实数连续性循环证明及相互证明
更新时间:2023-06-07 13:43:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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实数连续性循环证明及相互证明
关于实数连续性的基本定理
以上的定理表述如下:
实数基本定理:对R的每一个分划A|B,都 唯一的实数r,使它大于或等于下类A中的每一个实数,小于或等于上类B中的每一个实数。
确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列{xn}单调上升有上界,则{xn}必有极限。 区间套定理:设{[an,
bn]}是一个区间套,则必存在唯一的实数
r,使得r包含在所有的区间里,即
r [an,bn]。
n 1
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理:有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理:在实数系中,数列{xn}有极限存在的充分必要条件是:
0, N,当n N,m N时,有|xn xm| 。
这些定理虽然出发的角度不同,但描写的都是实数连续性这同一件事,它们之间是相互等价的,即任取其中两个定理,它们可以相互证明。那么,它们在证明过程中有哪些联系?作为工具,它们又各具有什么特点?以下先给出它们的等价证明。
(二)实数基本定理的等价证明
一.用实数基本定理证明其它定理
1.实数基本定理→单调有界定理
证明:设数列{xn}单调上升有上界。令B是数列{xn}全体上界组成的集合,即B={b|xn b, n}, 而A=R﹨B,则A|B是实数的一个分划。事实上,由单调上升{xn},故x1-1 A,即A不空,由A=R﹨B,知A、B不漏。又对任给a A,b B,则存在n0,使a
xn0 b,即A、B不乱。故A|B是实数的一个分
有a r b。
划。根据实数基本定理, r R,使得对 a A,b B,下证lim
n
xn=r。事实上,对
0,由于r A,知 N,使r xn,又{xn}单调上升, 当n N时,有r xN xn。
r
2
b,便有xn r
,
当n N时,有r xn r
2
2
于是,|xn-r|
limxn=r。 , n
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若数列{xn}单调下降有下界,令
yn=-xn,则{yn}单调上升有上界,从而有极限,设极限为r,则
n
limxn=lim(-yn)=-r。定理证完。
n
2.实数基本定理 确界定理
证明:设X是有上界的非空实数集,记B为X的全体上界组成的集合。A= R﹨B,则A|B构成实数的一个分划。事实上,不空,不漏显然。而对 a A,b B,由a不是X的上界,知有x0 X,使得x0而由b B,知x0
a,
b,故a b。
x0 r
2
由实数基本定理, A|B是实数的一个分划, r R,使得对 a A,b B,有a r b。 下证r=supX。首先证明r是X的上界。用反证法。如果不然,则有x0 X,使得x0a=
r,这时有a=
x0 r
A,且有a r,这是不可能的。因此r是X的上界,而由于 b B,2
有r b,
r是X的最小上界。
同理可证下确界的情形。定理证完。
3.实数基本定理 区间套定理 证明:设{[an,
bn]}是一个区间套,令A {x| n,x an},B R\A,则A|B是R的一个分划。事
实上a1 A,b1 1 B,即A,B非空;由B的定义,A,B不漏; a A, b B,则 , n,b an,故a b,即A,B不乱。故A|B确是R的一个分划。由实数连续性定理,存在唯一的实数r,使得 a A,
b B,有a r b。
下证r
a因为 n,由A的定义, [a,b]。
n
n
n 1
n
A,故an r。又 n,m,有am bn,则bn B,
从而r bn。即r [an,bn]。
n 1
最后证明唯一性。若有r,r 满足r [an,bn],r
n 1
[a
n 1
n
,bn],则
|r r | bn an 0(n )
故r r 。即这样的r是唯一的。定理证完。
二.用单调有界定理证明其它定理
1. 单调有界定理→实数基本定理
证明:给定实数的一个分划,任取a1 A,b1 B。用a1,b1的中点a1 b1二等分[a1,b1],如果
2a1 b1 B,则取a=a, b=a1 b1;如果a1 b1 A,则取a=a1 b1,b=b; 如
221122
2222
此继续下去,便得两串序列{an}{bn}。其中an A单调上升有上界(例如b1),bn B单调下降有下界
