东南大学工科数分第四章习题

习题4.1

?1．写出下列级数的一般项，并用?an表示级数：

n?1（1）

12?25?310?417??；

（2）

x2?12x2?4?14xx2?4?6?5?16?x22?4?6?8??；

（3）1?a2?3???；

（4）

3?a35?a47?a59??。

?2．已知级数?an的部分和Sn如下，试写出该级数并求其和：

n?1（1）Sn?n?32n?1 ； （2）Sn?5?3nnnn?15?3?5。

3．利用级数收敛性的定义判别下列级数的敛散性. 并对收敛级数求和：

??（1）?(n?2?2n?1?n?1?n)； （2）?n?1?1n(n?1)(n?2)n?1n?； （3）?(?1)n?1ne3nn；

（4）?n?1n(n?1)!? ； （5）?lnn?1?； （6）?arctann?112n2。

4．证明：数列{an}收敛?级数?(an?1?an)收敛。这个结论表明，也能将研究数列的敛散性问题

n?1转化为研究级数的敛散性问题.

???5．若级数?an与?bn中有一个收敛，另一个发散，证明：级数?(an?bn)必发散。如果所给两

n?1n?1n?1?个级数均发散，那么级数?(an?bn)是否必发散？

n?1??n?1?6．已知?(?1)n?1an?2,?a2n?1?5,求?an的和.

n?1n?150

?7．设级数?an的前2n项之和S2n?A，并且an?0(n??),证明：该级数收敛且其和为A.

n?18．利用级数性质判别下列级数的敛散性：

?（1）?n?11n?n； （2）?n?1?1??1； （3）???n?； （4）?n22n?13?n?1?nn?11?x??1?cos??。

n???9．试用柯西收敛原理证明：若级数?an收敛，则liman?0.

n?1n???10．研究级数?sinnx的收敛性.

n?111．下列命题是否正确？若正确给出证明，若不正确，举出反例.

??（1）若an?bn,且?bn收敛，则?an必收敛；

n?1n?1?（2）若?an收敛，且an?0，则limn?1?an?1an?n?????1；

（3）若?an收敛，且limn?1bnanx???1，则?bn必收敛；

n?1?（4）若数列{an}单调减，且an?0(n??),则?an必收敛；

n?1??2（5）若?an发散，则?an必发散；

n?1n?1?（6）级数?an收敛的充分必要条件是前n项之和所构成的数列{Sn}有界.

n?112．用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性：

?（1）?n?1?1nn?11?； （2）?n?2?1lnn?； （3）?n?1lnnn；

（4）??n?1??1(a?0)?ln； （5）??n?； n1?an?n?1n?1?（6）?sinn?1?n?； （7）?n?1?cosn?1???(??0)。

n????13．用比值判别法判别下列级数的敛散性：

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?（1）?n?12?n!nnn?； （2）?ntann?1?2n?1；

?（3）?n?1n!4n? ； （4）?n?1xnnp?x?0,p?0?。

14．用根值判别法判别下列级数的敛散性：

?1?n2??n?（1）??； ?； （2）??3?n?1?1?n?n?1?3n?1??n?n?（3）?n?11n(ln(1?n))n?； （4）?n?11?n?1??n?3?n?n2。

15．判别下列级数的敛散性. （1）??nn?1???nn (a?0,b?0)； 3?1?； （2）?n?n?11?b?1?n?1?an?（3）?n?1?13； （4）?n?1n?n0x1?x12dx；

（5）?n?1n!enn?； （6）?n?1n(ln(5?n))32；

?（7）?n?1lnnn1??(??0)； （8）2?2?2?2?2?2?2?2?2?2??。

?16．证明：若limnan?a?0，则级数?an发散.

x??n?1?17．设级数?an收敛，an?0，且an?1?an，则limnan?0.

n?1x??18．利用级数理论证明：当n??时，

1nn是比

1n!高阶的无穷小量.

19．讨论下列级数的敛散性，并对收敛级数说明是绝对收敛还是条件收敛：

?（1）?(?1)n?2?n1lnn?； （2）?(?1)n?1nn2n?1；

????n(2n?1)!!（3）?sin?n???； （4）?(?1)；

n?(2n)!!?n?1n?1?n1?1?nn?2(?1)（5）??(?1)2； （6）； ??n?lnnn?1n?1?n?1?n?1?52

?（7）?(?1)n?1n?1lnn3?n ； （8）?n?1cosn!nln(e?en?n)。

20．判定级数12?1?12?1?13?1113?13?114????1n?1?1n?1??的敛散性.

