初三数学复习讲义

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§1 有理数及其运算

一、课前预习 （一）：【知识梳理】

1.实数的有关概念

(1)有理数: 和 统称为有理数。 (2)有理数分类

①按定义分: ②按符号分:

???(?有理数???(???(?)?0?(??()??()??(?)；有理数??0?)?(?)??()??(?()??())

))（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a、b互为相反数，则 。 （4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a（a≠0）的倒数为（6）绝对值：

（7）无理数： 小数叫做无理数。 （8）实数： 和 统称为实数。 （9）实数和 的点一一对应。

??)??( ???1.则 。 a

??(??2.实数的分类:实数?

?

? ??(

????(?)???(???()??()?零?(??()??()??()???)?()???)?))3.科学记数法、近似数和有效数字

n

（1）科学记数法：把一个数记成±a310的形式（其中1≤a<10，n是整数）

（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。

（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字

的有效数字。

（二）：【课前练习】 1．|－22|的值是（ ）

A．－2 B.2 C．4 D．－4

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2．下列说法不正确的是（ ）

A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数

C．有最大的负数 D．有绝对值最小的有理数

022??2、sin450、0、9、0.2020020002???、、这七个数中，无理数有（ ） 3．在

273?? A．1个；B．2个；C．3个；D．4个 4．下列命题中正确的是（ ）

A．有限小数是有理数 B．数轴上的点与有理数一一对应

C．无限小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应

5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万

二：【经典考题剖析】

1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东

300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：

?,2?1,cos45,-cos60, 2．下列各数中：-1，0，169，2，1.101001??,0.6???2222,2,77??.

有理数集合{ ?}； 正数集合{ ?}； 整数集合{ ?}； 自然数集合{ ?}； 分数集合{ ?}； 无理数集合{ ?}； 绝对值最小的数的集合{ ?}；

3. 已知(x-2)+|y-4|+z?6=0，求xyz的值．．

2

4．已知a与 b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2求2(a?b)3?2(cd)m?

5. a、b在数轴上的位置如图所示，且a＞b，化简a?a?b?b?a

1?2m 的值 m2a0b

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§2 实数的运算

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则

(1)有理数加法法则：

①同号两数相加，取________的符号，并把__________

②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。互为相反数的两个数相加得____。 ③一个数同0相加，__________________。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。 (3)有理数乘法法则：

①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。任何数同0相乘，

都得________。

②几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定。当______________，

积为负，当_____________，积为正。

③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________. (4)有理数除法法则：

①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。 ②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。 0除以任何一个

____________________的数，都得0

(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________； 负数的__________是负数， 负数的__________是正数 (6)有理数混合运算法则：

先算________，再算__________，最后算___________。 如果有括号，就_______________________________。

2.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 3.运算律

（1）加法交换律：_____________。 （2）加法结合律：____________。 （3）乘法交换律：_____________。 （4）乘法结合律：____________。 （5）乘法分配律：_________________________。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法：

a?b＞0?a＞b，a?b=0?a?b，a?b＜0?a＜ b （2）商值比较法：

aaa若a、b为两正数，则＞1?a＞b；?1?a?b;＜1?a＜b

bbb （3）绝对值比较法：

若a、b为两负数，则a＞b?a＜b；a?b?a?b；a＜b?a＞b （4）两数平方法：如15?5与13?7 龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 3 -

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5.三个重要的非负数：

（二）：【课前练习】

1. 下列说法中，正确的是（ ）

A．|m|与—m互为相反数 B．2?1与2?1互为倒数 C．1998．8用科学计数法表示为1．9988310

D．0．4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0．50

2. 在函数y?2

11?x中，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1

3. 按鍵顺序－122÷4＝，结果是 。 4.16的平方根是______ 5.计算

(1) 3÷(－3)+|－

2

2

1 |3(－ 6)+49； 6(2) (32-23)2-(32+23)

二：【经典考题剖析】

1.已知x、y是实数， 3x?4?y2?6y?9?0,若axy?3x?y,求实数a的值.

2.请在下列6个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差:42,1,?24,?,27,(?1)0

23

3.比较大小:(1)35与211,(2)15?5与13?7,(3)10?3与3-22

1234

4.探索规律:3=3，个位数字是3；3=9，个位数字是9；3=27，个位数字是7；3=81，个位数字是1；

56720

3=243，个位数字是3；3=729，个位数字是9；?那么3的个位数字是 ；3的个位数字是 ； 5.计算：

?1?(?2)3?(?1)4?(?12)2???()2??2?； （1）

20.25?4??1?3?(?2)???（2）(2)?1?(2001?tan300)0?(?2)2?1?1 3162?1龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 4 -

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§3 数的开方和二次根式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.平方根与立方根

2

(1)如果x=a，那么x叫做a的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。

3

（2）如果x=a，那么x叫做a的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立

方根；零的立方根是 ；

2.二次根式

（1） （2）

（3）

（4）二次根式的性质

2 ①若a?0,则(a)? ；③ab? (a?0,b?0)

②a2?a???a(??a())；④aa?(a?0,b?0) bb （5）二次根式的运算

①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；

②乘法：应用公式a?b?ab(a?0,b?0)；

③除法：应用公式aa?(a?0,b?0)

bb④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。

（二）：【课前练习】

1.填空题

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2. 判断题

3. 如果(x-2)2=2-x那么x取值范围是（） A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A．x2+1 B.x2y5 C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②23③2；④27和3是同类二次根式的是（ ） 3 A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④

二：【经典考题剖析】

1. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a －6a+9+b?4?|c?5|?0，试判断△ABC的形状．

2. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）?2x?3； （2）2

11?x； （3） 2x?1x?43.找出下列二次根式中的最简二次根式：

a11x2?y 27x,x?y,2ab,0.1x,,?21,?x,?,2ab22224.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：

3,75,18,5. 化简与计算

1112a ,2,,,8ab3(b?0),?3b27255032b11m2?4m?47①675；②4?4x?x(x?2)；③；④?(m??)