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(例如a1)并且bn an=b1 a1(n )。由单调有界定理,知 r,使liman= r
n 2
n
lim(bn an)=0 liman+(bn an)= r
n
a A,有a bn(n=1,2, ),令n ,知a r
b B,有an
, 令n ,知 r b a r b b(n=1,2, )
下面证明唯一性。
用反证法。如果不然。则 r1 r2,同时对任意 a A,a r1,a r2 对任意b 有b r1 b r2,不妨设r1 r2,
令 r' r1 r2显然 r1 r' r2 r' A,r' B,
2这与A|B是R的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。
2.单调有界定理→确界定理
证明:已知实数集A非空。 a A,不妨设a不是A的上界,另外,知 b是A的上界,记a1=a,
b1=b,用a1,b1的中点a1 b1二等分[a1,b1],如果a1 b1 B,则取a2=a1, b2=a1 b1;
222如果a1 b1 A,则取a2=a1 b1,b2=b1; 如此继续下去,便得两串序列{an}{bn}。其中an A
22单调上升有上界(例如b1),bn B单调下降有下界(例如a1)并且bn an=b1 a1(n )。由
2单调有界定理,知 r,使liman= r。由lim(bn an)=0 有liman+(bn an)= r
n
n n
, {bn}是A的上界, x A,有x bn(n=1,2, )令n ,x limbn= r r是A的上界。
n
而 0, 由liman= r知 0,知 N,当n N,有r an,
n
从而 X A,使r an X, r=supA。 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。
3.单调有界定理 区间套定理 证明:已知an
, an bn b1, 由单调有界定理知{an}存在极限,设liman= r, an 1( n)
n
同理可知{bn}存在极限,设limbn=r ,由lim(bn an)=0得r r =0即r r
n
n
n,有an bn,令n ,有an r
r
bn, n,有an r bn。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明(即一.3)。定理证完。
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三.用确界定理证明其它定理
1. 确界定理→实数基本定理
证明:对给定R的一个分划A|B,由于 b B,b是集合A的上界,由确界定理可得,集合A有上确界r,即 a A有a r。 r是集合A的上确界, r是集合A的全体上界的最小数。
b B,有r b。
唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明(即二。1)。定理证完。
2. 确界定理→单调有界定理
证明:设{xn}是单调上升有上界的实数列。由确界定理可得, r ,使r=sup{xn}。
n,有xn r,并且 0, xN,有xN r n N,有r xN xn r,即|xn r|
lim
n
xn= r。
单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明(即一.1)。定理证完。
3. 确界定理→区间套定理
证明:由[an 1,bn 1] [an,bn],知{an}是单调上升有上界的实数列,{bn}是单调下降有下界的数列。且b1是an的上界,a1是bn的下界。设liman= r,limbn=r ,由确界定理对的证明知
n
n
r=sup{an},r =inf{bn}。由lim(bn an)=0得r r =0即r r = sup{an}=inf{bn}
n
n,有an r bn。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明(即一.3)。定理证完。
4. 确界定理→有限覆盖定理
证明:设E是闭区间[a,b]的一个覆盖。
定义数集A={x a|区间[a,x]在E中存在有限子覆盖} 从区间的左端点x a开始
.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右侧充分邻近的点均在A中.
这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见,若x A,则整个区间[a,x] A.
若A无上界,则b A,那么[a,b]在E中存在有限子覆盖.
