培优专题2 - 勾股定理及应用（含解答）-

第17章 勾股定理

点击一：勾股定理

勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a＋b = c． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．

因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：

（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；

（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b= c－a．

点击二：学会用拼图法验证勾股定理

拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理． 如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．

如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b－a），面积为（b－a）2，四个直角三角形的面积为4×

122

2

2

2

2

2

b a （1） （2）

（3）

c （图1）

ab = 2ab．

2

2

2

由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c =（b－a）＋2ab，则a＋b2 = c2问题得证．

请同学们自己证明图（2）、（3）．

1 - -

点击三：在数轴上表示无理数

将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用

直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a、b为直角三角形

的两条直角边，c为斜边，S?为面积，于是有：

(a?b)?a?2ab?b，a?b?c，2ab?4?22222212ab?4S?，

所以(a?b)2?c2?4S?.即S??

14[(a?b)?c].

22也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形

的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．

如图2，在Rt?ABC中,?C?900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则c2=a2+b2, b2=c2-a2,

点击六：勾股定理的应用

（1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．

（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n的线段． 针对练习:

1．下列说法正确的是（ ）

A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2

C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，?A?90?，则a2＋b2＝c2 D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，?C?90?，则a2＋b2＝c2

2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A．斜边长为25 B．三角形周长为25

C．斜边长为5 D．三角形面积为20

2

- -

a2=c2-b2 ,

A

C

B

3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

4．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为（ ）

-21A-101A．2-10 B．-2-10 C．2 D．-2

5．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A． 2倍

B． 4倍

C． 6倍

D． 8倍

6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm

7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33 8．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和

的面积为（ ） （Ａ）4

（Ｂ）6

（Ｃ）16

（Ｄ）55

b a

c l

11，则b9.已知直角三角形的周长为2＋7，斜边上的中线为1，求它的面积.

10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.

11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于 17cm，求CD的长.

3

- -

类型之一：勾股定理

例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm． 解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．

解：由勾股定理，得

13－5=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是

122

2

2

?B

×12×5 = 30（cm2）．

A ? 图3⑴

例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到 顶点B,则它走过的最短路程为( ) A．3a B．(1?2)a C．3a D．5a

解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的 各棱长相等,因此只有一种展开图．

解:将正方体侧面展开得,如图3⑵． 由图知AC=2a,BC=a． 根据勾股定理得AB?故选D．

类型之二：在数轴上表示无理数

例3：在数轴上作出表示10的点．

解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出．

解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为10的线段即可．

下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用

(2a)?a22 ?B

? A

?5a2C

图3⑵

?5a.

4 - -

例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=??=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．

OA1 OA2 OA3 OA4 OA5 OA6 OA7 7270

OA8 解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是

例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么?a?b?的值为（ ）

2（A）13 （B）19 （C）25 （D）169

解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①. 由题意，得 (b-a)=1 ②. 由②，得 a2+b2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.

∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25. 因此，选C.

说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：

它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》. 类型之四：勾股定理的应用 （一）求边长

2

例1： 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.

.

5

- -

（二）求面积

例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）

①观察图1－1.

正方形A中含有__________个小方格，

即A的面积是__________个单位面积；

正方形B中含有__________个小方格，

即B的面积是__________个单位面积；

正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.

②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？

③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？

（2）做一做：

①观察图1－3、图1－4，并填写下表：

6 - -

②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？

（3）议一议：

①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？

②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？

解析： 注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：

①9 9 9 9 18 18；

②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；

③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.

（2）①答案：

②答案：.

（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）

；

7 - -

②，

.

③成立. （三）作线段 例3 作长为

、

、

的线段．

解析： 作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）； 2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；

3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是 证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，

∵AB>0， ∴AB=

．

、

、

、

．

其他同理可证．

点评 由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于边长就是

．类似地也可作出

，直角边长为、1的直角三角形的斜??；将上图无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看． （四）证明平方关系

例4： 已知：如图，在?ABC中，?E??C?90?，AD是BC边上的中线，DE?AB于E，求证：AC2?AE2?BE.

22EBD解析： 根据勾股定理，在Rt?ACD中，AC在Rt?ADE中，ADDE22?AD2?CD， A2?AE2?DE，在Rt?BDE中， 2C?BD22?BE，

22∴AC?AE?DE2?CD22?AE22?BD22?BE2?CD. 2又∵BD?CD，∴AC?AE?BE.

点评 证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.

8

- -

（五）实际应用

例5： 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.

（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

解析 （1）由点A作AD⊥BC于D，

则AD就为城市A距台风中心的最短距离

在Rt△ABD中，∠B=30o，AB＝220，

∴AD=12AB=110.

