微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知a?(1,1,?1),b?(1,0,?1)，则这两个向量的夹角的余弦cos?=

63

2．已知a?(0,1,?1),b?(1,0,?1)，求这两个向量的向量积a?b?(-1,-1,-1)． 3．过点P(1,1,1)且与向量a?(1,0,?1)垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面?z?1的交线的对称式方程为x?1?y?z?11:x?y?z?0与?2:x?y?23?1?2

5．计算lim[(3t2?1)i?t3t?2j?k]?13i?8j?k．

6．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求limt?0(f(t)?g(t))? 0 ．

7．已知r(u,v)?(u?v,u?v,uv)，其中u?t2，v?sint，则drdt?(2t?cost,2t?cost,2vt?ucost)

8．已知??t，??t2，则

dr(?,?)dt?(?asin?cos??2atcos?sin?,?asin?sin??2atcos?cos?,acos?)

469．已知?r(t)dt?(?1,2,3)，?r(t)dt?(?2,1,2)，求

2446?a?r(t)dt?b??a?r(t)dt?(3,?9,5)，其中a?(2,1,1)，b?(1,?1,0)

2210．已知r?(t)?a（a为常向量），求r(t)?ta?c

11．已知r?(t)?ta，（a为常向量），求r(t)? 1t22a?c

412．已知f(t)?(2?t)j?(logt)k，g(t)?(sint)i?(cost)j，t?0，则?d?g)dt?2?6cos4．

0dt(f第二章

13．曲线r(t)?(2t,t3,et)在任意点的切向量为(2,3t2,et)

14．曲线r(t)?(acosht,asinht,at)在t?0点的切向量为(0,a,a) 15．曲线r(t)?(acost,asint,bt)在t?0点的切向量为(0,a,b)

1

16．设有曲线C:x?et,y?e?t,z?t2，当t?1时的切线方程为

x?eey???1z?1e ?12e17．设有曲线x?etcost,y?etsint,z?et，当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1 第三章

18．设r?r(u,v)为曲面的参数表示，如果ru?rv?0，则称参数曲面是正则的；如果r:G?r(G)是 一一的 ，则称参数曲面是简单的．

19．如果u?曲线族和v?曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．(坐标网;易;3分钟) 20．平面r(u,v)?(u,v,0)的第一基本形式为du2?dv2，面积元为dudv

21．悬链面r(u,v)?(coshucosv,coshusinv,u)的第一类基本量是E?cosh2u,F?0,G?cosh2u 22．曲面z?axy上坐标曲线x?x0，y?y0的交角的余弦值是ax0y0(1?ax0)(1?ay0)22222 23．正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式是du2?(u2?b2)dv2． 24

2．

2双

2曲

2抛

2物

2面r(u,v)?(a(u?v),b(u?v),2uv)2222的第一基本形式是

(a?b?4v)du?2(a?b?4uv)dudv?(a?b?4u)dv

25．正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的平均曲率为 0 ．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)?du:dv是渐近方向的充要条件是?n(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0 27．两个方向(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共轭的充要条件是II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0

28．函数?是主曲率的充要条件是

?E?L?F?M?F?M?G?N?0

29．方向(d)?du:dv是主方向的充要条件是

Edu?FdvFdu?GdvLdu?MdvMdu?Ndv?0

30．根据罗德里格定理，如果方向(d)?(du:dv)是主方向，则dn???ndr，其中?n是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面 或悬链面 第四章

32．高斯方程是rij???kkijkr?Lijn，i,j?1,2，魏因加尔吞方程为ni???Likgri，i,j?1,2

j,kkjij33．g用gij表示为(g)?ij?g22?det(gij)??g121?g12??． g11?2

34．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线(C)在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面?上的正投影曲线(C?)的曲率

35．?,?222g,?n之间的关系是???g??n．

36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 2kij37．测地线的方程为

dukdududs2???iji,jdsds?0,k?1,2

k38．高斯-波涅公式为??Kd?????gds??(???i)?2?

