卢同善实变函数青岛海洋大学出版社第二章习题答案

第二章习题答案

1. 若xm?x且ym?y，则?(xm,ym)??(x,y). 特别的, 若xm?x， 则?(xm,y)??(x,y).

证明：这实际上是表明?(x,y)是Rn?Rn上的连续函数. 利用三角不等式, 得到

?(xm,ym)??(x,y)??(xm,ym)??(x,ym)??(x,ym)??(x,y)??(x,xm)??(y,ym)?0,(m??).

2. 证明：若x1?O?x0,??，则??1??，使得O?x1,?1??O?x0,??.

证明：实际上取0??1????(x0,x1)即可，因为此时对任意的x?O?x1,?1?，有 ?(x,x0)??(x,x1)??(x1,x0)??1??(x1,x0)??，即x?O?x0,??.

3. 证明以下三条等价：(1).x0?E; (2). x0的任意邻域中都有E中的点；(3). 存在E中的点列?xn?收敛到x0. 进而，若x0?E，则存在??0，使得O(x0,?)?E??.

证明：注意到E?E?E'. （i）.若（1）成立，则x0?E或x0?E'. 若前者成立，显然（2）成立；若后者x0?E'成立，由极限点的定义也有（2）成立. 总之，由（1）推出（2）.

)?E??，在其中任选一点记为xn. 这样 (ii). 若（2）成立，则对任意的n，有O(x0,1n就得到点列?xn??E，使得?(xn,x0)?1n，即（3）成立.

(iii). 设（3）成立. 若存在某个n使得xn?x0，当然有x0?xn?E?E；若对任意的n，都有x0?xn，则根据极限点的性质知x0?E'?E. 总之，（1）成立. 5. 证明：A?B?A?B.

证明：因为?A?B?'?A'?B'，所以有

A?B??A?B???A?B?'??A?B???A'?B'???A?A'???B?B'??A?B.

6. 在R1中，设E?Q?[0,1]，求E',E. 解： E'?E?[0,1]

7. 在R2中，设E??(x,y):x2?y2?1?，求E',E. 解： E'?E??(x,y):x2?y2?1? ,?sin1x8. 在R中，设E是函数y???0,2x?0,x?0,的图形上的点的全体所成之集，求E'.

解： E'?E??(0,a):?1?a?1?. 因对任意的?1?a?1，有E上的点列

11??,y()??(0,a). ?2n??arcsina??2n??arcsina9. 证明：当E是不可数集时，E'也必是不可数集.

证明：注意到E??E?E'???E\\E'?. 而E\\E'是E中孤立点的全体，它是一个孤立集，故是至多可数集. 若E'不是不可数集，则E'是至多可数集，其子集E?E也必为至多可数集，就得到E??E?E'???E\\E'?也是至多可数集（因右边两个都是至多可数集），与题设矛盾. 所以E'必是不可数集.

10. 设E?R1,??infE,??supE, 证明??E,??E.

证明：由确界的定义知有E中的点列?xn?收敛到?，再由第3题即得结果. 11. 证明以下三个命题等价: (1) E是疏朗集. (2) E不含任何邻域. (3) (E)c是稠密集.

证明： (1)?(2)：反证法 假设存在O(x,r)?E, 按闭包的等价定义, O(x,r)中任意点的任意邻域中都含有E中的点, 与疏朗集的定义矛盾.

(2)?(3)：由假设, 对?x, ???0, 有O(x,?)?E, 从而O(x,?)?E一点的任一邻域中都有(E)中的点，也即(E)是稠密集.

(3)?(1)：反证法 若E不是疏朗集，则存在O(x,?)，使得O(x,?)中没有子邻域与E不相交. 这实际上意味着对任意的O(y,r)?O(x,?)都有O(y,r)?E??, 由r的任意小性知道y?E, 再由y的任意性知道O(y,r)?E, 由此知道Ecc'??c??，即任

??不是稠密的.

c由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q.

12. 设E?Rn，证明：E是疏朗集的充要条件是任一闭区间中均有子闭区间与E不相交. 证明：因为任一闭区间中必含开区间，而任一开区间中也必含闭区间. 13. 证明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集.

证明：由第11题知若E是疏朗集，则(E)是稠密集. 而由于E?E，故E从而由(E)c是稠密集得到Ec是稠密的. 反例：Q和Qc都是稠密集. 14. 构造反例说明：非稠密集未必是疏朗集，非疏朗集未必是稠密集.

反例：[0,1]

15. 证明：R1中的非空闭区间不能表示成可数个疏朗集的并. 证明：反证法. 若否，设[a,b]?c??c?E，

c??n?1En，其中?En?都是疏朗集. 利用12题，因E1疏

朗，故[a,b]中有非空子闭区间[a1,b1]?[a,b]，使b1?a1?1且[a1,b1]?E1??；同样，因E2疏朗，存在[a2,b2]?[a1,b1]，使b2?a2?到一列闭区间套?[an,bn]?，使得bn?an?1n12并且[a2,b2]?E2??；一直下去，得

?En??.

