高中理科数学解题方法篇(导数2)

特级教师高考理数导数题型分析及解题方法总结

一、考试内容(重点)

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

32f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是 2 1．

22．已知函数y?f(x)?x(x?c)在x?2处有极大值，则常数c＝ 6 ；

33．函数y?1?3x?x有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

3??1,?3?处的切线方程是 y?x?2 y?4x?x1．曲线在点

42．若曲线f(x)?x?x在P点处的切线平行于直线3x?y?0，则P点的坐标为 （1，0）

4y?x3．若曲线的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 4x?y?3?0

4．求下列直线的方程：

322 （1）曲线y?x?x?1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y?x过点P(3,5)的切线；

32 ?y/?3x2?2x ?k?y/|x?－1?3－2?1 解：（1）?点P(?1,1)在曲线y?x?x?1上，

即x?y?2?0 所以切线方程为y?1?x?1 ，

2/ （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0?x0①又函数的导数为y?2x，

所以过

2x0?A(x0,y0)点的切线的斜率为

k?y/|x?x0?2x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有

y0?5x0?3?x0?1?x0?5?y?1 或 ?y?25?0②，由①②联立方程组得，?0，即切点为（1，1）时，切线斜率为

k1?2x0?2;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k2?2x0?10；所以所求的切线有两条，方程分

即y?2x?1 或y?10x?25 别为y?1?2(x?1)或y?25?10(x?5)，

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值(重点)

32f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1 1．已知函数

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（Ⅰ）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y?f(x)在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y?f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

322?f(x)?x?ax?bx?c,求导数得f(x)?3x?2ax?b. 解：（1）由

过y?f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：

y?f(1)?f?(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1).

的切线方程为y?3x?1. 而过y?f(x)上P[1,f(1)]?3?2a?b?3?故?a?c??3?2a?b?0即??a?c??3

① ②

,故f?(?2)?0,??4a?b??12 ③ ∵y?f(x)在x??2时有极值32f(x)?x?2x?4x?5. 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴

2（2）f?(x)?3x?4x?4?(3x?2)(x?2).

2?3?x??2时,f?(x)?0;当?2?x?时,f?(x)?0;3当

2当?x?1时,f?(x)?0.?f(x)极大?f(?2)?133 又f(1)?4,?f(x)在[－3，1]上最大值是13。

2?f(x)?3x?2ax?b,由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又

2??依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3x?bx?b?0.

x?①当

b?1时,f?(x)min?f?(1)?3?b?b?0,?b?66； b??2时,f?(x)min?f?(?2)?12?2b?b?0,?b??6；

x?②当

612b?b2?2??1时,f?(x)min??0,则0?b?6.b12③当

综上所述，参数b的取值范围是[0,??)

322．已知三次函数f(x)?x?ax?bx?c在x?1和x??1时取极值，且f(?2)??4．

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(1) 求函数y?f(x)的表达式； (2) 求函数y?f(x)的单调区间和极值；

(3) 若函数g(x)?f(x?m)?4m(m?0)在区间[m?3,n]上的值域为[?4,16]，试求m、n应满足的条件．

?(x)?3x2?2ax?bf解：(1) ，

2由题意得，1,?1是3x?2ax?b?0的两个根，解得，a?0,b??3．

3f(?2)??4f(x)?x?3x?2． c??2再由可得．∴

?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)f(2) ，

??当x??1时，f(x)?0；当x??1时，f(x)?0； ??当?1?x?1时，f(x)?0；当x?1时，f(x)?0；

?当x?1时，f(x)?0．∴函数f(x)在区间(??,?1]上是增函数； ]在区间[?1,１上是减函数；在区间[1,??)上是增函数．

函数f(x)的极大值是f(?1)?0，极小值是f(1)??4．

(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的， 所以，函数f(x)在区间[?3,n?m]上的值域为[?4?4m,16?4m]（m?0）． 而f(?3)??20，∴?4?4m??20，即m?4．

于是，函数f(x)在区间[?3,n?4]上的值域为[?20,0]． 令f(x)?0得x??1或x?2．由f(x)的单调性知，?1剟n?4综上所述，m、n应满足的条件是：m?4，且3剟n

3．设函数f(x)?x(x?a)(x?b)．

（1）若f(x)的图象与直线5x?y?8?0相切，切点横坐标为２，且f(x)在x?1处取极值，求实数a,b 的值；

6．

2，即3剟n6．

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（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．

?解：（1）f(x)?3x?2(a?b)x?ab.

