数学课改的十个论题

数学课改的十个论题

章建跃

一、“新理念”是全新的吗？

? 核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本-------教育中的“科学发展观”

? 教学目标------全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学

生全面、和谐、可持续发展――――数学育人。 如何落实？―――提高课堂教学立意

? 许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追

求。

? 数学的“育人”功能如何体现？―――挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识

教学与价值观影响融为一体。 ? 关键：提高思想性。 ? “技术”：加强“先行组织者”的使用。 例1 不等式基本性质“立意”比较

? 以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，

只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”。 课标教材的做法

? 数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小统一化归为比

较它们的差与0的大小）；

? 从“数及其运算”的高度出发，引导学生类比等式的基本性质，在“运算中的不变性、规

律性就是性质”的思想指导下，猜想不等式的基本性质；

? 回到从“基本事实”到“基本性质”的推理过程，得出性质，给出证明； ? 引导学生用不同语文表述“基本性质”（学习心理的考虑）； ? 从实例中概括基本不等式的作用―――明确概括出思想方法。 课标教材的想法

? 既要讲逻辑，更要讲思想―――加快师生领悟思想的进程（教师在没有引领的情况下很难

“悟”出思想）；

? 要正确理解“给学生留出思维空间”―――以往教材在技能方向空间太小，思想方面空间

太大

? 教学要求―――个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础

? 教学设计―――不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且我嗯强调课堂“生

成”，预设能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问”

? 教学方法―――讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的

讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调“启发式讲授”的重要性

? 学习方式―――接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作学习

的结合

? 教学过程―――知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生谁知认知过程，以学

生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性）

? 教学评价―――教师根据教学进程进行教学反馈、调节，学生通过自我临近监控调节学习

过程，重视形成性评价―――发展的眼光 ? 教学媒体――追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、

原理的实质理解

? “全新理念”是不存在的，如果有人说某某理念是全新的、开创性的，有两种可能：或者

他学习不够，或者他想忽悠。

? “新理念”新在对学生的全面关注上。

二、为什么“内容多课时少”但又能腃出至少一年时间高考复习 内容 集合 简易逻辑 函数概念 指数函数 对数函数 解三角形 幂函数 函数的应用 数列 三角函数 三角恒等变换 平面向量 不等式 直线和圆的方程 线性规划 曲线和方程 圆锥曲线 立体几何 计数原理 概率 统计 数学归纳法 极限 导数 复数 算法 推理与证明 大纲总课时 课标总课时 大纲 6 8 6 7 7 8 4 15 22 10 15 14 13 7 3 16 36 15 4 9 6 7 16 7 课标 4 8 8 6 6 8 1 8 10 15 8 12 8 18 5 2 14 30 14 24 22 2 24 4 12 6 课标－大纲 －2 0 2 －1 －1 0 1 4 －5 －7 －2 －3 －6 5 －2 －1 －2 －6 －1 20 13 －4 －7 8（定积分） －3 12 6 必修280，选修Ⅱ104，共讲384（含复习时间） 必修180，必选108，系列三36，系列四36，复习24学时，共计384 ? 立体几何、三角函数、不等式、数列、极限等传统内容的课时量减少；增加了新的内容，算法12课时，推理与证明6课时；概率统计大量增加，概论增加倍，统计2.5倍，课时增加33。

? 总课时量保持不变。

腾出时间的“智慧”在那里？

? 增加课时（每周增1课时，两年至少可以增加72课时）； ? 压缩概念、原理的教学时间。

? 有人说，这都是“高考要求与课标要求脱节”惹的祸。真是这样的吗？ ? “夹生饭”再回锅也做不成可口的香米饭。 ? 欲速则不达。 ? “忙”＝“心亡”

三、怎样才算“教完了”？

? 让学生经历概念的发生发展过程――――“这样能教完吗？” ? 给学生吃“压缩饼干”；

? 基础知识――――“一个定义，三项注意”； ? 解题教学―――“题型教学”“一步到位”。 问题在那里？

? 不“准”―――或者是没有围绕概念的核心，或者教错了； ? 不“简”―――在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；

