2010—2011学年2011届高三摸底考试数学试题汇编

鄂州市2010—2011学年2011届高三摸底考试

数 学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．“x2≠y2”是“x≠y且x≠－y”的 A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝6，b＝8，A＝30°，则满足条件的三角形有 A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

113．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是3，乙解决这个问题的概率是4，那

么其中至少有一人解决这个问题的概率是

7111A．12 B．12 C．12

1D．2

lim1?a4．已知a＞0，设

n??ann?m，则m取值范围的集合是

?1??0,,1?A．?2?

B．?0,1?

?1??0,?C．?2? ?1?,D．?2?1??

5．已知三条不重合的直线m，n，l．两个不重合的平面α，β．给出下列命题： ①若②若③若④若

m//n,n??,l??,m??,则m//?． 且l//m，则

?//?．

．

m??,n??,m//?,n//?,则

?//????,????m,n??,n?m,则n??．

其中真命题的个数是 A．0个 a?B．1个 C．2个 D．3个

6．设

2tan13?1?cos50?13c?cos6??sin6?,b?2221?tan213?，则有

A．a＜b＜c 7．在Rt△ABC中，

B．a＜c＜b CA?4C．a＞b＞c D．a＞c＞b

，

CB?2，M为斜边AB的中点，则AB?MC＝

1

A．10

B．5

C．1 D．6

8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站在两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法总数共有 A．60

B．48

C．42

D．36

9．路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为

77A．23m/s B．22m/s

7C．24m/s

7D．20m/s

x2y2?2?1(a?b?0)2b10．设椭圆a的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在

|FM|?|FN||FA|x轴上方部分交于M、N两点，则的值为

a22A．a?b

a22B．a?b a22C．2a?b

a22D．2a?b

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填写在答题卡相应横线上。

1?3i?cos??isin?11．设0＜?＜?，3?i，则?的值为__________．

(x?2n)x展开式中常数项是第__________

12．已知函数f(x)??x?2f'(2)x,n?f'(2)，则二项式

项．

32?~N(90,a)(a＞0，试卷满分150分)，13．某校在一次月考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩

3统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的5，则此次月考中数学考试

成绩不低于110分的学生约有__________人．

2?xm?x?n?(m?0?n)，则不等式cx2?bx?a?0的解14．若关于x的不等式ax?bx?c?0的解集为

集为__________．

ex?e?xex?e?xshxshx?chx?thx?2chx，由215．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数

?sinx???cosx，

?cosx????sinx，

?tanx???1cos2x可类比得出双曲正弦，双曲余弦，双曲正切函

数之间的关系式(写出你认为正确的三个结论即可)

2

①__________；②__________；③__________．

三、解答题：本大题共6小题，共计75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

若方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正实数根，求实数a的取值范围． 17．（本小题满分12分）

某电信服务点有连成一排的7座电话亭，此时全都空着，现有2位陌生人各随机选择不同的电话亭打电话．

⑴求这2人选择的电话亭相隔数ξ的分布列和期望；

⑵若电信管理员预言这2人之间至少相隔2座电话亭，求管理员预言为真的概率． 18．（本小题满分12分）

某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3＋x万元．设余下工程的总费用为y万元． ⑴试将y表示成关于x的函数；

⑵需要修建多少个增压站才能使y最小？ 19．（本小题满分12分）

x2y22C:2?2?1(a?b?0)e?ab2，左、右焦点分别为F1、F2，定点P(2，3)，已知椭圆的离心率

点F2在线段PF1的中垂线上．

⑴求椭圆C的方程；

⑵设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

20．（本小题满分13分）

a(1?x)f(x)?ln(1?x)(a?R)x已知函数，e为自然对数的底数．

21?e,1?e?上的最值； f(x)⑴求在区间

?⑵若n?2,n?N，试比较

?(1?111)(1?)?(1?)2!3!n!与e的大小，并证明你的结论．

3

21．（本小题满分14分）

若数列{an}的前n项和Sn是(1＋x)n二项展开式中各项系数的和(n＝1，2，3，??)． ⑴求{an}的通项公式；

⑵若数列{bn}满足b1??1,bn?1?bn?(2n?1)，且

2T?T?Tnn?2n?1． ⑶求证：

cn?an?bnn，求数列{cn}的通项及其前n项和Tn．

一、选择题：

题号 答案(A卷) 答案(B卷) 二、填空题：

1 C A 2 C D 3 D C 4 A B 5 C B 6 B C 7 D B 8 B C 9 D A 10 A B 11??x??x????nm6?? 11． 12．9 13．200 14．

?)'?shx ③15．①(shx)'?chx ②(chx三、解答题：

16．解：当a＝0时，

(thx)'?1ch2x

x?12．适合题意． ................................................................ (3分)

1x1?x2???0a当a≠0时，①若方程有一正一负根，则，∴a＞0 ................. (6分) ??4?4a?0???0?a??1?2????x1?x2?0????0??a?0??1?a?0?x?x?0?a?a?0??12?1??0?a?②若方程有两个正根，则 (11分)

综上得：实数a的取值范围是[－1，＋∞) ........................................................ (12分) 17．解：⑴依题意知，?的可能取值为0，1，2，3，4，5； ............................... (2分)

P(??0)?665544?P(??1)??P(??2)??22221，21，21， C7C7C7332211?P(??4)??P(??5)??22221，21，21 ....... (4分) C7C7C71 521 2 421 3 321 4 221 4

5 121 P(??3)?ξ P 0 621 分

期望

E??0?6543215?1??2??3??4??5??2121212121213 ................ (8分)

P(??2)?1?6510??212121 ......................... (12分)

k?120?1x． ................ (2分)

⑵管理员预言为真的概率为

18．解：⑴设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝120，即

1201203432?(?1)?(x?x)3xx所以y＝432k＋(k＋1)(x＋x)＝

51840＝x＋120x2－312．

因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤120． ....................... (6分)

51840y??120x2?312(0?x?120)x故y与x的函数关系是． ⑵设

f(x)?51840?120x2?312(0?x?120)x，则

518402403?240x?(x?216)x2x2． ........................................... (9分)

f'(x)??由f'(x)?0，得x3＞216，又0＜x≤120，则6＜x≤120．

所以f'(x)在区间(6，120]内为增函数，在区间[0，6)内为减函数． 所以当x＝6时，f(x)取最小值，此时

k?120120?1??1?19x6．

故需要修建19个增压站才能使y最小． ................................................. (12分)

19．解：⑴由椭圆C的离心率

e?2c2?222得a2，其中c?a?b，

1(?c,0),F2(c,0)又点F在线段PF的中垂线上 椭圆C的左、右焦点分别为F21

∴

F1F2?PF2222(2c)?(3)?(2?c)，∴解得c＝1，a2＝2，b2＝1，

x2?y2?1∴椭圆的方程为2． ............................................................... (4分)

⑵由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y＝kx＋m

?x2??y2?1,?2?由?y?kx?m消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0．

2m2?24kmx1?x2??2x1x2?2k?12k2?1 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，kF2M?kx1?mkx?mkF2N?2x1?1，x2?1 ....................................................... (8分)

且

5

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