山东省胶州一中2015届高三上12月第二次质量检测数学（理）试题及

胶州一中2015届高三上学期12月第二次质量检测

数学（理）试题

一、选择题

1．若集合A?{y|y?x,?1?x?1}，B?{xy?1?x}，则AB?

A．???,1? B．[?1,1]

C．? D．{1}

132. 已知直线l⊥平面?，直线m?平面?，下面有三个命题：

①?∥??l⊥m；②?⊥??l∥m；③l∥m??⊥?； 则真命题的个数为( )

A．0 B． 1 C．2 D．3

3. 已知等差数列?an?的公差为d?d?0?，且a3?a6?a10?a13?32，若am?8，则m为（ ）

A．12 B. 8 C．6 D. 4

4．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ） A．43 B. 42 C．3 D. 8

3363俯视图主视图左视图5.若直线(a?1)x?y?1?0与圆x?y?2x?0相切，则a的值为（ ）

A.1或﹣1 B.2或﹣2 C.1 D.﹣1

22 b夹角为60，且|a|?3，|b|?2，若(3a?mb)?a，则实数m的值是( ) 6．已知向量a 、A.9 B.﹣9 C.10 D.﹣10 7．将奇函数f(x)?Asin(?x??)(??0,??2关于原点对称，则?的值可以为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

????2)的图象向左平移

?个单位得到的图象618.若函数f(x)?loga(x3?ax)(0?a?1)在区间(?,0)内单调递增，则a的取值范围是

2（ ）

1399A.[,1) B. [,1) C. [,??) D.(1,)

44449. 直线4kx?4y?k?0与抛物线y2?x交于A,B两点，若AB?4，则弦AB的中点到直线x?1?0的距离为( ) 297A. B. C.2 D.4 4410. 设f?x??lnx，若函数g?x??f?x??ax在区间?0,3?上有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）

?1?A.?0,? ?e??ln31?B. ?,?

?3e?

?ln3?C.?0, ??3??ln3?D.?,e? ?3?二、填空题

11. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线为y??2x，则次双曲线的离心率为_______

?x?y?3y?1?12. 设变量x,y满足约束条件：?x?y??1,则目标函数z?的最小值为

x?2x?y?3?13．在?ABC中，已知AB?AC?tanA，当A??614．已知正项等比数列{an}满足a8?a7?2a6，若存在两项am,an使得aman?2a1，则19?的最小值为___________ mn

时，?ABC的面积为_____

15.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1?x)??f(1?x)，当x?(2,3)时，

f(x)?log2(x?1)，则以下结论中正确的是______

①f(x)图像关于点(k,0)(k?Z)对称；②y?f(x)是以2为周期的周期函数 ③当x?(?1,0)时f(x)??log2(1?x) ④y?f(x)在(k,k?1)(k?Z)内单调递增 三、解答题

AD?1，CD?2，16. 如图5，在平面四边形ABCD中，AC?7.

（1） 求cos?CAD的值；

（2） 若cos?BAD??

721，sin?CBA?，求BC的长. 146

17.如图，在四棱柱ABCD?A1BC11D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A?D1D?2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB?AD，AD?2AB?2BC?2，O为AD中点.

（1）求证：AO1∥平面ABC1 ； （2）求锐二面角A?C1D1?C的余弦值．

B1A1C1AODBCD118.小王大学毕业后，决定利用所学专业知识进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元。在年产量不足8万件时，W(x)?W(x)?6x?12x?x（万元）；在年产量不小于8万件时，3100?38（万元），每件产品售价为5元，通过市场分析，小王生产的商品当x年能全部售完。

（1）写出年利润L(x)（万元）关于年产量x万件的函数解析式（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

19.已知正项数列?an?的前n项和为Sn，a1?1,且an?Sn?Sn?1(n?2)

(I)证明数列

?S?是等差数列，并求数列?a?的通项公式；

nn

2an?3 (Ⅱ)设bn?2?1,数列?bn?的前项n和为Tn,求证：Tn?n?1

an?1?1

2x20.已知函数f?x??ax?xe其中e是自然数的底数，a?R.

??（I）当a?0时，解不等式f?x??0；

（II）若f?x?在??11，?上是单调增函数，求a的取值范围；

（III）当a?0，求使方程f?x??x?2在?k,k?1?上有解的所有整数k的值.

x2y221.设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的一个顶点与抛物线：x2?42y的焦点重合，F1、

abF2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e?N两点．

(I)求椭圆C的方程；

3，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、3 (Ⅱ)是否存在直线l，使得OM?ON??1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；

3|AB|2 （Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求的值

|MN|

胶州一中高三阶段性检测数学答案（理）

1-5:BCBAD 6-10:BDBAB

111.5 12.1 13. 14.4 15.①②③

6AC2?AD2?CD216. 解：（1）在?ADC中，则余弦定理，得cos?CAD?.