??由题意f(2)?5,f(1)?0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2?令f(x)?0得方程3x?2(a?1)x?a?0. （2）当b=1时，

22??4(a?a?1)?0,故方程有两个不同实根x1,x2． 因

''x?xf(x)?3(x?x)(x?x)f(x)的符号如下： 2，由12可判断不妨设1'''x?x时，x?x?x时，x?x时，f(x)f(x)f(x)＞０ 1122当＞０；当＜０；当

因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

/f1．如右图：是f（x）的导函数， (x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）

（A） （B） （C） （D） 2．函数

6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 x -4 -2 y 6 4 2 y 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4 x y y?13x?4x?1的图像为3( A )

o 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4

323．方程2x?6x?7?0在(0,2)内根的个数为 ( B )

A、0 B、1 C、2 D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

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1f(x)??x3?2ax2?3a2x?b,0?a?1.31．设函数

（1）求函数f(x)的单调区间、极值.

?（2）若当x?[a?1,a?2]时，恒有|f(x)|?a，试确定a的取值范围.

22x?a,x2?3a ??f(x)??x?4ax?3a解：（1）=?(x?3a)(x?a)，令f(x)?0得1列表如下：

x （-∞，a） a

（a，3a） 3a +

0 极大

（3a，+∞） -

f?(x) f(x)

- 0 极小

? ? ?

∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减

4f极小(x)?b?a33，x?3a时，f极小(x)?b x?a时，

22?f(x)??x?4ax?3a（2）∵0?a?1，∴对称轴x?2a?a?1，

?∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减

???(a?1)2?4a(a?1)?3a2?2a?1fmin???(a?2)2?4a(a?2)?3a2?4a?4fMax∴， ?|?a|f?|?a，|fmin?依题|f(x)|?a?Max 即|2a?1|?a,|4a?4|?a

44?a?1[,1)解得5，又0?a?1 ∴a的取值范围是5

22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函

数f（x）的单调区间 （2）若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f?（

21124－－a＋b＝03）＝93，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

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x 22（－?，－3） －3 0 2（－3，1） － 1 （1，＋?） f?（x） ＋ f（x） ? 0 ＋ 极大值 ? 极小值 ? 22所以函数f（x）的递增区间是（－?，－3）与（1，＋?），递减区间是（－3，1） 1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，解得c?－1或c?2

题型六：利用导数研究方程的根

13??1．已知平面向量a=(3,－1). b=(2,2).

??????????（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，

试求函数关系式k=f(t) ；

(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.

??????????yx?y解：(1)∵x⊥，∴=0 即[a+(t2-3) b]·(-ka+tb)=0.

???2?2整理后得-ka+[t-k(t2-3)] a?b+ (t2-3)·b=0

1???2?2∵a?b=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个

数.

33于是f′(t)= 4(t2-1)= 4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表： t f′(t) F(t) (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,1) - ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗ 1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.

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1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－2 1函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，

可观察出：

11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解； 11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解； 11(3) 当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.

题型七：导数与不等式的综合

3a?0,函数f(x)?x?ax在[1,??)上是单调函数. 1．设

（1）求实数a的取值范围； （2）设

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))?x0，求证：f(x0)?x0.

22???f(x)??1,??y?f(x)?3x?a,y?0,即a?3x,这解：（1） 若在上是单调递减函数，则须

样的实数a不存在.故f(x)在?1,???上不可能是单调递减函数.

