高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2132.

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】

1.了解平面向量基本定理及其意义．

2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

【热点题型】

题型一 平面向量基本定理的应用

例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋

μAN →，则λ＋μ等于( ) A.15B.25C.35D.45

(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为

________．

答案 (1)D (2)311

解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，

所以AB →＝85AN →－45AM →，

所以λ＋μ＝45.

(2)设BP →＝kBN →，k ∈R.

因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →

＝AB →＋k(AN →－AB →)＝AB →＋k(14AC →－AB →)＝(1－k)AB →＋k 4AC →，

且AP →＝mAB →＋211AC →，

所以1－k ＝m ，k 4＝211，

解得k ＝811，m ＝311.

【提分秘籍】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

【举一反三】

已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )

A.23

B.43

C ．－3

D ．0

题型二平面向量的坐标运算

例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，

(1)求3a ＋b －3c ；

(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；

(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．

解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．

(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，

∴????? －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得?????

m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，

∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．

∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，

∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

∴N(9,2)．∴MN →＝(9，－18)．

【提分秘籍】

向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

【举一反三】

(1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )

A ．(－2，－1)

B ．(－2,1)

C ．(－1,0)

D ．(－1,2)

(2)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.

题型三向量共线的坐标表示

例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.

(2)(·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，若a ∥b ，则tanθ＝________.

【提分秘籍】

(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a ∥b(b≠0)，则a ＝λb.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．

【举一反三】

(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D 的坐标为________．

(2)△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，且p ∥q ，则角C ＝________.

答案 (1)(2,4) (2)60°

解析 (1)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →.

设点D 的坐标为(x ，y)，

则DC →＝(4,2)－(x ，y)＝(4－x,2－y)，

AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，

∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，

∴????? 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得?????

x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． (2)因为p ∥q ，

则(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0，

所以a2＋b2－c2＝ab ，

所以a2＋b2－c22ab

＝12， 结合余弦定理知，

cosC ＝12，又0°<C<180°，

所以C ＝60°.

【高考风向标】

1.【高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( )

（A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4)

【答案】A

【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.

1．（·重庆卷） 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )

A ．－92

B ．0

C ．3 D.152

【答案】C

【解析】∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b)⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.

2．（·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )

A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)

B ．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)

C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)

【答案】B

【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.

3．（·山东卷） 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图像过点????π12，3和点????2π3，－2.

(1)求m ，n 的值；

(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．

【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x ＋ncos 2x.

因为y ＝f(x)的图像过点????π12，3和点???

?2π3，－2， 所以???3＝msin π6＋ncos π6，

－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，

即?????3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，

解得m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ???

?2x ＋π6. 由题意知，g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ????2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．

由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，

即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．

将其代入y ＝g(x)得，sin ???

?2φ＋π6＝1. 因为0<φ<π，所以φ＝π6.

因此，g(x)＝2sin ???

?2x ＋π2＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k ∈Z 得kπ－π2≤x≤kπ，k ∈Z ，

所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为???

?kπ－π2，kπ，k ∈Z. 4．（·陕西卷） 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．

【答案】12

【解析】因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.

5．（·陕西卷） 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．

(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；

(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．

(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，

∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，

∴?

????x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，

两式相减得，m －n ＝y －x ，

令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.

6．（·安徽卷） 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝

2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )

A ．2 2

B ．2 3

C ．4 2

D ．4 3

【答案】D

【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x2＋y2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标

系中，设A(2，0)，B(1，3)，设P(x ，y)，则(x ，y)＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3

y ，由于|λ|＋|μ|≤1， 所以12x －12 3y ＋13y≤1， 即|3x －y|＋|2y|≤2 3.

①???3x －y≥0，y≥0，3x ＋y≤2 3或②???3x －y≥0，

y<0，3x －3y≤2 3

或 ③???3x －y<0，

y≥0，

－3x ＋3y≤2 3或④???3x －y<0，y<0，－3x －y≤2 3.

上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.

7．（·湖南卷） 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是

( )

A ．[2－1，2＋1]

B ．[2－1，2＋2]

C ．[1，2＋1]

D ．1，2＋2

【答案】A

【解析】由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c|＝x2＋y2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，|c|min ＝12＋12－1＝2－1，故选A.