由题意知，当A点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．

故该城市会受到这次台风的影响．

（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，

将会受到台风的影响，则AE＝AF＝160．当台风中心从E到F处时，

9 - -

该城市都会受到这次台风的影响.

由勾股定理得

∴EF＝2DE＝6015.

因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，

所以这次台风影响该城市的持续时间为

601515?415小时.

（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－

11020＝6.5级．

一、选择题

1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）

（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、12

2、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ）

A.25，48，80 B．15，17，62 C．25，59，74 D．32，60，68 3、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ） （A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米

5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（ ） （A）S1+S2>S3 （B）S1+S2

1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.

2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm．

2=S32

10 - -

3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ． 4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝ cm．

5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .

C60 A 8米 DB

120 AC 60 B 2米

140 第5题图

8米 第6题图

6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．

7、如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，又量得BC＝160 m，则A、B两点之间的距离为 m（结果保留根号）

8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而

c2＝ ＋ ．化简后即为c2＝ ．

c a

b

11 - -

9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 ．

10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ．

11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 . 12、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O的距离等于3米，同时梯下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序________________.

13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，可发现：4＝

32子的顶端B号是

40，41）、?，

k，则这组

?12，12＝

52?12，24＝

72?12，?，若设某组数的第一个数为

数为（k， ， ）． 三、解答题

1、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n a b c 2 22-1 4 22+1 3 32-1 6 32+1 4 42-1 8 42+1 5 52-1 10 52+1 ? ? ? ? （1） 分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：

a = ，b = ，c =

（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.

2、若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2 ，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：

12

- -

根据以上规律，回答以下问题：

（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？ （2） 写出各数都大于30的两组商高数．

（3） 用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论． 3、阅读并填空： 寻求某些勾股数的规律：

⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32?42?52，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到62?82?102和92?122?152，??若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 ．

⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为32?52?42，则有32?4?5； 若勾股数为5，12，13，则有52?12?13； 若勾股数为7，24，25，则有 ；??

若勾股数为m(m为奇数)，n， ，则有m2? ，用m来表示n＝ ； 当m?17时，则n＝ ，此时勾股数为 ． ⑶对于大于4的偶数：

若勾股数为6，8，10，因为6?10?8，则有??请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．

4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB?C?D?的位置，连结CC?，设AB?a,BC?b,AC?c，请利用四边形BCC?D?的面积证明勾股定理：

a?b?c.

222222D C?D?C

B?

c a

b B

A 第4题图

13 - -

5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF都是正方形. 证：△ABF≌△DAE

A AAA16?? B S1541SH A3G 3SE 45F 1D SA1212S6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.

(1)2?1?2,S1?12;(2)2?1?3,S2?22;

(3)2??4,S?332;?（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的长；

（3）求出S22S221?S2?3???S10的值．

一、选择题

1、 如图，字母A所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（A、13

B、85

C、8

D、都不对

2、 在Rt△ABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ） A、5

B、7

C、5或7

D、5或11

3、 等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（ ） A、56

B、48

C、40

D、32

14 C O1 ） A1- -

4、 若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（ ） A、2:3:4

B、3:4:6

C、5:12:13

D、4:6:7

5、 一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的面积（ ） A、5cm2

B、25cm2

C、10cm2

D、75cm2

6、 一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ） A、1:2:1

B、1:2:1

C、1:4:1 D、12:1:2

7、 斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（ ） A、81

B、82

C、83

D、84

8、若直角三角形中，有一个锐角为30?，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（ ） A、4cm

B、6cm

C、8cm

D、12cm

9、如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下面等式错误的是（ ） A、AC+DC=AD C、AD2=DE2+AC2

10.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是62

122

2

2

B、AD－DE＝AE

D、BD2－BE2＝

14222

BC2

和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（ ）

B、62

12A、6，4 二、填空：

，4 C、62

12，4

12 D、6， 4

12

1、在△ABC中， ∠C＝90°，a，b，c分别为∠A ∠B ∠C的对边 （1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a＝16，b=34则b=

15 - -

2、三边长分别为1，1，1的三角形是 角三角形.

3、在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC的面积是

4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为 m2

5、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点，?ACB?90?,AC?3,BC?4则图中阴影部分的面积 是

6、在Rt△ABC中，?C?90?,AB:AC?5:3且BC=136则AC=

7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是 斜边上的高为 8、 △ABC中， ?C?90?,?a?30?则a:b:c=

9、 三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别 为

10、有两根木条，长分别为60cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x长度的取值范围 三解答题

1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米 （1）求苗圃的占地面积

（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?

