自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验 第7章习题解答
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第七章 非线性控制系统
本章讲述非线性控制系统的基本概念和分析方法。首先介绍非线性系统的数学描述、非线性特性的分类、非线性系统的特点。在此基础上,介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常用方法:描述函数法和相平面法。并介绍了非线性环节的串并联的特性,以及引入非线性特性对系统性能的改善。最后介绍应用MATLAB进行非线性系统的频率特性和时域响应的分析,以及应用MATLAB绘制非线性系统的相平面图。
教材习题同步解析
7.1 求下列方程的奇点,并确定奇点的类型。
(1 x)x x 0 x(1)
(0.5 3x)x x x 0 x(2)
解:(1) 由题得:
2
2
2
x f x ,x x (1 x2)x
,x 为解析函数。若以x为自变量,x 为因变量,则上式可改写为 式中f x
,x xf x
xx
考虑到
xdx
,因此有
xdtdt
,x f xdx
dxx
根据奇点的定义
0dx
,列方程组为 dx0
0 x
f x,x 0
得到系统的奇点为
0 x
x 0
,x 进行泰勒级数展开,保留一次项有 即奇点在坐标原点。在奇点(0,0)处,将f x
174
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,x f 0,0 f x
,x ,x f x f x
x x
x x x x 0 x 0x
x 0x
0 (1 x2) x x
奇点附近线性化方程为
(2xx 1) x
x 0x
x
f x ,x x x x
其特征方程为
s2 s 1 0
特征根为
1,2
1 j
22
为s平面的右半部分的共轭复数根,故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7.1(a)所示:
(2)由题得:
(0.5 3x2)x x x2 f x ,x x
由
0 x
f x,x 0
得到
0 x
x 0或 1
即奇点为(0,0)和(-1,0)。
x x
xx
(a) (b)
图7.1 题7.1 奇点附近的相轨迹
,x 进行泰勒级数展开,保留一次项有 1)在奇点(0,0)处,将f x
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,x f 0,0 f x
,x ,x f x f x
x x
x x x x 0 x 0x
x x 0
(0.5 3x2)
奇点(0,0)附近线性化方程为:
( 6xx 1 2x)x x x x 0
1
xx2
1
x x2
x
其特征方程为
1
s2 s 1 0
2
特征根为:
1,2 14 0.25 j0.984 为s平面的右半部分的共轭复数根,故奇点(0,0)为不稳定焦点。
,x 进行泰勒级数展开,保留一次项有 2)在奇点(-1,0)处,将f x
,x f 1,0 f x
(0.5 3x2)
,x f x
x
0xx 1
0xx 1
0) (x
,x f x x
0x
x 1
0xx 1
(x 1)
( 6xx 1 2x) x (x 1)
5
x 1 x2
x坐标系的奇点(-1,0) x , 。即x在奇点(-1,0)处,进行坐标变换,令y x 1,则y,yx 变换为y
y坐标系下的奇点(0,0)。因此有
5
y y y
2
其特征方程为
5
s2 s 1 0
2
特征根为:
3,4
54 x坐标系下的奇点(-1,0)为鞍点。 为一正一负的两个实数根,故x
概略画出奇点附近的相轨迹如图7.1(b)所示:
7.2 利用等倾线法画出下列方程的相平面图。
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x x 0 x(1)
x x 0 x(2)
解:(1)
1)确定奇点及其性质 原方程等价为:
:
:
令 x 0,得奇点:xe 0。 x
x 0,x x
x 0,x x 0x
0x
进行拉氏变换,则系统的特征方程分别为:
:
:
特征根分别为:
s2 s 1 0,s s 1 0,
2
0x 0x
: :
1,2 j 3,4