8．（·北京卷） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝

________．

图1－3 【答案】4 【解析】以向量a 和b 的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，

则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，则?????－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得?????λ＝－2，

μ＝－12

，所以λμ＝4. 9．（·辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )

A.????35，－45

B.????45，－35

C.????－35，45

D.???

?－45，35 【答案】A

【解析】∵AB →＝(3，－4)，∴与AB →方向相同的单位向量为AB →|AB →|

＝????35，－45，故选A. 10．（·天津卷） 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则

AB 的长为________．

【答案】12

11．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．

【答案】2

【解析】如图，建立直角坐标系，

则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，AE →·BD →＝2.

12．（·重庆卷） 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F1

作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ ⊥P′Q ，求圆Q 的标准方程．

图1－9

【解析】(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a2＋22b2＝1，从而e2＋4b2＝1.

由e ＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2

＝16. 故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.

13．（·重庆卷） 在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范

围是( )

A.?

????0，

52 B.? ????52，72 C.? ????52，2 D.? ????72，2

【答案】D

【高考押题】

1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )

A.?

???35，－45B.????45，－35 C.????－35，45D.???

?－45，35 答案 A

解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，

∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|

＝????35，－45. 2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于

( )

A ．(－2,7)

B ．(－6,21)

C ．(2，－7)

D ．(6，－21)

答案 B

解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)

＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)

＝(－6,21)．

3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ等于( ) A.14B.12C ．1D ．2

答案 B

解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb)∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B. 4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于

( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

答案 B

5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )

A ．x ＝23，y ＝13

B ．x ＝13，y ＝23

C ．x ＝14，y ＝34

D ．x ＝34，y ＝14

答案 A

解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x

＝23，y ＝13.

6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．

答案 12

解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，

依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，

即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.

7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实

数k 应满足的条件是________．

答案 k≠1

8．已知A(－3,0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数

λ的值为________．

答案 1

解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)，

则OC →＝(－3λ，3)，

由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，

∴tan150°＝3－3λ

，即－33＝－33λ，∴λ＝1. 9．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a ，b)．

(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；

(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．

解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)．

∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →，

∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.

(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，

∴????? a －1＝4b －1＝－4，解得?????

a ＝5

b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3)．

10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：

(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？

(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．

高考模拟复习试卷试题模拟卷

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【考情解读】

1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；

2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；

3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用． 【重点知识梳理】

1．根式的性质 (1)(n a)n ＝a. (2)当n 为奇数时n an ＝a.

当n 为偶数时n an ＝{ a a≥0

－a a<0.

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂：an ＝a·a·…·a n 个 (n ∈N*)．

②零指数幂：a0＝1(a≠0)．

③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a≠0，p ∈N*)．

④正分数指数幂：a m n ＝n am(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)．

⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n am

(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)．

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aras ＝ar ＋s(a>0，r 、s ∈Q)；

②(ar)s ＝ars(a>0，r 、s ∈Q)；

③(ab)r ＝arbr(a>0，b>0，r ∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y ＝ax a>1 0<a<1 图象

定义域 (1)R

值域 (2)(0，＋∞)

性质 (3)过定点(0,1)

(4)当x>0时，y>1；

x<0时，0<y<1

(5)当x>0时，0<y<1； x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数

【高频考点突破】

考点一 指数幂的运算

例1、 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；

(2)已知x 12＋x －12＝3，求x2＋x －2－2x 32＋x －32－3

的值．

【探究提高】

根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．

【变式探究】计算下列各式的值：

(1)????－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；

(2)

1

5＋2

－(3－1)0－9－45；

(3)

a3b2

3

ab2

a

1

4b

1

24a－

1

3b

1

3

(a>0，b>0)．

考点二指数函数的图象、性质的应用

例2、 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ()

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0

D．0<a<1，b<0

【答案】 (1)D

(2)求函数f(x)＝3x2－5x＋4的定义域、值域及其单调区间．

【探究提高】 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．

【变式探究】 (1)函数y ＝ex ＋e －x ex －e －x 的图象大致为 ()

【答案】A

(2)若函数f(x)＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f(x)是偶函数，则m ＋μ＝________.

【答案】1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a91m.html