[an?1,bn?1]?[an,bn]，,bn]，且[an由数学分析中的闭区间套定理，存在唯一的x?[a,b]含于所有的闭区间?[an,bn]?，并且成立x?En(?n)，这与x?[a,b]???n?1En矛盾.

16. 孤立集E?Rn必是至多可数集.

证明：令Ek?E?O(0,k)，则?Ek?是有界集列，且E???k?1Ek，故只需要证明每

个Ek是至多可数集即可. 注意到Ek也是孤立集并且有界，方便起见，不妨仍记Ek为E.

这样，问题转为证明：有界的孤立集E是至多可数集. 任取x?E，由孤立性，存在

?(x)?0使得

)E?? O(x,?(x)? ?x. （*）

得到满足（*）式开球族?O(x,?(x)):x?E??K. 明显的，E和开球族K对等. 对K中的球按半径分类.

令Kn是K中半径大于

1n的球的全体. 则K???n?1Kn，若能证明每个Kn都是有限集，

就得到K是至多可数集，从而E是至多可数集.

下证明：Kn都是有限集. 注意到Kn中每个球的半径大于的球中（由（*）式），这表明各个球心之间的距离大于

1n1n，且每个球的球心不在其他

. 另一方面，这些球心是一致有界

的. 再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题，知Kn中只能有有限个球. 17. 设E?Rn，证明E是Rn中包含E的最小闭集.

证明：当然，E是包含E的闭集. 任取闭集F，且E?F. 来证E?F. 任取x0?E，则存在E中的点列?xn?收敛到x0(第3题中闭包的性质). 而E?F，所以点列?xn?含于

F中且收敛到x0，这表明x0?F. 又F是闭集，所以F?F，即有x0?F. 再由x0?E的任意性知E?F，即E是包含E的最小闭集.

18. 设f(x)是Rn上的实值连续函数. 证明：对任意的实数a，集合 ?x:f(x)?a?是开集, 集合?x:f(x)?a?是闭集.

证明：（1）任取?x:f(x)?a?中的点x0，则f(x0)?a. 由连续函数的性质（保号性）知：???0，使得当x?x0??时，恒有f(x)?a，即O(x0,?)??x:f(x)?a?，也就证明了x0是?x:f(x)?a?的内点. 由x0的任意性知?x:f(x)?a?是开集. （2）证明E??x:f(x)?a?是闭集.

法一. 类似于（1），知?x:f(x)?a?是开集. 由于开集的余集是闭集，所以

?x:f(x)?a???x:f(x)?a?是闭集.

c' 法二. 直接证. 任取x0?E，则存在点列?xn??E，使得limn??xn?x0. 再由函数的

连续性知limn??f(xn)?f(x0). 又f(xn)?a(?n)，结合连续函数的性质（保号性），必

'有f(x0)?a，即x0?E. 由x0?E的任意性得到E'?E，也即E是闭集.

19. 证明：R1中可数个稠密的开集之交是稠密集. 证明：反证法. 设E???n?1En，其中?En?是一列稠密的开集. 若E不是稠密集，则存

在某个邻域O(x0,?)与E不相交，这时必有闭区间

I?[x0??2,x0??]?E. （1） 2c而

E?c???n?1En?c???n?1cEn， （2）

这里?Enc?是一列疏朗集(因为稠密开集的余集是疏朗的). ?Enc?I?也是一列疏朗集（疏朗集的子集当然是疏朗的），再由（1），（2）两式得到

I?I?E?I??c?n?1En?c??I?E?，

cn?1n?这表明非空闭区间I可以表示成一列疏朗集?Enc?I?的并，与第15题矛盾.

补：稠密开集E的余集Ec是疏朗的.

证明：反证法. 若Ec不是疏朗集，由疏朗集的等价条件（第11题）知存在邻域

cO(x0,?)?E. 又E是开集，所以E是闭集，故E?E. 结合起来有O(x0,?)?E，

cccc这表明O(x0,?)?E??，与E是稠密集矛盾. 20. 设f(x)是R1上的实函数. 令

?(x)?lim??0?supy?x??f(y)?infy?x??f(y)?.

??证明 ：（1）对任意的??0，集合?x:?(x)???是闭集.

（2）f(x)的不连续点的全体成一F?集.

证明：注意到?(x)?lim??0supy',y''?O(x,?)?f(y)?f(y)?，它是f(x)在x处的振幅.

''' （1）. 等价于证明E??x:?(x)???是开集. 任取x0?E，因为?(x0)??，由极限的性质，存在??0，使得

supy',y''?O(x0,?)?f(y)?'f(y)???.

''任取x?O(x0,?)，则存在?1?0，使得O(x,?1)?O(x0,?). 显然有

supy',y''?O(x,?1)?f(y)?'f(y)??supy',y''?O(x''0,?)?f(y)?'f(y)???.

''这表明?(x)??，x?E. 故O(x0,?)?E，说明E中的点全是内点，E是开集. （2）. 注意到连续点的振幅是零，不连续点的振幅大于零. 设不连续点的全体是K. 令Kn??x?R:?(x)???11??. 则?Kn?是闭集列，且K?n???n?1Kn，即K是F?集.

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