九年级数学《一元二次方程》小结与复习学案

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九年级数学 《一元二次方程》小结与复习学案

一元二次方程的概念

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax?bx?c?0（a≠0） 2、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。 3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一、做一做：

问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比

宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程 通常可写成如下的一般形式：

ax＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b2

22叫做一次项系数，c叫做常数项。. 三、 例题讲解与练习巩固

例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

x?22?1?x222x?4?(x?2)x?43x?2?5x?3x?1（1） （2） （3） （4）

例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

226y?y(x?3)(3x?4)?(x?2)（1） （2）（x-2）(x+3)=8 （3）

说明：一元二次方程的一般形式ax?bx?c?0（a≠0）具有两个特征：

一是方程的右边为0； 二是左边的二次项系数不能为0。

1

2学子教育一对一辅导

例3、方程（2a—4）x —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一

次方程？

2

例4 、已知关于x的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

练习一、 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2 2x?2?3x 2x(x-1)=3(x-5)-4 ?2y?1???y?1???y?3??y?2?

222

2(m?3)x?nx?m?0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一x练习二 、关于的方程

次方程？

基础训练：

一、判断题（下列方程中，是一无二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）

1、5x2+1=0 （ ） 2、3x2+

1+1=0 （ ） x3、4x2=ax(其中a为常数) （ ） 4、2x2+3x=0 （ ）

3x2?1225、 =2x （ ） 6、(x?x) =2x （ ）

57、｜x2+2x｜=4 （ ） 二、填空题

1、一元二次方程的一般形式是__________.

2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________. 3、将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________.

4、方程2x2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________.

5、方程5(x2－2x+1)=－32x+2的一般形式是__________，其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是__________. 6、若ab≠0，则

121x+x=0的常数项是__________. ab7、如果方程ax2+5=(x+2)(x－1)是关于x的一元二次方程，则a__________.

8、关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m______时，是一元一次方程.

2

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三、选择题

1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）

A.2x2+7=0 B.2x2+23x+1=0 C.5x2+

1+4=0 D.3x2+(1+x) x2+1=0

2、方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（ ） A.x2－5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x－5=0 D.x2+5=0 3、一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ） A.7x2,2x,0 B.7x2,－2x，无常数项 C.7x2,0,2x D.7x2,－2x,0 4、方程x2－3=(3－2)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ） A.2

B.－2

C.2?3

D.1?2?23

5、若关于x的方程（ax+b）(d－cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac，则常数项为（ ） A.m B.－bd C.bd－m D.－(bd－m) 6、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是（ ） A.2 B.－2 C.0 D.不等于2 7、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（ ） A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=0 8、关于x2=－2的说法，正确的是（ ）

A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此这不是一个方程

B.x2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 C.x2=－2是一个一元二次方程

D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解

四、解答题

现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。

提高训练： 一、填空题

1、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_________.

2、某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.

3、小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x，则方程为_____________.

4、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_____________.

5、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为___________.

6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，且不考虑利息税，到期后本息共计1320元，若设年利率为x，根据题意可列方程_____________.

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7、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________.

8、方程(4－x)2=6x－5的一般形式为_____________，其中二次项系数为_________，一次项系数为_________，常数项为_________.

9、如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.

10、如图1，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出

方程为_____________，解得x=_________.

图1

二、选择题

11、某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（ ）

222

A.5(1+x)=9 B.5(1+x)=9 C.5(1+x)+5(1+x)=9 D.5+5(1+x)+5(1+x)=9 12、下列叙述正确的是（ ）

A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程 B.方程4x2+3x=6不含有常数项

C.(2－x)2=0是一元二次方程 D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0 13、两数的和比m少5，这两数的积比m多3，这两数若为相等的实数，则m等于（ ）

A.13或1 B.－13 C.1 D.不能确定

14、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月的

增长率为x，则根据题意列出的方程应为（ ）

A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000

C.200+200×3x=1000 D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000 三、解答题

15、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款

平均每月增长的百分率是多少？

16、如图2，所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的

道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求道路的宽度.？

图2

17、直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积.