121 j2 0x
0x
0时奇点xe 0是s平面左半部分的共轭复数根,为稳定焦点,该区域相轨迹为收敛于原点处的x
0时奇点为s平面右半部分的共轭复数根,为不稳定焦点,该区域相轨迹为发散的对数对数螺旋线,x
0,即开关线为x 0。通过适当地把两个区域的相轨迹连接起来,便可得螺旋线,两个区域的边界为x
到整个非线性系统的相轨迹。再辅以几条等倾线,就能绘制出说明系统运动性质的足够准确的相平面图(包含若干起始于不同初始点的相轨迹)。 2)推导等倾线方程
f x ,x x x x
考虑到
x
相轨迹的斜率方程为
dxdx
, xdtdt
x dxx x dxxx
令相轨迹的斜率为
dx
,则得等倾线方程为 dx
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x
0 1 ,x x
1 x,x 0 x
1
0x x x,x 1
1 x 0 x x,x 1
1
0I: 1 ,x
II: 1 1,x 0
等倾线是通过相平面坐标原点的直线簇。
表7.1 题7.2(1)等倾线斜率 与相轨迹斜率 列表
给定不同的等倾斜线斜率 ,便可以得出对应的相轨迹的斜率 ,如表7.1所示。图7.2画出了 取不同值时的等倾斜线和代表相轨迹切线方向的短线段。给定初始状态条件,便可沿着切线的方向场将这些短线段用光滑曲线连接起来,得到给定系统的相轨迹。 3)绘制相平面图
画出系统的相平面图,分为上下两部分,如图7.2所示。可见,系统的相轨迹是极限环,此非线性系统的运动是等幅振荡的。
: , 0
图7.2 题7.2(1)系统相平面图
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x x 0 x(2)
1)确定奇点及其性质 原方程等价为:
x 0,x 0x x
x x x 0,x 0
开关线为x=0,令 x 0,得奇点:xe 0。 x
进行拉氏变换,则系统的特征方程为:
: :
特征根分别为:
s2 s 1 0,s2 s 1 0,
x 0x 0
: :
1,2 3,4
1x 0
21 1.618 0.618,
2
x 0
x 0时奇点上s平面左半部分的共轭复数根,为稳定焦点,该区域相轨迹为收敛于原点处的对数螺
旋线。x 0时奇点是为一正一负的两个实数根,为不稳定的鞍点,该区域系统相轨迹发散,并有渐近线。 2)推导等倾线方程
f x ,x x x x
同题(1),令相轨迹斜率为
x dxx
1
dxxx
则等倾线方程为
x
1
x x 1
1
I: 1 ,x 0
1 II: 1 ,x 0
给出不同的等倾线斜率 与对应的相轨迹斜率 ,见表2:
表7.2 题7.2(2)等倾线斜率 与相轨迹斜率 列表
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当x 0时奇点为鞍点,系统相轨迹在此区域有渐近线,即等倾线的斜率与相轨迹的斜率相等。有
,x 0
1
1
2 1 0
解之得:
1 0.618,
因此,在x 0区域相轨迹过原点的渐近线为
2 1.618
x 0.618x x
x x 1.618x
等倾线为过原点的直线簇,分为左右两部分,如图7.3所示。 3)绘制相平面图
1.618xx
1,
:x 0
:x 0
, 0
, 0
0.618xx
图7.3 题7.2(2)系统相平面图
0, 1
画出系统的相平面图如图7-3(2)所示。可见,此非线性系统的运动是不稳定的。
7.3 系统结构图如图7.4,设系统初始条件是静止状态,试绘制相轨迹图。系统输入为
180
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(1)r(t) R,R a (2)r(t) R vt,R a
图7.4 系统结构图
解:(1)
非线性特性的数学表达式为
e
y a a
由结构图可知线性部分的传递函数为:
e ae ae a
Xc s Ys由此可得线性部分的微分方程为:
1
sTs 1 c t x c t y(t) Tx
由比较环节:e xr t xc t ,上式又可以写成
e y T r x r Tex
r 0,因此系统的微分方程为 xr x输入信号为阶跃函数,当t 0时,
e y 0 Te
根据已知的非线性特性,开关线e a将相平面分为正饱和区II、线性区I、负饱和区III三个线性区域。
e e 0Te
