1.高三必过关题1 函数(1)

高三必过关题1 函数（1）

张家港市塘桥高级中学 罗小兵

一、填空题

例1 函数f(x)?答：[3，+?)

x?2?1log2(x?1)的定义域为 ．

?x?1?0?提示：要使f(x)有意义，则?x?1?1，解得x?3．

?x?2?1?0?

例2 若函数f(x)?(x?1)(x?a)为奇函数，则a= ．

x答：?1

提示：由函数f(x)为奇函数，则f(?1)??f(1)，解得a??1．

3例3 设函数f(x)?xcosx?1，若f(a)?11，则f(?a)? ．

答：?9

提示：利用f(?x)?f(x)?2即可得到答案．

?例4 若 ??{?1,0,,2}，则使函数y?x的定义域为R，且在（－∞，0）上单调递增的?13值为 ． 答：

1 3提示：利用幂函数的图像和性质即可得到答案．

例5 函数f(x)??x?3x?4的定义域为?m,3?，值域为?4,2?25?，则实数m的取值范围?4??是 ． 答：[0,]

提示：配方得f(x)??(x?)?得出m范围．

3232225，再利用二次函数的图像，抓住m与对称轴的比较以及值域4??)上是增函数，则m的取值范围是 ． 例6 若函数f(x)?mx2?x?5在??2，

1

答：?0，1?

?4????m?01?提示：（1）当m=0时满足条件； （2）当m?0时，则?1；解得m?[0,]．

4???2?2m?

例7 lg25?lg2lg50?(lg2)2= ． 答：2

提示：原式?lg52?lg2lg(5?10)?(lg2)2?2lg5?lg2(lg5?1)?(lg2)2

?2lg5?lg2(lg2?lg5)?lg2?2．

例8 若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式

f(x?1)?1?2的解集是 ．

答：?x|?1?x?2?

提示：由题知?2?f(x?1)?1?2，即?1?f(x?1)?3,单调性即可得到答案．

例9 已知f(3x)?4xlog23?233，则f(2)?(4f)答：2008

提示：?f(3x)?4xlog23?233?4log23x?233, ?f(x)?4lo2gx?由f(0)?3,(f1?)0?, 再利用函数的

(8?)f?(2??)f8的值等于 ．

2 33,?f(2)?f(4)?f(8)???f(28)?

8?233?4(log22?2log22?3log22???8log22)?1864?144?2008．

例10 设a?log3?,b?log23,c?log32，则a，b，c的大小关系是 ． 答： a?b?c 提示： ?log32?log22?log23?b?c

log23?log22?log33?log3??a?b?a?b?c．

例11 设f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?2x(1?x)，则f(?)? ． 答：?

521 22

提示：f(?)?f(?

52511111?2)?f(?)??f()??2?(1?)??． 22222213例12 定义在R上的偶函数f(x)在?0,???上递增，f()?0，则满足f(log1x)＞0的x

8的取值范围是 ． 答：?0,??1????2,??? 2?提示：由f(x)是定义在R上的偶函数，得f(x)?f(?x)?f(x)， 则f(log1x)＞0即f(log1x)?f()，于是log1x?888131?1?，解此得x??0,???2,???． 32??

例13 已知定义在R上的奇函数f?x?和偶函数g?x?满足f?x??g?x??ax?a?x?2

?a?0且a?1?，若g?2??a，则f?2?? ．

答：

15 42?2提示：由条件可得：f?2??g?2??a?a即?f?2??g?2??a?2?2，f??2??g??2??a?2?a2?2，

?a2?2，由此解得g?2??2，f?2??a2?a?2，

15． 42?2所以a?2，f?2??2?2?

logx,x?0??2例14 设函数f?x???log?x,x?0若f?a??f??a?，则实数a的取值范围

?1???2是 ．

答：a???1,0?U?1,???

提示：若a?0，则log2a?log1a，即2log2a?0，所以a?1，

2若a?0则log1??a??log2??a?，即2log2??a??0，所以0??a?1，?1?a?0．

2所以实数a的取值范围是a?1或?1?a?0，即a???1,0?U?1,???．

例15 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?2?3，则该函数的解析

3

x式为 ．

?2x?3,x?0?答：f(x)??0,x?0

??2?x?3,x?0?提示：当x?0,f(0)?0; 当x?0,?x?0,f(?x)?2?x?3??f(x)，所以f(x)??2?x?3．

例16 已知函数y=1?x?x?3的最大值为M,最小值为m,则

m的值为 ． M答：

2 2?1?x?0提示：由???3?x?1， 又y2?4?21?x?x?3?4?2(1?x)(x?3)，且y?0，

?x?3?0所以当x??1时，y取最大值M?22，当x??3或1时y取最小值m?2 ?

