卢同善实变函数青岛海洋大学出版社第二章习题答案

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第二章习题答案

1. 若xm?x且ym?y,则?(xm,ym)??(x,y). 特别的, 若xm?x, 则?(xm,y)??(x,y).

证明:这实际上是表明?(x,y)是Rn?Rn上的连续函数. 利用三角不等式, 得到

?(xm,ym)??(x,y)??(xm,ym)??(x,ym)??(x,ym)??(x,y)??(x,xm)??(y,ym)?0,(m??).

2. 证明:若x1?O?x0,??,则??1??,使得O?x1,?1??O?x0,??.

证明:实际上取0??1????(x0,x1)即可,因为此时对任意的x?O?x1,?1?,有 ?(x,x0)??(x,x1)??(x1,x0)??1??(x1,x0)??,即x?O?x0,??.

3. 证明以下三条等价:(1).x0?E; (2). x0的任意邻域中都有E中的点;(3). 存在E中的点列?xn?收敛到x0. 进而,若x0?E,则存在??0,使得O(x0,?)?E??.

证明:注意到E?E?E'. (i).若(1)成立,则x0?E或x0?E'. 若前者成立,显然(2)成立;若后者x0?E'成立,由极限点的定义也有(2)成立. 总之,由(1)推出(2).

)?E??,在其中任选一点记为xn. 这样 (ii). 若(2)成立,则对任意的n,有O(x0,1n就得到点列?xn??E,使得?(xn,x0)?1n,即(3)成立.

(iii). 设(3)成立. 若存在某个n使得xn?x0,当然有x0?xn?E?E;若对任意的n,都有x0?xn,则根据极限点的性质知x0?E'?E. 总之,(1)成立. 5. 证明:A?B?A?B.

证明:因为?A?B?'?A'?B',所以有

A?B??A?B???A?B?'??A?B???A'?B'???A?A'???B?B'??A?B.

6. 在R1中,设E?Q?[0,1],求E',E. 解: E'?E?[0,1]

7. 在R2中,设E??(x,y):x2?y2?1?,求E',E. 解: E'?E??(x,y):x2?y2?1? ,?sin1x8. 在R中,设E是函数y???0,2x?0,x?0,的图形上的点的全体所成之集,求E'.

解: E'?E??(0,a):?1?a?1?. 因对任意的?1?a?1,有E上的点列

11??,y()??(0,a). ?2n??arcsina??2n??arcsina9. 证明:当E是不可数集时,E'也必是不可数集.

证明:注意到E??E?E'???E\\E'?. 而E\\E'是E中孤立点的全体,它是一个孤立集,故是至多可数集. 若E'不是不可数集,则E'是至多可数集,其子集E?E也必为至多可数集,就得到E??E?E'???E\\E'?也是至多可数集(因右边两个都是至多可数集),与题设矛盾. 所以E'必是不可数集.

10. 设E?R1,??infE,??supE, 证明??E,??E.

证明:由确界的定义知有E中的点列?xn?收敛到?,再由第3题即得结果. 11. 证明以下三个命题等价: (1) E是疏朗集. (2) E不含任何邻域. (3) (E)c是稠密集.

证明: (1)?(2):反证法 假设存在O(x,r)?E, 按闭包的等价定义, O(x,r)中任意点的任意邻域中都含有E中的点, 与疏朗集的定义矛盾.

(2)?(3):由假设, 对?x, ???0, 有O(x,?)?E, 从而O(x,?)?E一点的任一邻域中都有(E)中的点,也即(E)是稠密集.

(3)?(1):反证法 若E不是疏朗集,则存在O(x,?),使得O(x,?)中没有子邻域与E不相交. 这实际上意味着对任意的O(y,r)?O(x,?)都有O(y,r)?E??, 由r的任意小性知道y?E, 再由y的任意性知道O(y,r)?E, 由此知道Ecc'??c??,即任

??不是稠密的.

c由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q.

12. 设E?Rn,证明:E是疏朗集的充要条件是任一闭区间中均有子闭区间与E不相交. 证明:因为任一闭区间中必含开区间,而任一开区间中也必含闭区间. 13. 证明:疏朗集的余集必是稠密集,但稠密集的余集未必是疏朗集.

证明:由第11题知若E是疏朗集,则(E)是稠密集. 而由于E?E,故E从而由(E)c是稠密集得到Ec是稠密的. 反例:Q和Qc都是稠密集. 14. 构造反例说明:非稠密集未必是疏朗集,非疏朗集未必是稠密集.

反例:[0,1]

15. 证明:R1中的非空闭区间不能表示成可数个疏朗集的并. 证明:反证法. 若否,设[a,b]?c??c?E,

c??n?1En,其中?En?都是疏朗集. 利用12题,因E1疏

朗,故[a,b]中有非空子闭区间[a1,b1]?[a,b],使b1?a1?1且[a1,b1]?E1??;同样,因E2疏朗,存在[a2,b2]?[a1,b1],使b2?a2?到一列闭区间套?[an,bn]?,使得bn?an?1n12并且[a2,b2]?E2??;一直下去,得

?En??.