2AC?AD7?1?427 由题设知，cos?CAD?.…………4分 ?727 （2）设?BAC??，则???BAD??CAD

277因为cos?CAD?，cos?BAD??，所以

714sin?CAD?1?cos2?CAD?1?(sin?BAD?1?cos2?BAD?1?(?27221)?77

72321. )?1414于是sin??sin(?BAD??CAD)?sin?BADcos?CAD?cos?BADsin?CAD

321277213??(?)??.…………10分 1471472BCAC?在?ABC中，由正弦定理，， sin?sin?CBA37?AC?sin?2?3 …………12分 ?故BC?sin?CBA216 ?OC?AB?A1B1，且

17.(1)证明：如图，连接CO , AC，则四边形ABCO为正方形，所以OC//AB//A1B1，………2分

B1zA1C1AOCxD1

DyB

故四边形又

A1B1CO为平行四边形，所以AO1//B1C．

AO?平面AB1C，B1C?平面AB1C， 1AO1//平面AB1C. ……………5分

D1A?D1D , O为AD的中点，所以 D1O?AD，又侧面ADD1A1⊥

底面ABCD，交线为

所以

(2)因为

AD，故D1O⊥底面ABCD。 …………6分

以O为原点，所

OC , OD , OD1在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系， 则

，

，

C?1,0,0? , D?0,1,0? , D1?0,0,1? , A?0,?1,0??DC?1,?1,0? , DD1?0,?1,1? , D1A?0,?1,?1? , D1C1?DC??1,?1,0??x?y?0?m??x,y,z?m?DC , m?DDCDDC?y?z?0，令z?1，111 设为平面的一个法向量，由，得?则

y?1,x?1 , ? m??1,1,1? ．

??y1?z1?0?n??x1,y1,z1?x?y1?0n?DA , n?DCACD111，得?111的一个法向量，由又设为平面，令z1?1，则y1??1,x1??1 , ? n???1,?1,1?， …………10分 cos?m,n??则

?1?1?11??3， 3?31故所求锐二面角A?C1D1?C的余弦值为3． …………12分

18.解：（1）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得

112x?4x?3…………2分

33100100?38)?3?35?(x?)…………4分 当x?8时，L(x)?5x?(6x?xx2当0?x?8时，L(x)?5x?(x?x)?3???12?x?4x?3,0?x?8??3所以L(x)??…………6分

?35?(x?100),x?8?x?

2（2）当0?x?8时，L(x)??(x?6)?9此时，

13当x?6时L(x)max?9…………8分 当x?8时，L(x)?35?(x?当且仅当x?100100)?35?2x??15 xx100即x?10时等号成立，即当x?10时L(x)max?15……10分 x综上，当年产量为10万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大为15万元…12分 19.解：（1）由an?Sn?Sn?1(n?2)得Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 又Sn?Sn?1?0，于是Sn?Sn?1?1(n?2) 所以数列

?S?是首项为nS1?1，公差为1的等差数列

?Sn?n，即Sn?n2…………3分

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?(n?1)2?2n?1

当n?1时an?1也符合上式，因此an?2n?1…………6分

(2n?1)2?34n2?4n?4111（2）bn???1??1?(?)…………8分

(2n?1)2?14n2?4nn(n?1)nn?1所以Tn?1?(1?)?1?(?)?因为

121123111?1?(?)?n?1?…………10分

nn?1n?11?0，所以Tn?n?1…………12分 n?1x220解：（1）因为e?0，所以f?x??0即ax?x?0 又因为a?0，所以不等式可化为x(x?1)?0 a所以不等式的解集为(0,?)…………3分 （2）f?(x)?[ax?(2a?1)x?1]e