e a 0Te e a 0Te
(e a)(e a)(e a)
1)Ⅰ区(线性区):系统的微分方程为
e e 0Te(e a)
将e
de
代入上式,求得Ⅰ区相轨迹的斜率方程为 ede
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ede1e
deTe
0代入上式,得到 以e 0及e
0de
de0
的原点(0,0)为I区相轨迹的奇点,该奇点因位于I区内,故为实奇点。线性区这说明相平面e e
I区的特征方程及特征值分别为
Ts2 s 1 0
(e a)
1,2
若1 4T 0,则系统在I区工作于欠阻尼状态,这时奇点(0,0)为稳定焦点;若1 4T 0,则系统在I区工作于过阻尼状态,这时的奇点(0,0)为稳定结点。为方便讨论奇点的性质及绘制相平面图,以下分析假定1 4T 0。
若记等倾线斜率为
de
,则I区的等倾线方程为 de
e
e e a
T 1
当1 4T 0时,该区的相轨迹是一簇螺旋线,收敛于相平面原点,如图解7.5(a)所示。当1 4T 0时,该区的对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。
2)Ⅱ、Ⅲ区(饱和区):系统的微分方程为
e a 0Te
e a 0Te
(e a) (e a)
由微分方程知,系统没有奇点,但有渐近线。将e
为
de
代入上式,求得Ⅱ、Ⅲ区相轨迹的斜率方程ede
若记等倾线斜率为
ade1e
e a
deTe
ade1e e a
deTe
de
,则分别求得II、III区的等倾线方程为 de
e
a
e a T 1
a e e aT 1
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常数,即等倾线斜率均为0,当相轨迹斜率 与等倾线斜率相等,即 0时,直线 相轨迹方程为e
a (II区) e
a (III区) e
a,III区的全部相轨迹均渐近分别为II、III区内 0的等倾线。由于II区的全部相轨迹均渐近于e
a,故称 0的两条等倾线为相轨迹的渐近线。 于e
由此应用等倾线法,在相平面图的II、III区分别绘制的一簇相轨迹如图7.5(b)所示,II、III区相轨迹图对称于坐标原点。
3)非线性系统的相平面图
基于图7.5(a)、(b)将以上各区的相轨迹连接起来,可以绘制非线性系统的完整相轨迹图,见图7.5(c),其中相轨迹的初始点由
e(0) r(0) c(0) (0) r (0) c (0) e
来确定。
假使系统原来处于静止状态,则在阶跃输入(r(t) R,R a)作用时,相轨迹的起始点应为
(0) 0。此时的非线性系统的完整相平面图如图7.5( d)所示。正负饱和区的相轨迹与理想e(0) R,e
继电特性的相轨迹相同,但是由饱和点所决定,切换位置提前。由于线性区的奇点性质为稳定焦点,所以最后一次进入I区后,相轨迹不再进入其它工作区,在I区内经有限次衰减振荡后,最终收敛于原点。
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1
0T
0
a
1T
a 0
1T
1
0T
a
a
a a
图7.5 题7.3含饱和特性的非线性系统相轨迹图
从饱和特性的相平面分析可以看到:
(1) 阶跃输入作用时,系统是稳定的,其稳态误差为零。如果系统的固有部分具有良好的阻尼特性,系统最后进入I区后,在超调量、调节时间、振荡次数等方面均良好的动态特性,而且不产生自持振荡。最大超调量可从图中量得,为相轨迹第一次与负实轴的交点坐标的绝对值,而相轨迹绕原点的次数为过渡过程的振荡次数。
(2)饱和点的大小可以决定分区切换次数的多少。饱和点的值大,则线性工作区大, 分区切换次数少,非线性振荡次数少,饱和非线性对系统的影响小。饱和点的值小,则线性工作区范围小,分区切换次数增加,非线性振荡次数增多,饱和非线性对系统的影响就不可忽视。
当1 4T 0时,I区的相轨迹为收敛于原点的抛物线,其他与1 4T 0时相同。 (2)r(t) R vt
(t) v。因此描述系统的微分方程变若输入信号为速度函数加阶跃函数,则当t 0时, r (t) 0,r
为
e y T r x r x Te
(t) e (t) y(t) v Te
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考虑到系统的非线性特性,上列方程可写为
