自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验 第7章习题解答

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第七章 非线性控制系统

本章讲述非线性控制系统的基本概念和分析方法。首先介绍非线性系统的数学描述、非线性特性的分类、非线性系统的特点。在此基础上，介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常用方法：描述函数法和相平面法。并介绍了非线性环节的串并联的特性，以及引入非线性特性对系统性能的改善。最后介绍应用MATLAB进行非线性系统的频率特性和时域响应的分析，以及应用MATLAB绘制非线性系统的相平面图。

教材习题同步解析

7.1 求下列方程的奇点，并确定奇点的类型。

(1 x)x x 0 x（1）

(0.5 3x)x x x 0 x（2）

解：（1） 由题得：

2

2

2

x f x ,x x (1 x2)x

,x 为解析函数。若以x为自变量，x 为因变量，则上式可改写为 式中f x

,x xf x

xx

考虑到

xdx

，因此有

xdtdt

,x f xdx

dxx

根据奇点的定义

0dx

，列方程组为 dx0

0 x

f x,x 0

得到系统的奇点为

0 x

x 0

,x 进行泰勒级数展开，保留一次项有 即奇点在坐标原点。在奇点（0，0）处，将f x

174

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,x f 0,0 f x

,x ,x f x f x

x x

x x x x 0 x 0x

x 0x

0 (1 x2) x x

奇点附近线性化方程为

(2xx 1) x

x 0x

x

f x ,x x x x

其特征方程为

s2 s 1 0

特征根为

1,2

1 j

22

为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7.1（a）所示：

（2）由题得：

(0.5 3x2)x x x2 f x ,x x

由

0 x

f x,x 0

得到

0 x

x 0或 1

即奇点为（0，0）和（-1，0）。

x x

xx

（a） （b）

图7.1 题7.1 奇点附近的相轨迹

,x 进行泰勒级数展开，保留一次项有 1）在奇点（0，0）处，将f x

175

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,x f 0,0 f x

,x ,x f x f x

x x

x x x x 0 x 0x

x x 0

(0.5 3x2)

奇点（0，0）附近线性化方程为：

( 6xx 1 2x)x x x x 0

1

xx2

1

x x2

x

其特征方程为

1

s2 s 1 0

2

特征根为：

1,2 14 0.25 j0.984 为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点（0，0）为不稳定焦点。

,x 进行泰勒级数展开，保留一次项有 2）在奇点（-1，0）处，将f x

,x f 1,0 f x

(0.5 3x2)

,x f x

x

0xx 1

0xx 1

0) (x

,x f x x

0x

x 1

0xx 1

(x 1)

( 6xx 1 2x) x (x 1)

5

x 1 x2

x坐标系的奇点（-1，0） x ， 。即x在奇点（-1，0）处，进行坐标变换，令y x 1，则y，yx 变换为y

y坐标系下的奇点（0，0）。因此有

5

y y y

2

其特征方程为

5

s2 s 1 0

2

特征根为：

3,4

54 x坐标系下的奇点（-1，0）为鞍点。 为一正一负的两个实数根，故x

概略画出奇点附近的相轨迹如图7.1（b）所示：

7.2 利用等倾线法画出下列方程的相平面图。

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x x 0 x（1）

x x 0 x（2）

解：（1）

1）确定奇点及其性质 原方程等价为：

:

:

令 x 0，得奇点：xe 0。 x

x 0,x x

x 0,x x 0x

0x

进行拉氏变换，则系统的特征方程分别为：

:

:

特征根分别为：

s2 s 1 0,s s 1 0,

2

0x 0x

: :