x例17 若函数f(x)?a?x?a(a?且0m2． ?M2有a?1)两个零点，则实数a的取值范围

是 ．

答：a?1

提示：设函数y?ax(a?0,且a?1}和函数y?x?a, 则函数f(x)?ax?x?a(a?0且a?1)有两个零点, 就是函数y?ax（a?0且a?1）与函数y?x?a有两个交点．

由图象可知，当0?a?1时两函数只有一个交点, 不符合, 当a?1时, 因为函数y?ax(a?1)的图象过点(0, 1), 而直线y?x?a所过的点一定在点(0, 1)的上方, 所以一定有两个交点． 所以实数a的取值范围是a?1．

例18 已知关于x的方程x?kx?k?3?0（k为实数）有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是 ． 答：

22 32提示：设f(x)?x?kx?k?3，因为方程有两个正根，设两正根为x1,x2,

4

???0?k??2或k?6??k???k?6 则???0??k?0?2?k??3???f(0)?k?3?0?

例19 设函数f(x)?211x1?x2k3，因此，当k?6时取最小值． ????1?3x1x2x1x2k?3k?3ax2?bx?c(a?0)的定义域为D，若所有点(s,f(t))(s,t?D)构成

一个正方形区域，则a的值为 ．

答：?4

提示：设ax?bx?c?0的两根为x1,x2，由题得|x1?x2|?fmax(x)，

2b2?4ac4ac?b2即，得到|a|?2?a，即a??4． ?2a4a

例20 设函数f?x??x2?1．对任意x??,???，f?恒成立，则实数m的取值范围是 ． 答：???,??3?2???x?2??4mf?x??f?x?1??4f?m??m?????3??3U,?? ????2??2?提示：不等式化为f?x?1??4f?m??f??x?2??4mf?x??0，即 ?m?x212?21??4mx?2x?3?0， ?x?1??1?4m?4?2?1?4m2x2?4m2?0，整理得???2m?m?22因为x?0，所以1?212x?32x?3?3?2?4m?gx?，设，x?,?????． ?m2x2x22??于是题目化为1?1?3?2?4m?gx，对任意恒成立的问题． x?,?????2?m?2?2x?312?3?u?0?u?，的最大值．设，则． x?,????x2x32??2为此需求g?x??函数g?x??h?u??3u?2u在区间?0,?上是增函数，因而在u?处取得最大值．

3?3?

5

?2?2

1842?28?2?h???3???，所以1?2?4m2?umax?x??，

m3933?3?2242整理得12m?5m?3?0，即4m?33m?1?0，

????所以4m?3?0，解得m??233或m?， 22????3??3U,??． ????2??2?因此实数m的取值范围是m????,?

二、解答题

x例21 已知函数f(x)?2?1． 2|x|（1）若f(x)?2，求x的值；

（2）若2f(2t)?mf(t)≥0对于t?[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

tx解：（1）当x?0时，f(x)?0；当x?0时，f(x)?2?1 x2x由条件可知2?1?2，即22x?2?2x?1?0 解得 2x?1?2 x2∵x?0∴x?log2(1?2)

t2t（2）当t?[1,2]时，2(2?11t)?m(2?)?0 2tt222t4t2t2t即m(2?1)??(2?1)，∵2?1?0，∴m??(2?1)

∵t?[1,2]，∴?(22t?1)?[?17,?5]

故m的取值范围是[?5,??)．

例22 设二次函数f(x)?ax?bx?c在区间??2,2?上的最大值、最小值分别是M、m，集

2合A??x|f(x)?x?.

(1)若A?{1,2}，且f(0)?2，求M和m的值；

(2)若A?2?，且a?1，记g(a)?M?m，求g(a)的最小值.

6

?2解：（1）由f(0)?2可知c?2，又A?1，2，故1，2是方程ax?(b?1)x?c?0的两实根. ??

1-b?1+2=??a解得a?1,b??2 ??,c?2=?a?

?f(x)?x2?2x?2?(x?1)2?1,x???2,2?

当x?1时，f(x)min?f(1)?1,即m?1

当x??2时，f(x)max?f(?2)?10,即M?10.

（2）由题意知，方程ax2?(b?1)x?c?0有两相等实根x=2,

1-b?2+2=??b=1-4a?a ?f(x)?a2x?(1?4a)x?4a,?x??,即???? 2,2?c=4a?4?c?a?其对称轴方程为x?1?3?4a?11?2?,又a?1,故2???,2?

