数形结合思想在解题中的应用

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数形结合思想在解题中的应用

陈勇

河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2009级2班

摘要：数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何直观,使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数与形是中学数学研究的两类基本对象,既相互独立,又互相渗透。尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密,而且在数学应用中若就数而论缺乏直观性,若就形论缺乏严密性,当二者结合往往可优势互补,收到事半功倍的效果。本文试从函数图像和几何图形两个方面,举例说明“以形助数”在解决数学问题中的一些妙用。

关键词：数学思想；数形结合；以形助数；以数辅形

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§1 引言

1.1数形结合思想的背景

早在数学萌芽时期,人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了。我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数式描述某些几何特征,把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶,法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁,在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系,用代数方法研究几何问题,从而创立了解析几何学。后来,几何学中许多长期不能解决的问题,例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题,最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中,几何问题的代数化也是一条重要的方法原则,有着广泛的应用。初等数学历来被划分为代数和几何两大分支,前者偏重于数的分析,而后者则偏重于形的研究。但是今天人们越来越认识到：仅有代数的思想而无图形的直观,或者虽然有直观的图形而缺少数据的分析,许多数学问题都难以高质有效的解决。形是数的翅膀,数是形的灵魂。 1.2数形结合思想的作用和意义

在现实世界中,形与数是不可分离的结合在一起的,这是直观与抽象的集合,感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识理解,发展智力,培养能力的需要。数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一。通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,缩短思维链,简化

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指导教师：赵勇 学生：陈勇

共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第2页 思维过程。数形结合中的数应广义的理解为解析式,函数,复数等；其中形可以是点集空间图形,进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力,使应用范围不断拓宽和深化。由此可见,数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是多么的重要。数形结合思想偏重于将某些抽象的数学问题直观化,生动化,能够变抽象思维为形象思维,这样就有助于把握数学问题的本质；使用数形结合的方法很多问题便迎刃而解且解法简洁,运用数形结合思想不仅容易直观的发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,很大程度上简化解题过程,这在解选择题填空题时更显其优越。

“数”与“形”是数学的基本研究对象,他们之间存在着对立辩证统一的关系。数形结合是一种重要的数学思想,是人们认识、理解、掌握数学的意识,它是我们解题的重要手段,是根据代数与图形之间的关系,认识研究对象的数学特征,寻求解决问题的方法的一种数学思想。它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的,它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法,解决数学问题能起到促进和深化的作用。

美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻并达到融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题,形成一种内在能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。而数形结合思想又显得格外重要和实用。

数形结合思想在实际应用中显得十分重要和广泛,数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何,可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。”数形结合的关键是代数问题与几何图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等。

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§2 数形结合思想概论

2.1数形结合思想的理解

所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性,另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。“数缺形,少直观；形缺数,难入微”,这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说,就是在解决数学问题时,根据问题的背景、数量关系、图形特征,或使“数”的问题,借助“形”去观察；或将“形”的问题,借助“数”去思考,这种解决问题的思想称为数形结合思想。

事实上,数形结合思想,就是用联系的观点,根据数的结构特征,构造出与之相适应的图形,利用

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共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第3页 图形的性质和规律,解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转化成“数”的信息,弱化或消除“形”的推理,从而将“形”的问题转化成数量关系来解决。利用数形结合,能够有效地讲解有关基本概念、定理,解题中运用它能够使复杂的问题形象化、明了化,能够提高学生分析、解决问题的能力等。

2.2数形结合思想的原则

为了正确地在解题中运用数形结合思想,一般要遵循以下四个原则： 2.2.1形”的“精确性原则

几何图形的优点是具有直观性,但构图不精确往往会造成视觉性的误解。 2.2.2等价性原则

等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是对应的,即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。利用数形结合解决数学问题时要注意转化的等价性,我们常常由“形”观察出“数”,由“数”构造出“形”,这中间的观察与构造并未经过严格的逻辑推理,加之审题不周到,容易造成数形转化的不等价而产生误解。

2.2.3双向性原则

双向性原则是指既进行几何直观的分析,又进行代数抽象的探索,代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性,能克服几何直观方法的局限性。

2.2.4简单性原则

简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理,即使几何形象优美又使代数计算简洁,明了,避免繁琐的运算。 2.3数形结合思想的途径

数形结合是一柄双刃的解题利剑,下面简单介绍一下数形结合的途径： 2.3.1由数到形的转换途径

（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象和性质解决相关的问题。

（2）利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。

（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析,构造出符合代数式的几何图形,如将a与正方形的面积互化,将abc与体积互化,将a?c与勾股定理沟通等等。