1,2 j 3,4

121 j2 0x

0x

0时奇点xe 0是s平面左半部分的共轭复数根，为稳定焦点，该区域相轨迹为收敛于原点处的x

0时奇点为s平面右半部分的共轭复数根，为不稳定焦点，该区域相轨迹为发散的对数对数螺旋线，x

0，即开关线为x 0。通过适当地把两个区域的相轨迹连接起来，便可得螺旋线，两个区域的边界为x

到整个非线性系统的相轨迹。再辅以几条等倾线，就能绘制出说明系统运动性质的足够准确的相平面图（包含若干起始于不同初始点的相轨迹）。 2）推导等倾线方程

f x ,x x x x

考虑到

x

相轨迹的斜率方程为

dxdx

， xdtdt

x dxx x dxxx

令相轨迹的斜率为

dx

，则得等倾线方程为 dx

177

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x

0 1 ,x x

1 x,x 0 x

1

0x x x,x 1

1 x 0 x x,x 1

1

0I: 1 ,x

II: 1 1,x 0

等倾线是通过相平面坐标原点的直线簇。

表7.1 题7.2(1)等倾线斜率 与相轨迹斜率 列表

给定不同的等倾斜线斜率 ，便可以得出对应的相轨迹的斜率 ，如表7.1所示。图7.2画出了 取不同值时的等倾斜线和代表相轨迹切线方向的短线段。给定初始状态条件，便可沿着切线的方向场将这些短线段用光滑曲线连接起来，得到给定系统的相轨迹。 3）绘制相平面图

画出系统的相平面图，分为上下两部分，如图7.2所示。可见，系统的相轨迹是极限环，此非线性系统的运动是等幅振荡的。

: , 0

图7.2 题7.2(1)系统相平面图

178

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x x 0 x（2）

1）确定奇点及其性质 原方程等价为：

x 0,x 0x x

x x x 0,x 0

开关线为x=0，令 x 0，得奇点：xe 0。 x

进行拉氏变换，则系统的特征方程为：

: :

特征根分别为：

s2 s 1 0,s2 s 1 0,

x 0x 0

: :

1,2 3,4

1x 0

21 1.618 0.618,

2

x 0

x 0时奇点上s平面左半部分的共轭复数根，为稳定焦点，该区域相轨迹为收敛于原点处的对数螺

旋线。x 0时奇点是为一正一负的两个实数根，为不稳定的鞍点，该区域系统相轨迹发散，并有渐近线。 2）推导等倾线方程

f x ,x x x x

同题（1），令相轨迹斜率为

x dxx

1

dxxx

则等倾线方程为

x

1

x x 1

1

I: 1 ,x 0

1 II: 1 ,x 0

给出不同的等倾线斜率 与对应的相轨迹斜率 ，见表2：

表7.2 题7.2(2)等倾线斜率 与相轨迹斜率 列表

179

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当x 0时奇点为鞍点，系统相轨迹在此区域有渐近线，即等倾线的斜率与相轨迹的斜率相等。有

,x 0

1

1

2 1 0

解之得：

1 0.618,

因此，在x 0区域相轨迹过原点的渐近线为

2 1.618

x 0.618x x

x x 1.618x

等倾线为过原点的直线簇，分为左右两部分，如图7.3所示。 3）绘制相平面图

1.618xx

1,

:x 0

:x 0

, 0

, 0

0.618xx

图7.3 题7.2(2)系统相平面图

0, 1

画出系统的相平面图如图7-3（2）所示。可见，此非线性系统的运动是不稳定的。

7.3 系统结构图如图7.4，设系统初始条件是静止状态，试绘制相轨迹图。系统输入为

180

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（1）r(t) R，R a （2）r(t) R vt，R a

图7.4 系统结构图

解：（1）

非线性特性的数学表达式为

e

y a a

由结构图可知线性部分的传递函数为：

e ae ae a

Xc s Ys由此可得线性部分的微分方程为：

1

sTs 1 c t x c t y(t) Tx

由比较环节：e xr t xc t ，上式又可以写成

e y T r x r Tex

r 0，因此系统的微分方程为 xr x输入信号为阶跃函数，当t 0时，

e y 0 Te

根据已知的非线性特性，开关线e a将相平面分为正饱和区II、线性区I、负饱和区III三个线性区域。

e e 0Te

e a 0Te e a 0Te

(e a)(e a)(e a)

1)Ⅰ区（线性区）：系统的微分方程为

e e 0Te(e a)