1625m2?6m?922 ⑤

?2?3?6???22?3?6；⑥23?32?623?32?6

?2????龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 6 -

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§4 整式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.整式有关概念

（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中____________叫做这个单项

式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；

（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。____________ 叫做常数项。

多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。多项式中____________的个数，就是

这个多项式的项数。 2.同类项、合并同类项

（1）同类项：________________________________ 叫做同类项； （2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项； （3）合并同类项法则： 。 （4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________

（5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“－”

号，括到括号里的各项的符号都 。 3.整式的运算

（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。 （2）整式的乘除法： ①幂的运算：

am?an?am?n;am?an?am?n;(am)n?amn;(ab)n?anbn 10?pa?1,a?p(a?0,p为整数)a②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。 单项式乘以多项式：m(a?b)? 。 单项式乘以多项式：(m?n)(a?b)? 。 ③乘法公式：

平方差： 。 完全平方公式： 。

a、b型公式：(x?a)(x?b)?x2?(a?b)x?ab

④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

（二）：【课前练习】

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1 1. 代数式－4x2y2+xy3-1有___项，每项系数分别是 __________.

2ab+252-b

2. 若代数式－2xy与3xy是同类项，则代数式3a－b=_______

3. 合并同类项：⑴-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x2y?5xy2?4x2?3xy2 4. 下列计算中，正确的是（ ）

33 623222

A．2a+3b=5ab；B．a2a=a；C．a÷a=a ；D．（－ab）=ab5. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ）． ①（2a－3b）（3b－2a）；②（－2a ＋3b）（2a+3b） ③（－2a +3b）（－2a －3b）；④（2a+3b）（－2a－3b）．

A．①②；B．②③；C．③④ ；D．①④

二：【经典考题剖析】

1.计算：－7ab+3ab－｛[4ab-(2ab-3ab)]-4ab-(11abb-31ab－6ab｝

2. 若x3m=4,y3n=5,求(x)+(y)3－x2y的值．

22

3. 已知：A=2x+3ax－2x－1, B=－x+ax－1，且3A+6B的值与 x无关，求a的值．

2

4. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）（其中n为正整数）展

4

开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）展开式中的系数：

1

(a+b)=a +b；

222

(a+b)=a+2ab+b

33223

(a+b)=a +3a b+3ab+b 44322

则(a+b)=____a+____a b+___ a b+_____

6

(a+b)=

5. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还

22

有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a+b)=2a＋3ab+ b就可以用图l－l－l或图l－l－2等图形的面积表示．

（1）请写出图l－1－3所表示的代数恒等式： （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

22

（a+b）（a+3b）＝a＋4ab十3b．

（3）请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒

等式，并画出与之对应的几何图形． 龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 8 -

2m3

n

2m

n

2

2

2

2

2

2

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§5 因式分解

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

2．分解困式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多

项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；

3．分解因式的步骤：

（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．

（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区：

提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

（二）：【课前练习】

1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）

223

A．3x－2与 6x－4x B.3（a－b）与11（b－a） C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） A.x2?1?(x?1)(x?1) ;B.1?4y2?(1?2y)(1?2y)2222 C.81x?64y?(9x?8y)(9x?8y);D.(?2y)?x?(?2y?x)(2y?x)3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）

A.9x2?49y2 B.?9x2?49y22222 C.9x?49y D.?(9x?49y)

22

4. 分解因式：x+2xy+y－4 =_____

5. 分解因式：（1）9n2??22?2；2a2??22?2

（2）x?y? ；（3）25x?9y? ； （4）(a?b)?4(a?b)；（5）以上三题用了 公式

22二：【经典考题剖析】

1. 分解因式：

3233（1）xy?xy；（2）3x?18x?27x；（3）?x?1??x?1；（4）4?x?y??2?y?x?