（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系,重要的公式（如两点间的距离

(x1?x2)?(y1?y2)22222,点到直线的距离d?Ax0?By20?C2,直线的斜率,直线的截距）、定义等

A?B来寻求代数式的图形背景及有关性质。

2.3.2由形到数的转换途径

（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系,极坐标系）,引进坐标将几何图形变换为坐标间

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共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第4页 的代数关系。

（2）三角法：将几何问题与三角形沟通,运用三角代数知识获得探求结合的途径。

（3）向量法：将几何图形向量化,运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。 2.4数形结合思想的研究思路

数形结合思想的基本思路是：根据“数”的结构特征,构造出与之相适应的几何图形,并利用图形的特性和规律,解决“数”的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息,进而削弱或清除“形”的推理部分,使要解决的“形”的问题转换为数量关系的讨论。通过以上转换使问题得以解决或简单化。

§3 数形结合思想在数学解题中的应用

数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

数与形是一对矛盾,它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面。本文试从函数图像和几何图形两个方面,举例说明“以形助数”在解决数学问题中的一些妙用。 3.1利用数形结合思想解决集合的问题

3.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

一般用圆来表示集合,两圆相交则表示两集合有公共元素,两圆相离则表示两个集合没有公共元素．若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题。

例1：有48名学生,每人至少参加一个活动小组,参加数、理、化小组的人数分别为28,25,15,同时参加数、理小组的8人,同时参加数、化小组的6人,同时参加理、化小组的7人,问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？

分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1）,则三圆 的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数用n表示集合的元素,则有： n(A)?n(B)?n(C)?n(A?B)?n(A?C)?n(B?C)?n(A?B?C)?48,

即 28?25?15?8?6?7?n(A?B?C)?48,故n(A?B?C)?1,即同时参加数理化小组的

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共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第5页 有1人。

图1

3.1.2利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题

当几个集合的解集是不等式形式,要求它们的交集或并集时,经常借助于数轴,把不等式的解集在数轴表示出来,通过数轴观察它们的交集或并集,这样比较直观。

例2：已知集合A??x|?1?x?3?,B??x|a?x?3a?(a?R)，求：⑴若A?B,求a的范围; ⑵若B?A,求a的范围。

分析：先在数轴上表示出集合A的范围,要使A?B,由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A,从而有 ??a??1?3a?3,这时a的值不可能存在（如图2-①）。

?a??1?要使B?A,当a?0时集合A应该覆盖集合B,应成立?3a?3 ,即 0?a?1。

?a?0?当a?0时,B??,显然B?A成立.故B?A时的取值范围为：a?1（如图2-②）。

图2

3.2利用数形结合思想解决方程和不等式问题

3.2.1利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题

利用二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图像与x轴交点的横坐标是方程f(x)?0的实根,根据二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)与x轴的交点情况就可以确定方程f(x)?0的实根的情况,即通过f(x)?0?y?f(x)的相互转化,利用函数y?f(x)的图像可以直观解决问题。

例3：a为何值时,方程2ax?2ax?1?a?0的两根在??1,1?之内？

22222 分析：显然a?0,我们可从已知方程联想到相应的二次函数y?2ax?2ax?1?a的草图（如图3）,从图像上我们可以看出,要使抛物线与x轴的两个交点在??1,1?之间,必须满足

2222指导教师：赵勇 学生：陈勇

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?(a?1)?0?f(?1)?0??1?12 ,即f(?)?0???a?0,从而可解得a的取值范围为a?2a??22(a?1)?0??f(1)?0?222或a??22且a??1。

图3

3.2.2利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题

对于一些不规则的方程,通过构造两个函数,然后,把方程的根转化为两个函数的交点问题。

例4：设方程x?1?k?1,试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况。

分析：我们可把这个问题转化为确定函数y1?x?1与y2?k?1的图像（图4）交点个数的情况,因函数y2?k?1表示平行于x轴的所有直线,从图像可以直观看出 ： ①当k??1时,y1与y2没有交点,这时原方程无解；

②当k??1时,y1与y2有两个交点,原方程有两个不同的解；

③当?1?k?0时,y1与y2有四个不同交点,原方程不同解的个数有四个； ④当k?0时,y1与y2有三个交点,原方程不同解的个数有三个； ⑤当k?0时y1与y2有两个交点,原方程不同解的个数有三个。