(t) e (t) e(t) v e a Te
(t) e (t) a v e a Te
Te (t) e (t) a v e a
与阶跃输入下的分段线性方程形式完全一样,只是坐标向左平移v,则线性区系统奇点为(v,0)。若
1 4T 0,奇点(v,0)为稳定焦点;若1 4T 0,奇点(v,0)为稳定结点。
根据非系统饱和特性线性区(I区)时的微分方程,写出 区相轨迹的斜率方程为
e vde1e
deTe
根据
0de
0,再次证明了坐标的平移现象。 求得奇点坐标为e v、e
de0
当非线性系统工作在非线性特性的饱和区,即Ⅱ、Ⅲ区时,求得Ⅱ、Ⅲ区相轨迹的斜率方程为
a vde1e
e a deTe
a v1e de e a
deTe
若记等倾线斜率为
de
,则分别求得II、III区的等倾线方程为 de
v a
e e a T 1
v a e e a
T 1
同样求得斜率
de
0时的相轨迹渐近线方程分别为 de
v a e a e
e v a e a
下面分三种情况讨论各区间非线性系统相轨迹的绘制。
(1)v a
0。由于奇点位于II区,故对I区来说,它是一个虚奇点。在这种情况下,奇点坐标为e v a及e
又由于v a,故饱和区相轨迹的两条渐近线均位于横轴之上,见图7.6。图7.6绘制出包括I、II、III三个区的相轨迹簇,以及始于初始点A的含饱和特性的非线性系统响应输入信号R vt的完整相轨迹ABCD。从图7.6中可见,因为是虚奇点,所以非线性系统的平衡状态不可能是奇点(v,0),而是当t 时相轨
v a。这说明,给定非线性系统响应输入信号R vt的稳态误差为无穷大。图7.6迹最终趋向渐近线e
中的虚线表示相轨迹不会收敛于虚奇点。
185
v a
v a
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(2)v a
0,是实奇点;在这种情况下,奇点坐标为e v a及e
v a位于横轴之下,而III区由于v a,故II区的渐近线e
v a位于横轴之上。图7.7绘出了始于初始点A的渐近线e
的含饱和特性的非线性系统响应输入信号R vt的完整相轨迹ABCD。由于是实奇点,故相轨迹最终将进入I区而趋向奇点(v,0),从而使给定非线性系统的稳态误差取得小于a的常值。
(3)v a
a
a
0,恰好位于I、II在这种情况下,奇点坐标为e a及e
两区的分界线上。对于II区,求得其运动方程为
图7.8
v a时的相平面图
(t) e (t) 0 e a Te
或写成
de Te 1 0 e a (7.54)
e
考虑到
de dede
/,则有 dtdte
de
Te 1 0 e a
de
0的直线。上式说明,在e a的II区,给定非线性系统的相轨迹或为斜率等于 1/T的直线,或为e
图7.8是始于初始点A的给定非线性系统的相轨迹ABCD。从图7.8可见,相轨迹由I区进入II区后不可能趋向奇点(v,0),而是沿斜率为 1/T的直线继续运动,最终终止于横轴上e a区段内。由此可见,此时给定非线性系统的稳态误差介于a~ 之间,其值与相轨迹的初始点的位置有关。
在上述三种情况下,相轨迹初始点A的坐标均由初始条件确定,即
e(0) r(0) c(0) R c(0) (0) r (0) c (0) v c (0) e
当系统初始条件为静止状态时,初始点A的坐标为
(0) v e(0) R,e
初始点A位于相平面图的第一象限,其相轨迹分别见图7.6、7、8。
综上分析可见,含饱和特性的二阶非线性系统,响应阶跃输入信号时,其相轨迹收敛于稳定焦点或结
186
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验
点(0,0),系统无稳态误差;但响应输入信号R vt时,随着输入匀速值v的不同,所得非线性系统在v a、
v a、v a情况下的相轨迹及相应的稳态误差也各异,甚至在v a时系统的平衡状态并不唯一,其确
切位置取决于系统的初始条件与输入信号的参数。
7.4 系统结构图如图7.9,设系统初始条件是静止状态,其中k1 0.2,k2 1,a 1,并且参数满足下式
12k1T
试绘制相轨迹图。系统输入为 (1)r(t) R,R a (2)r(t) R vt,R a
1
12k1k2T
图7.9 题7.4图