2a?2?2a2a

8a?1?4a?1??, ?M?f(?2)?16a?2, m?f??4a?2a??g(a)?M?m?16a?1 4a63.4

又g(a)在区间?1,???上为单调递增的，?当a?1时，g(a)min?

xx例23 已知函数f(x)?a?2?b?3，其中常数a,b满足a?b?0 （1）若a?b?0，判断函数f(x)的单调性；

（2）若a?b?0，求f(x?1)?f(x)时的x的取值范围． 解：（1） 当a?0,b?0时，任意x1,x2?R,x1?x2， 则f(x1)?f(x2)?a(21?22)?b(31?32)

∵ 21?22,a?0?a(21?22)?0，31?32,b?0?b(31?32)?0，

7

xxxxxxxxxxxx∴ f(x1)?f(x2)?0，函数f(x)在R上是增函数． 当a?0,b?0时，同理函数f(x)在R上是减函数．

（2）f(x?1)?f(x)?a?2x?2b?3x?0，当a?0,b?0时，()??32xaa，则x?l og(3?)；2b2b2当a?0,b?0时，()??

32xaa，则x?log3(?)． 2b2b2例24 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的

车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0?x?200时，求函数v?x?的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f?x??x?v?x?可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

解：（1）由题意：当0?x?20时，v?x??60；当20?x?200时，设v?x??ax?b，

1?a????200a?b?0?3显然v?x??ax?b在?20,200?是减函数，由已知得?，解得?

200?20a?b?60?b??3?0?x?20,?60,?故函数v?x?的表达式为v?x?=?1

?200?x?,20?x?200.??30?x?20,?60x,?（2）依题意并由（Ⅰ）可得f?x???1

??x200?x,20?x?200.??3当0?x?20时，f?x?为增函数，故当x?20时，其最大值为60?20?1200；

11?x??200?x??10000当20?x?200时，f?x??x?200?x???， ??33?23?2当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立．

8

10000． 310000?3333， 综上，当x?100时，f?x?在区间?0,200?上取得最大值3所以，当x?100时，f?x?在区间?20,200?上取得最大值

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

例25 已知函数f(x)满足f(logax)?a(x?x?1)，其中a?0且a?1． 2a?1（1）对于函数f(x)，当x?(?1,1)时，f(1?m)?f(1?m2)?0，求实数m的取值集合； （2）当x?(??,2)时，f(x)?4的值恒为负数，求a的取值范围．

tx解：（1）令loga?t?t?R?，则x?a，所以f?t??a??at?a?t?， 2a?1aax?x?a?af?x???a?x?ax???f?x?． ，故x?R??????22a?1a?1所以f?x?在???,???上是奇函数，而且当a?1时，由复合函数单调性易得f?x?在???,???即 f?x??单调递增，当0?a?1时，f?x?在???,???单调递增也是单调递增，因此当a?0且a?1，

f?x?在???,???始终单调递增．

22由f?1?m??f1?m?0及f?x?是奇函数，得f?1?m??fm?1，再由f?x?的单调性

??????1?1?m?1?2及定义域得??1?1?m?1， 解得1?m?2．

?1?m?m2?1?（2）因为f?x?是R上的增函数，所以f?x??4在R上也是增函数．

由x?2，得f?x??f?2?．要使f?x??4在???,2?上恒为负数，只需f?2??4?0，即

a??a2?a?2??4?0，解得a?2?3,1?1,2?3． 2a?1????

例26 已知二次函数f(x)?ax?bx?c(a,b,c?R)，且同时满足下列条件： ①f(?1)?0；② 对于任意的实数x，都有f(x)?x?0；③ 当x?(0,2)时，有f(x)?(（1）求f(1)的值； （2）求a,b,c的值；

（3）当x???1,1?时，函数g(x)?f(x)?mx（m是实数）是单调函数，求m的取值范围． 解：（1）?f?x??x?0对一切x?R恒成立，?f?1??1?0，即f?1??1，

9

2x?12)． 2?x?1?又?当x??0,2?时，f?x????，所以f?1??1．从而f?1??1．

?2?（2）f?1??1，?a?b?c?1．又f??1??0，?a?b?c?1，解之得b?a?c?由f?x??x?0即ax2?即?4a?1??0，?a?（3）g?x??221． 211?1??1?x???a??0在R上恒成立，得???4a??a??0，

42?2??2?11111．从而c?．即a,b,c的值分别为,,． 44424121111?1?x?x??mx?x2??m??x?． 42442?4?11m?2??1或2?1，?m?0或m?1． 则要使g?x?在??1,1?上是单调函数，只要

112?2?44m? 10

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