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一元二次方程的解法（1）

教学目标：

2a(x?k)?b（a≠0,ab≥0）的方程； 1、会用直接开平方法解形如

2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。 重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。 教学过程：

?x?1?一、怎样解方程

2?256的？

二、例题讲解与练习巩固 例、解下列方程

22

（1）（x＋1）－4＝0； （2）12（2－x）－9＝0.

练习一 、解下列方程：

2222

（1）（x＋2）－16＝0； （2）(x－1)－18＝0； （3）(1－3x)＝1； （4）(2x＋3)－25＝0.

三、讨论、探索：解下列方程

22

（1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0

22

（4）(2x+1)=(x-1) （5）x?2x?1?49

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基础训练： 一、填空题

1、如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.

2、方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x1=__________,x2=__________.

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3、填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程

解：3x(x+5)__________=0 (x+5)(__________)=0 x+5=__________或__________=0

∴x1=__________,x2=__________

4、用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零

（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5、x2－(p+q)x+qp=0因式分解为____________. 二、选择题

1、方程x2－x=0的根为（ ）

A.x=0 B.x=1 C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=－1 2、方程x(x－1)=2的两根为（ ）

A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=－1 C.x1=1,x2=－2 D.x1=－1,x2=2 3、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）

A.(2x－2)(3x－4)=0 ∴2－2x=0或3x－4=0 B.(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1 C.(x－2)(x－3)=2×3 ∴x－2=2或x－3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0 4、方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是（ ）

A.x1=b,x2=a

B.x1=b,x2=

11 C.x1=a,x2= ab

D.x1=a2,x2=b2

5、已知a2－5ab+6b2=0，则

ab?等于（ ） ba111111A.2 B.3 C.2或3 D.2或3

232332三、解方程

1、x2－25=0 2、(x+1)2=(2x－1)2 3、x2－2x+1=4 4、x2=4x

提高训练

一、填空题

1、关于x的方程(m－3)x

m2?7－x=5是一元二次方程，则m=_________.

2、当x=______时，代数式x2－3x的值是－2.

3、方程x2－5x+6=0与x2－4x+4=0的公共根是_________.

4、已知y=x2+x－6，当x=_________时，y的值等于0；当x=_________时，y的值等于24. 5、2－3是方程x2+bx－1=0的一个根，则b=_________，另一个根是_________. 6、已知方程ax2+bx+c=0的一个根是－1，则a－b+c=___________. 7、已知x2－7xy+12y2=0，那么x与y的关系是_________.

8、方程2x(5x－3)+2 (3－5x)=0的解是x1=_________，x2=_________. 9、方程x2=x的根为___________.

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二、选择题

1、下列方程中不含一次项的是（ ）

A.3x2－8=4x

B.1+7x=49x2 C.x(x－1)=0

D.(x+3)(x－3)=0

2、2x(5x－4)=0的解是（ ）

A.x1=2，x2=

4 5 B.x1=0，x2=

54 C.x1=0，x2= 45 D.x1=

14，x2= 253、若一元二次方程(m－2)x2+3(m2+15)x+m2－4=0的常数项是0，则m为（ ）

A.2 B.±2 C.－2 D.－10 4、方程2x2－3=0的一次项系数是（ ）

A.－3 B.2 C.0 D.3 5、方程3x2=1的解为（ ）

A.±

1 3

B.±3

C.

1 3 D.±

3 36、下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）

A.x2+x+1=0

B.2x2－3x+5=0 C.x2+(1+2)x+2=0

D.x2+6x+7=0

D.x=－1

7、若代数式x2+5x+6与－x+1的值相等，则x的值为（ ）

A.x1=－1，x2=－5 B.x1=－6，x2=1 C.x1=－2，x2=－3 8、已知y=6x2－5x+1，若y≠0，则x的取值情况是（ ）

A.x≠

1且x≠1 6B.x≠

11 C.x≠ 23 D.x≠

11且x≠ 235或x=3 29、方程2x(x+3)=5(x+3)的根是（ ） A.x=

5 2 B.x=－3或x=

5 C.x=－3 2 D.x=－

三、解下列关于x的方程

1、x2+2x－2=0 2、3x2+4x－7=0 3、(x+3)(x－1)=5

4、(3－x)2+x2=9 5、x2+(2+3)x+6=0 6、(x－2)2+42x=0

四、解答题

随着城市人口的不断增加，美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某城市计划到2004年末要将该城市的绿地面积在2002年的基础上增加44%，同时要求该城市到2004年末人均绿地的占有量在2002年的基础上增加21%，当保证实现这个目标，这两年该城市人口的年增长率应控制在多少以内.（精确到1%）