G?Gi?1k39．如果?G是由测地线组成，则高斯-波涅公式为??Kd???(???i)?2?．

Gi?1二、单选题

第一章

40．已知a?(?1,0,?1)，b?(1,2,?1)，则这两个向量的内积a?b为（ C ）．（内积；易；2分钟） A 2 B ?1 C 0 D 1

41．求过点P(1,1,1)且与向量a?(?1,0,?1)平行的直线?的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟）A ?x?z? B x?1?y?z?1

?y?123C x?1?y?z?1 D x?y??

?z?142．已知a?(1,1,?1),b?(1,0,?1),c?(1,1,1)，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟） A 2 B ?1 C 1 D ?2

43.已知r(t)?(et,t,e?t)，则r??(0)为（ A ）．（导数；易；2分钟） Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)

44．已知r?(t)??r(t)，?为常数，则r(t)为（ C ）．（导数；易；2分钟）

Ａ ?ta Ｂ ?a Ｃ e?ta Ｄ e?a

上述a为常向量．

45.已知r(x,y)?(x,y,xy)，求dr(1,2)为（ D ）．（微分；较易；2分钟） Ａ (dx,dy,dx?2dy) Ｂ (dx?dy,dx?dy,0) 第二章

3

46．圆柱螺线r?(cost,sint,t)的切线与z轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟) Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角

?4 Ｄ 有固定夹角

?3

47．设有平面曲线C:r?r(s)，s为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C ）．

Ａ α为单位向量 Ｂ α?α? Ｃ α????β Ｄ β????α 48．直线的曲率为（ B ）．（曲率；易；2分钟）

Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２

49．关于平面曲线的曲率C:r?r(s)不正确的是（ D ）．（伏雷内公式；较易；2分钟） Ａ ?(s)?α?(s) Ｂ ?(s)???(s)，?为α(s)的旋转角 Ｃ ?(s)??α?β? Ｄ ?(s)?|r?(s)| 50．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ D ） ．（曲率；易；2分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 51．下列论述不正确的是（ D ）．（基本向量；易；2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ α?β Ｃ β?γ Ｄ α//β

52．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（ D） ．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件

53．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件

54．x?a(t?sint),y?a(1?cost),z?4asint2在点t??2的切线与z轴关系为（ D ）．

Ａ 垂直 Ｂ 平行

Ｃ 成?3的角 Ｄ 成?4的角

第三章 55．椭球面

x2y22a2?b2?zc2?1的参数表示为（C ）．（参数表示；易；2分钟）

A (x,y,z)?(coscos?,cos?sin?,sin?)? B (x,y,z)?(acos?cos,?cosbsin?,sin?)?

C (x,y,z)?(acos?cos?,bcos?sin?,csin?) D (x,y,z)?(acos?cos,?bsincos?,?sinc2)?256．以下为单叶双曲面

x2a2?yz2b2?c2?1的参数表示的是（D ）．（参数表示；易；2分钟）

4

A (x,y,z)?(acoshsinu,vcoshbcosu,sinhv)u B (x,y,z)?(coshucos,coshvsinu,sinhv)u

C (x,y,z)?(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu) D (x,y,z)?(acoshucos,vbcoshsinu,vsinhc)uxa2257．以下为双叶双曲面?yb22?zc22．（参数表示；易；2分钟） ??1的参数表示的是（A ）

B (x,y,z)?(acoshucos,vbsinhsinu,vcoshc)u

A (x,y,z)?(asinhucos,vsinhbsinu,coshvc)uC(x,y,z)?(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) D (x,y,z)?(coshucos,coshvsinu,sinhv)uxa2258．以下为椭圆抛物面?yb22．（参数表示；易；2分钟） ?2z的参数表示的是（B ）