223分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。 ②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意?a?b?2n??b?a?，?a?b?2n2n?1???b?a?2n?1

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④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。 2. 分解因式：

（1）x?3xy?10y；（2）2xy?2xy?12xy；（3）x?4223223?2?2?16x2

分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。 3. 计算：（1）?1???1??1??1??1? 1????1?1??2??2?2??2?2??3??9??10?2222222（2）2002?2001?2000?1999?1998?????2?1 分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。 4. 分解因式：（1）4x2?4xy?y2?z2；（2）a?a?2b?2ab

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法， 5. （1）在实数范围内分解因式：x?4；

（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a?b?c?ab?bc?ac，

222324求证：△ABC为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a?b?c， 从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式?a?b?2??b?c?2??c?a?2?0， 即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：a?b?c?ab?bc?ac?0

2a?2b?2c?2ab?2bc?2ac?0

222??????a?b?b?c?c?a?0

222222 ∴a?b?c

即△ABC为等边三角形。

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§6 分式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分式有关概念

（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：

①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的

主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。

（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通

分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。 （5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。 2．分式性质：

（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 ．即：

AA?MA?M??(其中M?0) BB?MB?M（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。即：

?aaa?a????? b?bb?b3.分式的运算：? 注意：为运算简便，运用分式 aba?b?同分母?????ccc的基本性质及分式的符号法 ?加减?acad?bc?则： ?异分母????bdbd? ①若分式的分子与分母的各项 ?acac??系数是分数或小数时，一般要化为整数。 乘?????bdbd ②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数分式运算?乘除?acadad??除时，一般要化为正数。 ??????bdbcbc? ?anan? 乘方()?n(n为整数)?bb （1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母的分式?? ，化为 的分式，然后再按 进行计算 相加减，先?（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ；

（3）分式乘方是____________________，公式_________________。

4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。 5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．

（二）：【课前练习】 1. 判断对错：

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①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ） ②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ） ③当a≠0时，分式

11＝0有意义（ ）； ④当a＝0时，分式＝0无意义（ ） aax?y12x212x2,x?13,,,,中，整式和分式的个数分别为（ ） 2. 在3x,0,323xx?y? A．5，3 B．7，1 C．6，2 D．5，2 3. 若将分式

a?b (a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则 ab11；C．不变；D．缩小为原来的 24分式的值为（ ）

A．扩大为原来的2倍 ；B．缩小为原来的

9?x24.分式2约分的结果是 。

x?6x?95. 分式

xy,,7(y?2)的最简公分母是 。

4(x?y)(y?2)6(y?x)(2?y)x?5x2?4x?5二：【经典考题剖析】

1. 已知分式

,当x≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为0．

x2?x?22. 若分式的值为0，则x的值为（ ）

x?1 A．x=－1或x=2 B、x=0 C．x=2 D．x=－1

3xxx2?1?)?3.（1） 先化简，再求值：(，其中x?2?2. x?1x?1xx2?2x1?(1?)化简，然后请你自选一个合理的x值，求原式的值。 （2）先将

x?1x（3）已知4.计算

xyzx?y?z???0，求的值 346x?y?za2?41x2?2x?1?x?4??a?2???x?2；（1）；（2）（3）?1?? ??2a?2a?2x?2xx?2x?2x??（4）??211242?x?y??x?y???；（5） ??x?y????241?x1?x1?x1?xx???3xx?y?3x分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把??x?2?当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。对于特殊题型，可根

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据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（4）题可以将?x?y看作一个整体??x?y?，然后用分配律进行计算；（5）题可采用逐步通分的方法，即先算依次类推。

5. 阅读下面题目的计算过程：

112?，用其结果再与相加，1?x1?x1?x2

2?x?1?x?32x?3?＝ ① ?x2?11?x?x?1??x?1??x?1??x?1? ＝?x?3??2?x?1? ②

＝x?3?2x?2 ③ ＝?x?1 ④

（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。

小结：代数式的初步知识

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 代数式的分类: 有理式

代数式

无理式

2. 代数式的有关概念

(1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子

叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．

（2）有理式： 和 统称有理式。 （3）无理式：

3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。

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§7 一次方程

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

??整式方程有理方程? 1.方程的分类 方程???分式方程 ??无理方程2.方程的有关概念

（1）方程：含有 的等式叫方程。

（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。 （3）无理方程：__________ 叫做无理方程。 （4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。 （5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。 （6）方程的解： 叫做方程的解。 （7）解方程： _叫做解方程。 （8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。 （9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________

②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项： 步骤 去分母 去括号 移项 合并 同 类项 系数 化 为1 合并同 类 项法则 具体做法 依据 等式性质 乘法分配 律、去括 号法则 移项法则 注意事项 等式性质 5. 二元一次方程组的解法． （1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其

中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．

（2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法

叫做加减消元法，简称加减法． 龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 15 -

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6．整体思想解方程组． （1）整体代入．如解方程组??3(x?1)?y?5 ①?5(y?1)?3(x?5) ②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的

（3x+5）看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y．然后求出方程组的解．

?1x+3y?19 ①?3（2）整体加减，如?因为方程①和②的未知数?1?3x+y?11 ②?3?x、y的系数正好对调，所以可采用两

个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①

得x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x，y． 7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系． 联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．

8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点， 9.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．

（二）：【课前练习】

1. 若(3?2x)∶2＝(3?2x)∶5，则x＝ 。

2. 如果

2x?32与x?3的值互为相反数，则x＝ 。 533. 已知??x?1?ax?by?12是方程组?的解，则a?b＝ 。

?y??1?4x?by?24?2m?14. 若单项式ab2m2m?7与?ab是同类项，则m＝（ ）

3 A.2 B.±2 C.－2 D.4 5. 已知方程组??5x?y?3?x?2y?5与?有相同的解，则a、b的值为（ ）

?ax?5y?4?5x?by?1?a?1?a??4?a??6?a?14A、? B、? C、? D、?

