《高考数学总复习系列》高中数学必修1

《高考数学总复习系列》高中数学必修一

第一章、集合

一、基础知识（理解去记）

定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为x A，否则称x不属于A，记作x A。

例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，{xx 0}分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A B，例如N Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，

相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。 A B包含两个意思：①A与B相等 、②A是B的真子集 A B {xx A且x B}. A B {xx A或x B}.

A I,则C1A {xx I,且x A}称为A在I中的补集。 {xa x b,x R,a b}记作开区间(a,b)，集合

,x R,a b}记作闭区间[a,b]，R记作( , ).

是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性

集合中的元素，必须是确定的．对于集合A和元素a，要么a A，要么a A，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a，a组成一个集合，则a的取值不能是0或1．

（3）无序性

集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成一个集合，也可以写成1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．

帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题

（1）注意a与 a 的区别．a是集合 a 的一个元素，而 a 是含有一个元素a的集合，二者的关系是

2

a a ．

（2）注意 与 0 的区别． 是不含任何元素的集合，而 0 是含有元素0的集合．[来源:学#科#网] （3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或 R 来表示实数集R这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．

用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：

集合(x，y)y

中的元素是(x，

y)，这个集合表示二元方程y

y [来源:学_科_网]

中的元素是x

，这个集合表示函数y

集合 yy 中的元素是y

，这个集合表示函数y

集合xy

集合y

x的取值范围； y的取值范围；

中的元素只有一个（方程y

（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。

二、基础例题（必会） 例1 已知A yy x 4x 3，x R，B yy x 2x 2，x R，求A B． 正解：∵y x 4x 3 (x 2) 1≥ 1， y x 2x 2 (x 1) 3≤3， ∴A

2

2

2

2

2

2

≥y 1 ，B yy≤3 ，

∴A B y 1≤y≤3．

解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是y，所以要求出两个集合中y的

范围再求交集，A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合．

4，a 2a a 7， 例2 若A 2，

32

1

5 ，试求实数a． B 1，a 1，a2 2a 2， (a2 3a 8)，a3 a2 3a 7 ，且A B 2，

2

正解：∵A∩B=｛2，5｝，∴由a 2a a 7 5， 解得 a 2或a 1．[来源:学,科,网Z,X,X,K]

当a=1时，a 2a 2 1与元素的互异性矛盾，故舍去a 1；

2

3

2

，0，5，2，4 ，此时A B 2，4，5 ，这与A B 2，5 矛盾，故又舍去a 1； 当a 1时，B 1

4，5 ，B 1，3，2，5，25 ，此时A B 2，5 满足题意，故a 2为所求． 当a 2时，A 2，

解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性 ②互异性 ③无序性

三、趋近高考（必懂）

1.（2010年江苏高考1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a方法：将集合B两个表达式都等于3，且抓住集合三大性质。【答案】1.

x2y2x

2.（2010.湖北卷2.）设集合A={(x,y)|B={(x,y)|y 3},则A∩B的子集的个数是（ ） 1}，

416

A. 4 B.3 C.2 D.1

方法：注意研究元素，是点的形式存在，A是椭圆，B是指数函数，有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是22=4【答案】A

集合穿针 转化引线（最新）

一、集合与常用逻辑用语

3.若p:3x 8x 4 0，q:(x 1)(x 2) 0，则 p是 q的（ ）．

2

（A）充分条件 （C）充要条件

2

（B）必要条件

（D）既不充分又不必要条件

解析：∵p:3x 8x 4 0，即x ∴ p:

2

或x 2， 3

2

≤x≤2． 3

∵q:(x 1)(x 2) 0，即x 1或x 2， ∴ q: 1≤x≤2．

由集合关系知： p q，而 q¿ p．

∴ p是 q的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．[来源:学#科#网]

x2y2

1表示双曲线”的（ ）． 4. 若k R，则“k 3”是“方程

k 3k 3

（A）充分条件 （C）充要条件

（B）必要条件

（D）既不充分又不必要条件

x2y2

1表示双曲线 解析：方程

k 3k 3

(k 3)k( 二、集合与函数

3 ) 0k或 k 3．故选（A）．

，Q {xy x 2，x R}，那么P Q等于（ ）． 5.已知集合P {yy x 2，x R}

（A）（0，2），（1，1） （B）｛（0，2），（1，1）｝ （C）｛1，2｝ （D）{yy≤2}

解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合是函数y x 2中的y的取值范围，故P集合

2

的实质是函数y x 2的值域．而Q集合则为函数y x 2的定义域，从而易知P Q {yy≤2}，

2

2

选（D）．[来源:学§科§网Z§X§X§K]