解:本系统为一个变放大系数非线性系统,其非线性环节为:
k1ey k2e
e ae a
0.2e
y e
e 1e 1
式中,k1、k2——输出特性的斜率,a——切换点。 选择参数,使
12k1T
即
1
12k1k2T
1 (1)r(t) R,R a
由结构图可知线性部分的传递函数为:
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Xc s Ys由此可得线性部分的微分方程为:
1
sTs 1 c x c y Tx
由比较环节得:e xr t xc t ,上式又可以写成
e y T r x r Tex
即系统微分方程为
e 0.2e 0Ⅱ: Te
e e 0Ⅰ、III:Te
e 1 e 1
e分成三个区域,如图7.10所示。三个区域的奇点都在原点,但II区的开关线e 1把相平面e
奇点是实奇点,而I、III区的奇点不在本区域,是虚奇点。
0,因此相轨迹起点为A点(R,0)若输入阶跃信号r(t) R,当t 0 时,e R,e。由于R>a=1,
系统位于III区,其二阶系统的特征方程及特征值分别为
Ts2 s 1 0
1 1,2
2T
0, 1)
1,2为稳定的焦点,系统处于欠阻尼情况,此时的相轨迹由A点开始,以对数螺旋线形状卷向原点,如图
7.10中的AB段。
图7 .10 题7.4(1) 图 系统在阶跃输入下的相轨迹图
当系统运动状态到达相邻区域III、II的边界线e 1时,系统的运动状态将发生转换。当e 1时,系
188
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验
统处于I区,其二阶系统的特征方程及特征值分别为
Ts2 s 0.2 0
3,4
1
2T
(1 0.8T 0,即1 为稳定结点,系统处于过阻尼情况,此时相轨迹到达B点,以过阻尼的形式(抛物线)趋向原点,如图7.10中的BC段。
由C点开始,系统又处于欠阻尼情况,直到D点;由D点到E点,系统又处于过阻尼情况,…。如此继续,绘制出非线性系统的相轨迹,为图7.10中的ABCDEFO。对于阶跃信号,相轨迹收敛于II区的奇点即原点,系统不存在稳定误差。
这种变放大系数特性,使系统在大偏差信号时具有较大的放大系数,系统响应为衰减振荡,具有高精度和快速跟踪性能。而在小偏差信号时具有较小的放大系数,系统具有很大的阻尼,使系统响应既缓且稳,输出无振荡。从而可以获得比较理想的过渡过程,很好地解决了快速性和振荡性之间的矛盾。 (2)r(t) R vt,R a
(t) v,则系统微分方程为 则当t 0时, r (t) 0,r
xc t xr t e R vt e
0.2e v 0e eⅡ: T
e e v 0Ⅰ、III: Te
各分段区域的特征方程及特征值分别为
e 1e 1
e 0,e II
:e
v
0.2
Ts2 s 0.2 0
3,4
1
2T 1 ,为稳定焦点
2T
e 0,e vⅠ、III
:eTs2 s 1 0
1,2
189
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验
可见,此时的相轨迹与阶跃信号作用时基本相同,Ⅰ、III区为螺旋曲线(欠阻尼),II区为抛物曲线
(a) v>1
(b) 0.2<v<1 (c) v<0.2
图7. 11 题7.4(2) 图变放大系数非线性系统在不同斜坡输入下的相轨迹图
(过阻尼)。但奇点(5v,0)(Ⅱ区)、(v,0)(Ⅰ、III区)的位置,将随输入信号v的大小而变化,如果Ⅱ区的奇点(5v,0)离开本区域,进入Ⅰ、III区,则(5v,0)变为虚奇点,相轨迹不再收敛于该点;同理,如果Ⅰ、III区的奇点(v,0)进入本区域,则相轨迹有可能收敛于该点,具体情况视输入斜坡信号的参数v的大小而定。
(0) v)设系统初始是静止状态,初始点A的坐标为(e(0) R,e,不同初始条件时系统的相轨迹示
于图7.11,具体轨迹与输入信号的参数v有关。
图7.11(a)为当v>1时的相轨迹,这时P1为虚奇点,P2为实奇点,相轨迹以螺旋曲线收敛于稳定焦点P2,系统响应斜坡信号的稳态误差为2。图7.11(b)为当0.2<v<1时的相轨迹,这时点P1和P2均为虚奇点,相轨迹最终收敛于II、III区边界,即点(1,0),系统响应斜坡信号的稳态误差为1。图7.11(c)为当
190
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验