b?2b??6b?2b?2????二：【经典考题剖析】

x?37x??1 1. 解方程：2(x?1)?32k(x?3)k(x?2)1?2x?3x?2. 若关于x的方程：10?与方程5?2(x?1)?的解相同，求k的值。 543龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 16 -

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3. 在代数式ax?by?m中，当x?2,y?3,m?4时，它的值是零；当x??3,y??6,

m?4时，它的值是4；求a、b的值。

4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）

A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 10种

解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为张（x、y为非负数），则有：

2x?y?10?y?10?2x，0?x?5且x为整数?x?0、1、2、3、4、5。

5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。

（1）当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；

（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。 略解：（1）设CE线长为x千米，列方程可得x＝0.4。

11.2（2）分A→D→C→B→E→A环线和A→D→C→E→B→E→A

?D?Cx环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时，

?故先后者。 E0.4? 1.6B 1? A问题二图

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§8 一元二次方程

（一）：【知识梳理】

1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。它

的一般形式是 （其中 、 ）

它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有

实数根；当△＜0时，方程有 实数根；

一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ） 2．一元二次方程的解法：

⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方

2

法解一元二次方程：ax＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程

两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m)2=n的形式；⑤如果n?0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．

⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b2?4ac?0)

注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 3．一元二次方程的注意事项：

⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二

22

次方程．如关于x的方程（k－1）x+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．

⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、

222

c的值；③求出b－4ac的值；④若b－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b－4a＜0，则方程无解．

2

⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）

⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．

（二）：【课前练习】

1. 用直接开平方法解方程(x?3)?8，得方程的根为（ ）

A. x?3?23 B. x1?3?22,x2?3?22 C. x?3?22 D. x1?3?23,x2?3?23 2. 方程x(x?1)?0的根是（ ）

A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1

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3. 设(x?1)(x?2)?0的两根为x1、x2，且x1＞x2，则x1?2x2＝ 。 4. 已知关于x的方程4x?4kx?k?0的一个根是－2，那么k＝ 。

224x? ＝(x?________)2 3二：【经典考题剖析】

5.x?2 1. 分别用公式法和配方法解方程：2x?3x?2

分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关

键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。

2. 选择适当的方法解下列方程：

（1）7(2x?3)2?28； （2）y2?2y?399?0

（3）2x?1?25x； （4）(2x?1)2?3(2x?1)?2?0

分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

222223. 已知(a?b)?(a?b)?6?0，求a?b的值。

2222 分析：已知等式可以看作是以a?b为未知数的一元二次方程，并注意a?b的值应为非负数。 4. 解关于x的方程：(a?1)x?2ax?a?0

22222分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当a＝1时，是一元一次方程；当a≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。

5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．

2

已知：m是关于x的方程mx －2x＋m＝0的一个根，求m的值．

32

解：把x=m代人原方程，化简得m=m，两边同时除以m，得m =1，所以m=l，

把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．

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§9 分式方程及应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；

3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出

现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有 和 。

（二）：【课前练习】

11?x??1的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） 1. 把分式方程

x?22?xA．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2

23??2的根是（ ） xx?111 A.－2 B. C.－2， D.－2，1

2212mx?13. 当m=_____时，方程?2的根为

m?x22. 方程4. 如果

AB5x?4，则 A=____ B＝________. ??2x?5x?2x?3x?10ax?1??3有增根，则增根为_____，a=________. x?2x?25. 若方程

二：【经典考题剖析】

2xx52?x11 1. 解下列分式方程： （）1??1；（2）??1；（ 3）??；xx?32x?55?2xx?32x?3x?2x2?13(x?1)1??1??（4）x??；（5）?2?4；（6）2?x2?2??3?x???1 分析：

x?22?xx?1x?1x??x??（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别

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1x2?1设y?，y?x?，解后勿忘检验。

xx?1

?1111???A?B??xy3?11??32. 解方程组：? 分析：此题不宜去分母，可设＝A，?＝B得：?，用根与系

xy?A?B??2?1?1?2??9??xy9数的关系可解出A、B，再求x、y，解出后仍需要检验。

3. 若关于x的分式方程

2m6?x??2有增根，求m的值。 x?2x?2x?4

4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，

3

而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m，求该市今年居民用水的价格．

33

解：设市去年居民用水的价格为x元／m，则今年用水价格为(1+25％) x元／m．根据题意，得

3618??6， 解得x=1.8

(1?25%)xx 经检验，x=1．8是原方程的解．所以(1?25%)x?2.25 ．

答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m．

点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根据题意

3

找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m.

5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？

略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精加工，用时间列方程解得x?60，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。 龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 22 -

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§10 方程及方程组的应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.列方程解应用题常用的相等关系

题型 工作 （工程） 问题 比例问题 年龄问题 利息 问题 行程问题 基本量、基本数量关系 工作量、工作效率、工作时间 把全部工作量看作1 工作量=工作效率3工作时间 寻找思路方法 相等关系：各部分工作量之和=1 常从工作量、工作时间上考虑相等关系 相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为x，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式 抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。 甲:乙:丙=a:b:c 大小两个年龄差不会变 本息和、本金、利息、利率、期相等关系： 数关系：利息=本金3利率3期数 本息和=本金+利息 1：同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程 2：同时不同地出发：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程 相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程 1：与追击、相遇问题的思路方法类似 2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。 1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。 2：常常设间接未知数。 首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。 追击路程、速度、时间的关系： 问题 路程=速度3时间 相遇同 问题 上 顺水（风）速度=静水（风）速度航行+水流（风）速度 问题 逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度 多位数的表示方法：abc是一个多位数可以表示为a?10?b?10?c（其中0＜a、b、c＜10的整数） 商品利润=商品售价－商品进价 2 数字问题 商品利 润 率问题 商品利润率=商品利润?100%商品进价 2.列方程解应用题的步骤:

（1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数；

（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程； （4）解方程；

（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意； （6）答：注意带单位．

（二）：【课前练习】

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1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则

该商品的进货价是

2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元 3. 某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇 万美元

4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为

5. 一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给

22

学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m－1)元（m为正整数，且m－1>100）；

2

如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m－1)元.设这个学校初三年级共有x名学生，

则①x的取值范围应为 ②铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元

二：【经典考题剖析】

1. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，?如果甲乙二人分别从A、

B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，?求甲乙二人 的骑车速度．

2. 某市为了进一步缓解交通拥堵现象，?决定修 建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．为使工 程能提前3?个月完成，?需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？

3. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

4. 某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，?入场券分为团体票和零售票，

其中团体票占总票数的共售出团体票数的

2．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体票每张12元，33，零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体票要按每5张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

2

5. 要建一个面积为150m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

F CAB

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§11 一元一次不等式

（一）：【知识梳理】

1．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示 的式子叫不等式。

2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去） ，不等号的 ．（2）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的 ．（3）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的方向 ．

3．不等式的解：能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解．

4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集． 5．解不等式：求不等式 的过程叫做解不等式．

6．一元一次不等式：只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．

7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．

8．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的步骤：① ，② ，③ ，④ ，⑤ （不等号的改变问题）

9．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的所有解，再从中找出所需特解．

10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集．

12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 13．一元一次不等式组的解．

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即

这个不等式的解。（口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。）

14.不等式组的分类及解集(a＜b）．

（二）：【课前练习】

1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A.-2>-5 B.x>4 C.xy>0 D.

2

x–x< -1 22．下列说法正确的是（ ）

A.不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；

B.不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变； C.不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变；

D.不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

3. 关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（ ） A.0 B.－3 C.－2 D.－1 4. 不等式2x≥x+2的解集是_________． 5. 把不等式组??x+1>0的解集表示在数轴上，确的是图中的（ ）

?x-1?0

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二：【经典考题剖析】

y?1y?1y?1???1，并在数轴上表示出它的解集。 1. 解不等式326分析：按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。答案：y?6

?x?2(x?1)?3?2. 解不等式组?2x?5，并在数轴上表示出它的解集。

?x??3分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，故应将不等式组里各不等式分别求出解集，标

到数轴上找出公共部分，数轴上要注意空心点与实心点的区别，与方程组的解法相比较可见思路不同。答案：－1≤x＜5

?x?y?k3. 求方程组?的正整数解。

5x?3y?26?分析：由题设知，k必为正整数，由方程组可解得用含k的代数式表示x、y，又x、y 均大于零，可得出不等式组，解出k的范围，再由k为正整数可得k＝6、7、8，分别代入可得解。答案：当k?x?4?x?1＝6时，?；当k＝8时，?

y?2y?7??4. 已知不等式3x?a≤0，的正整数解只有1、2、3，求a。 略解：先解3x?a≤0可得：x?aaa，考虑整数解的定义，并结合数轴确定允许的范围，可得3≤＜4，333解得9≤a＜12。不要被“求a”二字误导，以为a只是某个值。

5. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y 与x之间的函数

关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？略解：（1）设生产A种产品x?9x?4(50?x)?360件，那么B种产品(50?x)件，则： ??3x?10(50?x)?290解得30≤x≤32∴x＝30、31、32，依x的值分类，可设计三种方案；

（2）设安排生产A种产品x件，那么：y?700x?1200(50?x) 整理得：y??500x?60000（x＝30、31、32）

根据一次函数的性质，当x＝30时，对应方案的利润最大，最大利润为45 000元。

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§12 不等式(组)的应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不

大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．

2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。（其中检验是正确求解的必要环节）

（二）：【课前练习】

1.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给会4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错倒扣 2分，得分不低于 60分得奖，那么得奖至少应选对（ ）道题．

A．18 B．19 C．20 D．21

2.某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的短形彩条如右图，在

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形彩条a1，a2，a3??若使裁得的矩形彩条的长都不小于5cm，则将每张直角三角形彩纸裁成的矩形纸条的总数是( ) A．24； B．25； C．26； D．27

3.一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两 位数大于20而小于40，求这个两位数．

4.若干学生分住宿舍，每间4人余20人；每间住8人有一间不空也不满，则宿舍有多少间？学生多少人？

5.某通讯公司规定在营业网内通话收费为：通话前3分钟0.5元，通话超过3分钟每分钟加收0.1元(不足1分钟按1分钟计算)某人一次通话费为1.1元，问此人此次通话时间大约为多少？

二：【经典考题剖析】

1. 光明中学9年级甲、乙两班在为“希望工程”捐款活动中，两班捐款的总数相同，均多于300元且

少于400元．已知甲班有一人捐6元，其余每人都捐9元；乙班有一人捐13元，其余每人都捐8元．求甲、乙两班学生总人数共是多少人？

2.若方程x?kx?3k?2?0一个根大于-1，另一个根小于-1，求k的取值范围

3. 由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电．规定：在每天的7：00至 24：00为用电高峰期．电价为a元／度；每天0：0 0至7：0 0为用电平稳期，电价为 b元／度．下表为某厂4、5月份的用电量和电费的情况统计表： ⑴ 若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的5月份在平稳期的用电量占当月用电量的

21， 31，求a、b在的值； 4⑵ 若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在 10万元至10．6万元之间（不含10万元和10．6万元），那么该厂6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？

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4.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂 有A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元。 （1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25

吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？ （3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？

5. 在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?