评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（Ｂ）或（Ｃ）．

，B {xx 0}，且A B ，求实数p的取值范围． 6.已知A {xx (p 2)x 1 0，x R}

解析：集合A是方程x (p 2)x 1 0的解集， 则由A B ，可得两种情况：[来源:学|科|网] ①A ，则由 (p 2) 4 0，得 4 p 0； ②方程x (p 2)x 1 0无正实根，因为x1x2 1 0， 则有

2

2

2

2

≥0，

于是p≥0．

(p 2) 0，

综上，实数p的取值范围为{pp 4}． 四、集合与不等式

7. 已知集合A {aax2 4x 1≥ 2x2 a恒成立}，B {xx2 (2m 1)x m(m 1) 0}， 若A B ，求实数m的取值范围．

解析：由不等式ax 4x 1≥ 2x a恒成立，

可得 (a 2x)

2

22

4x a( ≥1，) 0

（※）

（1）当a 2 0，即a 2时，（※）式可化为x≥

3

，显然不符合题意． 4

a 2 0，

≤0，

（2）当a 2 0时，欲使（※）式对任意x均成立，必需满足

a 2，即 2

4 4(a 2)(a 1)≤0，

解得 A {aa≥2}．

集合B是不等式x (2m 1)x m(m 1) 0的解集， 可求得B {xm x m 1}，

结合数轴，只要m 1 2即可，解得 m 1． 五、集合与解析几何

2

0x≤2}， 例6 已知集合A {(x，y)x mx y 2 0}和B {(x，y)x y 1 0，≤

2

如果A B ，求实数m的取值范围．

解析：从代表元素(x，y)看，这两个集合均为点集，又x mx y 2 0及x y 1 0是两个曲线方程，故A B 的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线

2

x2 mx y 2 0与线段x y 1 0(0≤x≤2)有公共点，求实数m的取值范围．” x2 mx y 2 0， 由 ，得

x y 1 0(0≤x≤2)，

x (m 1)x 1 ≤0(≤0x ∵A B ，

∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解． 首先，由 (m 1) 4≥0，得m≥3或m≤ 1．

当m≥3时，由x1 x2 (m 1) 0及x1x2 1知，方程①只有负根，不符合要求；

当m≤ 1时，由x1 x2 (m 1) 0及x1x2 1 0知，方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间(0，1]内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内．

综上，所求m的取值范围是( ， 1]．

2

2

， 2)

①

第二章、函数

一、基础知识（理解去记）

定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。

定义2 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.[来源:] 定义3 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=

11

的反函数是y=1-(x 0). 1 xx

补充知识点：

定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义4 函数的性质。 （1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。

定义5 如果实数a<b，则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a, b)，集合{x|x>a}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].

定义6 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不

难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)； （1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象； （2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象； （3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象； （4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；

（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；

（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。 定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=减函数，y=

1

, u=2-x在（-∞,2）上是2 x

11在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。 u2 x

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。

一、基础知识（初中知识 必会）

1．二次函数：当a 0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-

b，2a

b

，下同。 2a

2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。

3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0 ①和不等式ax2+bx+c>0 ②及ax2+bx+c<0 ③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。[来源:学科网]

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=

bb,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x }2a2a

和空集 ，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和 .f(x)图象与x轴无公共点。 当a<0时，请读者自己分析。

4ac b2b

4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当x=x0= 时，f(x)

4a2a

4ac b2

取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m,

4a

n]上的最小值为f(x0); 当x0<m时。f(x)在[m, n]上的最小值为f(m)；当x0>n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。[来源:Z|xx|] 一定注意： “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。[来源:学.科.网]

一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中，如果已知p q,则p是q的充分条件；如果q p，则称p是q的必要条件；如果p q但q不 p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不 q但p q，则p称为q的必要非充分条件；若p q且q p，则p是q的充要条件。

二、基础例题（必懂）

1．数形结合法。

例1（09.江西） 求方程|x-1|=【解】 分别画出y=|x-1|和y=方程有一个正根。 [来源:]

42

例2 （2010.广西模拟） 求函数f(x)=x 3x 6x 13

1

的正根的个数. x

1

的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以x

x4 x2 1的

2

最大值。

【解】 f(x)=(x 2) (x 3) (x 1) (x 0)，记点P(x, x-2)，A（3，2），B（0，1），则

2

2

2

2

2

f(x)表示动点P到点A和B距离的差。

22

因为|PA|-|PA|≤|AB|=3 (2 1) ,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。

所以f(x)max=.