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一元二次方程的解法（2）

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。 3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。 重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。把一元二次方程转化为(x?p)?q 教学过程： 一、复习提问 解下列方程， （1）3?2x

二、引入新课

22x?A(A?0)，再根据平方根的意义，用直接开平方x?A?0 我们知道，形如的方程，可变形为

22?1 （2）?x?1?2?6?0?x?2? （3）

2?1?0

法求解．那么，我们能否将形如x?bx?c?0的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

三、探索：

例1、解下列方程：

2x2＋2x＝5； （2）x2－4x＋3＝0.

思 考

能否经过适当变形，将它们转化为

?

三、归 纳 上面，我们把方程x2?2= a 的形式，应用直接开方法求解？

2?x?2?－4x＋3＝0变形为

＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是

一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意：在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。 那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？ 四、试一试：对下列各式进行配方：

2222x?8x_____?(x?_____)x?10x_____?(x?_____) ；

x2?5x?______?(x?_____)2； x2?9x?______?(x?_____)2

x2?3x?_____?(x?_____)222x?bx?______?(x?_____)2 ；

配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

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五、例题讲解与练习巩固 例2、用配方法解下列方程：

（1）x－6x－7＝0； （2）x＋3x＋1＝0.

练习： ①.填空： （1）

22x2?6x??2????222 x （2）－8x＋（ ）＝（x－ ）

2

（3）x＋x＋（ ）＝（x＋ ）； （4）4x－6x＋（ ）＝4（x－ ）

2

2② 用配方法解方程：

（1）x＋8x－2＝0 （2）x－5 x－6＝0. （3）x?7??6x

六、试一试

2

用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0).

思 考：这里为什么要规定p2－4q≥0？

基础训练 一、填空题

1、方程x2=16的根是x1=_______,x2=_______. 2、若x2=225，则x1=_______,x2=_______ 3、若x2－2x=0，则x1=________,x2=________. 4、若(x－2)2=0，则x1=_______,x2=_______. 5、若9x2－25=0，则x1=_______,x2=_______ 6、若－2x2+8=0，则x1=_______,x2=_______. 7、若x2+4=0，则此方程解的情况是_________. 8、若2x2－7=0，则此方程的解的情况是________ 9、若5x2=0，则方程解为____________.

10、由7，9两题总结方程ax2+c=0(a≠0)的解的情况是：当ac＞0时__________________；

当ac=0时__________________；当ac＜0时__________________.

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11、a =__________，a2的平方根是__________.

12、用配方法解方程x2+2x－1=0时

①移项得_________________ ②配方得_________________即（x+__________）2=__________ ③x+__________=__________或x+__________=__________ ④x1=__________,x2=__________ 13、用配方法解方程2x2－4x－1=0

①方程两边同时除以2得__________ ②移项得__________________

③配方得__________________ ④方程两边开方得__________________ ⑤x1=__________,x2=__________

二、选择题

1、方程5x2+75=0的根是

A.5 B.－5 C.±5 D.无实根 2、方程3x2－1=0的解是

A.x=±

21 3 B.x=±3 C.x=±

3 3

D.x=±3

3、方程4x2－0.3=0的解是 A.x?0.075

B.x??