分析：该题联系生活实际，设计巧妙，要求学生有较强的阅读理解能力，综合应用不等式、方程、函数等方面的知识建立数学模型；对学生如何运用所学数学知识解决实际问题（即将实际问题转化为数学问题）的能力提出了较高的要求。本题解题方法多，给学生发挥才能的空间大，是一道考查学生分析问题和解决问题能力的好题。

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§13 平面直角坐标系与函数的概念

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

32 1.平面直角坐标系 第二象限第一象限1(1) 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴，构成平面

O231直角坐标系，其中，水平的数轴叫做_____轴或_____轴， -3-2-1-1第三象限第四象限 通常取向右为正方向；铅直的数轴叫做____轴或_____轴， -2取竖直向上为正方向，两轴交点O是原点，在平面中建 -3立了这个坐标系后，这个平面叫做坐标平面。

(2) 坐标平面的划分:x轴和y轴将坐标平面分成四个象限，如图所示，按___________ 方向编号为第一、二、三、四象限。注意：坐标原点、x轴、y轴不属于任何象限。

(3) 点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由两个有顺序的实数组成，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，其位置不能颠倒，(-2，3)与(3，-2)是指两个不同的点的坐标。

(4) 各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律 ①x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的点的_____坐标为正数；x轴下方的点的______坐标为负数。即第_____、_____象限及y轴正方向(也称y轴正半轴)上的点的纵坐标为______数；第_____、______四象限及y轴负方向(也称y轴负半轴)上的点的纵坐标为_______数。反之，如果点P(a，b)在轴上方，则b____0；如果P(a，b)在轴下方，则b_____0。

②y轴将坐标平面分为两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第____、______象限和x轴负半轴上的点的______坐标为负数；第______、_______象限和和_____轴正半轴的的点的______坐标为正数。反之，如果点P(a，b)在轴左侧，则a_____0；如果P(a，b)在轴右侧，则a_____0。

③规定坐标原点的坐标是(0，0)

④各个象限内的点的符号规律如下表。 坐标符号 点所在位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 横坐标 纵坐标 上表反推也成立，如：若点P(a , b)在第四象限，则a > 0 ,b < 0等等。 ⑤坐标轴上的点的符号规律

坐标符号 点所在位置 X轴 Y 轴 原点 正半轴 负半轴 正半轴 负半轴 横坐标 纵坐标 说明：a:由符号可以确定点的位置，如：横坐标为0的点在y轴上；横坐标为0，纵坐标小于0的点在y轴的负半轴上等等；b:由上表可知x轴的点可记为(x , 0) ,y轴上的点可记做(0 , y )。 龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 29 -

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(5) 对称点的坐标特征:①关于x轴对称的两点：______坐标相同，_____坐标互为________。如点P(2，-4)关于x轴对称的点的坐标为__________________；反之亦成立；②关于y轴对称的两点：______坐标相同，_____坐标互为________。如点P(2，-4)关于y轴对称的点的坐标为__________________；反之亦成立；③关于原点对称的两点：横坐标、纵坐标都是互为___________；如P(-2，3)与Q__________关于原点对称。

(6) 坐标平面内的点和有序实数对(x , y)建立了___________关系。即：在坐标平面内每一点，都

可以找到惟一一对有序实数与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都可以在坐标平面内找到惟一一个点与它对应。

(7) 第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；

第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。 2.函数基础知识

(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的 ，y都有

与之对应，此时称y是x的 ，其中x是自变量，y是因变量．

(2) 自变量的取值范围：①函数关系式是整式，自变量取值是 ．②函数关系式是分式，自变量取值应使得 不等于0．③函数关系式是偶次根式，自变量取值为 为非负数．（4）实际问题的函数式，使实际问题有意义。

(3)常量与变量：常量：在某变化过程中 的量。变量：在某变化过程中 的量。

(4) 函数的表示方法:① ；② ；③ 。

（二）：【课前练习】

1.点A（﹣1，2）关于y轴的对称点坐标是 ；点A关于原点的对称点的坐标是 .

2.点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）

A.（－1，2） B.（－1，－2） C.（1，－2） D.（2，－1） 3. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，6）、B（2，3）、C（3，2）． ⑴ 在下面的平面直角坐标系中描出点A、B、C； ⑵ 根据你所学过的函数类型，推测这三个点会同时在哪种函数的图像上，画出你推测的图像的草图. 4.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).

