高考数学第一轮复习 等差数列学案

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广东饶平二中2011高考第一轮学案:等差数列

一、知识归纳:

1.等差数列的定义用递推公式表示为:

其中d为常数,叫这个数列的公差。 an?1?an?d(n?N?)或an?an?1?d(n?2,n?N?) ,2.等差数列的通项公式:an?a1?(n?1)d, 3.等差数列的分类:

当d?0时,{an}是递增数列;当d?0时,{an}是递减数列;当d?0时,{an}是常数列。

4.等差中项:

如果在a,b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且A?a?b 25.等差数列的前n项和公式:

Sn?n(a1?an)n(n?1)ddd,此式还可变形为Sn?n2?(a1?)n ,或Sn?na1?22226.等差数列的主要性质: (1)an?ak?(n?k)d

(2)若m?n?2p(m,n,p?N?),则am?an?2ap

(3)若m?n?p?q,则am?an?ap?aq(反之也成立)(其中m,n,p,q?N?)

如:a1?an?a2?an?1?a3?an?2?? 二、学习要点:

1.学习等差数列要正确理解与运用基本公式,要抓住首项a1与公差d两个基本量解决问题。注意:

(1)证明一个数列为等差数列的常用方法: ①(定义法)证明:an?1?an?常数; ②(等差中项法)证明:an?1?an?1?2an(n?2)

(2)公差d?0的等差数列的通项是n的一次函数an?an?b,其中a即为公差。

2(3)d?0的等差数列的前n项和公式是n的没有常数项的二次函数Sn?an?bn

2.解决等差数列问题应注意性质的灵活运用。

3.巧设公差是解决问题的一种重要方法。

三数成等差数列,可设为:a,a?d,a?2d或a?d,a,a?d; 三、例题分析:

例1.已知等差数列的前三项依次为a,(1)求a及k的值; (2)设数列{bn}的通项bn?

例2.已知数列{an}中,a2?9,a5?21,且an?2?2an?1?an?0(n?N*) (1)求{an}的通项an;(2)令bn?2n,求数列{bn}的前n项和Sn

1例3.已知数列{an}中a1?3,,数列{bn},满足b?1 (n?N*) n?N*)an?2?(n≥2,n5an?1an?1a4,3a,前n项和为Sn,且Sk?110,

Sn,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn n (1)求证数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项与最小项,并说明理由;

(3)求Sn?1?b1?b2??bn?1.

例4.设{an}是等差数列

(1)若a7?a9?16,a4?1,则a12?________.

(2)若a1?a2?a3?1,an?an?1?an?2?3,且Sn?18,则n?_______. (3)若a8?1a11?6,则S9?_______. 2

四、练习题:

1,a2?a5?4,an?33,则n? 3 A.48 B.49 C.50 D.51

1.等差数列{an}中,已知a1?2.已知等差数列{an}公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2? A.?4 B.?6 C.?8 D.?10

3.等差数列{an}中,a1?a2?a3??24,a18?a19?a20?78,则此数列前20项和为 A.160 B.180 C.200 D.220

4.设{an}是等差数列,且a2??6,a8?6,Sn是数列{an}的前n项和,则 A.S4?S5 B.S4?S5 C.S6?S5 D.S6?S5 5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若

a55S?,则9的值为 a39S5A.1 B.?1 C.2 D.

1 26.在等差数列{an}中,前n项和是Sn ,若a7?5,S7?21,则S10? A.40 B.55

C.35

2D.70

7.命题甲:()x,21?x,2x成等比数列,命题乙:lgx,lg(x?1),lg(x?3)成等差数列,则甲是乙的

A.充分非心要条件 B.心要非充分条件下 C.充要条件 D.既非充分又非心要条件 8.等差数列{an}的公差为1,且a1?a2???a98?a99?99,则a3?a6?a9???a96?a99? A.16 B.33 C.48 D.66

9.在等差数列{an}中,a1?3a8?a15?120,则3a9?a11的值为 A.6 B.12 C.24 D.48

210.已知等差数列{an}的前n项和是Sn,若m?1,且am?1?am?1?am?0,S2m?1?38,则m?

12 A.38 B.20 C.10 D.9

11.在等差数列{an}中,a5?3,a6??2,则a4?a5???a10?____________ 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4?18?a5,则S8?________

13.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一常数,那么

这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列{an}是等和数列,且

a1?2,公和为5,则a18的值为______.这个数列的前n项和Sn的计算公式为

___________.

14.已知等差数列{an}中,a3a7??16,a4?a6?0,求{an}前n项和Sn.