[an?1,bn?1]?[an,bn],,bn],且[an由数学分析中的闭区间套定理,存在唯一的x?[a,b]含于所有的闭区间?[an,bn]?,并且成立x?En(?n),这与x?[a,b]???n?1En矛盾.

16. 孤立集E?Rn必是至多可数集.

证明:令Ek?E?O(0,k),则?Ek?是有界集列,且E???k?1Ek,故只需要证明每

个Ek是至多可数集即可. 注意到Ek也是孤立集并且有界,方便起见,不妨仍记Ek为E.

这样,问题转为证明:有界的孤立集E是至多可数集. 任取x?E,由孤立性,存在

?(x)?0使得

)E?? O(x,?(x)? ?x. (*)

得到满足(*)式开球族?O(x,?(x)):x?E??K. 明显的,E和开球族K对等. 对K中的球按半径分类.

令Kn是K中半径大于

1n的球的全体. 则K???n?1Kn,若能证明每个Kn都是有限集,

就得到K是至多可数集,从而E是至多可数集.

下证明:Kn都是有限集. 注意到Kn中每个球的半径大于的球中(由(*)式),这表明各个球心之间的距离大于

1n1n,且每个球的球心不在其他

. 另一方面,这些球心是一致有界

的. 再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题,知Kn中只能有有限个球. 17. 设E?Rn,证明E是Rn中包含E的最小闭集.

证明:当然,E是包含E的闭集. 任取闭集F,且E?F. 来证E?F. 任取x0?E,则存在E中的点列?xn?收敛到x0(第3题中闭包的性质). 而E?F,所以点列?xn?含于

F中且收敛到x0,这表明x0?F. 又F是闭集,所以F?F,即有x0?F. 再由x0?E的任意性知E?F,即E是包含E的最小闭集.

18. 设f(x)是Rn上的实值连续函数. 证明:对任意的实数a,集合 ?x:f(x)?a?是开集, 集合?x:f(x)?a?是闭集.

证明:(1)任取?x:f(x)?a?中的点x0,则f(x0)?a. 由连续函数的性质(保号性)知:???0,使得当x?x0??时,恒有f(x)?a,即O(x0,?)??x:f(x)?a?,也就证明了x0是?x:f(x)?a?的内点. 由x0的任意性知?x:f(x)?a?是开集. (2)证明E??x:f(x)?a?是闭集.

法一. 类似于(1),知?x:f(x)?a?是开集. 由于开集的余集是闭集,所以

?x:f(x)?a???x:f(x)?a?是闭集.

c' 法二. 直接证. 任取x0?E,则存在点列?xn??E,使得limn??xn?x0. 再由函数的

连续性知limn??f(xn)?f(x0). 又f(xn)?a(?n),结合连续函数的性质(保号性),必

'有f(x0)?a,即x0?E. 由x0?E的任意性得到E'?E,也即E是闭集.

19. 证明:R1中可数个稠密的开集之交是稠密集. 证明:反证法. 设E???n?1En,其中?En?是一列稠密的开集. 若E不是稠密集,则存

在某个邻域O(x0,?)与E不相交,这时必有闭区间

I?[x0??2,x0??]?E. (1) 2c而

E?c???n?1En?c???n?1cEn, (2)

这里?Enc?是一列疏朗集(因为稠密开集的余集是疏朗的). ?Enc?I?也是一列疏朗集(疏朗集的子集当然是疏朗的),再由(1),(2)两式得到

I?I?E?I??c?n?1En?c??I?E?,

cn?1n?这表明非空闭区间I可以表示成一列疏朗集?Enc?I?的并,与第15题矛盾.

补:稠密开集E的余集Ec是疏朗的.

证明:反证法. 若Ec不是疏朗集,由疏朗集的等价条件(第11题)知存在邻域

cO(x0,?)?E. 又E是开集,所以E是闭集,故E?E. 结合起来有O(x0,?)?E,

cccc这表明O(x0,?)?E??,与E是稠密集矛盾. 20. 设f(x)是R1上的实函数. 令

?(x)?lim??0?supy?x??f(y)?infy?x??f(y)?.

??证明 :(1)对任意的??0,集合?x:?(x)???是闭集.

(2)f(x)的不连续点的全体成一F?集.

证明:注意到?(x)?lim??0supy',y''?O(x,?)?f(y)?f(y)?,它是f(x)在x处的振幅.

''' (1). 等价于证明E??x:?(x)???是开集. 任取x0?E,因为?(x0)??,由极限的性质,存在??0,使得

supy',y''?O(x0,?)?f(y)?'f(y)???.

''任取x?O(x0,?),则存在?1?0,使得O(x,?1)?O(x0,?). 显然有

supy',y''?O(x,?1)?f(y)?'f(y)??supy',y''?O(x''0,?)?f(y)?'f(y)???.

''这表明?(x)??,x?E. 故O(x0,?)?E,说明E中的点全是内点,E是开集. (2). 注意到连续点的振幅是零,不连续点的振幅大于零. 设不连续点的全体是K. 令Kn??x?R:?(x)???11??. 则?Kn?是闭集列,且K?n???n?1Kn,即K是F?集.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/a7uv.html

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