5.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（ ） A. （－1，1）B. （－1，2）C. （－2，1） D. （－2，2）

二：【经典考题剖析】

炮 1.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 帅相2.在直角坐标系中，点P（3，5）关于原点O的对称点P?的坐标是 图 3 ； 3.函数y?

x?1中，自变量x的取值范围是 ( )

A. x < 1 B. x ≤ 1 C. x > 1 D. x ≥1

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4.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是 上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时

到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．

5.下图是由权威机构发布的，在1993年4月～2005年4月期间由中国经济状况指标之 一中国经济预警指数绘制的图表．

（1）请你仔细阅读图表，可从图表中得出：

我国经济发展过热的最高点出现在 年 我国经济发展过冷的最低点出现在 年 （2）根据该图表提供的信息，请你简单描述我国从

1993年4月到2005年4月经济发展状况，并预 测2005年度中国经济发展的总体趋势将会怎样？

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§14 一次函数

（一）：【知识梳理】

1. 一次函数的意义及其图象和性质

（1）一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成 (k、b为常数，k ≠0）的形

式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b 时，称y是x的正比例函数．

（2）一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经

过点( ， ),( ， ）的一条直线，正 比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条 直线，如右表所示．

（3）一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而 ；

当k＜0时，y的值随x值的增大而 ．

（4）直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．

k?0?①； ??直线经过第 象限（直线不经过第 象限）k?0?②

k?0?； ??直线经过第 象限（直线不经过第 象限）

k?0?k?0?③； ??直线经过第 象限（直线不经过第 象限）k?0?④

k?0?； ??直线经过第 象限（直线不经过第 象限）

k?0? 2. 一次函数表达式的求法

（1）待定系数法：先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数，从而写出这个解析式

的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

（2）用待定系数法求出函数解析式的一般步骤：① ；②

得到关于待定系数的方程或方程组；③ 从而写出函数的表达式。

（3）一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，

只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。

（二）：【课前练习】

3x

1. 已知函数：①y=－x，②y= ，③y=3x－1，④y=3x2，⑤y= ，⑥y=7－3x中，正比例函数有

x3（ ）

A．①⑤ B．①④ C．①③ D．③⑥

2. 两个一次函数y1=mx+n．y2=nx+n，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）

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3. 如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有（ ）

A．k＞0，b＞0； B．k＞0，b＜0； C．k < 0，b＜0； D．k ＜0，b＞0

4. 生物学研究表明：某种蛇的长度y(㎝)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm时，蛇长为45.5㎝；当蛇的尾长为14cm时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm时，蛇长为_________㎝； 5. 若正比例函数的图象经过（－l，5）那么这个函数的表达式为__________，y的值随x 的减小而____________

二：【经典考题剖析】

1.在函数y=－2x+3中当自变量x满足______时，图象在第一象限．

3

解：0＜x＜ 点拨：由y=2x+3可知图象过一、二、

2

33

四象限，与x轴交于( ，0)，所以，当0＜x＜ 时，图象在第一象限．

22

2.已知一次函数y=(3a+2)x－(4－b),求字母a、b为何值时：

（1）y随x的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3；（5）图象与y轴交点在x轴下方．

3.杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息： （1）买进每份0．2元，卖出每份0．3元；（2）一个月内（以30天计）有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；

（3）一个月内，每天从报社买进的报纸数必须相同,当天卖不掉的报纸，以每份0．1元退给报社． ①填下表：

②设每天从报社买进该种晚报x份(120≤x≤200 )时，月利润为y元，试求出y与x之间的函数表达式，并求月利润的最大值．

4. 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小时

－

血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克＝103毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后：

（1）分别求出x≤2和x≥2时y与x之间的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的

y时间多长？ （微克） 6 3

xO210（小时）

问题二图

5.如图，直线l1、l2相交于点A,l1与x轴的交点坐标为（－1，0），

，结合图象解答下列问题： l2与y轴的交点坐标为（0，－2）⑴求出直线l2的一次函数的表达式；

⑵当x为何值时, l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？

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§15 反比例函数

（一）：【知识梳理】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0）的

-1

形式（或y=kx，k≠0），那么称y是x的反比例函数．

kx2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；（2） 中分母x的指数为1；例如y= xk就不是反比例函数；(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y

≠0的一切实数．

3．反比例函数的图象和性质．

k

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y= 具

x

有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势． 5. 反比例函数y=

kk (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂xx线,所得矩形面积为│k│。

6. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为

（二）：【课前练习】

1x1；C. y?；D. y?2. 2x2x?31?2m1反比例函数y?中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）A. m＞；

x21B. m＜2；C. m＜；D. m＞2

2 1.下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. y?2x2；B. y??k

3. 函数y= 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）

x

4. 已知函数 y=（m－1）x2

m2?m?1，当m=_____时，它的图象是双曲线．

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m 5.如图是一次函数y1?kx?b和反比例函数y2?的图象， x观察图象写出y1＞y2时，x的取值范围 -2yo3x二：【经典考题剖析】

1.设y?(2n?1)xn2?n?1

（1）当n为何值时，y与x是正比例函数，且图象经过一、三象限

（2）当n为何值时，y与x是反比例函数，且在每个象限内y随着x的增大而增大

2.有x的正比例函数、反比例函数、一次函数各一个，已知x?4,y?8是一次函数和正比例函数的一组公共的对应值，而x??2,y?2是一次函数和反比例函数的一组公共的对应值（1）求这三个函数的解析式，并求x??1.5时，各函数的函数值是多少？