A (x,y,z)?(ucos,vusin,v)u22 B (x,y,z)?(aucosv,businv,u)22

C (x,y,z)?(aucoshv,businhv,u22) D (x,y,z)?(acosv,bsinv,v)

59．以下为双曲抛物面

xa22?yb22．（参数表示；易；2分钟） ?2z的参数表示的是（C ）

B (x,y,z)?(coshu,sinh,u)u

A (x,y,z)?(acosh,usinhb,u)uC (x,y,z)?(a(u?v),b(u?v),2uv) D (x,y,z)?(au,bv,u?v)

60．曲面r(u,v)?(2u?v,u2?v2,u3?v3)在点M(3,5,7)的切平面方程为（B ）．（切平面方程；易；2分钟）

A 21x?3y?5z?20?0 B 18x?3y?4z?41?0

C 7x?5y?6z?18?0 D 18x?5y?3z?16?0

61．球面r(u,v)?(Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu)的第一基本形式为（D ）．（第一基本形式；中；2分钟）

A R(du?sin22222udv)222 B R(du?cosh22222udv)22

C R(du?sinhudv) D R(du?cosudv)

62．正圆柱面r(u,v)?(Rcosv,Rsinv,u)的第一基本形式为（ C）．（第一基本形式；中；2分钟）

A du?dv B du?dv C du?Rdv D du?Rdv

22263．在第一基本形式为I(du,dv)?du?sinhudv的曲面上，方程为u?v(v1?v?v2)的曲线段的弧长为（B ）．（弧

22222222222长；中；2分钟）

A coshv2?coshv1 B sinhv2?sinhv1

5

100．圆柱螺线为r(t)?(acost,asint,bt)。（基本向量、曲率、挠率；中；15分钟）

①求基本向量α，β，γ；

②求曲率?和挠率?； 【解】①由题意有

r?(t)?(?asint,acost,b)，γ??(t)?(?acost,?asint,0)，

又由公式α?r?r??r?)r???(r??r??)r?r?,β?(r??r??r??,γ?r??r??r??r??有

α?1a2?b2(?asint,acost,b),β?(?cost,?sint,0),

γ?1(bsint,?bcost,a).a2?b2②由一般参数的曲率公式?(t)?r??r??及挠率公式 ?,r??r,???有)??r?3?(t)?(rabr??r??2a2?b2，??a2?b2。

第三章

101．求正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的切平面和法线方程．（切平面、法线；中；5分钟） 【解】ru?(cosv,sinv,0)，rv?(?usinv,ucosv,b)，切平面方程为

x?ucosvy?usinvz?bvcosvsinv0?0?bsinv?x?bcosu?y?uz?buv?0,

?usinvucosvb法线方程为x?ucosvy?usinvbsinv??bcosv?z?bvu．

102．求球面r(?,?)?(acos?cos?,acos?sin?,asin?)上任一点处的切平面与法线方程． 【解】

r??(?asin?cos?,?asin?sin?,acos?)，

r??(?aco?ss?ina,?cos?co，s

e1e2e3r??r???asin?cos??asin?sin?acos?

?acos?sin?acos?cos?0?a2cos?(?cos?cos?,?cos?sin?,?sin?)? 球面上任意点的切平面方程为

(x?acos?cos?,y?acos?sin?,z?asin?)?a2cos?(?cos?cos?,?cos?sin?,?sin?)?0,

11

即cos?cos??x?cos?sin??y?sin??z?a?0， 法线方程为

(x?acos?cos?,y?acos?sin?,z?asin?)???acos?(?cos?cos?,?cos?sin?,?sin?),2

即

x?acos?cos?cos?cos??y?acos?sin?cos?sin??z?asin?sin?．

103．求旋转抛物面z?a(x2?y2)的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟） 【解】参数表示为r(x,y)?(x,y,a(x2?y2))，

rx?(1,0,2ax)，ry?(0,1,2ay)，

E?rx?rx?1?4ax，F?rx?ry?4axy，

222G?ry?ry?1?4ay，

?I(dx,dy)?(1?4ax)dx?8axydxdy?(1?4ay)dy．

222222222104．求正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟） 【解】ru?(cosv,sinv,0)，rv?(?usinv,ucosv,b)，

