电子信息与通信工程专业英语课文翻译3.2

3.2 数字信号处理

1 简介

数字信号处理是21世纪用于科学和工程领域最强大的技术之一，它使一个广阔的领域发生了革命性的改变：通信，医学影像，雷达或声纳，高保真音乐复制，石油勘测，以上只是列举几个。每个领域都有它自身独特的算法（algorithm），数学运算（mathematic），专用工艺（specialized technique）。

数字信号处理在计算机科学方面有别于其他领域，因为他采用一种特殊的数据类型：信号。现代社会中，我们的身边充满各种类型的信号。有些信号是天然形成的，但大多数是人为制造的。有些信号是必要的（语音），有些是宜人的（音乐），而有些信号在某个特定的场合是不需要或不必要的。在大多数情况下，这些信号来源于人对真实世界的感觉，比如地震的震动，视觉图像，声音波形等。数字信号处理是一种数学工具，是一种用来处理那些将上述信号转换成数字形式后的信号的算法和技术。这包括一系列目的，如：视觉图像的优化处理，语音识别和生成，数据压缩存储和传输等。

在工程范围内，信号是信息的载体，既有益又有害。信号处理中最简单的形式是从一连串相互矛盾的信息中提取和增强有用信息。信息的有用和无用往往只是主管和客观的区别。因此信号处理往往依赖于应用程序。傅里叶分析和滤波器设计是信号处理时常用的方法。他们的原则简单描述如下。 2 傅里叶分析

函数的傅里叶表示，即将函数表示成正弦和余弦信号的叠加，这种方法已经广泛用于微分方程的解析法和数值法求解过程以及通信信号的分析和处理。 傅里叶变换的效用在于它能够在时域范围内分析它的频率内容。变换的第一步是将时域上的函数转换为时域表示。（The transform works by first translating a function in the time domain into a function in the frequency domain）。然后就可以分析信号的频率内容了。因为变换函数的傅里叶系数代表各个正弦和余弦函数在各自对应频率区间的分配。傅里叶逆变换就会按你刚才设想的那样，将频域数据转换为时域的。

离散型傅里叶变换是通过他有限的采样点来评估函数的傅里叶变换。采样点代表了其他时间的信号。（The discrete Fourier transform (DFT) estimates the Fourier transform of a function from a finite number of its sampled points. The sampled points are supposed to be typical of what the signal looks like at all other times）。 离散型傅里叶变换具有和连续型傅里叶变换几乎完全相同的对称特性。此外，通过离散型傅里叶变换的公式，我们可以轻易推出离散型傅里叶变换的公式。因为这两个公式几乎相同。

如果f(t)是非周期信号，那么用周期函数例如正弦和余弦的和，并不能精确的表示该信号f(t)。你可以人为的拓展这个信号使其具有周期性，但是这要求在端点处附加连续性。窗口傅里叶变换能够更好的解决关于非周期信号的表示问题。窗口傅里叶变换同样适用于时域和频域上信号信息的提供。（If f (t ) is a nonperiodic signal, the summation of the periodic functions (such as sine and cosine) does not accurately represent the signal. You could artificially extend the signal to make it periodic but it would require additional continuity at the end points . The windowed Fourier transform (WFT) is one solution to the problem of better representing the nonperiodic signal. The WFT can be used to give information about signals simultaneously in the time domain and in the frequency domain）。

通过窗口傅里叶变换，输入信号f(t)被分成许多小部分，每个部分都能分别分析它的频率内容。如果信号有急剧的过度，就有必要对输入信号加窗，这样信号在端点处就会收敛于零。通过加权函数，即着眼于与中间部分而不是区间端点附近，这样就完成了加窗。加窗效应是将信号集中在同一个时间段。 通过样本来近似函数，及通过离散傅立叶傅立叶变换去逼近傅里叶积分，需要使用一个矩阵，其顺序是全样本点的数量。通过一个按n2算术运算顺序的向量乘以一个n*n的矩阵，当采样点的增多的时候，问题就迅速恶化。但是，如果样本是均匀分布的，那么傅立叶矩阵可以被分解成一个只有几个稀疏矩阵的乘积，以及由此产生的因素可广泛应用在算术运算顺序共向量。这就是所谓的快速傅里叶变换或FFT。（To approximate a function by samples, and to approximate the Fourier integral by the discrete Fourier transform, requires applying a matrix whose order is the number sample points n. Since multiplying an matrix by a vector costs on the order of arithmetic operations, the problem gets quickly worse as the number of sample points increases. However, if the samples are uniformly spaced, then the Fourier matrix can be factored into a product of just a few sparse matrices, and the resulting factors can be applied to a vector in a total of order arithmetic operations. This is the so-called fast Fourier transform or FFT）