21．设?为实数，讨论级数1?2????15?16????12n?1??1(2n)???的敛散性.

??22．已知级数?an与?bn都收敛，且an?cn?bn，证明?cn也收敛.

n?1n?1n?1?2n?2n?23．若级数?a与?b都收敛，证明：?n?1n?1n?1ann??, ?anan?1，?anbn都绝对收敛.

n?1n?124．设an?0,bn?0，且有

?anan?1?bnbn?1?(n?1,2,?)，

证明：（1）若级数?bn收敛，则?an收敛；

n?1n?1??（2）若级数?an发散，则?bn发散.

n?1n?125．设an?0，且lim?lnanlnn?x???q，证明：

（1）当q?1时，级数?an收敛；

n?1?（2）当q?1时，则级数?an发散.

n?126．用Cauchy收敛准则判别下列级数的敛散性:

?（1）?n?1cosnx2n? ； （2）??n?1?1?3n?1?13n?2???。 3n?3?an?an2??an,???0,an?0an?01?27．在级数?an中，设a?n?1???nan?an2?an,an?0???0,an?0，a??n，

则an与an分别称为an的正部和负部，证明：

???n??（1）?an绝对收敛的充分必要条件是正项级数?a与?an都收敛；

n?1n?1n?153

???n??（2）?an条件收敛的必要条件是?a与?an都发散.

n?1n?1n?1习题4.2

?1．说明函数项级数的逐点收敛与一致收敛的区别和联系，并且用??N语言表述级数?un在集合

n?1D?R上不一致收敛于函数S(x):D?R.

2．证明：若函数列{fn}在D?R上一致收敛于f，则{fn}在D上一致收敛于| f |.

3．设{fn}在D上一致收敛于f，证明{fn?gn}在D上一致收敛于f?g. {gn}在D上一致收敛于g，4．讨论下列函数列在所给区间内的一致收敛性： （1）fn(x)?x?x（2）fn(x)?sin（3）fn(x)?xnxnn2n 0?x?1；

(i)-l?x?l (ii)???x???； x 0?x?1；

lnn5．讨论下列级数的一致收敛性：

?（1）?n?1sinnx3n?x44 ???x???；

?（2）?n?1?x1?nxn42 ???x???；

（3）?n?1(?1)x22n(1?x) ???x???；

?（4）?xen?1?2?nx 0?x???；

（5）?2sinn?1n13xn 0?x???；

x06．设f0(x)在[0，a]上连续，又fn(x)???fn?1(t)dt，证明：{fn(x)}在[0，a]上一致收敛于零.

7．证明：级数?(?1)n?1?n?11n?x2关于x在(??,??)上一致收敛但对任何x并非绝对收敛.而

?n?1x22n(1?x)虽在x?(??,??)上绝对收敛，但并不一致收敛.

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??8．证明：若?un(x)在[a,b]上一致收敛，那么?un(x)在[a,b]上也一致收敛.

n?1n?1?9．证明：函数f(x)??n?1sinnxn3在(??,??)内连续，并有连续的导函数.

10．（函数列的Cauchy收敛原理）设{fn}是集合D上的一个函数列，证明：{fn}在D上一致收敛的充要条件为{fn}是D上的基本列，即???0,?N?N?使得?m,n?N,?x?D，恒有fm(x)?fn(x)??.

?11．若级数?un(x)在开区间(a,b)内任一闭区间上一致收敛，则称该级数在(a,b)上内闭一致收敛。

n?1??证明：若?un(x)在(a,b)上内闭一致收敛，则它在(a,b)内逐点收敛.若?un(x)在(a,b)内闭一致

n?1n?1收敛于u(x)，且un(x)在(a,b)上连续，则u(x)在(a,b)上连续.

?12．如果?n?N?，un(x)在[a,b]上是单调函数，并且级数?un(x)在[a,b]的两端点处绝对收敛，

n?1证明它在[a,b]上绝对一致收敛（即绝对值级数一致收敛）.