若A有上界, 由确界定理可得 r,使r=supA。
x r,都有x A。事实上, (r x) 0, y,使得y r (r x) x。 [a,y]在E中存在有限子覆盖, [a,x] [a,y]在E中存在有限子覆盖
下证b r。用反证法。如果不然,r b,则r [a,b]。因此,在E中存在有一开区间覆盖E 覆盖r。 a0,b0
E ,使a0 r b0。
由上面论证知a0 A,也即区间[a,a0]在E中存在有限子覆盖,向这个有限子覆盖再加上开区间E ,
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即成为[a,b]的覆盖。
5.确界定理→紧致性定理
b0 A,与r=supA矛盾。定理证完。
证明:设数列{xn}是有界数列。定义数集A={x|{xn}中大于x的点有无穷多个}
{xn}有界 A有上界且非空。由确界定理可得 r,使r=supA。
则 0,有r 不是A的上界。 {xn}中大于r 的项有无穷多个。 r 是A的上界 {xn}中大于r 的项只有有限个。
在(r ,r )中有{xn}的无穷多项,即
对 1, n1,使xn
1
,即|xn (r 1,r 1)
使xn n N, 0, n,-r| 1
(r ,r )
1
取 1, n2 n1,有|xn-r| 1, 如此继续下去,
2
2
2
取 1, nk nk 1,有|xn-r| 1,由此得到{xn}的子数列{xn},当k 时,xn
kkk
k
k
r
{xn}存在收敛子数列。定理证完
四.用区间套定理证明其它定理
1.区间套定理 实数基本定理
证明:对给定R的一个分划A|B,任取a1 A,b1 B,用a1,b1的中点a1 b1二等分[a1,b1],
2如果a1 b1 B,则取[a2,b2]=[a1, a1 b1];
22
如果a1 b1 A,则取[a2,b2]=[a1 b1,b1]; 如此继续下去,便得区间套[an,bn]。 22其中, n,an A,bn B。由区间套定理可得, 唯一的r 由分划定义可知, a A有a bn,令n ,有a
[a
n 1
n
liman=limbn= r。,bn],使n
n
r, b B,有an
b有r b,
满足a r b的r是唯一的。证明同用单调有界定理对实数基本定理的证明(即二。1)。定理证完。
2.区间套定理 单调有界定理
证明:设{xn}是单调上升有上界的实数列。b是它的一个上界,令a1=x1-1,二等分[a1,b1],其中必有一区间含{xn}的无穷多项,记其为[a2,b2],二等分[a2,b2], 如此继续下去,便得区间套[an,bn],满足 n,[an,bn]含{xn}的无穷多项。由区间套定理可得, 唯一的liman=limbn= r。则对 0, n, n N,有r [an,bn],使n
n
n 1
r an bn r 。
取n0 N,[an,bn]含{xn}的无穷多项,则 M,使xM [an,bn]。
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当m M时,有xm [an,bn]。如果不然, m1 M,有bn
000 xm1,则在[an
,bn]中最多只有{xn}
的前m1项,与 [an,bn]的构造矛盾。从而当m M时,有r an xm bn r ,即
0000|xm-r| 。 lim
n
xM=r,即limxn=r。定理证完。
n
3.区间套定理 确界定理
证明:由数集A非空,知 a A,不妨设a不是A的上界,另外,知 b是A的上界,记[a1,b1]=[a, 用a1,如果a1 b1是A的上界,则取[a2,b],b1],b1的中点a1 b1二等分[a1,b2]=[a1a1 b1];
222如果a1 b1不是A的上界,则取[a2,b2]=[a1 b1,b1];用a2,b2的中点a2 b2二等分[a2,
222
b2] 如此继续下去,便得区间套[an,bn]。其中an不是A的上界,bn是A的上界。由区间套定理可得, 唯一的r
[a
n 1
n
, liman=limbn= r。 x A,由x bn(n=1,2, ),bn],使n
n
令n ,x limbn= r r是A的上界。
n
而 0, 由liman= r知 0,知 N,当n N,有r an,
n
从而 X A,使r an X, r=supA。 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。
4.区间套定理 有限覆盖定理
证明:用反证法。设E是闭区间[a,b]的一个覆盖。设[a,b]没有E的有限子覆盖,记[a,b]=[a1,二等分[a1,其中必有一区间没有E的有限子覆盖,记其为[a2,二等分[a2, b1],b1],b2],b2],如此继续下去,便得区间套{[an,bn]},满足 n,[an,bn]没有E的有限子覆盖。由区间套定理可得, 唯一的r
