高中数学第三章三角恒等变形章末分层突破学案北师大版必修4

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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 三角恒等变形章末

分层突破学案 北师大版必修4

[自我校对]

sin α22

①sin α＋cos α＝1 ②＝tan α

cos α③Cα＋β ④S2α ⑤T2α

________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

三角函数式的求值问题 三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角． 1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．

2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等

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变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．

3．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．

ππα

已知0<α<，0<β<，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－

442

tan

2

α

，求α＋β的值． 2

【精彩点拨】 因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sin β

＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．

【规范解答】 ∵3sin β＝sin(2α＋β)， ∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. α2α又4tan ＝1－tan，

22α2tan

21

∴tan α＝＝，

22α

1－tan

2∴tan(α＋β)＝2tan α＝1. ππ

又∵0<α<，0<β<，

44π

∴α＋β＝.

4[再练一题]

π1

1．已知－

1－tan x1124

【解】 (1)由sin x＋cos x＝，平方得1＋sin 2x＝，所以sin 2x＝－.因为－

52525π

sin x， 2

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2

2

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所以cos x－sin x＝1－2sin xcos x＝. 5sin 2x＋2sinx2sin xcos x＋2sinx(2)＝ 1－tan xsin x1－

cos x＝

2sin xcos x＋sin x cos x－sin xcos x2

2

cos x＋sin x24124

＝sin 2x＝－×＝－.

cos x－sin x257175

三角函数式的化简 三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．

化简：

2sin 130°＋

(1)＋3

1＋cos 10°

；

?π??π?cos?＋x?－sin?＋x??4??4?(2). ππ????cos?＋x?＋sin?＋x??4??4?

【精彩点拨】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解． (2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简． 2sin 50°＋【规范解答】 (1)原式＝

＋3

2·cos 5°

＝＝

cos 10°＋3sin 10°

2sin 50°＋sin 80°×

cos 10°

2cos 5°

2sin 50°＋2sin 40°

＝2cos 5°22

＋2cos 5°

＝2.

＋2cos 5°

＝

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ππ?π＋x???＋xtan－tan1－tan??4??4???4?

(2)原式＝＝ πππ????1＋tan ?＋x?1＋tan ·tan?＋x?

4?4??4?

?ππ?＝tan?－－x?＝－tan x.

?44?

[再练一题]

12222

2．化简sinα·sinβ＋cosα·cosβ－cos 2αcos 2β.

2

1222222

【解】 原式＝sinαsinβ＋cosαcosβ－(2cosα－1)·(2cosβ－1)

2122222222

＝sinαsinβ＋cosαcosβ－(4cosαcosβ－2cosα－2cosβ＋1)

21222222

＝sinαsinβ－cosαcosβ＋cosα＋cosβ－ 2122222

＝sinαsinβ＋cosα(1－cosβ)＋cosβ－

2122222

＝sinαsinβ＋cosα·sinβ＋cosβ－ 212222

＝sinβ(sinα＋cosα)＋cosβ－

211122

＝sinβ＋cosβ－＝1－＝. 222

三角恒等式的证明 三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．

证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法． 三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．

sin 4xcos 2xcos xx 求证：··＝tan .

1＋cos 4x1＋cos 2x1＋cos x2

【精彩点拨】 等式两边涉及到的角有4x,2x，x，等角，故可将左边4x,2x，x化为

22的形式．

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2sin 2xcos 2xcos 2xcos x【规范解答】 左边＝·· 22

2cos2x2cosx1＋cos x＝

2sin 2x·cos2x·cos x2cos2x·2cosx·2cos＝

sin 2x2

22

2x 2

2sin x·cos x＝ 2x2x2cos x·2cos2cos x·2cos22

2sin cos sin 222x＝＝＝tan ＝右边．

x22x2coscos 22∴等式成立． [再练一题]

1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ

3．求证：＝. 2

2tan θ1－tanθ1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ

【证明】 原式等价于＝， 2

1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tanθ即

1＋sin 4θ－cos 4θ

＝tan 2θ，而上式左边

1＋sin 4θ＋cos 4θ

－2sin2θ2

os2θ－

2

xxx1＋2sin 2θ·cos 2θ－＝

1＋2sin 2θ·cos2θ＋

2

2sin 2θcos 2θ＋2sin2θ＝ 22sin 2θcos 2θ＋2cos2θ＝2sin 2θ2cos 2θ

θ＋sin 2θθ＋cos 2θ

＝tan 2θ＝右边， 所以原式得证.

三角函数与平面向量的综合应用 三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．

3x3x?xx??? 已知向量a＝?cos ，sin ?，b＝?cos ，－sin ?，且x∈

22?22???

?－π，π?.

?34???

(1)求a·b及|a＋b|；

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