2.函数性质的应用。

2

(x 1) 1997(x 1) 1

例3 （10、全国） 设x, y∈R，且满足 ，求x+y. 3

(y 1) 1997(y 1) 1

【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a<b，则

f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)递增。 由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.

例4 （10、全国） 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。 【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)<f(a2-1)。 又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a<a2-1<1，解得0<a<1。

例5 （10、全国） 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。 【解】 设x∈Ik，则2k-1<x≤2k+1， 所以f(x-2k)=(x-2k)2.

又因为f(x)是以2为周期的函数， 所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.

例6 （10·全国） 解方程：(3x-1)(9x 6x 5 1)+(2x-3)(4x 12x 13+1)=0. 【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为

m(m 4+1)+n(n 4+1)=0. ①

若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m 0, n 0.

ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(t 4+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=.

2

2

2

2

2

4

5

ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=综上，方程有唯一实数解x=. 3.配方法。

4

,但与m<0矛盾。 5

45

例7 （经典例题） 求函数y=x+2x 1的值域。[来源:Z+xx+][来源:]

1

[2x+1+22x 1+1]-1 2

111=(2x 1+1)-1≥-1=-. 222

111

当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。

222

【解】 y=x+2x 1=4．换元法。

例8 （经典例题） 求函数y=( x+ x+2)( x+1),x∈[0,1]的值域。[来源:学科网] 【解】令 x+ x=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2 x≤4,所以2≤u≤2,所以

2

2

2 2

≤2

u2u 2u 22

≤2，1≤≤2，所以y=,u∈[2+2，8]。

222

所以该函数值域为[2+2，8]。[来源:学*科*网]

5．判别式法。

x2 3x 4

例9 求函数y=2的值域。

x 3x 4

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y 1时，①式是关于x的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得

1

≤y≤1. 7

又当y=1时，存在x=0使解析式成立， 所以函数值域为[

1

，7]。 7

6．关于反函数。

例10 （10年宁夏）若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。[来源:学#科#网]

【证明】设x1<x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1<y2。 即y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

4x 1

，解方程：f(x)=f-1(x).

3x 221

【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且

345(x2 x1)24x2 14x1 1

x1<x2<-;=>0,

33x2 23x1 2(3x2 2)(3x1 2)

21

所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。

34

例11 （经典例题）设函数f(x)=在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-1

，+∞）. 4

若x y，设x<y，则f(x)=y<f(y)=x，矛盾。 同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y. 即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,

因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 7．待定系数法。

例1 （经典例题） 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x). 【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a 0),

则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△ 0，

所以α β，所以(α+β)a+b+1=0.[来源:学科网] 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2.

又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,

所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1,

所以f(x)=x2-2x+2. 8．方程的思想

例2 （10.全国） 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a≤4.

85f(2)-f(1), 33

8585所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,

3333

又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=

所以-1≤f(3)≤20.

9．利用二次函数的性质。 例3 （经典例题） 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。

【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。 所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。 注：请读者思考例3的逆命题是否正确。 10．利用二次函数表达式解题。

例4 （经典例题）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0<x1<x2<（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：x<f(x)<x1；

（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0<

1, a

x1

. 2

【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.

（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x. 其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

1

]<0，所以f(x)<x1. a

综上，x<f(x)<x1.

（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

a(x1 x2) 1x1 x21

,

2a22axx11 1

所以x0 1 2 x2 0，

222a2 a x

所以x0 1.

2

所以x0=

11．构造二次函数解题。

例5 （经典例题） 已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,

f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0，

所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。[来源:] 即方程的正根比1小，负根比-1大。 12．定义在区间上的二次函数的最值。

x4 x2 5

例6 （经典例题）当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。

(x2 1)2

151

【解】 y=1-2,令 2 u,则0<u≤1。 22

x 1(x 1)x 11 1919

y=5u2-u+1=5 u ,

102020 119

且当u 即x= 3时，ymin=.

1020

例7 设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是 【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1).

2

1

，求b的值。 2

b2b21b2

, ，所以b2=2，所以b 2（舍去）。 ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2时，x+bx的最小值为-4422

b

ⅱ) ->-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，

2

13

所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.

22

3

综上，b=-.