16

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2、如图在四边形ABCD中，?BAD?90?,?CBD?90?,AD?4,AB?3,BC?12求正方形DCEF的面积

3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长

4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．

5、如图己知在△ABC中，?C?90?,?B?15?,DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．

6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图?ACB?90?,AC?80米，BC=60米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？

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- -

勾股定理及应用

勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”． 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．

分析 由斜边长是2，周长是2+6，易知两直角边的和是6，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．

解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得：

222??a?b?2, ???a?b?2?2?22??a?b?4,即? ??a?b?6. 6①② ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2， ∴

12ab=

1212．

∴S=．

12因此，这个三角形的面积为 练习1

．

1．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，?求图形中阴影部分的面积．

CDABwww.czsx.com.cn2-1

18 - -

2．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．

3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ） A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13

例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，?若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？

分析 图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED′与四边形CFED全等，则对应边、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，则△ABF≌△AD′E，?由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积． 解：∵图形沿EF折叠后A、C重合， ∴四边形AFED′与CFED关于EF对称， 则四边形AFED′≌四边形CFED． ∴∠AFE=∠CFE．

∴AF=FC，∠D′=∠D=∠B=90° AB=CD=AD′． ∵AD∥BC， ∴∠AEF=∠EFC． ∴∠AEF=∠AFE． 则AE=AF．

∴Rt△ABF≌Rt△AD′E． 在Rt△ABF中，∵∠B=90°， ∴AB2+BF2=AF2．

设BF=x，b2+x2=（a-x）2， ∴x=

a?b2a22 2-2 ．

∴S=2S△ABF=2× 练习2

12bx=2×

12·b·

a?b2a22=

b(a?b)2a22．

19 - -

2-3

1．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=?3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B?离墙脚O?的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？

2-4

3．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，?则折叠后痕迹EF的长为（ ）

A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77

2-5

例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）?的三角形是否是直角三角形？ 分析 先确定最大边，?再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形． 解：∵n为正整数， ∴（2n+2n+1）-（2n+2n） =2n+2n+1-2n-2n=1>0，

（2n+2n+1）-（2n+1）=2n+2n+1-2n-1=2n>0． ∴2n2+2n+1为三角形中的最大边． 又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，

20

- -

2

2

2

2

2

2

2

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； （2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题； （3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然． 例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题． （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）直角三角形的两个锐角互余； （3）对顶角相等．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果??，那么??”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可． 练习

1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________．

2．命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A与∠B互余”的逆命题是________，它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题．

3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是___________，结论是_____________． 写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。 1、全等三角形的对应角相等； 2、自然数必为有理数； 3、若|a|＝|b|，则a＝b；

4、若a＝b，则

a?b233；

5、若x＝a，则

x?(a?b)x?ab?0；

解：1、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形。原命题为真命题，逆命题为假命题； 2、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题；

36

- -

3、逆命题为：若a＝b，则|a|＝|b|。原命题为假命题，逆命题为真命题； 4、逆命题为：若a?b，则a＝b。原命题为为真命题，逆命题为真命题；

5、逆命题为：若x?(a?b)x?ab?0，则x＝a。原命题为真命题，逆命题为假命题。 练习．写出下列命题的逆命题．

(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0． (2)如果a＞0，那么a2＞0． (3)等角的补角相等． (4)对顶角相等．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理． 四、互逆定理举例

1．等腰三角形的性质定理与判定定理 性质定理：等腰三角形底角相等．

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形． 角平分线的性质定理与判定定理

性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．

判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上． 3．线段垂直平分线的性质定理与判定定理

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等．

判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 4．勾股定理及其逆定理

23337 - -

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．即若用a，b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，则a2+b2=c2．

勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．即若用a，b，c表示一个三角形的三边长，其中c为最长边，且满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，边c所对的角是直角． 基础巩固题

1．下列语言是命题的是 ( ) A．画两条相等的线段

B．等于同一个角的两个角相等吗 C．延长线段AD到C，使OC=OA D．两直线平行，内错角相等

2．下列命题中真命题的个数是 ( )

①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为10； ②直角三角形的最大边长为3，最小边长为1，则另一边长为2； ③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41； ④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5． A．1个 B．2个 c．3个 D．4个 3．下列命题的逆命题是真命题的是 ( ) A．直角都相等 B．钝角都小于180。

C．如果x2+y2=0，那么x=y=0 D．对顶角相等

4．下列说法中，正确的是 ( ) A．一个定理的逆命题是正确的

B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的 C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

5．下列这些真命题中，其逆命题也真的是 ( ) A．全等三角形的对应角相等

38 - -

、

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形 C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 6．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )

A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8，10 D．8，39，40 7．证明一个命题是假命题的方法有__________．