[a
n 1
n
liman=limbn= r。 ,bn],使n
n
由E是[a,b]的覆盖,知 ( , ) E,使 r 根据极限不等式, N1,当n N1,有 an,
,当n N2,有 bn。 N2
取N=max(N1,N2),当n N,有 an, bn。又an r bn( n),
当n
5.区间套定理 紧致性定理
证明:已知 a,b,使a xn b。设[a,b]没有E的有限子覆盖,记[a,b]=[a1,b1],二
N,有[an,bn] ( , ),与[an,bn]没有E的有限子覆盖矛盾。
故[a,b]在E中存在有限子覆盖。定理证完。
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等分[a1,b1],其中必有一区间含{xn}的无穷多项,记其为[a2,b2],二等分[a2,b2], 如此继续下去,便得区间套[an,bn],满足 n,[an,bn]含{xn}的无穷多项。由区间套定理可得, 唯一的r
[a
n 1
n
liman=limbn= r。 ,bn],使n
n
因此 n1,使r 1 an r bn r 1。
11
这时存在xn
1
[an,bn],归纳地, k 1, nk,使r 1 an r bn r 1
1
1
k
kk
k
由[an,bn]含{xn}的无穷多项,知
kk令k ,lim
xnk [an,bn],nk nk 1,由an xn bn,
k
k
knk
n
xnk r。 {xn}存在收敛子数列。定理证完
五.用有限覆盖定理证明其它定理
1.有限覆盖定理 区间套定理
证明:用反证法。如果不然,设存在{[an,bn]},有
[a
n 1
n
,bn] 。记开区间( n, n)=
(a1 1,( n', n')=(bn,b1 1),即( n, n) ( n', n')=(a1 1,b1 1)\[an,,an)
bn]。这时E={( n, n),( n', n'),n=1,2, }构成了[a1,b1]的覆盖。由有限覆盖定理,存在N,使得
(
n 1
N
n
[b1],这就推出,当 n N时,[an,bn]是空集,这是, n) ( n', n') a1,
不可能的。矛盾,故有
[an,bn] ,即存在r使r
n 1
[a
n 1
n
,bn]。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明(即一.3)。定理证完。
2.有限覆盖定理 紧致性定理 证明:设 n,有 a xn b。
先证 x0 [a,b], 0,,(x0 ,x0 )中必含有xn的无限项。 如果不然。 x [a,b], x 0,使(x x,x x)只含{xn}的有限项。 记E={(x x,x x)|x [a,b], x由上产生},是[a,b]的一个覆盖。 由有限覆盖定理,知 E中有限个开区间(x1 1,x1 1)(x2 2,x2 2)
(xn n,xn n), {xi i,xi i}均只含{xn}的有限项。与 n,有 a xn b矛盾。
结论成立。
特别地,取 k=1,则
k
,而且nk nk 1,则{xn}为{xn}的子数列且收xnk (x0-1,x0+1)k
k
k
敛于x0。定理证完
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六.用紧致性定理证明其它定理
1.紧致性定理 单调有界定理
证明:设{xn}是单调上升有上界的实数列。 {xn}有界,由紧致性定理可得, {xn}的子数列{xn且收敛于r。即 0, K,当k K时,有|xn-r| ,即r
k
k
}
xnk r ,
N=nK 1, n N,有xn
xnK 1 r 。
nk
, n
N, nk' n,从而 xn xn' r ,即|xn-r| 。
k
0, N=nK 1,当n nK 1,有|xn-r| , limxn=r。定理证完。
n
2.紧致性定理 柯西收敛定理
证明:必要性。已知{xn}收敛,即 r R,lim因此,只要n
n
即 xn=r,
当n N, 0,
N,有|xn-r| 。
2
N,m N,有|xn-xm|=|xn-r+r-xm| |xn-r|+|r-xm| 。
N,m N,有|xn-xm| 1。
充分性。先证{xn}有界。对 1, N,当n取定n0=N+1,则只要n
N,有|xn-xn0| 1,从而|xn|=|xn-xn0+xn0| 1+|xn0|,
令M=max(|x1|, ,|xN|,1+|xn|),则|xn| M( n)。
下证{xn}有极限存在。 {xn}有界,由紧致性定理可得, {xn}的子数列{xn即 0, K,当k K时,有|xn-r| 。
k
2
k
}且收敛于r。