习题4.3

1．求下列各级数的收敛域：

?（1）?n?1?(?1)n?1xn?n(n?1)3?(?2)2n?1nn； （2）?(n?1?n?1?n)2xn2n；

（3）?n?1(2x?1) ； （4）?n?1?nlnn2(n?1)1n(x?3)；

n?（5）?n?1?xn22n； （6）?n?04(2n?1)n!nn2n?1nx4n?1；

（7）?sinn?1?13n(3?x3?2x?) ； （8）?n?1nx；

?11?n(2n)!n?x。 （9）??1?????x ； （10）?22n(n!)?n?1?n?155

?2．设幂级数?n?1?an2n?(x?1)在x?3处条件收敛，求?anx的收敛区间.

n?1?nnnn3．设幂级数?anx的收敛半径为R1，?bnx的收敛半径为R2，讨论下列级数的收敛半径：

n?1n?1??2n（1）?anxn?1； （2）?(an?bn)x。

n?1n4．求下列函数的Maclaurin展开式 （1）chx； （2）

12?3x?x2； （3）x2；

21?x2（4）

1(1?x)22； （5）ln(1?x?2x)； （6）sinx；

（7）(1?x)e?x； （8）arctan(n)4?x4?x22。

5．设f(x)?arctanx，求f(0)。

6．求下列函数在给定点x0处的Taylor展开式：

（1）lnx, x0?2 ； （2）cosx , x0??（3）x, x0?1 ； （4）ln7．求下列幂级数的和函数：

?n??3；

x1?x, x0?1。

（1）?n(x?1)； （2）?n?1n?0(2n?1)xn!2n；

?（3）?(?1)n?2?n?1n?1n?1?x； （4）?n(n?2)x；

n?1?4n?1nn（5）?(?1)n?1n?1nx； （6）?n?12nx4n?1。

8．利用幂级数求下列常数项级数的和：

?（1）?n?1??2n?1?3?； （2）?2n； ??(2n?1)?4?n?1(?1)nn（3）?n?1(?1)n(n?1)2nn?； （4）?n?11(2n?1)!。

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9．说明函数f在x0处的Taylor公式，Taylor级数以及Taylor展开式有什么区别和联系. 10．求下列各数的近似值，精确到10.

（1）e ； （3）sin10°； （3）?e01x?4dx； （4）?xx0.50arctanxxdx。

11．利用Euler公式将ecosx与esinx展开成x的幂级数. 12．将（1）

?x0sinttndt ， （2）?e0x?t2dt展开为x的幂级数。

?13．设幂级数?anx的收敛区间为(?R,R)(0?R???)，并且在x??R处绝对收敛，证明它在

n?1[?R,R]上一致收敛.

??14．如果正项级数?an收敛，证明：f(x)?n?1??an?1nx在(?1,1)上连续.

n15．设f(x)??1?nx?(?1,1)， ，且axf?n???0 (n?1,2,?),证明：f(x)?0

?n?n?1习题4.4

1．什么叫正交函数系？证明函数系

{sin?t,sin2?t,?,sinn?t,?}, t?[0,T2]，??2?T是所给区间上的正交函数系.

2．设S(x)是周期为2?的函数f(x)的Fourier级数的和函数，f(x)在一个周期上的表达式为

??0f(x)??x??e2?x??x?2，求S(x)的表达式

3．求下列函数的Fourier级数，它们在一个周期内分别定义为：

?x????（1）f(x)???2x??????x?00?x?? ； （2）f(x)???1??1x2???x?00?x??；

2x（3）f(x)?e ???x?? ； （4）f(x)?cos 0?x??。

4．将下列函数展开为Fourier级数，它们在一个周期内的定义分别为

（1）f(x)?x x?l ； （2）f(x)?10?x x?[5,15]；

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?x?cos??l（3）f(x)???0????xlx???2 ； （4）f(x)??1l??x?l?2?1???1?x?00?x?1212。

?x?15．将下列函数展开为指定的Fourier级数：

??x（1）f(x)? x?[0,?] 正弦级数；

2??5??（2）f(x)???2x2??0?x??2?2 余弦级数；

?x????sinx??l（3）f(x)???0??0?x?l2l2 正弦级数；

?x?l?（4）f(x)?x?1 x?[0,2] 余弦级数，并求级数?n?11n2的和.

6．将f(x)?x(??x) (0?x??)分别展开成正弦级数及余弦级数，并进一步求证：

?（1）?n?1(?1)n2n?1??2?12 ； （2）?n?1(?1)n?13(2n?1)??332。

7．将f(x)?hTt t?[0,T]周期为T的函数展开为复数形式的Fourier级数，并画出它们的频谱图.

8．设f在[??,?]上可积并且平方可积，证明Bessel不等式：

a022???n?1(an?bn)?221?? ? ??f(x)dx

2成立，其中a0,an与bn（n=1,2,…）是f在[??,?]上的Fourier系数.

9．设f在[??,?]上的Fourier级数一致收敛于f，并且f在[??,?]上平方可积，证明Parseval等式

a022???n?1(an?bn)?221?? ? ??f(x)dx

2成立，其中a0,an与bn?n?1,2,??是f在[??,?]上的Fourier系数.

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