? 不“精”―――让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识

的深入理解。

例2 函数概念的“注意事项” ? 集合A，B都是数集； ? 任意性； ? 唯一性；

? 可以一对一、多对一，便不能一对多； ?

y?f(x)是一个整体，不是f与x的乘积；

? 值域C??f(x)|x?A?是集合B的子集；

? 函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定。 ? 在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生“教糊涂了”。

? “教完了”应该以学生是否理解为准，以学生是否达到教学目标为准，特别是学生达到的

数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”。 ? 广种薄收是懒汉的做法。 四、什么叫“抓基础”

? 我国“抓基础”的优势正在丧失；

? 现象：数学教学＝题型教学＝刺激――反应（记忆、模范型学习）；

? 缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学――应用可以促进理解，但没有理解的应用是

盲目的； ? “题型”、与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽―――讲过练过的不一定会，没讲

没练的一定不会。

? 要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性―――无知者无能； ? 不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题； ? 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。

? 应追求解决问题的“根本大法”―――基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操

作。

五、探究式教学的天时地利人和

? 天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”；

? 地利：教学内容是否适合于“探究”―――有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；

但更多的内容可采用探究式教学； 例3 直线与平面垂直的定义

? 先让学生“直观感受”这种位置关系，给出定义，把主要精力放在地“合理性”的认识上，

通过正、反例理解定义的关键词。 ? 必须向学生交待清楚：帮“说得清道得明”的几何关系（即“直线与直线垂直”）来定义“无

法说清”的几何关系（即“直线与平面垂直”）是一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可

例4 适宜探究的内容举例

? 不等式的性质―――在“数及其运算”系统下，类比等式的性质提出猜想，再用实数大小

的“基本事实”证明；

? 平面向量基本定理―――在“用向量及其运算表示几何元素”的思想下，建立直角坐标系

的方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学生探究而获得结论；

? 诱导公式―――在“三角函数是（单位）圆的几何性质的代数表示”的思想下，探究终边

关于坐标轴、原点以及直线y=x对称的两个角的关系，而得到所有公式。 ? 人和：师生共同营造的“探究氛围”，有赖于学生“探究式学习的心向”，也有赖于教师的

“探究型教学的意识”。

? 数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导。

? “我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？”―――学习是知与行的统一，

只“讲”肯定不会；探究是深层次的思维活动，是“心动”与“行动”的融合。 六、概念教学的要义是什么？

? 概念教学的核心―――概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实

例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同材质属性，归纳得出数学概念；

? “举一反三”与“举三反一”的关系：

（1）分化：用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性―――举三反一；

（2）类化：把共同本质属性推广到同类事物中―――举一反三； （3）纳入概念系统，与相关概念建立联系。

? 对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是

教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。 概念教学的基本环节

? 典型丰富的具体不会弄错例证―――属性的分析、比较、综合； ? 概括共同本质特征得到概念的本质属性； ? 下定义（准确的数学语言描述）；

? 概念的辨析―――以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； ? 概念作判断的具体事例――形成用概念作判断的具体步骤； ? 概念的“精致”――建立与相关概念的联系。 例5 函数奇偶性的教学 ? 急功近利的做法

2（1）给出函数y?x和y?x的图像，并提出问题：从图象的对称性观察，两个图像各有什么

特点？

（2）给表格并提问：数量关系上有啥特征？ （3）能否描述一下函数y?x的特征？

? 学生的回答：对于y?x，当x取任意数时y都正数；函数图象关于y轴对称；自变量取

一对相反数时，函数值相等；??