E?ru?ru?1，F?ru?rv?0，G?rv?rv?u?b， ?I(du,dv)?du?(u?b)dv．

222222105．计算正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的第一、第二基本量．（第一基本形式、第二基本形式；中；15分钟） 【解】ru?(cosv,sinv,0)，rv?(?usinv,ucosv,b)，

ruu?(0,0,0)，ruv?(?sinv,cosv,0)，rvv?(?ucosv,?usinv,0)，

iru?rv?cosv?usinvjsinvucosvk0?(bsinv,?bcosv,u)， bn?ru?rv|ru?rv|?(bsinv,?bcosv,u)b?u22，

E?ru?ru?1，F?ru?rv?0，G?rv?rv?u?b，

bb?u2222L?ruu?n?0，M?ruv?n??，N?rvv?n?0．

12

106．计算抛物面z?x2?y2的高斯曲率和平均曲率．（高斯曲率、平均曲率；中；15分钟） 【解】设抛物面的参数表示为r(x,y)?(x,y,x2?y2)，则

rx?(1,0,2x)，ry?(0,1,2y)，

02)， rxx?(0,0,2)，rxy?ryx?(0,0,0)，ryy?(0，，irx?ry?10j01k2x?(?2x,?2y,1)， 2yn?rx?ry|rx?ry|?(?2x,?2y,1)4x?4y?12，

22E?rx?rx?1?4x， F?rx?ry?4xy， G?ry?ry?1?4y，

2L?rxx?n?24x?4y?124x?4y?12222， M?rxy?n?0，

N?ryy?n?，

4K?LN?MEG?F22?4x?4y?12222?02(1?4x)(1?4y)?(4xy)?4(4x?4y?1)222，

1GL?2FM?ENH???22EG?F4x?4y?2322．

(4x?4y?1)222107．计算正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的高斯曲率（高斯曲率；中；15分钟） 【解】直接计算知

E?1，F?0，G?u?a，L?0，M?22au?a22，N?0，

?K?LN?MEG?F22??a2222(u?a)．

第四章

108．求位于正螺面x?ucosv,y?usinv,z?av上的圆柱螺线x?u0cosv,y?u0sinv,z?av（u0=常数）的测地曲率．（测地曲率、刘维尔定理；中；15分）

2222【解】因为正螺面的第一基本形式为Ι?du?(u?a)dv，螺旋线是正螺面的v-曲线u?u0，由???2得

d?ds?0．由

正交网的坐标曲线的测地曲率得

13

?g?Gu2GE?u0u0?a22．

六、证明题

第二章

109．证明曲线r?(etcost,etsint,0)的切向量与曲线的位置向量成定角．（切向量、夹角；较易；5分钟）

【证】对曲线上任意一点，曲线的位置向量为r?(etcost,etsint,0)，该点切线的切向量为：

r??(e(cost?sint),e(sint?cost),0)，则有：

ttcos??r?r?rr??e2ttt2e?e?22，

故夹角为

?4。由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．

110．证明：若r?和r??对一切t线性相关，则曲线是直线．（曲率；中；10分钟） 【证明】若r?和r??对一切线性相关，则存在恒不同时为0的f(t),g(t)使

f(t)r?(t)?g(t)r??(t)?0。

则 r?(t)。?r??t(?)0? t

r??r??r?3又?(t)?，故 k(t)?0?t。于是该曲线是直线．

111．证明圆柱螺线x?acost,y?asint,z?bt的主法线和z轴垂直相交．（主法线、夹角；中；10分钟） 【证明】由题意有

r?(t)?(?asint,acost,b),r??(t)?(?acost,?asint,0)。

由β?(r?,r?)r???(r?,r??)r?r??r??r??知β?(?cost,?sint,0)。另一方面z轴的方向向量为a?(0,0,1)，而a?β?0，故a?β，