x①当a?0时，f?(x)?(x?1)e?0在[?1,1]上恒成立，当且仅当x??1时取等号，

2x1a故a?0符合题意…………5分

222②当a?0时，令g(x)?ax?(2a?1)x?1,??(2a?1)?4a?4a?1?0

所以g(x)?0有两个不等的实根x1,x2，不妨设x1?x2 因此f(x)既有极大值也有极小值

若a?0因为g(?1)g(0)??a?0，所以f(x)在[?1,1]内有极值点 故f(x)在[?1,1]上不单调………………7分

若a?0，g(x)开口向下且g(0)?1?0可知x1?0?x2 若f(x)在[?1,1]上单调递增，则

?g(?1)?0?3a?2?02??a?0， 即，所以??3?g(1)?0??a?0综上可知，实数a的取值范围为[?,0]………………9分

xx（3）当a?0时，方程即为xe?x?2，由于e?0，所以x?0不是方程的解

23所以原方程等价于e?因为h?(x)?e?xx22?1?0，令h(x)?ex??1 xx2?0对任意x?(??,0)(0,??)恒成立 x22x所以h(x)?e??1在(??,0),(0,??)内是单调递增函数…………11分

x12?3?2又h(1)?e?3?0,h(2)?e?2?0,h(?3)?e??0,h(?2)?e?0

3所以方程f?x??x?2有且只有两个实根，且分别在区间[1,2],[?3,?2]上 所以整数k的所有取值为{?3,1}…………13分 21.解：（1）椭圆的顶点为(0,2)即b?2 x2y2cb23??1……2分 解得a?3，故椭圆方程为e??1?2?32aa3（2）由题知直线l比与椭圆相交

当直线l斜率不存在时，经检验不合题意……3分 设直线l为y?k(x?1),M(x1,y1),N(x2,y2)

?x2y2?1??由?3?(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0 2?y?k(x?1)?6k23k2?6?x1?x2?,x?x?……5分

2?3k2122?3k2?4k2y1y2?k(x1x2?x1?x2?1)? 22?3k2?k2?6?OM?ON?x1x2?y1y2???1

2?3k2解得k??2，故直线l的方程为y??2(x?1)……9分 （3）设M(x1,y1),N(x2,y2)，（Ax3,y3),B(x4,y4)

3AB4?6 ,AB?22，?当l不存在斜率时，可求得MN?MN3由（2）可得：

当l存在斜率时MN=（x1?x2)?(y1?y2)?1?k2222x1?x2

=（1?k2)[(x1?x2)2?4x1x26k223k2?643(k2?1)2?(1?k)[()?4()?2?3k22?3k22?3k2……11分

?x2y26?1??2x?由?3得 222?3k?y?kx?6(1?k2)……13分 AB=1?kx3?x4?222?3k22243（1?k)223AB2?3k???6

MN43(k2?1)2?3k23AB?6……14分 综上?MN

2

胶州一中高三阶段性检测数学答案（理）

1-5:BCBAD 6-10:BDBAB

111.5 12.1 13. 14.4 15.①②③

6AC2?AD2?CD216. 解：（1）在?ADC中，则余弦定理，得cos?CAD?.

2AC?AD7?1?427 由题设知，cos?CAD?.…………4分 ?727 （2）设?BAC??，则???BAD??CAD

277因为cos?CAD?，cos?BAD??，所以

714sin?CAD?1?cos2?CAD?1?(sin?BAD?1?cos2?BAD?1?(?27221)?77

72321. )?1414于是sin??sin(?BAD??CAD)?sin?BADcos?CAD?cos?BADsin?CAD

321277213.…………10分 ??(?)??1471472BCAC?在?ABC中，由正弦定理，， sin?sin?CBA37?AC?sin?2?3 …………12分 ?故BC?sin?CBA216 ?OC?AB?A1B1，且

17.(1)证明：如图，连接CO , AC，则四边形ABCO为正方形，所以OC//AB//A1B1，………2分

ABCO为平行四边形，所以AO1//B1C． 故四边形11又

A1B1C1AOCxDyzD1AO?1平面

AB1C，

B1C?平面

AB1C，

B

所以

AO1//平面AB1C. ……………5分

D1A?D1D , O为AD的中点，所以 D1O?AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，交线为

(2)因为

AD，故D1O⊥底面ABCD。 …………6分

以O为原点，所

OC , OD , OD1在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系， 则

，

，

C?1,0,0? , D?0,1,0? , D1?0,0,1? , A?0,?1,0??DC?1,?1,0? , DD1?0,?1,1? , D1A?0,?1,?1? , D1C1?DC??1,?1,0??x?y?0?m??x,y,z?m?DC , m?DDCDDC?y?z?0，令z?1，1，11的一个法向量， 设为平面由得?则

y?1,x?1 , ? m??1,1,1? ．

??y1?z1?0?n??x1,y1,z1?x?y1?0n?DA , n?DCACD111，得?111的一个法向量，由又设为平面，令z1?1，则y1??1,x1??1 , ? n???1,?1,1?， …………10分 cos?m,n??则