2若f(x)在?1,???上是单调递增函数，则a≤3x，

2??x?1,??,故3x?3.从而0

x?f(x0)，则

（2）方法1、可知f(x)在?1,???上只能为单调增函数. 若1≤0f(x0)?f(f(x0))?x0矛盾, 若1≤f(x0)?x0,则f(f(x0))?f(x0),即x0?f(x0)矛盾，故

只有

f(x0)?x0成立.

33f(x)?u,则f(u)?x?x?ax?u,u?au?x0,两式相减得0000方法2：设，32(x0?u3)?a(x0?u)?u?x0 ?(x0?u)(x0?x0u?u2?1?a)?0,?x0≥1,u≥1， 22?x0?x0u?u2?3,又0?a?3，?x0?x0u?u2?1?a?0

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3f(x)?(x2?)(x?a)22．已知a为实数，函数

（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围 （2）若f'(?1)?0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间

（Ⅱ）证明对任意的

x1、x2?(?1,0)，不等式

|f(x1)?f(x2)|?516恒成立

?f(x)?x3?ax2?解：

333x?a?f'(x)?3x2?2ax?22，2

? 函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，?f'(x)?0有实数解

???4a2?4?3?

9333?0a2?（??，?2]?[2，??）2，所以a的取值范围是222，

93931?0a??f'(x)?3x2?x??3(x?)(x?1)4，2222， 11f'(x)?0,?1?x??2；由2

?f'(?1)?0，

?3?2a?由f'(x)?0,x??1或

x??11(?1,?)(??,?1),(?,??)?f(x)的单调递增区间是2 2；单调减区间为

易知f(x)的最大值为

f(?1)?2514927f(?)?f(0)?8，f(x)的极小值为216，又8 2749m?8，最小值16

?f(x)在[?1，0]上的最大值

M??对任意x1,x2?(?1,0)，恒有

|f(x1)?f(x2)|?M?m?27495??81616

题型八：导数在实际中的应用

1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

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解：设OO1为xm，则1?x?4 由题设可得正六棱锥底面边长为：

32?(x?1)2?8?2x?x2，（单位：m）

6?故底面正六边形的面积为：

333?(?(8?2x?x2)2228?2x?x)=24，（单位：m）

帐篷的体积为：

V（x）?1333(16?12x?x3)(8?2x?x2)[(x?1)?1]?3m322（单位：）

V'（x）?求导得

3(12?3x2)2。

（x）?0，解得x??2（不合题意，舍去）令V'，x?2， （x）?0，V（x）当1?x?2时，V'为增函数； （x）?0，V（x）当2?x?4时，V'为减函数。

∴当x?2时，V（x）最大。

3163mm2答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量

y（升）关于行驶速度x（千米/

y?小时）的函数解析式可以表示为：

13x3?x?8(0?x?120).12800080

已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

100?2.5x?4040解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

13(?403??40?8)?2.5?17.580要耗没128000（升）。

100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，

131001280015h(x)?(x3?x?8).?x??(0?x?120),12800080x1280x4依题意得

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x800x3?803h'(x)???(0?x?120).640x2640x2

令h'(x)?0,得x?80.

当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。

?当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25.

因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80

千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合

?31?13a?(，?),b?(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1．设平面向量

x?a?(t2?k)b,y??sa?tb,且x?y，

（1）求函数关系式S?f(t)；

，???上是单调函数，求k的取值范围。 （2）若函数S?f(t)在?1a?(解：（1）

??3113??,?),b?(,).a?b?1，a?b?02222

??????又x?y,x?y?0，得????2?a??b??sa?tb）?0，?（t?k）（?2?2??22即?sa?（tt?k）b-（t?st?sk）a?b?0。??s?（t2?k）t?0，故s?（ft）?t3?kt。

（2）

f?（t）?3t2?k且f（t）在?1，???上是单调函数，

???0 则在?1,???上有f(t)?0或f（t）222?f(t)?0?3t?k?0?k?3t?k?(3t)min?k?3； 由

?由f(t)?0?3t?k?0?k?3t。

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22??1,??3tk?3t因为在t∈上是增函数，所以不存在k，使在?1,???上恒成立。故k的取值范

围是k?3。

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