入对利润的关系做了研究。本文将研究下列问题：

(1) 分析销售价格的定位对销售量的影响关系； (2) 分析投入的广告费对销售因子增长有何帮助；

(3) 结合售价的确定和广告费的投入，寻求利润最大化时的最优值。

二、 条件假设

1 本文所提供的数据具有市场代表性；

2 售价和预期售量，广告费和销售因子增长的关系变化是呈简单函数关系，在所给的数据开外排除他们关系的突然变化，因此本文研究出的关系函数具有局部代表总体含义；

(3) 问题给出的数据是个庞大的数据，并不能够简单的直接使用最优化求解方式，必须确定一个一定误差范围内的最优值回带才能得到最终最优值，这是体现对知识的熟悉掌握能力；

三、符号说明

系；

x -------------------------------售价；

y -------------------------------预期销售量(千桶)； z -------------------------------广告费(千元); h -------------------------------销售增长因子；

w-------------------------------最终利润，关于售价和广告费对利润的影响关p1------------------------------售价与预期售量的关系矩阵； p2------------------------------广告费与销售增长因子矩阵；

四、模型建立与求解

4.1 售价售量模型

为了研究利润最大化，最直接因素则是销售价格和销售量的关系确定。由常识得知，销售价格抬得越高，销售量则会呈一种下降趋势，至于是什么关系的曲线，还是直线，我们用到了曲线拟合。

首先就所给的数据我们用plot函数得到关系图1（程序见附录1）

图1,售价与预期销售量的关系曲线图

4540预期销售量3530252022.533.54售价4.555.56

通过观察图1可以大概得到，售价与预期销售量呈一元递减关系，因此在拟合函数时用到了一元拟合（程序见附录3） p1=polyfit(x,y,1) 得到 p1=

-5.1333 50.4222

且如图2,所给的数据全部都在拟合的曲线上，可以认为售价和预期销售量呈一元线性关系，他们的关系模型为

y(x)=-5.1333*x+50.4222

图2,售价与预期销售量的拟合

5040预期销售量30201022.533.54售价4.555.56

4.2 销售因子增长模型

销售量的多少是决定利润的一个重要因素，在确定了售价后，如何提高销售量则是依赖于广告费的投资，因此，我们在第二个模型中研究广告费的投入与销售因子增长的关系模型。

按照常理推断，广告费的投入量越大，销售因子越大，实际上这二者是呈一次线性关系，还是二次，还是其他结果，通过所给的数据首先描绘出其关系模型的大概轮廓，如图3。（程序见附录2）

图3广告费与销售增长因子关系曲线图

21.8销售增长因子1.61.41.21010203040广告费506070

由图三我们首先假设广告费与销售增长因子呈二次关系曲线模型。运用拟合函数（程序见附录4） p2=polyfit(z,a,2) 得到 p2 =

-0.0004 0.0409 1.0188

并且如图4所示，所拟合的函数曲线全部经过所提供的原数据，因此可以认为广告费与销售增长因子呈二次关系，他们的关系模型为

h(z)=-0.0004*z^2+0.0409*z+1.0188

图4广告费与销售增长因子的拟合

2.5销售增长因子21.51010203040广告费506070

4.3利润模型

根据模型4.1和模型4.2，我们总结出最终利润w关于售价x和广告费z的模型关系：

w=(x-2)*y*h-z

=(x-2)*( -5.1333*x+50.4222)*( -0.0004*z^2+0.0409*z+1.0188)-z

先作关于利润w和售价x,广告费x的三维图像，图五：

图五，利润w和售价x,广告费x的三维曲线图

2.521.5180w利润604020z广告投资0234x售价56

建立关于最终利润的函数文件profit，（profit函数见附录5）运用最优化求解函数fminsearch()求解最大利润值，因为函数只能求最小值，因此在编写函数文件是另wmax=-w;所求得的最小值的相反数则是利润的最大值。

运行：

>> [x,wmax]=fminsearch(@profit,[1,1])