（4）对于定义域内任意一个x，是否都有f(?x)?f(x)？ （5）能否描述一下偶函数的定义？ ―――“一个函数打天下”，缺乏概括的基础。 改进的方法

22? 典型、丰富的例证―――不止一个：y?x，y?|x|，y?x?2，??；

22? 从函数图像、概括共同特征入手； ? 列表，从数的角度描述特征；

? 形、数对照―――从形到数―――用函数符号语言描述特征；

? 概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织―――建立相关知识的联

系。

七、螺旋上升是“蜻蜓点水”，吃夹生饭吗？

? “模块化”体系下，立体几何、解析几何、概率、统计等都采用“螺旋上升”式，怎么看？ ? 螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也有学生思维发展规律的依据； ? 螺旋上升应该体现“必要性”，如函数概念必须螺旋式学习，但解析几何不必搞三个螺旋 ； ? “螺旋式”可能产生的问题是重复学习―――统计与概率的问题； ? 重要的数学思想方法必须得到“螺旋上升地重复”―――“隐性知识”，“可以意会不可言

传”，要经历“渗透――概括――应用”的学习阶段。 例6 概念的多元联系表示中体现的螺旋上升 ? 比例关系；

? 算术―――比和比例、百分数、比例尺； ? 平面几何―――线段比和比例、相似形等； ? 解析几何―――斜率、线性方程；

? 统计与概率―――统计图表、频率与概率。

? 当利用基本的几何概念（如相似）和代数概念（如线性关系）引入比例概念时，学生对比

例关系的理解就会更深刻。 八、“不是教教材，是用教材教”？ ? 现象：脱离教材，大量使用教辅； ? 原因：教材内容“简单”，不足以就会高考；对“不是教教材，而用用教材教”、“创造性使

用教材”的意图有误解；有的老师不善于或不愿意花大力气研究教材。 我的看法

? “不是教教材，而是用教材教”≠“脱离教材”，是针对“照本宣科”的；

? 教材的“基础性”与高考的“选拔性”有目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的

前提，老师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。

? 理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概

念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。 ? 课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。 例7 函数概念三个引例的意图

目的：反映函数概念本质，形成正确的函数概念

? “对应关系”表现形式多样性、本质的一致性（三要素）―――既是重点也是难点，从“多

元联系表示”上为突破难点奠定基础；

? 如何替换例子？―――在理解编写意图的前提下。 九、重结果轻过程的危害是什么？

? 数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，

是“数学素养”的源泉，是从技能到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤。 ? 没有过程＝没有思想；

? 没有思想就难以理解概念的实质；

? 缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认

知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。 ? 没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激――反应”训练，是教育功利化在数

学教学中的集中表现。

十、什么才是“数学思维的教学”

? 比较流行的教学有两种：一是数学教学＝解题教学；二是辛勤挖掘“细枝末节”，并在细枝

末节上对学生进行强化训练 例8 数列的有关问题

（1）数列是一个特殊的函数―――与一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等一样，研究的基本问题是它的定义（定义域、对应关系等）、表示、性质和应用等； （2）对于定义―――按某种顺序排列的一列数，“某种顺序”―――由数列中的数所在的序号决定，序号与数之间的对应关系―――一个序号对应唯一一个数； （3）数列的表示―――函数的表示，三种形式； （4）数列的通项公式―――函数的解析式，即数列的项随序号的变化而变化的规律―――函数值随自变量的变化而变化的规律；

（5）特殊数列―――等差数列、等比数列，就像基本初等函数在现实中有大量应用一样，现实中也有大量问题可以用等差数列、等比数列这两种数学模型进行刻画； （6）等差数列、等比数列的研究内容―――定义、表示、性质和应用； ? 定义：“等差”―――“差相等”―――哪两项作差―――由“等差”的含义得到的

； an?an?1?d（d是常数）

? 通项公式――― 给定a0与d，求an用n表示的关系式（代数观点）―――an随n的变

化而变化的规律（函数观点），可以在“联系”的观点下想出很多“招”；

? 函数观点下，联系解析几何知识，d是由点（n?1,an?1）和（n,an）决定的直线的斜率，“点斜式”＝通项公； ? 性质：在“等差数列的性质指项的特点、项之间有有什么关系等”，可以从一次函数的性质、

坐标法研究直线的性质等中得到启发。 ? 追究特例a0?0,d?1，考察它与一般等差数列的关系：最简单、最本质的数量关系是自

然数列所体现的数量关系，其他等差数列都是它的变形―――不同的a0就是不同的“起步点”，不同的d就是不同的“步长”。

? 要研究的特殊问题―――前n项和公式：如果对等差数列改造理解充分，掌握了

得到等差数an?a0?an?1?a1?an?2?a1＝?以及自然数列与一般等差数列之间的关系，? ?