（2）作出三个函数的图象，用图象法验证上述结果

k

3. 如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (k≠0）的图象交于M、N两点．

x ⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 解：（1）将N（?1，?4）代入y?反比例函数的解析式为y?

k

中 得k=4 x

44

将M（2，m）代入解析式y?中得m?2将 xx

M（2，2），N（?1，?4）代入y?ax?b中?一次函数的解析式为y?2x?2

?2a?b?2解得a?2,b??2

??a?b??4（2）由图象可知：当x＜?1或0＜x＜2时反比例函数的值大于一次函数的值. 点拨：用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式

4. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线． 直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于D，OD=2OB=4OA=4． 求一次函数和反比例函数的解析式．

5. 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具数据如下表：

⑴请你认真分析表中数据，从你所学习 过的一次函数、二次函数和反比例函数 中确定哪个函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；⑵按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．

①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3．2万元，则还需投人技改资金多少万元（结果精确到0．01万元）

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§16 二次函数

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．二次函数与一元二次方程的关系：

22

（1）一元二次方程ax+bx+c=0就是二次函数y=ax+bx+c当函数y的值为0

时的情况．

2

（2）二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；

2

当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元

2

二次方程ax＋bx＋c=0的根．

22

（3）当二次函数y=ax+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax+bx+c有两个不相

22

等的实数根；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax＋bx＋c＝0

2

有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程

2

y=ax+bx+c没有实数根 2.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；

（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 3.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

（二）：【课前练习】

1. 直线y=3x—3与抛物线y=x －x+1的交点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定

22. 函数y?ax?bx?c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2?bx?c?0的根的情况是（ ）

2

A．有两个不相等的实数根； B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根； D．无实数根

2

3. 不论m为何实数，抛物线y=x－mx＋m－2（ ） A．在x轴上方； B．与x轴只有一个交点 C．与x轴有两个交点； D．在x轴下方

2

4. 已知二次函数y =x－x—62

（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标； （2）画出函数图象；

2

（3）观察图象，指出方程x－x—6=0的解；

（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积.

二：【经典考题剖析】

1. 已知二次函数y=x－6x+8，求：

（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

2

①方程x －6x＋8=0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？

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2

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2. 已知抛物线y＝x－2x－8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．

3.如图所示，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以

线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90， 过C作CD⊥x轴，垂足为D

OA（1）求点A、B的坐标和AD的长

（2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式

4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB D边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向 点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：

（1） 设运动后开始第t（单位：s）时，五边形APQCD的面积为S

2

（单位：cm），写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围 （2）t为何值时S最小？求出S的最小值 A5. 如图，直线y?o

2

BCDCQ8y??x2?bx?c经过点A、P、O（原点）。

33x?3(k?0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线4kyBPB（1）求过A、P、O的抛物线解析式；

OA（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使

第2题图 0

∠QAO＝45，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

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§17 函数的综合应用

（一）：【知识梳理】

1.解决函数应用性问题的思路

面→点→线。首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。

2.解决函数应用性问题的步骤

（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本

质抽象转化为数学问题。

（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验

所得的解，写出实际问题的结论。

（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。）

3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，

运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。

（二）：【课前练习】

1.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流 出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余

油量 Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ）

A．Q＝0．2t； B．Q＝20－2t； C．t=0．2Q； D．t=20—0．2Q

2.幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则该工厂对这种产品来说（ ）

A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减小 B．l月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平 C．l月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产 D．l月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产

3.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ）

A.8元或10元； B.12元； C.8元； D.10元

4.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y?1上，点N在直线y?x?3上，设点M（a，2x2b），则抛物线y??abx?(a?b)x的顶点坐标为 。

5.为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后y与x成反比例如图所示．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息填空： ⑴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为_______， 自变量x的取值范围是_________；

（2）药物燃烧后y关于x的函数关系式为___________．

二：【经典考题剖析】

1.如图（ l ）是某公共汽车线路收支差额y(票价总收人减去运营成本）与乘客量 x 的函数图象．目前

这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会。乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏。公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 39 -

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票价才能扭亏。根据这两种意见，可以把图（ l ）分别改画成图（ 2 ）和图（ 3 ) , ①说明图（ 1 ）中点 A 和点 B 的实际意义：

②你认为图（ 2 ）和图（ 3 ）两个图象中，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 .

③如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（4）中画出符合这种办法的 y 与 x 的大致函数关系图象。

2. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．

2

(1)储存室的底面积S(单位：m)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?

2

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m，施工队施工时应该向下挖进多深?

(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。 3.甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示： 25 ? 刹车距离y（米） 0 3 2 15 6 35 ? 444（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在平面坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。

（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数 ，请你就两车的速度方面分析相撞的原因。

4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价l元，每天的销售量就会减少10件．

⑴ 写出售价x（元／件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式； ⑵ 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？

5.启明公司生产某种产品，每件产品成本是8元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投人的广告费是x(万元）时，产品的年销售

速度x（千米/小时） 0 5 10 15 20 x277量将是原销售量的y倍，且y=??x?，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：

101010（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？

（2）把(1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资 新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如表：

如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收 益总额不得低于1.6万元，问：有几种符合要求的投资 方式？写出每种投资方式所选的项目．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a7s6.html