15.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a3?7,S4?24.

1(S2p?S2q). 2Sp?q?(1)求数列{an}的通项公式; (2)设p,q是正整数,且p?q,证明:

16.设{an}是公差d(d?0)的等差数列,它的前10项和S10?110且a1,a2,a4成等比数

(1)证明:a1?d;(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式。

17.已知差数列?an?中,a2?8,S10?185

(1)求数列?an?的通项公式;(2)若从数列?an?中依次取出第2,4,8,…,2,…项,

n按原来的顺序排成一个新数列{bn},试求{bn}的前n项和An.

18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d?0,且a2?a3?45,a1?a4?14 (1)求公差d的值;(2)令bn?值;

Sn,若数列{bn}也是等差数列,求非零常数c的n?c

19.已知数列?an?中,a1?2,a2?3,其前n项和Sn满足Sn?1?Sn?1?2Sn?1(n?2,n?N*).

(1)求数列?an?的通项公式;

(2)设bn?4n?(?1)n?1??2n(?为非零整数,n?N*),试确定?的值,使得对任

意n?N*,都有bn?1?bn成立.

a(二)等差数列参考答案

例1.解:(1)设该等差数列为{an},则a1?a,a2?4,a3?3a, 由已知有a?3a?8,得a1?a?2,公差d?4?2?2

则Sk?ka1?k(k?1)k(k?1)?d?2k??2?k2?k 222由Sk?110,得k?k?110?0,解得k?10或k??11(舍去)

故a?2,k?10 (2)由(1)Sn?Sn(2?2n)?n(n?1),则bn?n?n?1, 2n故bn?1?bn?(n?2)?(n?1)?1,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列

Tn?例2解:(1)

n(2?n?1)n(n?3)?

22an?2?2an?1?an?0(n?N*),?{an}是等差数列,

a5?a221?9??4 5?23设d为{an}的公差,则d? 故an?a2?(n?2)d?9?(n?2)?4?4n?1

(2)由an?4n?1,得bn?24n?1,则{bn}是首项b1?25,公比q?24的等比数列。

25(24n?1)32(24n?1)?故Sn? 42?115例3.解析:(1)bn?1?an?1an?111?,而 bn?1?,

1an?1?1an?1?12??1an?1∴ bn?bn?1?an?11??1.(n?N?)

an?1?1an?1?115??,公差为1的等差数列. a1?125721,而bn???(n?1)?1?n?,∴ an?1?.

222n?7bn ∴ {bn}是首项为b1? (2)依题意有an?1? 当n?3时,

3?a1?a2?a3??1;当n?4时,3?a4?a5?a6???an?1 5故{an}中的最小值为a3=-1,最大值为a4?3

52n?5(n?1)(??)(n?1)(n?5)22(3)Sn?1?, ?22例4.设{an}是等差数列

(1)a12?__15____.(2)n?__27____.(3)S9?_108___. 解:(3)由2a8?a11?12及2a8?a5?a11,得a5?12,则S9?四、练习题:

(一)选择题 1~10 CBBBA ABDDC 解析:

9(a1?a9)?9a5?108 24.解:d?a8?a26?6??2,an?2n?10,由an?0,得n?5,又d?0 8?26则{an}是递增数列,故S4?S5 选B 5.解:

S99(a1?a9)9?2a59a5????1 S55(a1?a5)5?2a35a38.解:由a1?a2???a98?a99?(a1?a4???a97)?(a2?a5???a98)

?(a3?a6???a99)?3(a3?a6???a99)?33?2d?33?d

可得3(a3?a6???a99)?99?99

9.由已知有5a8?120,a8?24,则3a9?a11?3(a8?d)?(a8?3d)?2a8

210.解:由已知有2am?am?0,am?0(舍)或am?2对?m?N成立。

?则(2m?1)?2?38,故m?10,选C (二)填空题

11. _ ?52___.12. __ 72____.