得到

x =

5.9113 35.2075 wmax =

-118.9437

最优值为118.9437千元，最优定价为5.9113元，最优广告费投入为35.2075千元。

五、模型验证

为了得到一个准确的最优值，在模型4.3基础上引入遗传算法的ga()函数求最优值。利用遗传算法ga()函数（见附录6）求解最优值的结果如下： x =

5.9103 19.6218 f =

-111.3133 flag =

Optimization terminated: maximum number of generations exceeded. out =

randstate: [35x1 double] randnstate: [2x1 double] generations: 100 funccount: 2000

message: 'Optimization terminated: maximum number of generations exceeded.' 将所得到的 x =

5.9103 19.6218

作为初值代入fminsearch()函数进行迭代

>>[x,wmax]=fminsearch(@profit,[5.9103,19.6218]) x =

5.9113 35.2076

wmax =

-118.9437

得到最终利润最优值为118.9437千元，最优定价为5.9113元，最优广告费投入为35.2075千元。与模型4.3的结果一致。 因此可以认为模型4.3所得出的结论是合理的。

六、模型评价

在模型4.3的求解最优值上直接利用最优化函数fminsearch()求解最优利润的方法过于简单，因为fminsearch函数的迭代需要在最优值附近，才能迭代出最好的效果，如果数据过于复杂，可能导致的偏差比较大，得出的最优值就有可能偏离实际最优值。因此，需要用到遗传算法中的ga()函数来求取最优值附近的值，并用这个值作为初值代入原模型4.3，才能得到准确的真实最优值。这次研究的课题的数据简单，因此比较第一次求最优值的迭代中很轻易就能得到最优值，但是验证的模型在遇到更复杂更庞大的数据时也能够应对自如，能够在模型4.3的基础上加以验证和保证，最终得到肯定确定的答案。

参考文献：

[1]刘卫国 MATLAB程序设计教程(第二版) 中国水利水电出版社2010，2

[2]张志涌 杨祖樱 MATLAB教程(R2006a-R2007a) 北京航空航天大学出版社2008,4

[3]胡蓉 MATLAB软件与数学实验 经济科学出版社 2010,8

[4]薛定宇 陈阳泉 高等应用数学问题的MATLAB求解 北京 清华大学出版社2004,8

附录

附录一

plot()函数关于售价与预期销售量关系图 程序： x=2:0.5:6;

y=[41 38 34 32 29 28 25 22 20];

plot(x,y);xlabel('售价');ylabel('预期销售量');

附录二

plot()函数关于广告费与销售增长因子关系图 程序： z=0:10:70;

h=[1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80];

plot(z,h);xlabel('广告费');ylabel('销售增长因子');

附录三

售价与预期销售量的拟合关系函数

程序： x=2:0.5:6;

y=[41 38 34 32 29 28 25 22 20]; p1=polyfit(x,y,1) xi=2:0.01:6;

yi=polyval(p1,xi);

plot(x,y,'o',xi,yi);xlabel('售价');ylabel('预期销售量');

附录四

广告费与销售量因子的拟合关系函数 程序： z=0:10:70;

h=[1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80]; p2=polyfit(z,h,2) zi=0:0.01:70; hi=polyval(p2,zi);

plot(z,h,'o',zi,hi); xlabel('广告费');ylabel('销售增长因子');

附录五

利润与售价，广告费的关系函数profit M文件程序：

function w=profit(x)

w=-(x(1)-2)*(-5.1333*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2)^2+0.0409*x(2)+1.0188)+x(2);%x(1)表示售价；x(2)表示广告费

附录六

遗传算法ga()函数 程序：

ff=gaoptimset;

ff.Generations=2000; ff.PopulationSize=80;

ff.CrossoverFcn=@crossoverheuristic; [x,f,flag,out]=ga(@profit,2,ff)

附录七

利润w与售价x，广告投资z的三维曲线关系图 程序：

x=linspace(2,6,10); z=linspace(0,70,10);

y=(-5.133.*x+50.422);

h=-0.0004.*z.^2+ 0.0409.*z+ 1.0188; w=(x-2).*y.*h-z; plot3(x,z,w,'o'); grid on;

xlabel('x售价');ylabel('z广告投资');zlabel('w利润');

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a9bo.html