即主法线与z轴垂直．

112．证明曲线x?asint,y?asintcost,z?acost的所有法平面皆通过坐标原点．（法平面；较易；5分钟） 【证明】由题意可得r?(t)?(asin2t,acos2t,?asint)，则任意点的法平面为

asin2t0(x?asin22t0)?acos2t0(y?asint0cost0)?asint0(z?acost0)?0将点（0,0,0）代入上述方程有

左边

?asin2t0(0?asin2t0)?acos2t0(0?asint0cost0)?asint0(0?acost0)?0?右边，故结论成立．

113．证明曲线x?1?t1?t,y?11?t2,z?11?t为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程。（挠率；中；10分钟）

14

【证明】设A1?t1?t?B11?t2?C11?t?D?0，整理比较两边同次项可得

A?D?0,2A?C?0,A?B?C?D?0，

则有A?D,B??4D,C?2D，即曲线为直线，且有x?4y?2z?1?0．

第三章

114．求证正螺面上的坐标曲线（即u?曲线族v?曲线族）互相垂直．（坐标曲线、夹角；5分钟） 【证明】设正螺面的参数表示是r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)，则

ru?(cosv,sinv,0)，rv?(?usinv,ucosv,b)， ?ru?rv?(cosv,sinv,0)?(?usinv,ucosv,b)?0，

故正螺面上的坐标曲线互相垂直．

115．证明马鞍面z?xy上所有点都是双曲点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟） 【证明】参数表示为r(x,y)?(x,y,xy)，则

rx?(1,0,y)，ry?(0,1,x)，rxx?(0,0,0)，rxy?(0,0,1)，ryy?(0,0,0)，

rx?ry?(?y,?x,1)，n?rx?ry|rx?ry|?(?y,?x,1)x?y?122，

L?rxx?n?0，M?rxy?n?1x?y?1122，N?ryy?n?0，

?LN?M2?0?0?1x?y?122??x?y?122?0，

故马鞍面z?xy上所有点都是双曲点．

116．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即

II(du,dv)I(du,dv)与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上

所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．（脐点；难；15分钟） 【证明】设球面的参数表示为

r(u,v)?(Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv)，则 ru?(?Rcosvsinu,Rcosvcosu,0)， rv?(?Rsinvcosu,?Rsinvsinu,Rcosv)， ruu?(?Rcosvcosu,?Rcosvsinu,0)， ruv?rvu?(Rsinvsinu,?Rsinvcosu,0)， rvv?(?Rcosvcosu,?Rcosvsinu,?Rsinv)，

15

E?ru?ru?Rcosv，F?ru?rv?0，G?rv?rv?R，

222L?(ru,rv,ruu)EG?F22??Rcosv，M?(ru,rv,ruv)EG?F2?0，

N?(ru,rv,rvv)EG?F2??R，

?(L,M,N)??1R(E,F,G)，故球面是全脐的．

117．证明平面是全脐的．（脐点；易；5分钟） 【证明】设平面的参数表示为r(x,y)?(x,y,0)，则

rx?(1,0,0)，ry?(0,1,0)，

rxx?(0,0,0)，rxy?(0,0,0)，ryy?(0,0,0)，

E?rx?rx?1，F?rx?ry?0，G?ry?ry?1， L?rxx?n?0，M?rxy?n?0，N?ryy?n?0

?(L,M,N)?0(E,F,G)，故平面是全脐的．

118．设有曲面z?f(x,y)，试证曲面的第二基本形式与函数f(x,y)的二阶微分成比例．（第二基本形式；较难；10分钟）

【证明】设曲面z?f(x,y)的参数表示为r(x,y)?(x,y,f(x,y))，则

??)，ryy?(0,0,fyy??)， ??)，rxy?(0,0,fxyrx?(1,0,fx?)，ry?(0,1,fy?)，rxx?(0,0,fxxirx?ry?10L?rxx?n?j01kfx??(?fx?,?fy?,1)，n?fy???fxxfx??fy??1??fyyfx??fy??122rx?ry|rx?ry|?(?fx?,?fy?,1)fx??fy??122，

