浅谈解答数学问题常用的数学思想

浅谈解答数学问题常用的数学思想

数学思想可以从宏观上、方向上指导解题，本文通过举例来说明解答数学问题常用的数学思想。 一. 方程思想

方程思想即从分析问题的数量关系着手，适当设定未知数，整体考虑题意，用方程（组）表示出已知、未知数量之间的关系，从而解决问题。

例1 （1998年广东省中考试题）如图，四边形ABCD是正方形，点F在CD上，点O是BF的中点，以BF为直径的半圆与AD相切于E。（1）求证：E是AD的中点；（2）设BF＝5，求正方形ABCD的边长。

分析：（1）因O是BF的中点，且E为切点，OE//AB//DF，故E为AD的中点。 （2）OE是梯形ABFD的中位线，2OE=AB+DF。又2OE=BF，故AB+DF=BF。设AB= ,则DF=5

，CF=2 -5,在

中，

,即

,解得

=0（舍去），故正方形边长为4。

二. 数形结合思想

求解数学综合题时，往往是根据已知条件画出图形，再利用图形挖掘问题的隐含关系。这样数形结合常可以化难为易。 例2 已知抛物线

与 轴有两个不同的交点。（1）求 的取值

范围；（2）当两个交点的横坐标的平方和等于10时，求这个抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为Ｍ，它与 轴的两个交点从左至右依次为A、B,与 轴的交点为Ｐ，求

的内切圆与外接圆半径之比。

分析：利用题意及根与系数关系、根的判别式很容易求得： （1） （2）

。

。

（3）如图，易知A（1，0）、B（3，0）、P（0，3）、顶点M（2，－1）。作MN

轴，交 轴于Ｎ，则MN=2，NP＝4，故

同理作MQ 在

轴， 中，PB=

.

。

为直角三角形，且PM为斜边.

设 设

的外接圆半径为R，则 的内切圆半径为 ，则

。

即

。

三. 分类讨论思想

根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类，人而求解出问题的全部答案的数学方法即分类讨论思想。 例3 （1997年河北省中考试题）已知一次函数

和反比例函数

。（1） 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个

交点？（2）设（1）中的两个交点为A、B，试比较

与90 角的大小。

分析：（1）由 因 （2）因

，故

可得

。

。

的图象过第一、二、四象限，故 时，由双曲线两支分

,即

别在一、三象限，知这两个函数图象交点A和B在第一象限,故

；当

时，由双曲线两支分别在第二、四象限，知这两个函数图象的两

，即

。

个交点A和B分别在第二、四象限，故

四. 整体思想

有些综合题,如果拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；如从整体考虑，则峰回路转，迅速求解。 例4 在

中，

，若其周长为

，斜边上的中线长为2。（1）

求这个三角形的面积；（2）求这个直角三角形内切圆的面积；（3）若这个直角三角形两个锐角的正切

和

是一个一元二次方程的两个根，试写出这个一元二次方程。

简解：（1） 。

又 故 。

（2）

的内切圆半径

。

。

（3） ，

所求方程为 即 。

和

，直接整体

分析：本题求面积时，不必分别求出a、b，而以

应用，从而使问题易于得解。 五. 转化思想

转化是指化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体，等等。利用转化思想，对问题加以分析，探索解题途径，从而解决问题。

例5 (1996年上海市中考试题)如图，正方形ABCD的边长为 ,H是以BC为直径的半圆上一点，过H与半圆相切的直线交AB于E，交CD于F，当H在半圆上移动时,切线EF在AB、CD上的两交点也分别在AB、CD上移动（E与A，Ｆ与D不重合） （1）试问四边形AEFD的周长是否也在变化?证明你的结论。 （2）若 （3）设

，求四边形BCFE的周长； 的面积为

的面积为

，正方形

ABCD的面积为Ｓ。若 ，求BE和CF的长。

简解：（1）由AB、CD、EF都与半圆相切，得EB=EH，FC=FH，

故四边形AEFD的周长＝AE+EH+FH+DF＋AD=AE+EB+FC+DF+AD=6 ,故切线EF与半圆的切点H在移动,但四边形AEFD的周长不会改变。 （2）过F作FG AB于G，则FG=BC=

,EF=

,故四边形BCFE的周

长=BC+CF+EF+BE=BC+2EF= 。

（3）由切线长定理，得 ，进而得 易证

，故 。因 ，即

，故 ，故BE、CF是方程

的两个根,解此方程，得 ，即 ,

或BE= 。

分析：从本例解答看得出来，它涉及到了相似、周长、面积、直线和圆的位置关系、

一元二次方程及解直角三角形的知识与技能，综合性强，整个解题过程就是一个不断地化“未知为已知”的转化过程。

以上简要谈了中考数学综合题中渗透的常用数学思想。在实际解题中，往往不只是单纯的一种数学思想应用，而是几种数学思想的综合体现。 例6 已知二次函数

的图象与 轴的交点在

原点的下方,与 轴交于A、B两点，点A在点B的左边，且A、B两点到原点的距离AO、OB满足 且锐角

，直线

与这个二次函数图象的一个交点为P，

的正切值为4。（1）求这个二次函数的解析式；（2）确定直线

的解析式。

此题的求解要综合运用方程思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想等，作为练习请同学们自己完成。

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