将e

de

代入上式，求得Ⅰ区相轨迹的斜率方程为 ede

181

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ede1e

deTe

0代入上式，得到 以e 0及e

0de

de0

的原点（0，0）为I区相轨迹的奇点，该奇点因位于I区内，故为实奇点。线性区这说明相平面e e

I区的特征方程及特征值分别为

Ts2 s 1 0

(e a)

1,2

若1 4T 0，则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时奇点（0，0）为稳定焦点；若1 4T 0，则系统在I区工作于过阻尼状态，这时的奇点（0，0）为稳定结点。为方便讨论奇点的性质及绘制相平面图，以下分析假定1 4T 0。

若记等倾线斜率为

de

，则I区的等倾线方程为 de

e

e e a

T 1

当1 4T 0时，该区的相轨迹是一簇螺旋线，收敛于相平面原点，如图解7.5(a)所示。当1 4T 0时，该区的对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。

2)Ⅱ、Ⅲ区（饱和区）：系统的微分方程为

e a 0Te

e a 0Te

(e a) (e a)

由微分方程知，系统没有奇点，但有渐近线。将e

为

de

代入上式，求得Ⅱ、Ⅲ区相轨迹的斜率方程ede

若记等倾线斜率为

ade1e

e a

deTe

ade1e e a

deTe

de

，则分别求得II、III区的等倾线方程为 de

e

a

e a T 1

a e e aT 1

182

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常数，即等倾线斜率均为0，当相轨迹斜率 与等倾线斜率相等，即 0时，直线 相轨迹方程为e

a （II区） e

a （III区） e

a，III区的全部相轨迹均渐近分别为II、III区内 0的等倾线。由于II区的全部相轨迹均渐近于e

a，故称 0的两条等倾线为相轨迹的渐近线。 于e

由此应用等倾线法，在相平面图的II、III区分别绘制的一簇相轨迹如图7.5（b）所示，II、III区相轨迹图对称于坐标原点。

3）非线性系统的相平面图

基于图7.5（a）、（b）将以上各区的相轨迹连接起来，可以绘制非线性系统的完整相轨迹图，见图7.5(c)，其中相轨迹的初始点由

e(0) r(0) c(0) (0) r (0) c (0) e

来确定。

假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入（r(t) R，R a）作用时，相轨迹的起始点应为

(0) 0。此时的非线性系统的完整相平面图如图7.5（ d）所示。正负饱和区的相轨迹与理想e(0) R,e

继电特性的相轨迹相同，但是由饱和点所决定，切换位置提前。由于线性区的奇点性质为稳定焦点，所以最后一次进入I区后，相轨迹不再进入其它工作区，在I区内经有限次衰减振荡后，最终收敛于原点。

183

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1

0T

0

a

1T

a 0

1T

1

0T

a

a

a a

图7.5 题7.3含饱和特性的非线性系统相轨迹图

从饱和特性的相平面分析可以看到：

(1) 阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。如果系统的固有部分具有良好的阻尼特性，系统最后进入I区后，在超调量、调节时间、振荡次数等方面均良好的动态特性，而且不产生自持振荡。最大超调量可从图中量得，为相轨迹第一次与负实轴的交点坐标的绝对值，而相轨迹绕原点的次数为过渡过程的振荡次数。

(2)饱和点的大小可以决定分区切换次数的多少。饱和点的值大，则线性工作区大， 分区切换次数少，非线性振荡次数少，饱和非线性对系统的影响小。饱和点的值小，则线性工作区范围小，分区切换次数增加，非线性振荡次数增多，饱和非线性对系统的影响就不可忽视。