另外, N1,当n N1,m N1,有|xn-xm|
。
2
取N=max(nK 1,N1),则只要n|xn-xk|+|xk-r| 。 lim00
N,取k0 N,则|xn-r|=|xn-xk0+xk0-r|=
n
xn=r。定理证完。
七.用柯西收敛定理证明其它定理
1.柯西收敛定理 单调有界定理
证明:设{xn}是单调上升有上界的实数列。用反证法和柯西收敛定理。若{xn}不存在极限。则 0 0, N,
n N,有xn-xN=|xn-xN| 。
实数连续性循环证明及相互证明
依次取N1=1, n1
N1,使xn1-x1
0, 0,
0。
0
k
N2=n1, n2 n1,使xn-xn
21
,Nk=nk 1, nk Nk,使xn-xn
kk 1把它们相加,得到xn-x1
k
k 0 G, k G x1,有xn G,与{xn}有界矛盾,故{xn}
必有极限。定理证完。
2.柯西收敛定理 紧致性定理
证明:设数集A非空有上界, b1是A的上界,a1不是A的上界,a1 b1,用a1,b1的中点a1 b1二
2等分[a1,b1],如果a1 b1是A的上界,则取[a2,b2]=[a1a1 b1];如果a1 b1不是A的上
,
222界,则取[a2,b2]=[a1 b1,b1];用a2,b2的中点a2 b2二等分[a2,b2] 如此继续下去,22得数列{ an},{bn}满足 n, an不是A的上界,bn是A的上界且lim(bn an)=0。
n
下证{ an}是柯西列。 lim(bn an)=0,即 0, N,当n
n
N,有|bn an| 。
又an
an 1 bn 1 bn,从而 p Z,|an p an| (bn an) ,故{ an}是柯西列
从而收敛,设lim
n
an=r。
最后证r=supA。 n, an不是A的上界, 当n
a A,使an a。由liman=r,则
n
0, N,
N,有r an a r。
0, N,当n N,有r a r,故r=supA。
定理证完。
下证r是唯一的。即 唯一的r,使 n,an
r bn。如果不然,若有r,r 满足r [an,bn],
n 1
r [an,bn],则|r r | bn an 0(n ),故r r 。即这样的r是唯一的。
n 1
定理证完。
(三)证明过程中的几点发现
黑格尔曾说:“证明是数学的灵魂。”数学是研究结构的。通常情况下,如果它受什么条件制约的话,则必有什么性质。假如具备什么条件的话,则必然有什么结果。在实数基本定理的等价证明之中,我们深深体会到这一点。对同一个定理的证明,虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分,有的用的是类似的证明方法,有的出发点与站的角度不同,但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理,也可能有不
实数连续性循环证明及相互证明
同的方法。即使方法相同,还可以有不同的细节。而这些都是值得我们去注意与发现。以下谈谈在证明过程中的几点发现。
一.不同的定理对同一个定理证明方法的联系
1.单调有界定理与区间套定理对其它各定理的证明
从闭区间套的定义中,我们可以清楚地看出,闭区间套的左右端点分别形成两个数列,其中左端点的数列{an}单调增加,以每个bn为上界,而右端点所成的数列{bn}单调下降,以每个an为下界。正因为如此,我们用单调有界原理证明了区间套定理。[具体证明见(一)]
在用单调有界定理与区间套定理证明同一定理的过程中,可以看到,要用单调有界定理证明,就需要找出两个单调性相反、并将收敛于同一极限的数列。自然地,也就已经形成了闭区间套。
如在证明实数基本定理中,找到一单调上升数列{an} A,单调下降数列{bn} B, 在证明确界定理中,找到一单调上升数列{an}不是数集的上界, 一单调下降数列{bn}是数集的上界;
若要用单调有界定理证明有限覆盖定理,紧致性定理,也可以用二分法构造区间套的方法和反证法。找到一单调上升数列{an},一单调下降数列{bn},使得在每个[an,bn]区间上具备某种性质,从而推出矛盾。
从用单调有界定理证明实数基本定理和确界定理的过程,本质上是通过区间套去实现的,而与区间套定理相联系的,有构造闭区间套的方法,从而在应用中往往比单调有界定理强得多。 2.⑴区间套定理与紧致性定理对柯西收敛定理的证明
由于紧致性定理是由区间套定理推导证明出来的,如同单调有界定理由区间套定理证明一样,若要用区间套定理证明柯西收敛定理,先用二分法构造区间套,找出柯西列的一收敛子数列(其实是在重复区间套定理证明紧致性定理的过程),再证子数列的极限就是该柯西列的极限。
⑵同样地,由于紧致性定理可由确界定理推出,定义数集A后推出柯西列存在一收敛子列,再证柯西收敛定理的结论。