3. FIR数字滤波器设计 （3. FIR digital filter design）

滤波器是按特定方式设计，用于改变输入信号光谱内容的系统。一般，过滤目的包括：提高信号质量，从信号中精确提取信息，或分离先前混合的信号因子。数字滤波器是一种数学算法，它可以用硬件，固件和软件来实现。它作用于数字输入信号产生数字输出信号从而达到滤波目标。数字滤波器有线性，非线性，时变，时不变之分。这里，我们重点分析线性时不变滤波器和有限冲激响应滤波器。（A digital filter is a mathematical algorithm implemented in hardware, firmware, and software that operates on a digital input signal to produce a digital output signal for achieving filtering objectives. A digital filter can be classified as being linear or nonlinear, time invariant or varying. This section is focused on the design of linear, time-invariant (LTI) finite impulse response (FIR) filters）。

数字滤波器的传输函数H(z)满足给定的一系列规格，它的推导过程称为数字滤波器的设计。人们提出了一系列的技术用于FIR滤波器的设计。有两个常用的方法是直接设计。第一种方法是基于缩短所需频率响应的傅里叶级数表示。该方法提供了一个简单而灵活的FIR滤波器系数的计算方式，但它不提供给设计者足够的控制滤波器参数。第二种方法是基于指定所需滤波器的频率响应的等间隔频率样本。频率采样方法的主要吸引力在于它允许FIR滤波器的递归实现，它可以计算效率。然而，在控制和指定滤波器参数的过程中，它缺乏灵活性。傅立叶级数（窗口）方法讨论如下。（A variety of techniques have been proposed for the design of FIR filters. There are two direct design methods which are often used. The first method is based on truncating the Fourier series representation of

the desired frequency response. The method offers a very simple and flexible way of computing FIR filter coefficients, but it does not allow the designer adequate control over the filter parameters. The second method is based on specifying equally spaced frequency samples of the frequency response of the desired filter. The main attraction of the frequency-sampling method is that it allows recursive realization of FIR filters, which can be computationally efficient. However, it lacks flexibility in specifying or controlling filter parameters. The Fourier series (window) method is discussed in as followings）

用傅里叶级数（ fourier series method）设计FIR滤波器的基本的理念是计算出此滤波器的单位冲激响应来逼近所期望的滤波器的频率响应。这个方法是利用数字滤波器的频率响应H(w)是频率为2π的周期函数。这样，它就可以扩展为以下的傅立叶级数形式 （thus it can be expanded in a fourier series as ）。 （3—22） （3—23）

这个公式表明，脉冲响应是双面的且具有无限的长度（this equation shows that the impulse response is double-sided and has infinite length）。如果H(w)在W/≤π区间（区间）是偶函数（even function），我们可以得到 （3—24）

且其脉冲响应关于n=0对称。即h(-n)=h(n) n≥0 （3-25）

对于一个给定的所需频率响应H(w)，如果可以计算出积分式（3-23）和（3-24），那么非递归滤波器对应的的脉冲响应h(n)就可以被计算出来。（the corresponding response h(n) can be calculated for a non-recursive filter if the integral in eq can be evaluated）。但是，这个简单的设计技术在实践中存在2个问题（in practise there are two problems with this simple design technique）。首先，对于一个任意频率响应都是尖锐的滤波器而言，其冲激响应无限长的。用无限大系数进行运算是不实际的。其次，当n为负值时，由此产生的滤波器是非因果的，因此实时应用是不现实的。（the impulse response for a filter with any sharpness to its frequency response is infinitely long）。working with an infinite number of coefficients is not practical .second,with negative values of n ,the resulting filter is non-causal, thus is non-realizable for real-time applications)。

长度为L=2M+1的限定时间冲量响应{h’(n)}是接近理想无限长度的冲量响应切断获得的，如式（3-26）

在这个定义式中，我们假设L是一个奇数否则M不会是整数。在一个单位圆内有z=ejw并且系统的传输函数表示为式（3-27）。

很明显这个滤波器在身体变形（physically realizable）时不具有实时性，由于滤波器必须产生一个在时间上比输入提前的输出。通过滞后的h’(n)序列和M采样点能够派生出一个因果FIR滤波器。这是，通过把时间的起源转移到左边的载体并重新建立索引的技术为式（3-28）。这种因果滤波器的转移函数为式（3—29）。这种FIR滤波器含有L(=2M+1) 系数b’l,l=0,1，…，L-1.冲击响应关于b’M对称导致了事实上h(-n)=h(n)如式3-25给的那样。冲击响应的持续时间为2MT，采样周期为T。

从式（3-27）和（3-29）中我们可以得出（3-30）和（3-31）。 由于|e-jwM|=1，我们又可以得到式（3-32）。

这因果滤波器和非因果滤波器有相同的幅频响应。如果h(n)是实（real），则H’(w)是关

于w的实函数。如果H’(w)>=0,则B’（w）的相等于-Mw。如果H’(w)<0，则B’（w）的相等于pi-Mw。因此B’（w）的相是关于w的线性函数并且转移函数B’（z）是恒群延迟（constant group delay）。如式（3-8）所示，因果FIR滤波器通过截短冲击响应的系数获得所需幅频响应滤波器的振荡行为表现。随着滤波器长度的增加，通频带和截止频带的数量也增加，波形的宽度减少。波形变窄，但它的宽度几乎保持常数。最大的波形发生在跃迁间断（transiton discontinuity）附近并且它们的幅值独立于L。这个所不希望的结果叫作Gibbs现象。在时域上截止冲击响应是不可避免的结果。截止操作如（3-26）描述的那样能够被认为是无限长序列{h(n)}和长方形序列{w(n)}的乘积，如式（3-33）所示，长方形窗口w(n) 被定义（3-34）。 式（3-33）定义的离散时间的傅里叶变化h’(n)可以用式3-35表示，式3-34中定义的W（w）是w（n）的离散的傅里叶变化。因此设计滤波器H’（w）将会成为涂版本（smeared version）的所需的滤波器。