8．将命题“所有直角都相等”改写成“如果??那么?”的形式为___________。 9．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

10．如图19—4—7所示，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+b＝4，ab=1，c=14。试判断△ABC的形状． 探究提高题

11．下列说法中，正确的是 ( ) A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 c．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题

12．下列定理中，没有逆定理的是 ( ) A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形中两锐角互余 c．相反数的绝对值相等 D．同位角相等，两直线平行 拓展延伸题

15．下列命题中的真命题是 ( ) A．锐角大于它的余角 B．锐角大于它的补角 c．钝角大于它的补角 D．锐角与钝角之和等于平角

16．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直． 其中，正确命题的个数为 ( )

39

- -

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

中考模拟

19．（2005·山西）如图19—4—12，正方形网格中，每 个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为有理数的边数有 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

点石成金

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法． 例．如图所示，已知：CD⊥AB于D，且AC2=AD·

40 - -

（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1． ∴（2n+2n+1）=（2n+2n）+（2n+1）．

∴这个三角形是直角三角形． 练习3

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=明理由．

142

2

2

2

2

BC，猜想AF?与EF的位置关系，并说

2-6

3．△ABC中的三边分别是m-1，2m，m+1（m>1），那么（ ） A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m+1． B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．

C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定． D．△ABC不是直角三角形．

例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5． 求证：△ABC是直角三角形．

分析 欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，?从而有△BDE?≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．

证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE． ∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．

2

2

2

21 - -

2-7

∴△ADC≌△BDE（SAS）． ∴BE=AC=12． ∴∠A=∠DBE． ∴AC∥BE．

在△BCE中，∵BC+BE=5+12=169． CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169． ∴BC2+BE2=CE2． ∴∠EBC=90°． 又∵AC∥BE，

∴∠ACB=180°-∠EBC=90°． ∴△ABC是直角三角形． 练习4

1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足ac-bc=a-b，试判断△ABC的形状． 先阅读下列解题过程：

解：∵a2c2-b2c2=a4-b4， ① ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）． ② ∴c2=a2+b2． ③ ∴△ABC为直角三角形． ④

问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________； （2）本题的正确结论是________．

2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．

22

2

2

2

2

2

2

2

2

3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，?PC=2，求∠BPC的度数．

例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长． 分析 若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt?△ADC的直角边．

22 - -

∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程． 解：作AE⊥BC于E． ∵AB=AC，AE⊥BC， ∴BE=EC=

12BC=

12×32=16．

2-10 在Rt△AEC中，

AE2=AC2-CE2=202-162=144， ∴AE=12． 设DE=x，

则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在Rt△ACD中，AD=CD-AC=（16+x）-20． ∴144+x2=（16+x）2-202 解得x=9．

2-11 ∴BD=BE-DE=16-9=7． 练习5

1．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．

求证：AD2=AC2+BD2．

2

2

2

2

2

2-12

2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．

2-13

3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？

23 - -

2-14

勾股定理及应用 答案: 练习1

1．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A、B为对称点（如图） ∵S=AB×BC，AB=2， ∴BC=AD=

S2．

12 根据对称性得DF=AB=1．

由于∠D=90°，据勾股定理得： AF=

AD?DF22?S24?1=12S?4 2 （2）以A、D为对称点（如图） ∴BF=

12BC=

S4．

由∠B=90°，据勾股定理得： AF=练习2 1．

214AB?BF22?4?S216=14S?64． 3．D

2（提示：利用Rt△ABE的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B

练习3

1．B 2．AF⊥EF（提示：连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC=

a2，EC=

a4，在Rt△ADF中，由勾股定理得：

24 - -

AF2=AD2+DF2=a2+（

a2）2=

54a2．

同理：在Rt△ECF中，EF2=（a2）2+（

a2524）=

16a，

在Rt△ABE中，BE=3a，则AE2=a2+9a2=2541616a2．

∵

52

4a+

52

52

16a=

216a，

∴AF2+EF2=AE2． ∴∠AFE=90°． ∴AF⊥EF．

3．A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定） 练习4

1．（1）③、④

（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2， ∴∠C=90°．

将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图） ∴CD=DE， AC=AE=5． 则△ACD≌△AED． 又BE=AB-AE=8．

设CD为x，则x2+82=（12-x）2． 解之得x=

103． ∴AD2=52+（

103）2． ∴AD=5133．

3．过点C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE，BE．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB． 即∠ACP=∠BCE．

∴△PCA≌△ECB（SAS）． ∴BE=AP=3． 在Rt△PCE中， PE2=PC2+CE2=8． 又∵BP2=1，BE2=9，

25

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