?5n(n为偶数)?51?2n13. __3____.. Sn??或Sn?n?[1?(?1)]

24?5n?1(n为奇数)??2(三)解答题:

14.已知等差数列{an}中,a3a7??16,a4?a6?0,求{an}前n项和sn. 解:设?an?的公差为d,则

??a12?8da1?12d2??16?a1??8,?a1?8??a1?2d??a1?6d???16 即? 解得? 或??d?2,d??2a?3d?a?5d?0a??4d????11?1因此Sn??8n?n?n?1??n?n?9?,或Sn?8n?n?n?1???n?n?9? 15.(1)解:设等差数列?an?的公差是d,依题意得,?∴数列?an?的通项公式为an?a1?(n?1)d?2n?1.

?a1?2d?7解得?a1?3, ?24.??4?34a1?d?d?2.?2?(2)证明:∵an?2n?1,∴Sn?n(a1?an)?n2?2n.

2∵2Sp?q?(S2p?S2q)?2[(p?q)2?2(p?q)]?(4p2?4p)?(4q2?4q)??2(p?q)2, ∵p?q,?2Sp?q?(S2p?S2q)?0. ∴Sp?q?1(S2p?S2q).

2216.解:(1)因a1,a2,a4成等比数列,故a2?a1a4,又{an}是等差数列,

则(a1?d)2?a1(a1?3d) 化简得d2?a1d,因d?0,所以a1?d

(2)?S10?10a1?10?9d?10a1?45d,又S10?110,且a1?d, 2则55d?110?d?2 故an?2n 17.解:(1)设等差数列的首项为a1,公差为d,

则??a1?d?8?a1?5,解得?,所以an?3n?2

?d?3?10a1?45d?185n(2)依题设bn?a2n?3?2?2,

则An?b1?b2???bn?(3?2?2)?(3?2?2)???(3?2?2)

12n2(1?2n)?2n?6?2n?2n?6 ?3(2?2???2)?2n?3?1?22n?a2?5?a2?918.解:(1)等差数列{an}中,a2?a5?a1?a4?14,又a2a3?45, 则?或?

a?9a?5?3?3因d?0,所以a2?a3,故a2?5,a3?9,d?a3?a2?4

n(n?1)Sn2n2?n2?4?2n?n,?bn??(2)由(1)知a1?1,Sn?n? 2n?cn?c1615,b2?,b3?,由于数列{bn}是等差数列 1?c2?c3?c11561??2?所以b1?b3?2b2,即解得c??或c?0(舍去) 1?c3?c2?c2则有b1?2n2?n1?2n,易知{bn}是等差数列,故c?? 则bn?12n?219. 解:(1)由已知,?Sn?1?Sn???Sn?Sn?1??1(n?2,n?N),

*即an?1?an?1(n?2,n?N),且a2?a1?1.

∴数列?an?是以a1?2为首项,公差为1的等差数列. ∴an?n?1.

(2)∵an?n?1,∴bn?4n?(?1)n?1??2n?1,要使bn?1?bn恒成立,

n?1nn?2∴bn?1?bn?4?4???1???2???1?n∴3?4?3????1?n?1nn?1*??2n?1?0恒成立,

n?12n?1?0恒成立, ∴??1?n?1??2n?1恒成立.

(ⅰ)当n为奇数时,即??2恒成立,

n?1当且仅当n?1时,2有最小值为1, ∴??1.

(ⅱ)当n为偶数时,即???2当且仅当n?2时,?2n?1n?1恒成立,

有最大值?2,∴???2.

即?2???1,又?为非零整数,则???1.

*综上所述,存在???1,使得对任意n?N,都有bn?1?bn.

20.设?an?是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足a22?a32?a42?a52,S7?7。 (1)求数列?an?的通项公式及前n项和Sn; (2)试求所有的正整数m,使得

220.(1)设公差为d,则a2amam?1为数列?an?中的项. am?2222,由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3),因?a5?a4?a3为d?0,所以a4?a3?0,即2a1?5d?0,又由S7?7得7a1?7?6d?7,解得

2a1??5,d?2,

amam?1(2m?7)(2m?5)=,设2m?3?t,

2m?3am?2

(2)方法(一)

8amam?1(t?4)(t?2)?t??6, 所以t为8的约数 =

ttam?2

(方法二)因为

amam?1(am?2?4)(am?2?2)8为数列?an?中的项, ??am?2?6?am?2am?2am?2故

8 am+2为整数,又由(1)知:am?2为奇数,所以am?2?2m?3??1,即m?1,2

经检验,符合题意的正整数只有m?2。

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/a8jo.html

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