C.x1?0.27 x2??0.27 4、方程

130 2011D.x1?30 x2??30

2020527x?=0的解是 227 5

B.x=±

A.x=

357 C.x=±

55 D.x=±

7 55、已知方程ax2+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是 A.c=0 B.c=0或a、c异号 C.c=0或a、c同号 6、关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是 A.有两个解x=±n

D.c是a的整数倍

B.当n≥0时，有两个解x=±n－m

C.当n≥0时，有两个解x=±n?m D.当n≤0时，方程无实根 7、方程(x－2)2=(2x+3)2的根是 A.x1=－

1,x2=－5 3B.x1=－5,x2=－5 C.x1=

1,x2=5 3 D.x1=5,x2=－5

三、解答题

1、将下列各方程写成(x+m)2=n的形式

（1）x2－2x+1=0 (2)x2+8x+4=0 (3)x2－x+6=0

2、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x+m)2=n的形式

（1）2x2+3x－2=0 (2)

12

x+x－2=0 4 10

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例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，

折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。 解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘

米，S底面= 。

例3、某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精

确到0.1%）

三、试一试

如图，?ABC的边BC?8cm，高AM?6cm，长方形DEFG的一边EF落在BC上，顶点D、G分别落在AB和AC上，如果这长方形面积12cm，试求这长方形的边长。

想一想：长方形的面积最大。

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一、考考你

1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这个两位数的

2，求这个两位数。 7

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2、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

3、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？

4、两个连续奇数的和为11，积为24，求这两个数.

5、如图，有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？

一元二次方程根与系数的关系 教学目标：

引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系及运用。 重点难点：

1、重点：一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系。 2、难点：对根与系数这一性质进行应用。 教学过程： 一、提出问题

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

222

（1）x－2x＝0； （2）x＋3x－4＝0； （3）x－5x＋6＝0

思考：

1、一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

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2、一般地，对于关于x方程x?px?q?0(p,q为已知常数，p?4q?0)，试用求根公式求出它的两个解x1, x2 ，算一算x1＋x2、x1?x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。

22

3、一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0 b－4ac?0)的两根为

22

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么

二、知识应用

例1、不解方程，求方程两根的和两根的积：

①x?3x?1?0 ②2x?4x?1?0

25x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。 例2、已知方程

22

例3、不解方程，求一元二次方程2x?3x?1?0两个根的①平方和；②倒数和。

211?3,232。 例4、求一元二次方程，使它的两个根是

巩固练习

（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？

①x?3x?1?0； ②3x?2x?2； ③2x?3x?0； ④3x?1；

（2）已知方程3x?19x?m?0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。

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22222学子教育一对一辅导

（3）已知

x1,x2是方程2x?3x?1?0的两个根，不解方程，求下列代数式的值.

222(1)x1?x2

(2)1?1

(3)(x1?3)(x2?3)

x1x2

(4)(x2221?x2) (5)x1?x?x?x2 (6)x2?x121x

1x2

（4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为：

①4,?7； ②1?3,1?3

（5）已知两个数的和等于?6，积等于2，求这两个数

基础练习 一、填空题：

1、设x211、x2是方程x?4x?2?0的两根，则①x?1＝ ； ②x1?x21x2③(x1?1)(x2?1)＝ 。

2、以方程2x2?x?4?0的两根的倒数为根的一元二次方程是 。 3、已知方程x2?mx?45?0的两实根差的平方为144，则m＝ 。

4、已知方程x2?3x?m?0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 。5、已知xx221、2是方程x?3x?1?0的两根，则4x1?12x2?11的值为 。

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；

＝ 学子教育一对一辅导

二、选择题：

1、如果方程x?mx?1的两个实根互为相反数，那么m的值为（ ） A、0 B、－1 C、1 D、±1

2?b?22、已知ab≠0，方程ax?bx?c?0的系数满足???ac，则方程的两根之比为（ ）

?2? A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3

3、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：

2x2?(2m?1)x?m2?3?0的根，则m的值为（ ）

A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3 三、解答题：

1、证明：方程x?1997x?1997?0无整数根。

2、已知关于x的方程x?3x?a?0的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程(k?1)x?3x?2a?0有实根，且k为正整数，求代数式

3、已知关于x的方程x?2(m?1)x?m?3?0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x1、x2是方程的两根，且(x1?x2)?(x1?x2)?12?0，求m的值。

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222222k?1的值。 k?2

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