高中数学必修四第一章1.2.4诱导公式(三)

例1.求下列三角函数的值：(1) sin240

人大附中分校高一数学导学学案

例1.求下列三角函数的值：(1) sin240

例 6.求证：

sin( 3 ) cos( 4 ) sin(4 ) cos(2 ) cos( ) cos( ) sin( ) tan( ) sin( )

1 cos(180 ) cos( ) tan3 例 7.求证 1 sin(360 ) sin(540 )

例 8.已知 cos( ) ,

1 3 2 .求： sin(2 ) 的值. 2 2

例 9.已知

1 tan( 720 ) 3 2 2 , 1 tan( 360 ) 2

求: [cos ( ) sin( ) cos( ) 2sin ( )] 2

1 的值 cos ( 2 )2

王新敞奎屯

新疆

例 10.已知

6

2 2 , ) m(m 0),求 tan( cos( ) 的值. 3 3 3

小结

四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为 k

2

(其中

4

) 的形式。这样由前面的

公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为 0 到

之间角的三角函数求值问题。 4

例1.求下列三角函数的值：(1) sin240

1.2.4诱导公式（三）参考答案

例1．求下列三角函数的值：

(1) sin240º； (2)cos

5 7 ；(3) cos(－252º)；(4) sin（－） 46

解：（1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º=

2

(2) cos

5 2

=cos = cos= ； 4424

(3) cos(－252º)=cos252º= cos(180º+72º)=－cos72º=－； (4) sin（－

7 7 1

）=－sin=－sin =sin= 66626

例2．求值：sin

31 10

－cos

6 3

11

－sin10

略解：原式=－sin 4

11 7 4

=－sin －cos +sin －cos 2 －sin101036 63

=sin

11

+cos+sin =+102263

例3．求值：sin(－1200º)·cos1290º+cos(－1020º)·sin(－1050º)+tan855解：原式＝－sin(120º+3·360º)cos(210º+3·360º)+cos(300º+2·360º)[－sin(330º+2·360º)]+tan(135º+2·360º)

＝－sin120º·cos210º－cos300º·sin330º+tan135º

＝－sin(180º－60º)·cos(180º+30º)－ cos(360º－60º)·sin(360º－30º)+

sin(180 45 )

cos(180 45 )

=sin60º·cos30º+cos60º·sin30º－tan45º= 例4311·+·－1=0 2222

略解：原式=

cos sin( ) cos

=cos( ) [ sin( )]cos

例5．化简：

sin[ (2n 1) ] 2sin[ (2n 1) ]

(n Z)

sin( 2n )cos(2n )

解：原式=

sin[( ) 2n ] 2sin[( ) 2n ]

sin( 2n )cos(2n )

=

sin( ) 2sin( ) sin 2sin = =sin cos sin cos

例1.求下列三角函数的值：(1) sin240

例6．求证：

sin( 3 ) cos( 4 )sin(4 )cos(2 )

cos( )cos( ) sin( )

tan( )

sin( )

证明：左边=

sin( ) cos cos sin sin[( ) 4 ] cos == 22

cossincos( ) sin( )cos sin

sin( )cos( )sin cos sin cos sin cos (cos sin ) sin cos

=，

cos sin cos sin sin cos

=

右边=

sin cos sin cos

=，

cos sin sin cos

所以，原式成立．

1

cos(180 )

cos( )

tan3 例7．求证

1

sin(360 )

sin(540 )11

cos cos 证明：左边＝ 11

sin sin

sin(180 )sin 1 co2s

2sin sin 3 ＝＝tanα＝右边， 22

1 sin co scos sin

所以，原式成立． 例8．已知cos( ) 解：已知条件即cos

13

2 ．求：sin(2 )的值． 22

13

2 ， ，又22

所以：sin(2 ) sin ( cos2 )= ()

1

2

2

2

例9．已知

1 tan( 720 )

3 22,

1 tan( 360 )

2

求:[cos( ) sin( ) cos( ) 2sin( )]

2

1

2

cos( 2 )

解：由

1 tan( 720 )2 222

3 22，得 （4 2)tan 2 22，所以tan

1 tan( 360 )24 22

2

2

故 [cos( ) sin( ) cos( ) 2sin( )]

1

2

cos( 2 )

例1.求下列三角函数的值：(1) sin240

=[cos sin cos 2sin ]

22

12

=1＋tan＋2tan2

cos

=1+

22 2 ()2 2

22例10．已知

6

2 2

，cos( ) m(m 0)，求tan( )的值． 333

解：因为

2

（ ），所以： 33

cos(

由于

2

) cos[ ( )]= cos( )＝－m 333

6

2 2

， ，所以0 332

于是：sin(

2 2 ) cos2( )= m2， 33

2

)

m22 所以：tan(= )

2m3

)

3

sin(

例11．已知cos

2

，角 的终边在y轴的非负半轴上，求cos 2 3 的值． 3

解：因为角 的终边在y轴的非负半轴上，所以： =

2

2k (k Z)，

于是 2（ ）= 4k (k ) 从而2 3 4k (k Z)，

2( 3 ) cos [( ) 4k ]=cos( )= cos = cos

课堂练习：

1．已知sin

2

3

+π)＝ －，则

(B) －2

12

1cos( 7 )

(C)－

的值是（ ）

（A）

2 32 3

(D)±

23

3

2．式子

cos( 585 )

的值是

sin630 sin( 690 )

(B)2

（ ）

（A）22

(C)

2 3

(D)－

2 3

3． ，β，γ是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ） （A）sin( +β)+sinγ

(B)cos(β+γ)－ cos

例1.求下列三角函数的值：(1) sin240

(C)sin( +γ)－cos(－β)tanβ (D)cos(2β+γ)+ cos2 4．已知：集合

( 21 k) (k 3)

P x|x sin,k Z ，集合Q y|y sin,k Z ，则P与Q的关

33

系是

（ ）．

(B)P Q

(C)P=Q

(D)P∩Q=φ

（A）P Q 5．已知sin(（ ）． （A）－cos2x 6．已知

(B)cos2x

(C) －sin2x

(D)sin2x

2

) cos ,cos(

2

) sin 对任意角 均成立．若f (sinx)=cos2x，则f(cosx)等于

1 3cos( )2cos(3 )

的值等于 ． ，则

cos( ) 39sin( 5 ) cos

2 3 4

cos cos 555

7．cos

5

8．化简：

sin( ) sin(900 )

所得的结果是 ．

tan( 360 ) cos(180 ) cos( 360 )

1

sin(180 )

sin( )

9．求证 cot3 ．

1

cos(360 )

cos(540 )

cos2(n x) sin2(n x)

10．设f(x)=， 求f ()的值． (n Z)2

6cos[(2n 1) x]

课堂练习答案与提示：

1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．±

3

7．0 8．－2cosα 4

cos3 cos3

9．提示：左边利用诱导公式及平方关系，得，右边利用倒数关系和商数关系，得，所33

sin sin

以左边=右边． 10．

1

． 4

提示：分n=2k，n=2k+1(k∈z)两种情况讨论，均求得f(x)=sin2x．故f(

1)=． 64

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