2

13.一元二次不等式问题的解法。

x2 x a a2 0

例8 （经典例题） 已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。

x 2a 1

【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a≤0，则x1<x2.①的解集为a<x<1-a，由②得x>1-2a. 因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。 若a>0，ⅰ）当0<a<

1

时，x1<x2,①的解集为a<x<1-a. 2

因为0<a<x<1-a<1，所以不等式组无整数解。 ⅱ）当a=

1

时，a=1-a，①无解。 2

ⅲ）当a>

1

时，a>1-a，由②得x>1-2a， 2

所以不等式组的解集为1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有2个， 所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3，

所以1<a≤2，并且当1<a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。 综上，a的取值范围是1<a≤2. 14．充分性与必要性。

例9 （经典例题） 设定数A，B，C使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ①

对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）

【解】 充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ②

若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A 0，则因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。

再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，

1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 15．常用结论。

定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.——绝对值不等式

【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,

即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。

定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥2xy.

注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章、基本初等函数

一、基础知识（必会）

1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax是减函数，当a>1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

1 n1

2．分数指数幂：a a,a a,a n,a。

maa

3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，

m

n

1nmn

m

图象过定点（1，0）。当0<a<1，y=logax为减函数，当a>1时，y=logax为增函数。 4．对数的性质（M>0, N>0）； 1）ax=M x=logaM(a>0, a 1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N；

M

）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M（万能恒等式） N

logcb1

5）loga M=loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c 1).

logcan

a

5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是 , a和a, ，单调递减区间为 a,0和0,a。

x

3）loga（

（请同学自己用定义证明）

6．连续函数的性质：若a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。 二、基础例题（必懂） 1．构造函数解题。

例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）. 因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.

例2 （06） （柯西不等式）若a1, a2, ,an是不全为0的实数，b1, b2, ,bn∈R，则（≥(

a

i 1

n

2i

）·（

b

i 1

n

2i

）

ab

ii 1n

n

i

)2，等号当且仅当存在 R，使ai= bi, i=1, 2, , n时成立。

【证明】 令f(x)= （因为

a

i 1

n

n

2i

）x-2(

2

ab

ii 1

n

i

)x+

b= (a

2ii 1

i 1

nn

i

x bi)2,

a

i 1

2i

>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，

所以△=4(展开得（

ab

ii 1n

n

i

)-4（

a

i 1

2i

）(

n

b

i 1

n

2i

)≤0.

a

i 1

2i

）(

b

i 1

n

2i

)≥(

ab

ii 1

i

)2。

等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在 ，使ai= bi, i=1, 2, , n。

***注释：根据许多省市的2011年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即可，不需深入做题。

例3（10.全国卷） 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u= x 【解】u= x =xy+

1 1 y 的最小值。 x y

1 1 xy11

y =xy+≥xy++2· x y yxxyxy

xy

yx

1+2. xy

(x y)2c2c21

令xy=t，则0<t=xy≤,设f(t)=t+,0<t≤. 444t

c2 c2

因为0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在 0,4 上单调递减。 4

c2c24c24所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2.

44c24c2

c24c

当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为+2+2.

4c2

2．指数和对数的运算技巧。

例4 （经典例题） 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求

q

的值。 p

【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t，

4 4

所以9 t +12 t =16 t，即1+ .

3 3

q12t 4 1 记x= t ，则1+x=x2，解得x .

p92 3

又

例5 （经典例题）对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且证：a+b=c.

【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

t

t2t

qq1 5>0，所以=.

2pp

1111

，求xyzw

111111

lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，

yxzwww 111 11111

相加得(lga+lgb+lgc)= lg70，由题设 ， xyz xyzww

所以

所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.

所以abc=70=2×5×7.

若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c.

例6 （经典例题） 已知x 1, ac 1, a 1, c 1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得[来源:学科网]

logax2logax

，

logaclogab

因为ac>0, ac 1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab. logax

注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7 （经典例题）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.

1 2 5

【解】 方程可化为 =1。设f(x)=

2 3 6

数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.

xxx

1 2 5

, 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函 2 3 6

xxx

x y y12 x+

例8 （经典例题） 解方程组： x y（其中x, y∈R）. 3

x y

(x y)lgx 12lgy

. ①② 【解】 两边取对数，则原方程组可化为

(x y)lgy 3glx

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0，所以y=2, x=4.

x1 1 x2 4

; 所以方程组的解为 .

y1 1 y2 2

[来源:]

例9 已知a>0, a 1，试求使方程loga(x-ak)=loga(x-a)有解的k的取值范围。

(x ak)2 x2 a2

【解】由对数性质知，原方程的解x应满足 x ak 0.①②③

22

x a 0

若①、②同时成立，则③必成立，

(x ak)2 x2 a2

故只需解 .

x ak 0

由①可得2kx=a(1+k2)， ④[来源:学#科#网]

1 k2a(1 k2)

当k=0时，④无解；当k 0时，④的解是x=，代入②得>k.

2k2k

若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0<k<1.

综上，当k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。[来源:Z#xx#]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a611.html