22

图4

3.2.3利用函数的图像求不等式的解集

求不等式的解集时,只要联想对应的函数的图像,确定它们的交点情况,便可直观地看出所求不等式地解集。

例5：不等式x?1x的解集是？

1x分析：令f(x)?x,g(x)?,在同一坐标系中画出这两函数图像.如图5所示,由图像可知：

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共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第7页 不等式x?1x的解集为(-1,0)∪(1,+∞)。

图5

这类求解像f(x)?g(x)这样的不等式,跟上面所提的方程f(x)?g(x)的类似,方程问题是看两个函数图像有几个交点这类的信息,而这里不等式问题的是看不同的区间内,两个函数图像谁上谁下,从而知道谁大谁小了,也就是不等式的解区间了,区间的端点就是方程问题所要讨论的。 3.3利用数形结合思想比较函数值的大小

一些数值大小的比较,我们可转化为对应函数的函数值,利用它们图像的直观性进行比较。

例6：试判断0.3,log20.3,220.3三个数间的大小顺序。

22分析：这三个数我们可以看成三个函数: y1?x,y2?logx,y3?2在x?0.3时,所对应的函

x数值。在同一坐标系内做出这三个函数的图像(如图6),从图像可以直观地看出当x?0.3时,所对应的三个点P1,P2,P3的位置,从而可得出结论：20.3?0.3?log220.3。

图6

3.4利用数形结合思想解决三角形问题

在一些含有一般三角形的题目中,若要求其面积,都经常利用正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换来解决；但若能利用三角函数的图像及数形结合思想,则可以简化计算过程。

例7：在△ABC中,A??3?3,BC?3,则△ABC的周长为( )。

（A）43sin(B?)?3 （B）43sin(B??6)?3

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（C）6sin(B??3)?3 （D）6sin(B??6)?3

分析：本题思路一般都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长CA到D,使AD?AB（如图7）,则

CD?AB?AC,?CBD??CBA??6,?D??6,由正弦定理

BCsinD?AB?AC???sin?B??6??,即

???AB?AC?6sin?B??,由此选(C)。

6??

图7

3.5利用数形结合思想解决三角不等式问题

在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线,余弦线,正切线,并利用三角函数线可做出对应三角函数的图像。在题目中如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线,应用它解决三角不等式问题,简便易行。

例8：解不等式cosx?sinx,x??0,2??

分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数y1?cosx,y2?sinx在?0,2??上做出它们的图像（如图8）,得到四个不同的交点,横坐标分别为:

???0,?4?4,3?4,5?4,7?4,而当x在区间

??3?5???7??,,2??内时,y1?cosx的图像都在y2?sinx的图像上方．所以可得到原不?,??,?4??4??4???等式的解集为：?x|0?x??4或3?4?x?5?4或7???x?2??。 4?

图8

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3.6利用数形结合思想解决等式证明以及最值问题

3.6.1利用点到直线的距离公式解决等式的证明问题

在一些恒等式中,很多要转化为点P(x0,y0)到直线Ax0?By0?C?0的距离公式

d?Ax0?By20?C2来求解,从而运用数形结合的思想方法,可以简化问题。

A?B例9：已知acos??bsin??c,acos??bsin??c(ab?0,????k?,k?Z),求证：

cos2???2?ca222?b。

分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程, 进而由点A（cos?,sin?）与点B（cos?,sin?）坐标特点知其在单位圆上,在平面直角坐标系中,点A（cos?,sin?）与点B（cos?,sin?）是直线l:ax?by?c与单位圆:x?y?1的两个交点(如图9所示)。从而

AB222?(cos??cos?)?(sin??sin?)?2?2cos(???)。又∵单位圆的圆心到直线l的距离

22d?a|c|2?b2，由平面几何知识知:

ca222OA222?(12AB)2? d2, 即

1?2?2cos(???)4?d2??b,故cos2???2?ca2?b。

图9

3.6.2利用两点间距离公式解决最值问题

在一些等式或代数式的题目中,其结构含有明显的几何意义,如含有根号的不等式、代数式,都有明显的几何意义,若能运用数形结合的思想方法,利用两点间距离公式,可以很快解决问题。当然有些题目是可以借助于重要不等式等知识直接解决的,但有些题目用这些方法都比较复杂,而且计算量很大。这时我们就要换一种方法来考虑问题了,不要思维定势。我们可以考虑一下这些代数式的几何意义了,再结合代数式中所隐含的几何图形,应用几何知识来求其最大值或最小值。

例10：求函数y?x?1?2x?4x?8的最小值。

2

分析：考察式子特点,从代数的角度求解,学生的思维受阻,这时利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式,可化为