? ?

列前n项和公式是水到渠成的。

（7）由“联系性”而引发的变化―――与方程、不等式、导数等联系而引出的问题；可化归为等差、等比的数列问题等。 “数列”是“一类特殊的函数”，也是“代数的综合体”；

数学思想：函数思想、分类思想、化归思想等；数学方法：不仅有许多通法，还有诸如“错面相减法”“裂项法”“倒数求和法”等“巧法”。

从“数学思维的教学”的要求出发，应以数列知识为载体，以相应的基本数学思想方法教学为核心，引导学生开展观察、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象、概括、分类、系统化等思维活动，在理解数列知识及其反映的思想方法的过程中，促进学生数学思维能力的发展。

实际教学中，在技巧上狠下功夫。如“递推数列”归纳的题型有：

?

? 1、利用a1?S1,an?Sn?Sn?1

? 2、an?1?kan?b，分k?1和k?1讨论，k?1时，设an?1?m?k(an?m)，?

? 3、an?1?an?f(n)，分k?1、

f(n)是否可求和，k?1、

f(n)?an?b,f(n)?qn(q?0,1)等；

? 4、an?1?f(n)an型；

? 5、an?2?pan?1?qan（p,q为常数）型；?

? 题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为主线，杂乱无章

an?1?pan?q型数列通项公式

? 今天研究求an?1?pan?q型数列通项公式问题。一般地，抽象问题具体化、一般问题特

殊化是研究问题的基本策略。

? 问题1 已知a1?1,an?1?2an?1(n?1)，求通项公式。 ? 问题2 已知a1?1,an?1?2an?3(n?1)，求通项公式。 ? 问题3 已知a1?1,an?1?3an?1(n?1)，求通项公式。

? 问题1、2可以“凑”，但问题3不能，怎么办？注意观察前两个问题的解决过程，转化得

到的结构有什么共性？对解决问题3有什么启发？ ? 结论：都转化为an?1?t?k(an?t)的形式。

? 问题4 一般地，对于a1?a,an?1?pan?q，如何求通项公式？―――因为推广到了“同类事物”，所以要注意“完备性”，细节、特例的追究。 结束语

? 教育改革需要一定的理想化色彩；

? 不要忘记我们的“教人做人、做事”的职责； ? 教研应该成为我们的生活方式；

? 为人师表―――默而识之，学而不厌，诲人不倦 成功的基础―――美国国家数学咨询委员会最终报告

? 2008年3月提交报告，就美国中小学数学课程内容、学生学习过程、教师教育、教学方法、

教材、考试、数学教育研究等七个方面提出了45条建议。

（1）要有效组织数学课程内容―――重点突出、前后关联、循序渐进，强调掌握关键内容； （2）学生的数学学习，理解概念、熟练计算、掌握解决问题的三者互相联系、相互促进，应全面培养这些能力；必须给学生进行足够量的算术基本运算练习，达到自动化水平；学生的努力程度对提高数学成绩至关重要； （3）具备丰富数学知识的教师在课堂中扮演着核心角色，教师对数学知识的掌握对提高学生数学成绩至关重要；

（4）并不存在普遍适用的教学方式，教师讲授、合作学习、学生自主探究等，采取何种方式应根据当时特定的教学条件；而对于那些“学困生”，采取“示范＋大量模仿式训练＋出声思考＋教师反馈与评价”的教学方式，能有效提高学生的数学学习成绩；

（5）过多使用计算器可能阻碍学生自动回忆能力的发展，从而不利于形成熟练的计算能力等 ? 数学教改也应贯彻“不动摇、不懈怠、不折腾”思想。在与学生认知发展相适应的原则下，

要强调数学课程的逻辑性、系统性；要坚持“双基”教学不动摇；要坚持“启发式”教学

思想不动摇；要坚持提倡学生刻苦学习等。 ? 找准问题进行改革。

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