?1?1?11??3， 3?31故所求锐二面角A?C1D1?C的余弦值为3． …………12分

18.解：（1）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得

112x?4x?3…………2分

33100100?38)?3?35?(x?)…………4分 当x?8时，L(x)?5x?(6x?xx2当0?x?8时，L(x)?5x?(x?x)?3???12?x?4x?3,0?x?8??3所以L(x)??…………6分

100?35?(x?),x?8?x?2（2）当0?x?8时，L(x)??(x?6)?9此时，

13当x?6时L(x)max?9…………8分

当x?8时，L(x)?35?(x?当且仅当x?100100)?35?2x??15 xx100即x?10时等号成立，即当x?10时L(x)max?15……10分 x综上，当年产量为10万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大为15万元…12分 19.解：（1）由an?Sn?Sn?1(n?2)得Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 又Sn?Sn?1?0，于是Sn?Sn?1?1(n?2) 所以数列

?S?是首项为nS1?1，公差为1的等差数列

?Sn?n，即Sn?n2…………3分

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?(n?1)2?2n?1

当n?1时an?1也符合上式，因此an?2n?1…………6分

(2n?1)2?34n2?4n?4111（2）bn???1??1?(?)…………8分 22(2n?1)?14n?4nn(n?1)nn?1所以Tn?1?(1?)?1?(?)?因为

121123111?1?(?)?n?1?…………10分

nn?1n?11?0，所以Tn?n?1…………12分 n?1x220解：（1）因为e?0，所以f?x??0即ax?x?0 又因为a?0，所以不等式可化为x(x?1)?0 a所以不等式的解集为(0,?)…………3分

2x（2）f?(x)?[ax?(2a?1)x?1]e

x①当a?0时，f?(x)?(x?1)e?0在[?1,1]上恒成立，当且仅当x??1时取等号，

1a故a?0符合题意…………5分

222②当a?0时，令g(x)?ax?(2a?1)x?1,??(2a?1)?4a?4a?1?0

所以g(x)?0有两个不等的实根x1,x2，不妨设x1?x2 因此f(x)既有极大值也有极小值

若a?0因为g(?1)g(0)??a?0，所以f(x)在[?1,1]内有极值点 故f(x)在[?1,1]上不单调………………7分

若a?0，g(x)开口向下且g(0)?1?0可知x1?0?x2 若f(x)在[?1,1]上单调递增，则

?g(?1)?0?3a?2?02??a?0， 即，所以??3g(1)?0?a?0??综上可知，实数a的取值范围为[?,0]………………9分

xx（3）当a?0时，方程即为xe?x?2，由于e?0，所以x?0不是方程的解

23所以原方程等价于e?因为h?(x)?e?xx22?1?0，令h(x)?ex??1 xx2?0对任意x?(??,0)(0,??)恒成立 x22x所以h(x)?e??1在(??,0),(0,??)内是单调递增函数…………11分

x12?3?2又h(1)?e?3?0,h(2)?e?2?0,h(?3)?e??0,h(?2)?e?0

3所以方程f?x??x?2有且只有两个实根，且分别在区间[1,2],[?3,?2]上 所以整数k的所有取值为{?3,1}…………13分 21.解：（1）椭圆的顶点为(0,2)即b?2 x2y2cb23??1……2分 解得a?3，故椭圆方程为e??1?2?32aa3（2）由题知直线l比与椭圆相交

当直线l斜率不存在时，经检验不合题意……3分 设直线l为y?k(x?1),M(x1,y1),N(x2,y2)

?x2y2?1??由?3?(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0 2?y?k(x?1)?

6k23k2?6?x1?x2?,x1?x2?……5分 222?3k2?3k?4k2y1y2?k(x1x2?x1?x2?1)?

2?3k22?k2?6?OM?ON?x1x2?y1y2???1

2?3k2解得k??2，故直线l的方程为y??2(x?1)……9分 （3）设M(x1,y1),N(x2,y2)，（Ax3,y3),B(x4,y4)

3AB4?6 ,AB?22，?当l不存在斜率时，可求得MN?MN3由（2）可得：

当l存在斜率时MN=（x1?x2)?(y1?y2)?1?k2222x1?x2

=（1?k2)[(x1?x2)2?4x1x26k223k2?643(k2?1)?(1?k)[()?4()?222?3k2?3k2?3k22……11分

?x2y26?1??2由?3得x? 222?3k?y?kx?6(1?k2)……13分 AB=1?kx3?x4?22?3k222243（1?k)223AB2?3k???6 2MN43(k?1)2?3k23AB?6……14分 综上?MN2

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