3.对于要证的定理,根据它受制约的条件和所具备的条件去考虑证明方法。
如要证确界定理,无论是用实数基本定理,单调有界定理,区间套定理,还是柯西收敛定理,都需要找出两组数列{an}, {bn},{an}单调上升而不是数集的上界,{bn}单调下降是数集的上界。用以上的四个定理时,最终都是要找出一个点,使它是数集的上确界。
如要证紧敛性定理,无论是确界定理从正面推,还是区间套定理和有限覆盖定理从反面证,都需要用到数列{xn}有无穷多项这个条件。
二.同一定理对另一定理的证明
1. 要证一个定理,即使用同一个基本定理,也可能有不同的方法。以下分别用两种方法完成“单调
有界定理→紧致性定理”和“区间套定理→柯西收敛定理”。 ⑴单调有界定理→紧致性定理
证法一:由上一部分的论述,我们知道,用单调有界定理证明紧致性定理,可以用二分法,本质
上用区间套去证明紧致性定理。
证法二:首先证明有界数列{an}有单调子数列。
称其中的项an有性质M,若对每个i的最大数。 分两种情形讨论:
n,都有an ai,也就是说,an是集合{ai|i n}
实数连续性循环证明及相互证明
①数列{an}有无穷多项具有性质M,将它们按下标的顺序排列,记为an,an an,
1
2
k
满足n1 n2 nk ,那么我们就已经得到一个单调下降的子列{an}。
k②数列{an}只有有穷多项具有性质M,那么 N,当n
N,有an不具有性质M,即
i n ,有an ai,从中任取一项记为an
1
,因为它不具有性质M, ∴ n2 n1,
使an an, ,如此继续下去,我们得到一子列{an}单调上升, ∴ 有界数列{an}
12k必有单调子数列,由单调有界定理,可得{an}存在极限。
k
⑵区间套定理→柯西收敛定理
证法一:见上一部分的论述,即(二).一.2⑴,用二分法。 证法二:基本列{xn}有界(见紧致性定理→柯西收敛定理)
∴ a1,b1,使 n,有 a1 xn b1,将区间[a1,b1]三等分,令c 2a1 b1,
1
2c2
a1 2b1,得到三个长度相同的子区间[a,c],[c,c],[c,b],
111122
2
分别记为J1,J2,J3,根据它们在实数轴上的左中右位置和基本列定义,J1,J3,至少有一区间只含有数列{xn}的有限多项。如果不然,在J1,J3均有数列的无限多项,那么 b a,取
3
xn J1
,
xm J3
,n,m可以任意大,满足
|xn-xm| b a,与基本列定义矛盾,∴结论成立。
3
∴可以从[a1,b1]中去掉只含有{xn}中有限多项的区间J1或J3,将得到区间[a2,
b2],重复这个过程,得到区间套{[an,bn]},该区间套具有以下两个性质: ① 闭区间套中的每个区间的长度是前一个区间长度的
23
。
② 每一个[an,bn]中含有数列{xn}从某项后的所有项。 由①所得, 唯一的实数r,使liman=limbn= r。
n
n
∵ 0, N使得[aN,bN] (r ,r ), 由②可得 N,当n>N,有|xn-r| , lim
n
xn=r。定理证完。
两种证法分别采用的是区间套的两种构造方法:
二分法具有bn 1-an 1=
bn an
2
,这就保证了点r唯一,而对有界数列{xn},更构造了
实数连续性循环证明及相互证明
每个闭区间含有数列{xn}的无限多项;而三分法,不仅具有bn 1-an 1=
2(bn an)
,
3
也保证了点r唯一,更是用到了基本列的性质,使每个闭区间包含从某项起的所有项。
2. 用同一种方法证明同一个定理,还可能有不同的细节
⑴如在用单调有界定理证明实数基本定理,当证完liman=limbn=r
n
n
要证 a A, b B有a r b,按照前面的证法,是:
a A,有a bn(n=1,2, ),令n ,知a r
b B,有an
, b(n=1,2, )令n ,知 r b a r b
还可以用另一种证法证明: a A, b B有a r b,这等价于证明:
a,b满足a r ,r b
使a an
,有a A,b B。事实上, a
r,由lim
n
an=r,知 n0,
A,故a A,而对
1
b r,由bn=an+
bn an
2
,知limbn=r
n
n,使得b bn
B,从而b B
⑵如在证区间套定理过程中,当证完liman=limbn,即r r ,
n
n
要证 n,an r bn,用单调有界定理(二.3)证明过程中是用到极限不等式。而用确界定
n
理(三.3)在证明过程中,则是由确界定理对单调有界定理证明的一个结论。得出liman= sup{an},limbn =inf{bn},再由确界定义去证明。
n
三.定理作为工具运用的特点
1.确界定理:构造数集,使其具有某种性质,并将这种性质传递到数集的确界,使确界之后的数不
可能具备该性质。
