定积分及其应用 文献综述

咸阳师范学院

毕业论文(设计)文献综述

题目：定积分及其应用

学生姓名：马永升

系 别：数学与信息科学学院 专 业：应用数学 年 级：2008级 学 号：0806014322 本(专) 科：本科 指导教师：李艳艳

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定积分及其应用

摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。讨论了应用定

积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。

关键词：定积分；几何；物理；初等数学

极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。

1?2?n?1???sin?]的值。 例如：求lim[sin?sinn??nnnn1?2?n?1???sin?]= 解 lim[sin?sinn??nnnn10??2?n?1lim[sin?sin?sin???sin?]?n??nnnnnn?11i lim?sin??

n??nni?0n?11lim?f(?i).?1?n??ni?0（1） 式是函数f（x）=sinx?在区间[a,b]上的一个积分和，它是把[0,1]分

i?1ii?1i?1,]的左端点（即?i=,f(?i)?sin?）构成成n等份。?i取[

nnnn的积分和，由定积分定义可得

1?2?n?1???sin?]= lim[sin?sinn??nnnn1ilim?sin??n??ni?0n111 ?sin?xdx??sin?xd(?x)? 0?012[?cos?x]1?0??n?1 许多教师在讲此内容时将例题一带而过，导致大部分学生做习题不知从何下

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手，基础较好的学生也只是模仿例题，但对该方法理解不深。 一 定积分在数学中的应用 1利用定积分求平面图形的面积。 一般地，有上、下两条连续曲线 y=f2(x)与y=f1(x)以及两条直线 所示，它的面积计算公式为 A=?[f2(x)?f1(x)]dx.。 （1）

aby Y=f2(x) x=a与x=b（a

o a Y=f1(x) b x (1) 设曲线C有参数方程x=x(t),y=y(t),t?[?,?] (2)

给出，在[?,?]上y(t)连续可微且x?(t)≠0（对于y(t)连续可微且y?≠0的情形可类似讨论）。记a=x(?),b?x(?)(a??如果由参数方程（2）所表示的曲线自身所围图形是封闭的，既有

x(?)?x(?),y(?)?y(?),且在（?,?）内自身不再相交，那么由曲线自身所围

图形的面积为A=

???y(t)x?(t)dt（或

。 ??x(t)y?(t)dt）

?例1 求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积A.

解 该平面图形如图（2）所示。先求出抛物线与直线的交点P（1，-1）与Q(9,3).用直线x=1把图形分为左、右两部分，分别求得它们的面积为

114A1=?x?(?x)dx?2?xdx?，

003??9?x?3?28， A2???x?dx??12?3?所以A?A1?A2?32. 3也可把抛物线方程和 直线方程改写成

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x?y2?g1(y),x?2y?3?g2(y),y???1,3?. 并改写积分变量为y， 于是得

A???g2(y)?g1(y)?dy?13??3?1?322y?3?ydy?32? (2)

x2y2例2求椭圆2?2?1所围的面积。

ab解 化椭圆为参数方程椭圆面积为 2?2??A??bsint?acost?dt?ab?sin2tdt??ab。

00显然当a=b=r时这就等于圆面积?r2 2求立体图形的体积

用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积, 常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,例如求一个铁块的体积,可以将此铁块划分成许多基本的小铁块,每一块的厚度为б(x),假设每一个基本的小铁块的横切面积为A(x),则此小铁块的体积大约是A(x)б(x),将所有的小铁块加起来,令n=б(x)→0,我们就可以得到其体积v v=limn?0x?b?A?x???x?

x?c其中b和c分别为计算体积是的起始值和终了值，

x2y2z2例3椭圆面2?2?2?1所为立体的体积

abc解:以平面x?x0 (x0?a)截椭球面,得椭圆在YOZ平面上的正投影

y2xb(1?2)a22?z2x2c(1?2)a2x2?1 所以截面面积函数为A(x)??bc(1?2)x???a,a?

ax24于是求得椭球体积v???bc(1?2)dx??abc

?a3aa4

4显然当a?b?c=r 时,就等于球的体积?r3

3例4:由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax,(a>0，a≤x≤3a)所围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？

如图2，斜线区域即为题意所指的区域, 根据旋转体体积的求法，可将区域OPQB的旋转体积减去区域APCB的旋转体积，即为所求 解：我们首先来求区域APQB的旋转体积： 3A9a2a2x23a?)=4?a3 ??axdx=??|a=?a(A222而区域APCB的旋转体积为一个圆柱的体积， 其半径为a，高为2a，故应为：

?a22a?2?a3所以区域PCQ的旋转体积为

4?a3?2?a3?2?a3

二 定积分在物理中的应用

定积分在物理学中应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于微积分的发展,使得物理学中精确测量,计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展, 定积分的应用主要是在力学中

