2019届人教A版（理科数学） 解三角形 单元测试

“解三角形”

一、选择题

1．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A．60° C．120°

B．90° D．135°

解析：选C ∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3， ∴a∶b∶c＝1∶1∶3，设a＝m，则b＝m，c＝3m. a2＋b2－c2m2＋m2－3m21∴cos C＝＝＝－， 22ab2m2∴C＝120°.

2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 C．无解

解析：选C 由正弦定理得40×203

2

B．有两解

D．有解但解的个数不确定

bc＝， sin Bsin C

∴sin B＝

bsin Cc＝＝3>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

1

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝.

4则c的值为( )

A．4 C．5

B．2 D．6

1

解析：选A ∵c＝2a，b＝4，cos B＝，

4∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 11

即16＝c2＋c2－c2＝c2，

44解得c＝4.

π

4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝

31，则△ABC的面积等于( )

A.C.3 23 6

B.D.3 43 8

解析：选B 由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，

ππ

故tan B＝2sin A＝2sin＝3，又B∈(0，π)，所以B＝，

33π

又A＝B＝，则△ABC是正三角形，

31133

所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝. 2224

5．(2018·湖南四校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 (a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角C的大小为( )

π5π

A.或 66πC. 6

π2πB.或 332πD. 3

a2＋b2－c2cos C11

解析：选A 由题意知，＝?cos C＝，sin C＝，

2ab2tan C2sin C2π5π

又C∈(0，π)，∴C＝或.

66

6．已知A，B两地间的距离为10 m，B，C两地间的距离为20 m，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )

A．10 m C．105 m

解析：选D 如图所示，

由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC＝107( m)．

7．(2018·贵州质检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝ π

(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )

3

A．3 33C.

2

解析：选C ∵c2＝(a－b)2＋6， ∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

ππ

∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②

33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 11333∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.

2222

93

B. 2D．33 B．103 m D．107 m

8．一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

A．102 n mile C．203 n mile

解析：选A 画出示意图如图所示，

易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得

BCAB

＝，解得BC＝102. sin 30°sin 45°

B．103 n mile D．202 n mile

故B，C两点间的距离是102 n mile. 二、填空题

1

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A

4＝2sin B，则c＝________.

解析：因为3sin A＝2sin B，所以由正弦定理可得3a＝2b，则b＝3， 1

－?＝16，则c＝4. 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×??4?答案：4

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．

解析：∵在△ABC中，角A，B，C成等差数列， π

∴2B＝A＋C，由三角形内角和定理，可得B＝，

3又∵边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac， 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B， ∴ac＝a2＋c2－ac，即a2＋c2－2ac＝0， 故(a－c)2＝0，可得a＝c， 所以△ABC的形状为等边三角形． 答案：等边三角形

11．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围为________．

解析：由AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，以2为半径的圆与AB有两个交点，当A＝90°时，圆与AB相切，只有一解；当A＝45°时，交于B点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°

2

a＝x＝

bsin A

＝22sin A，所以2

答案：(2,22)

12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取2＝1.4，3＝1.7)

解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．

BCAB

又在△ABC中，＝，

sin Asin∠ACB21 000

∴BC＝×sin 15°＝10 500(6－2)．

12∵CD⊥AD，

∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(6－2)×

2

＝10 500(3－1)＝7 350. 2

故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 650 三、解答题

―→―→

13．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，AB·AC＝－6，S△ABC＝3，求A和a.

―→―→解：因为AB·AC＝－6，所以bccos A＝－6， 又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6， 因此tan A＝－1，又0＜A＜π，所以A＝又b＝3，所以c＝22.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得a2＝9＋8－2×3×22×－所以a＝29.

3π

. 4

??2?

＝29， 2?

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos C＝acos C＋ccos A. (1)求角C的大小；

(2)若b＝2，c＝7，求a及△ABC的面积． 解：(1)∵2bcos C＝acos C＋ccos A，

∴由正弦定理可得2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C， 即2sin Bcos C＝sin(A＋C)＝sin B. 1π

又sin B≠0，∴cos C＝，C＝. 23π

(2)∵b＝2，c＝7，C＝，

3

1

∴由余弦定理可得7＝a2＋4－2×a×2×，

2即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或－1(舍去)，

11333

∴△ABC的面积S＝absin C＝×3×2×＝.

2222

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