当1 4T 0时，I区的相轨迹为收敛于原点的抛物线，其他与1 4T 0时相同。 （2）r(t) R vt

(t) v。因此描述系统的微分方程变若输入信号为速度函数加阶跃函数，则当t 0时， r (t) 0，r

为

e y T r x r x Te

(t) e (t) y(t) v Te

184

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考虑到系统的非线性特性，上列方程可写为

(t) e (t) e(t) v e a Te

(t) e (t) a v e a Te

Te (t) e (t) a v e a

与阶跃输入下的分段线性方程形式完全一样，只是坐标向左平移v，则线性区系统奇点为（v，0）。若

1 4T 0，奇点（v，0）为稳定焦点；若1 4T 0，奇点（v，0）为稳定结点。

根据非系统饱和特性线性区（I区）时的微分方程，写出 区相轨迹的斜率方程为

e vde1e

deTe

根据

0de

0，再次证明了坐标的平移现象。 求得奇点坐标为e v、e

de0

当非线性系统工作在非线性特性的饱和区，即Ⅱ、Ⅲ区时，求得Ⅱ、Ⅲ区相轨迹的斜率方程为

a vde1e

e a deTe

a v1e de e a

deTe

若记等倾线斜率为

de

，则分别求得II、III区的等倾线方程为 de

v a

e e a T 1

v a e e a

T 1

同样求得斜率

de

0时的相轨迹渐近线方程分别为 de

v a e a e

e v a e a

下面分三种情况讨论各区间非线性系统相轨迹的绘制。

（1）v a

0。由于奇点位于II区，故对I区来说，它是一个虚奇点。在这种情况下，奇点坐标为e v a及e

又由于v a，故饱和区相轨迹的两条渐近线均位于横轴之上，见图7.6。图7.6绘制出包括I、II、III三个区的相轨迹簇，以及始于初始点A的含饱和特性的非线性系统响应输入信号R vt的完整相轨迹ABCD。从图7.6中可见，因为是虚奇点，所以非线性系统的平衡状态不可能是奇点（v,0），而是当t 时相轨

v a。这说明，给定非线性系统响应输入信号R vt的稳态误差为无穷大。图7.6迹最终趋向渐近线e

中的虚线表示相轨迹不会收敛于虚奇点。

185

v a

v a

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（2）v a

0，是实奇点；在这种情况下，奇点坐标为e v a及e

v a位于横轴之下，而III区由于v a，故II区的渐近线e

v a位于横轴之上。图7.7绘出了始于初始点A的渐近线e

的含饱和特性的非线性系统响应输入信号R vt的完整相轨迹ABCD。由于是实奇点，故相轨迹最终将进入I区而趋向奇点（v,0），从而使给定非线性系统的稳态误差取得小于a的常值。

（3）v a

a

a

0，恰好位于I、II在这种情况下，奇点坐标为e a及e

两区的分界线上。对于II区，求得其运动方程为

图7.8

v a时的相平面图

(t) e (t) 0 e a Te

或写成

de Te 1 0 e a （7.54）

e

考虑到

de dede

/，则有 dtdte

de

Te 1 0 e a

de

0的直线。上式说明，在e a的II区，给定非线性系统的相轨迹或为斜率等于 1/T的直线，或为e

图7.8是始于初始点A的给定非线性系统的相轨迹ABCD。从图7.8可见，相轨迹由I区进入II区后不可能趋向奇点（v，0），而是沿斜率为 1/T的直线继续运动，最终终止于横轴上e a区段内。由此可见，此时给定非线性系统的稳态误差介于a~ 之间，其值与相轨迹的初始点的位置有关。

在上述三种情况下，相轨迹初始点A的坐标均由初始条件确定，即

e(0) r(0) c(0) R c(0) (0) r (0) c (0) v c (0) e

当系统初始条件为静止状态时，初始点A的坐标为

(0) v e(0) R，e

初始点A位于相平面图的第一象限，其相轨迹分别见图7.6、7、8。

综上分析可见，含饱和特性的二阶非线性系统，响应阶跃输入信号时，其相轨迹收敛于稳定焦点或结

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点（0，0），系统无稳态误差；但响应输入信号R vt时，随着输入匀速值v的不同，所得非线性系统在v a、