例如:有一个方向恒定的变力F对一个物体做功,若这个变力对物体的作用距离为S ， F为S的函数F=f(s),则有变力F所做的功为

（3） ?baf(s)sds (其中a,b为变力F的起始与末尾值)

例5 质量为m的摆锤系于绳的下端,绳长为l,上端固定 如图(4)所示,一水平变力F从零逐渐增大缓慢的作用在 摆锤上,使摆锤虽力F在移动,但在所有时间内均无限地 接近力平衡,一直到绳子与竖直直线成?0角的位置， 试计算变力F所做的功。

解； 由题意得，在任意位置上（由角位置θ表示），

摆锤无限的接近于力平衡，所以可由摆锤所受合力极近于零作计算。在水平方向与竖直方向分别有：

F?Tsing??0 Tcos??mg?0 式中T是摆锤所受绳的拉力，于是有 F?mgtan?

当摆锤在θ位置上沿圆弧作微小位移ds时，F力所做的微功为

（4） 5

dw?fds?Fcos?ds

将F?mgtan? ds?ld?代入，得：

dw?mgtan?cos?ld??mglsing?d?

所以在摆锤从初始位置（θ=0）到位置（θ=θ0）的过程中，F力对摆锤所作的总功是：w??dw??mglsin?d??mgl(1?cos?0)

00?0?0作变速直线运动的物体在时间区间?a,b?上所经过的路程S，等于其速度函数

v?v(t)(v(t)?0)在时间区间?a,b?上的积分，即S??v(t)dt。

ab例6已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：v(m/s),t(s).）

?320?t?10;?10t,?v(t)??30,10?t?40;

??1.5t?90,40?t?60.??求（1）汽车10s行驶的路程；（2）汽车50s行驶的路程；（3）汽车1min行驶的路程.

解 （1）S1=?10032tdt?100； 1050（2）S2=S1+30*30+?(?1?5t?90)dt=100+900+(?1?5t2?90t)5040= 240100+900+(－1875+4500+1200－3600)=1225;

(3) S3?S1?30?30??(?1?5t?90)dt?100?900?(?1?5t2?90t)60 40?1300；2401、定积分在数学应用的现状：

对定积分在几何应用中的探索，使定积分理论在实际问题中得以应用，在几何学中许多几何问题都可以用定积分来解决.通过利用定积分微元法，展示定积分式应用的简便性与技巧性．本文所参考的文献包括高等教育出版社出版的《数学分析》上下册，和《高等数学》上下册.目前的这两种教材在某些地方还不是很完善.例如在利用定积分求平面图形面积的时候，有的公式没有直接给出，仅仅是通通过例题体现的.而有的公式虽然给出了，但是容易和其他的公式混淆，书上没有明确说明它们的区别，怎么用及为什么.而我所参考的《高等数学同步精讲上册》正好补充了教材的不足之处.方便了以后的学习和研究. 2、主要研究成果：

应用定积分及微元思想解决了很多几何方面的问题.几何问题在实际生活中无处不在,而且相当一部分的几何问题是复杂的，我们用一般的方法很难解决.例

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如求解一些不规则的图形面积等.利用定积分微元法能直观且方便的解决问题.我所参考的文献《高等数学同步精讲上册》结合目前所学的数学分析及高等数学教材基本上给出了定积分在几何应用中的所有一些情况及解法. 3、发展趋势：

定积分在求解几何问题中有很广泛的应用.有时遇到某些较难的几何问题时运用定积分的微元思想是很方便的.目前一些教材中要求学生理解并掌握定积分微元思想方法，即“分割、近似代替、求和、取极限”，并会用定积分求一些平面图形的面积；同时“理解定积分微元思想方法”也是学生学习的难点与重点所在.说它为重点是因为它所处的历史地位和它应用的广泛性所决定的；说它是难点主要是因为这种思想方法不同于前面学习过的函数与方程思想、数形结合思想等基本的思想方法，在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应；同时，从历史上看，人类从对微积分的认识到掌握微积分理论，经过了千年历史，所以在短短几节课内达到深刻理解这种思想方法，的确是不容易的，所以，它一直是学生学习的难点所在

4、存在问题：

目前一些通用教材的“定积分的应用”主要内容是在几何学和物理学上的应用.定积分在几何学的应用中一直存在着一个问题,它在教与学两个方面都容易出现错误.例如定积分在求平面图形面积中的应用时常常会发生选取公式的错误.所以在解决实际问题时应该具体问题具体分析,不能直接套用某个公式,这样才会顺利的解决问题. 5、主要参考文献：

[1] 华东师范大学．《数学分析上册》[M]．第三版 高等教育出版社． [2] 华东师范大学．《数学分析下册》[M]．第三版 高等教育出版社． [3] 同济大学． 《高等数学上册》[M]．第五版 高等教育出版社． [4] 同济大学． 《高等数学下册》[M]．第五版 高等教育出版社． [5]《普通物理学》 戴启润 西北大学出版社

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