2.区间套定理:从构造过程中,使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间,再从第二个区
间推到第三个区间 。如此继续下去,直到将这个性质聚到区间套所共有的点的任意附近。
3.紧致性定理:从数列的极限理论,我们知道收敛数列一定有界,但有界数列不一定收敛。在一系
列需要构造收敛数列的分析问题中,往往一开始构造一个有界数列,然后由紧致性定理得出子列,也即紧致性定理,让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。
4.有限覆盖定理:在分析问题过程中,往往可以从局部性质推向整体性质,特别是将有限覆盖与反
证法相结合,往往可以推出矛盾。
5.柯西收敛定理:完全人数列本身出发,由于它给出的是极限存在的充分必要条件,不需要先假定
极限的存在,相比极限的定义来说,这是一个很大的进步。
实数连续性循环证明及相互证明
四.在证明过程中发现的结论
1.从用有限覆盖定理证明紧致性定理和用确界定理证明紧致性定理中,我们都证明了一个结论:若
x0 [a,b], 0,,(x0
,x0 )中必含有xn的无限多项,则存在{xnk}为
{xn}的子数列且收敛于x0。而我们发现,其实这是一个充分必要条件。
将其推广到数集上,我们正是得到数集聚点的两个等价定义,即 ① 设S是数集,C是一定数, 0,, (c ,c )
C为S的一个聚点。
包
S的无限多个点,则称
limxn=c , ② 数列{xn}且xn互不相同,使 n
用类似证数列的方法即可证明。 证明(① ②)由已知可得 取 1=1,取得 取
0, (c ,c )内包含有一个异于C的点,记为x ,
x=x1
1
2
),取得x=x2 ,如此继续下去。
2=min(|x1-c|,
取 k=min(|0 n(②
xk 1-c|,
1k
),取得
x=xk,得到一数列{xn} S,且xn互不相同,
|xn-c|
1
,∴,得令n , limxn= r
n n
,只要n>N,有
①)∵ limxn= r ∴ 0, N
n
xn
-c|
,即
(c ,c )内包含xn的无限多项。∵xn
S,即包含S的无限多个点。
用类似证紧致性定理的方法也便可证以下的不斯特拉斯聚点定理。 聚点定理:直线上的有界无限点集S至少有一个聚点。 证明:∵ S有界,∴
M 0,使S [-M,M],记a1=-M,b1=M,二等分[a1,b1],
则必有一区间包含S的无限多个点,记该区间为[a2,b2], 如此继续下去,我们得到一区间套{[an,bn]},每个区间[an,bn]内含有S 的无限多个点,由区间套定理,得 唯一的r ∴
[a
n 1
n
liman=limbn= c。 ,bn],使n
n
0, N,当n>N,使c an c bn c
∵ [an,bn]内含有S 的无限多个点,∵[an,bn] (c ,c ), ∴ (c ,c )包含S的无限多个点,∴ C是S的一个聚点。定理证完。 可见,紧致性定理是聚点定理的推论。
2.由单调有界定理证明紧致性定理的第二种证法,我们可以得出结论:任何数列都有单调子数列。有界数列已证。而无界数列也有单调子数列。事实上,对无界数列{xn}, M 0, n,有|xn| M。
实数连续性循环证明及相互证明
取M=1, n1,使|xn| 1,取M=max(|x1|, ,|xn|,2), n2,使|xn|
1
1
2
2 。
如此继续下去,得到数列{xn}
k
k,且 k,|xk| |xk 1|
k
在( ,0)和(0, )上至少有一个区间存在{xn}的无穷多项,若在(0, )上,将属于( ,0)的项除去,便得一单调上升的子列。 同理,若在( ,0)上,便可得一下降的子列。
这个结论虽然与实数系无关,但将它用于有界数列,再利用单调有界定理,就可以得到紧致性定理。
至此,本文已经论述了以下定理的等价证明过程:
正如在任何语言中,同一思想可以用多种表达方法一样,同一个数学事实可以有不同的表达方式和不同的证明方法。而在证明过程中,我们不只检验了定理,而且对定理有了更深的理解。不同的证明还启迪了我们的思维,交流了数学思想,导致了我们的发现。我想,随着对数学的深入学习,数学呈现给我们的是一个更加精彩的世界,其中的发现更是无穷无尽的。
参考文献:
1.邓东皋 尹小玲《数学分析简明教程》高等教育出版社 1999年6月
2.谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边防 《数学分析习题讲义》 高等教育出版社 2003年
实数连续性循环证明及相互证明
3.李文林 《数学史概论》高等教育出版社 2000年
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