v a、v a情况下的相轨迹及相应的稳态误差也各异，甚至在v a时系统的平衡状态并不唯一，其确

切位置取决于系统的初始条件与输入信号的参数。

7.4 系统结构图如图7.9，设系统初始条件是静止状态，其中k1 0.2，k2 1，a 1，并且参数满足下式

12k1T

试绘制相轨迹图。系统输入为 （1）r(t) R，R a （2）r(t) R vt，R a

1

12k1k2T

图7.9 题7.4图

解：本系统为一个变放大系数非线性系统，其非线性环节为：

k1ey k2e

e ae a

0.2e

y e

e 1e 1

式中，k1、k2——输出特性的斜率，a——切换点。 选择参数，使

12k1T

即

1

12k1k2T

1 （1）r(t) R，R a

由结构图可知线性部分的传递函数为：

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Xc s Ys由此可得线性部分的微分方程为：

1

sTs 1 c x c y Tx

由比较环节得：e xr t xc t ，上式又可以写成

e y T r x r Tex

即系统微分方程为

e 0.2e 0Ⅱ： Te

e e 0Ⅰ、III：Te

e 1 e 1

e分成三个区域，如图7.10所示。三个区域的奇点都在原点，但II区的开关线e 1把相平面e

奇点是实奇点，而I、III区的奇点不在本区域，是虚奇点。

0，因此相轨迹起点为A点（R，0）若输入阶跃信号r(t) R，当t 0 时，e R,e。由于R>a=1，

系统位于III区，其二阶系统的特征方程及特征值分别为

Ts2 s 1 0

1 1,2

2T

0, 1)

1,2为稳定的焦点，系统处于欠阻尼情况，此时的相轨迹由A点开始，以对数螺旋线形状卷向原点，如图

7.10中的AB段。

图7 .10 题7.4(1) 图 系统在阶跃输入下的相轨迹图

当系统运动状态到达相邻区域III、II的边界线e 1时，系统的运动状态将发生转换。当e 1时，系

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统处于I区，其二阶系统的特征方程及特征值分别为

Ts2 s 0.2 0

3,4

1

2T

(1 0.8T 0,即1 为稳定结点，系统处于过阻尼情况，此时相轨迹到达B点，以过阻尼的形式（抛物线）趋向原点，如图7.10中的BC段。

由C点开始，系统又处于欠阻尼情况，直到D点；由D点到E点，系统又处于过阻尼情况，…。如此继续，绘制出非线性系统的相轨迹，为图7.10中的ABCDEFO。对于阶跃信号，相轨迹收敛于II区的奇点即原点，系统不存在稳定误差。

这种变放大系数特性，使系统在大偏差信号时具有较大的放大系数，系统响应为衰减振荡，具有高精度和快速跟踪性能。而在小偏差信号时具有较小的放大系数，系统具有很大的阻尼，使系统响应既缓且稳，输出无振荡。从而可以获得比较理想的过渡过程，很好地解决了快速性和振荡性之间的矛盾。 （2）r(t) R vt，R a

(t) v，则系统微分方程为 则当t 0时， r (t) 0，r

xc t xr t e R vt e

0.2e v 0e eⅡ： T

e e v 0Ⅰ、III： Te

各分段区域的特征方程及特征值分别为

e 1e 1

e 0,e II

：e

v

0.2

Ts2 s 0.2 0

3,4

1

2T 1 ，为稳定焦点

2T

e 0,e vⅠ、III

：eTs2 s 1 0

1,2

189

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可见，此时的相轨迹与阶跃信号作用时基本相同，Ⅰ、III区为螺旋曲线（欠阻尼），II区为抛物曲线

(a) v>1

（b） 0.2<v<1 （c） v<0.2

图7. 11 题7.4(2) 图变放大系数非线性系统在不同斜坡输入下的相轨迹图

（过阻尼）。但奇点（5v,0）（Ⅱ区）、（v,0）（Ⅰ、III区）的位置，将随输入信号v的大小而变化，如果Ⅱ区的奇点（5v,0）离开本区域，进入Ⅰ、III区，则（5v,0）变为虚奇点，相轨迹不再收敛于该点；同理，如果Ⅰ、III区的奇点（v,0）进入本区域，则相轨迹有可能收敛于该点，具体情况视输入斜坡信号的参数v的大小而定。