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x?1?2x?4x?8＝

2(x?0)?(0?1)22?(x?2)?(0?2)。

22令A（0,1）,B（2,2）,P（x,0）,则问题转化为在X轴上求一点P,使｜PA｜+｜PB｜有最小值。如图10所示,由于AB在X轴同侧,故取A关于X轴的对称点C(0,?1),故min（｜PA｜+｜PB｜）=|CB|?(2?0)?(2?1)22?13。

图10

3.6.3利用换元法解决含有根号的函数的最值问题

在一些含有根号的代数式的题目中,其结构没有明显的几何意义,此时利用两点间距离公式可能做不出来,若能利用换元法,运用数形结合的思想方法,也可以很快解决问题。

例11：求函数u?2t?4?6?t的最值。

分析：由于函数右端根号内的t同为t的一次式,若只做简单换元2t?4?m,无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到上面函数右边有两个根号,故可采用两步换元：

设x?2t?4,y?6?t,则u?x?y且x?2y222?16（0?x?4,0?y?222），所给函

数化为以u为参数的直线方程y??x?u,它与椭圆x?2y?16在第一象限的部分（包括端点）有公共点,（如图11）,umin?22。 当相切于第一象限时,u取最大值，即

y??x?u?22?3x?4ux?2u?16?0?22x?2y?16?。

解??0，得u??26，取u?26。故umax?26。

图11

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图19

3.9数形结合思想在定积分中的运用

b利用定积分的几何意义，对于闭区间?a,b?上的连续函数f，?f(x)dx表示相应的曲边梯形的

a面积；对于一般的非定号的f(x)而言，定积分的值是曲线y?f(x)在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。

2例20：求定积分的值：J???21?x224dx???24?xdx。

2b分析：本题的两个积分都是形如?aa21?2?xdx??x2?a2?x2?aarcsin2x??，它的积分公a?ab式形式比较复杂，难于记忆。如果没有记清此公式的话就需要一步一步的理论推导，需要用到分部积分法等过程比较繁琐。然而，这时若能及时洞察到本题中两个被积函数曲线规则的特点，第一个表示上半椭圆，第二个表示上半圆。再联想到定积分的几何意义是被积函数曲线下的面积，本题便迎刃而解，且运算量极小，只不过用到了椭圆及圆的面积公式。令y?x21?x24，则

4?y2?1(y?0)，它表示中心在原点、长半轴长为2、短半轴长为1的椭圆的上半部分（如图

1220-①所示），其与x轴所围成的面积为整个椭圆面积的一半：S1?y?4?x222???2?1??；令

，则x?y?4(y?0)，它表示圆心在原点、半径为2的上半圆（如图20-②所示），

12???22其与x轴所围成的面积为整个圆面积的一半：S2?J?S1?S2?3?。

?2?。于是所求积分值

图20

§4 综述

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数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位,从上面所举的例子中,可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想,就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决。

综上所述,代数方法的特点是解答过程严密,规范,思路清晰,几何方法具有直观,形象的优势。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉,形少数时难入微。”应用数形结合的思想就能扬这两种方法之长,避呆板单调解法之短。我们可以看出数形结合在解题中的作用是不容忽视的,利用数形结合法,不仅有利于寻找解题的突破口, 更重要的是还可以避免复杂的计算和推理过程。在数学解题中我们要尽量让数量关系和几何图形相互迁移, 充分发挥逻辑思维和形象思维两个方面的作用。

§5 运用数形结合思想应注意的问题

“数形结合”直观、形象,不仅可以避免繁杂的计算、证明等,而且能获取出奇制胜的解法。然而,它并不是“万能”的。图形虽然直观、形象,但它仅仅是一个部分,而不是全部,甚是有些图形是有误差的,并不准确,所以我们不能以点代面,以偏概全,不能简单地根据图形就获取答案。我们在作图时或画草图时也要注意一些细节,不能马虎应付。运用数形结合思想时一般要注意以下这几个主要事项：

(1)精确作图,避免潦草作图而导致的错误。在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时,我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分,而不是全部。常言到“知人知面不知心”,同样的,我们从函数图像的部分而知道它的全部,在没画出来的部 分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。

(2)注意转化过程要等价,避免定义域扩大或缩小。定义域是一个变量的最大范围,如果不注意转化过程是否是等价的过程,那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了,这样,画出来的图像就会多出一部分或者少了一角,而根据这样有误差的图像,做出来的结果是会不准确的,那就是白做了这道题,所以注意转化过程是否等价是关键的。不论是否注意到转化过程要等价,我们最好能做好一道题,就再用另外一种方法验证一下所得到的答案是否准确,这样才会有信心地保证做完一题就一定正确。