22，M?rxy?n???fxyfx??fy??122，

N?ryy?n?，

?II(dr,dr)?122fx??fy??1??dx2?2fxy??dxdy?fyy??dy2)． (fxx119．证明曲面x?y?z的所有点为抛物点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟） 【证明】记曲面的参数表示为r(x,y)?(x,y,(x?y)1/33)，则

16

rx?(1,0,1(x?y)?2/33)， r1?2/3y?(0,1,3(x?y))，

r?5/3xx?(0,0,?23(x?y))，

r2?5/3xy?(0,0,?9(x?y))， r2yy?(0,0?,9x?(y?5/)3， )r?2/3?2/3x?r1y?(?3(x?y),?13(x?y),1)， n?rx?ry|rx?ry|，

L?rn?(0,0,?2?5/3xx?9(x?y))?n，

M?r2xy?n?(0,0,?9(x?y)?5/3)?n，

N?r?(0,0,?2?5/3yy?n9(x?y))?n ?LN?M2?0，

?曲面x?y?z3的所有点为抛物点．

120．求证正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,av)是极小曲面．（平均曲率；中；15分钟） 【证明】ru?(cosv,sinv,0)，rv?(?usinv,ucosv,a)，

ruu?(0,0,0)，ruv?(?sinv,cosv,0)，rvv?(?ucosv,?usinv,0)，

ijkru?rv?cosvsinv0?(asinv,?acosv,u)， ?usinvucosvan?ru?rvsinv,?acosv,u)|r?(a，

u?rv|a2?u2E?r22u?ru?1，F?ru?rv?0，G?rv?rv?a?u， L?rauu?n?0，M?ruv?n??ra2?u2，N?vv?n?0，

1?0?2?0?(?a?(a2?u2)?0?H?1EN?2FM?GL1a2?u2)2?EG?F2?2?1?(a2?u2)?02?0,故正螺面是极小曲面．

121．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．（点的分类、平均曲率；中；5分钟）

【证明】?H??1??22?0， ???21???2， ?K??1??2??20? 当K?0时，?1??2?0， ?极小曲面的点都是平点； 当K?0时，极小曲面的点都是双曲点． 第四章

17

122．证明若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零．（高斯曲率；难；10分钟）

【证明】在每族测地线中任取两条，围成曲面上的曲边四边形．根据已知条件，曲边四边形的外角和为2?,由高斯-波涅公式有

??Kd?GG?2??2?，

?0．

??Kd?若在曲面上的某点P0处，K?0，不妨设K(P0)?0，则在P0点的邻近K?0，从而对于围绕P0点的充分小的曲边四边形有

??Kd??0，

G得出矛盾，所以K?0，即曲面为可展曲面． 123．求证半径为R的球面上测地三角之和为??1R2A(?),其中A(?)为测地三角形的面积．（高斯-波涅定理；难；【证明】由高斯-波涅公式有

??Kd??S(?)??．

G对于半径为R的球面有K?1R2，所以

S(?)???1R2A(?)，

其中A(?)为测地三角形的面积．

124．若曲面S的高斯曲率处处小于零，则曲面S上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线． 【证明】设若存在所述闭测地线(C)，它所围成的曲面部分为G，则由高斯-波涅公式

k??Kd?????gds??(???i)?2?．

G?Gi?1因为K?0，则??Kd??0，又后两项均为0，得出矛盾．所以不存在所述测地线．

G

18

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a8xp.html