(0) v）设系统初始是静止状态，初始点A的坐标为（e(0) R，e，不同初始条件时系统的相轨迹示

于图7.11，具体轨迹与输入信号的参数v有关。

图7.11(a)为当v>1时的相轨迹，这时P1为虚奇点，P2为实奇点，相轨迹以螺旋曲线收敛于稳定焦点P2，系统响应斜坡信号的稳态误差为2。图7.11(b)为当0.2<v<1时的相轨迹，这时点P1和P2均为虚奇点，相轨迹最终收敛于II、III区边界，即点（1，0），系统响应斜坡信号的稳态误差为1。图7.11(c)为当

190

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v<0.2时的相轨迹，这时P1为实奇点，P2为虚奇点，相轨迹最终收敛于稳定结点P1，系统响应斜坡信号的稳态误差为1。

从上面的分析可见，变放大系数非线性系统在较小的速度信号作用下，系统的过度过程是非周期的；而在较大的速度信号作用下，系统具有衰减振荡的过渡过程。

7.5 非线性特性示如图7.12，求其描述函数。

K

图7.12 非线性特性

解：非线性环节具有分段的特点，故描述函数计算的重点在于确定正弦响应曲线和积分区间，一般采用图解法。由图7.12，非线性元件的输入、输出关系为：

0 x(t) Er Kx(t) E0

KEr E0x(t) Er

y t

(Kx(t) E) E x(t) 00r x(t) Er (KEr E0)

当输入正弦信号x(t) Asin t时，非线性特性y x 如图7.13所示。可见，当 t 将重复出现。因此，计算描述函数R(A)时，其积分区间只要选择0~的表达式为

2

时，输出波形y(t)

2

范围内即可，此范围内输出信号y t

KAsin t E0

y t

KEr E0

0 t 1

1 t

2

a式中，K为输出线性部分斜率， 1

arcsin，cos 1 A求得y(t)的傅氏展开式的基波分量为

191

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y1 t B1sin t C1cos t

y(t)

y(t)

2

x(t)

x(t)

2

图7.13 题7.5非线性特性的输入输出波形

由于y t 是奇函数，因此

C1 0

而

B1

1

2

y t sin td t

y t sin td t

20

4

4 1

2

KAsin t E0 sin td t KEr E0 sin td t

1

0

4 12

KAsin td t 2E0sin td t 2KErsin td t

0 1

0 4 1sin2 t1 KA( t ) E0cos t02 KErcos t 2

1

24 0

4 11 KA sin2 E KEcos 1 0r1 24

a

代入上式整理得 A

考虑到sin2 1 2sin 1cos 1，并将 1 arcsin

192

自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验

k2k1

1

2

1

2

图7.15 题7.6非线性特性的输入输出波形

7.14 变放大系数特性

B1

KA

1 sin 1cos 1 2E0 2KErcos 1

2a KA arcsin 2E0 2KE A 2

所以描述函数为：

R

A

B1 jC1B1

AA

2 a KA arcsin 2KE2E0

A A

上式表示一个实函数，成立的条件是（A a）。

7.6 图示7.14变放大系数非线性特性，求其描述函数。 解：由图7.14，变放大系数非线性元件的输入、输出关系为：

193

自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验

k1xy t

k2x

x ax a

当非线性元件输入信号为x(t) Asin t时，其输出信号y(t)的波形见图7.15。 图中，k1，k2为输出特性斜率； a为线性区k1宽度；

a 1

arcsin，cos 1 Ay(t)的数学表达式为

k1Asin t

y t

k2Asin t

由于y t 是奇函数，所以C1 0。并有

0 t 1

1 t 1

B1

1

2

y t sin td t

y t sin td t

20

4

4 1

k1Asin t sin td t 2 k2Asin t sin td t

1

0

1 2k2A4 k1A1`1`

( t sin2 t) ( t sin2 t) 22220 1 2A k( sin cos ) k( ( sin cos ))11112111 2

K2

将 1 arcsin

2A

k1 k2 1 sin 1cos 1

a

代入上式得 A

aB1 k2A

k1 k2 arcsin

A 2A

即变放大系数非线性元件的描述函数为：

R A

B1 jC1B1

AA

2

a k2

k1 k2 arcsin A 上式表示一个实函数，成立的条件是（A a）。

194

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