(3)注意图形的存在合理性,不可“无中生有”。 有的图形根据定义域或值域是不可能存在的,但往往会因为对定义域或值域的存在区间或存在的条件没有认真考虑或者没有考虑全面,得出错误的判断,画出错误的图形,从而得出错误的结论,把不存在当成了存在或者把存在当成了不存在。

(4)注意仔细观察图像,避免漏掉了一些可能的情形。有些问题可以从图像直接解得,但要经过认真地分析,而有些问题很难由图像直观而得,值得注意。我们要仔细地观察图像,看看这些图像的位置

指导教师：赵勇 学生：陈勇

共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第18页 关系是否都是合理的,是不是漏掉了一些情况呢？我们只有做到不重不漏,才能保证所得到的答案是准确的。

(5)用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环。“形”并不能作为证明的依据,遇到证明题时,在几何直观分析的同时,还要进行代数抽象的探索,并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据,这样才算做好证明题。应用数形结合时,“形”只是一种手段,一个工具,而不是理论依据。不论是怎么样的题目,“形”只是我们思考问题的一种方式,为解题提供一些帮助,但我们都要写出我们做这道题的理论依据,这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的,这样才有说服力,才是有效的。

数形结合的确是一个非常好、也非常实用而且重要的思想方法,应用性极强。但它又是一把双刃剑,时时充满诱惑和危险。因此,我们要慎之又慎,扬长避短,全面合理分析直观的同时,还要辅有严谨的演绎。

致谢：经过半年的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有赵老师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。

赵老师指引我的论文写作方向和架构,并对本论文初稿进行逐字批阅,指正出其中误谬之处,使我有了思考的方向,他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪,他的严谨细致、一丝不苟的作风,将一直是我工作、学习中的榜样。

在此,谨向赵老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢赵老师在我撰写论文的过程中给予我的极大地帮助。

同时,论文的顺利完成,离不开其它同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写作中,同学和朋友积极帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见,在他们的帮助下,论文得以不断的完善,最终帮助我完整的写完了整个论文。

另外,要感谢在大学期间所有传授我知识的老师,是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识,这也是论文得以完成的基础。

感谢所有给我帮助的老师和同学,谢谢你们！

最后，由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正。

参考文献

[1] 吕林根,许子道.解析几何（第四版）[M].高等教育出版社.2008.

[2]徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报.2009,1,1-11.

[3]杨艳丽.数形结合思想在初中数学教学中的渗透研究[J].教育实践与研究(B).2011,5,53-55. [4]王锦琴.浅谈数形结合法在解题中的作用[J].青海师范大学学报.1998,4,63-64.

[5]党红红.数形结合思想在中学数学中的巧用[J].山西师范大学学报.2011,25(S1),1-11.

指导教师：赵勇 学生：陈勇

共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第19页 [6]黄佳琴.浅谈数形结合思想及其应用[J].科技信息.2010,15,1-2. [7]周唯.浅谈数形结合方法在解题中的应用[J].科技创新导报.2009,31,181. [8]刘庆山.浅谈利用数形结合求函数极值[J].科技信息报.2008,14,1-3.

Application of the Combination of Numbers and Shapes

in Solving Problems

Chen Yong

School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University

Abstract: The combination of numbers and shapes is an important thinking and problem-solving method in mathematical research and study, which can simplify complex issues and make abstract concrete; it is able to make abstract mathematical language into intuitive graphical and abstract thinking into thinking in images, to help grasp the nature of the mathematical problem. The so-called combination of numbers and shapes is based on the intrinsic link between the conditions and conclusions of the mathematical problem，not only analyzing algebraic meaning, but also revealing the geometric intuition, to make the numeral relationship and spatial form into a harmonious combination. It concludes “helping numbers by shapes” and “helping shapes by numbers”. The number and shape are two basic objects of the middle school mathematics study, not only independent of each other, but in mutual penetration. Especially, after establishing the coordinate system, numbers and shapes are combining more closely, and in mathematical applications on the terms of numbers it is lack of intuitive, on the terms of shape it is lack of rigor. They can often be complementary advantages and have a multiplier effect when the two are in the combination. This paper tries to illustrate some magical effect of “helping numbers by shapes” in solving mathematical problems from function images and geometry shapes.

Keywords: Mathematical thinking; Combining numbers and shapes; Helping numbers by shapes; Helping shapes by numbers

指导教师：赵勇 学生：陈勇

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