v<0.2时的相轨迹,这时P1为实奇点,P2为虚奇点,相轨迹最终收敛于稳定结点P1,系统响应斜坡信号的稳态误差为1。
从上面的分析可见,变放大系数非线性系统在较小的速度信号作用下,系统的过度过程是非周期的;而在较大的速度信号作用下,系统具有衰减振荡的过渡过程。
7.5 非线性特性示如图7.12,求其描述函数。
K
图7.12 非线性特性
解:非线性环节具有分段的特点,故描述函数计算的重点在于确定正弦响应曲线和积分区间,一般采用图解法。由图7.12,非线性元件的输入、输出关系为:
0 x(t) Er Kx(t) E0
KEr E0x(t) Er
y t
(Kx(t) E) E x(t) 00r x(t) Er (KEr E0)
当输入正弦信号x(t) Asin t时,非线性特性y x 如图7.13所示。可见,当 t 将重复出现。因此,计算描述函数R(A)时,其积分区间只要选择0~的表达式为
2
时,输出波形y(t)
2
范围内即可,此范围内输出信号y t
KAsin t E0
y t
KEr E0
0 t 1
1 t
2
a式中,K为输出线性部分斜率, 1
arcsin,cos 1 A求得y(t)的傅氏展开式的基波分量为
191
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验
y1 t B1sin t C1cos t
y(t)
y(t)
2
x(t)
x(t)
2
图7.13 题7.5非线性特性的输入输出波形
由于y t 是奇函数,因此
C1 0
而
B1
1
2
y t sin td t
y t sin td t
20
4
4 1
2
KAsin t E0 sin td t KEr E0 sin td t
1
0
4 12
KAsin td t 2E0sin td t 2KErsin td t
0 1
0 4 1sin2 t1 KA( t ) E0cos t02 KErcos t 2
1
24 0
4 11 KA sin2 E KEcos 1 0r1 24
a
代入上式整理得 A
考虑到sin2 1 2sin 1cos 1,并将 1 arcsin
192
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验
k2k1
1
2
1
2
图7.15 题7.6非线性特性的输入输出波形
7.14 变放大系数特性
B1
KA
1 sin 1cos 1 2E0 2KErcos 1
2a KA arcsin 2E0 2KE A 2
所以描述函数为:
R
A
B1 jC1B1
AA
2 a KA arcsin 2KE2E0
A A
上式表示一个实函数,成立的条件是(A a)。
7.6 图示7.14变放大系数非线性特性,求其描述函数。 解:由图7.14,变放大系数非线性元件的输入、输出关系为:
193
自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验
k1xy t
k2x
x ax a
当非线性元件输入信号为x(t) Asin t时,其输出信号y(t)的波形见图7.15。 图中,k1,k2为输出特性斜率; a为线性区k1宽度;
a 1
arcsin,cos 1 Ay(t)的数学表达式为
k1Asin t
y t
k2Asin t
由于y t 是奇函数,所以C1 0。并有
0 t 1
1 t 1
B1
1
2
y t sin td t
y t sin td t
20
4
4 1
k1Asin t sin td t 2 k2Asin t sin td t
1
0
1 2k2A4 k1A1`1`
( t sin2 t) ( t sin2 t) 22220 1 2A k( sin cos ) k( ( sin cos ))11112111 2
K2
将 1 arcsin
2A
k1 k2 1 sin 1cos 1
a
代入上式得 A
aB1 k2A
k1 k2 arcsin
A 2A
即变放大系数非线性元件的描述函数为:
R A
B1 jC1B1
AA
2
a k2
k1 k2 arcsin A 上式表示一个实函数,成立的条件是(A a)。
194
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