式3-35表明H’（w）由所需频率响应H(w)和矩形窗口频率响应W（w）获得。如果 我们有期望的结果H’（w）=H（w）。式3-36表明如果W(w)在w=0处是一个非常窄的脉冲中心，比如delta函数 W（w）=2π…，因此H’(w)将非常接近H（w）。这个条件有懒于最佳窗口

窗口的函数

在实践中，为了减少计算复杂性，FIR窗口的长度应该尽可能小。因此，我们应该选择次优的窗口，它具有以下功能：

（1） 它们甚至有关于n=0的功能。

（2） 在趋于零时|n|>M

（3） 它们的频率响应W(w)有一个窄的主瓣和小的旁瓣，如式（3—36）。大量锥形窗户都

被不同的应用开发和优化。四个常用的窗口的长度为L=2M+1。它们是，w(n),n=0,1,…,L-1和关于中间对称的，n=M。FIR过滤器的设计有两个函数窗口的

参数非常重要，主瓣宽度和相对旁瓣电平。为了保证从通带到阻带的快速转化，窗口应该有一个小的主瓣宽度。从另外一个方面说，为了减少通带到阻带的波形

（ripples）,旁瓣下的面积要小。不幸的是，在这两个要求之间要有一个权衡。 Hanning窗口的函数是提出一段时间内的余弦定理，定义如下：

W(n)=0.5[1-cos(2pi n/L-1)] n=0,1,…,L-1 （3-38）注Hanning窗口两端有固定的值，从0到L-1，如式（3-38）。对于长度L。峰旁瓣的比例约为31dB，在矩形窗口中改进到17.5dB。而，从过渡带大致对应的主瓣宽度是矩形窗口的两倍多。（since the width of the transition band corresponds roughly to the mainlobe width，it is more than twice that resulting from the rectangular window ）。 Hamming 窗口的函数式定义如下

W(n )=0.54-0.46cos(2pi n/L-1) n=0,1,…,L-1 (3-39)它也对应于升余弦，但在固定值和余弦项的权重是不一样的。Hamming函数不和锥度函数一样不是到0而是到0.08。除了在10分贝的阻带衰减处，主瓣宽度和Hamming窗口一样。在低通滤波器的设计中，Hamming窗口比Hanning窗口更适合适合FIR滤波器的设计，它提供了窄的通频带和好的阻带衰减。 Blackman窗口函数的定义如（3-40）。在式（3-40）中除了第二个余弦项能增加主瓣宽度的效果（50%），但是以此同时也提高了差不多57分贝的峰旁瓣比。Blackman窗口提供了74分贝的阻带衰减但过度带是矩形窗口的6倍。 Kaiser窗口函数定义如式（3-41b）。β是一个可调（形状）参数和零阶修改Bessel函数。在实际中，在式（3-41b）求和的式子中，在足够大的取值中只保留前25项。因为I0(0)=1，

Kaiser窗口对于1/I0(β)的值从n=0到n=L-1，并关于中间值n=M对称。这是一个有用并且非常灵活的窗口函数。对于给定的峰值旁瓣电平，Kaiser窗口在最佳水平附近有最大的主瓣能量。在给定阻带衰减脉冲锐度转变宽度时提供一个大的主瓣宽度。这个窗口在相同的L值时改变参数b能够提供不同的转换宽度权衡主瓣宽度和旁瓣峰值电平之间的关系。 在实际中，我们能够根据不同的要求选择不同的窗口函数。 FIR滤波器程序中用到的窗口总结如下：

1） 选择窗口的类型将会满足阻带窗口的要求。

2） 根据给定的转变宽度w(n)，n=0,1,…,L-1决定窗口的尺寸L。 3） 计算窗口系数。

4） 利用（3-24）为所需的滤波器产生理想的冲击响应h(n)。 5） 用式（3-26）截短无限长的理想冲击响应获得h’(n)，

6） 用式（3-28）使因果滤波器的结果向右移M个单位得到b’l，l=0,1，…L-1

7） 乘以窗口系数得到步骤3，乘以响应系数得到步骤6（sample-by-sample）。

应用一个窗口使FIR滤波器脉冲响应产生平滑滤波器的幅频响应的效果。一个对称的窗

口将会保存一个对称的FIR滤波器的（inear—phase）响应。用傅里叶系数方法的优点是简单。它不要求复杂的数学运算并能用截了当的方式展开。而，没有一个简单的规则选择M以至于结果滤波器有一个确定的指定的截止频率。这导致在M和它泄露的结果（its effect on leakage）没有确定的关系。

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