北京市海淀区2011年高三年级高考适应性试题（理科数学）+答案

海淀区高三年级高考适应性试题

数 学 （理科）2011.5

选择题 （共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1. 复数1?1i在复平面上对应的点的坐标是

A．(1,1) B. (?1,1) C. (?1,?1) D. (1,?1)

2. 已知全集U?R, 集合A??1,2,3,4,5?,B?{x?R|x?2}，下图中阴影部分所表示的集合为 A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2} 3．函数f(x)?log2x?11x的零点所在区间

1AB A．(0,) B. (,1) C. (1,2) D. (2,3)

224.若直线l的参数方程为?A．?45?x?1?3t?y?2?4t35(t为参数)，则直线l倾斜角的余弦值为

3545 B． ? C． D．

5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下： 甲 乙 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9

5

3

2

0

3

0

2

3

7 1 0 4

根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 ．．．A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ．．．．

A1111111111111左视图B22CD主视图7．若椭圆C1：

xa1?yb122?1（a1?b1?0）和椭圆C2：

x22a2?yb222?1（a2?b2?0）

的焦点相同且a1?a2.给出如下四个结论：

① 椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点； ②

a1a2?b1b2；

2222③ a1?a2?b1?b2； ④a1?a2?b1?b2.

D1A1PC1其中，所有正确结论的序号是

A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③

8. 在一个正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，

O为底面正方形ABCD的中心，M,N分别为AB,BC中点，点Q为平面

??????????ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ??MN的实数?的值有

B1D

OQB开始CNAM A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

输入n二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

?y?2x,?9．点P(x,y)在不等式组?y??x,表示的平面区域内，则z?x?y的最大值为______.

?x?2?i?0,S?1否i≤n是

10．运行如图所示的程序框图，若输入n?4，则输出S的值为 .

4234511．若x(1?mx)?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x，其中

S?S?i输出S结束i?i?1a2??6，则实数m的值为 ；

a a1?a2?a3?a4?的值为 .

12．如图，已知?O的弦AB交半径OC于点D，若AD?3，BD?2， 且D为OC的中点，则CD的长为 .

13．已知数列?an?满足a1?t,，an?1?an?2?0 (t?N,n?N)，记数列?an?

**OADBC的前n项和的最大值为f(t)，则f(t)? . 14. 已知函数f(x)?sinxx（1）判断下列三个命题的真假：

32 ①f(x)是偶函数；②f(x)?1 ；③当x?出所有真命题的序号） （2）满足f(n?6)?f(n?6?? 时，f(x)取得极小值。其中真命题有____________________；（写

?6)的正整数n的最小值为___________.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）已知函数f(x)?cos?x?（1）求f(

2323sin?xcos?x(??0)的最小正周期为?.

?)的值；（2）求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程。

16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(1) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(2) 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.

17.(本小题共14分)如图，四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形，AB//CD，AB?AD，?PAB和?PAD是两个边长为2的正三角形，DC?4，O为BD的中点，E为PA的中点．

(1)求证：PO?平面ABCD； (2)求证：OE//平面PDC； (3)求直线CB与平面PPDC所成角的正弦值．

18. (本小题共14分）已知函数f(x)?(ax?x)lnx?2E

AOBDC12ax?x.(a?R).

2（1）当a?0时，求曲线y?f(x)在(e,f(e))处的切线方程（e?2.718...）；（2）求函数f(x)的单调区间.

19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，设点P(x,y),M(x,?4)，以线段PM为直径的圆经过原点O. （1）求动点P的轨迹W的方程；（2）过点E(0,?4)的直线l与轨迹W交于两点A,B，点A关于y轴的对称点为A'，试判断直线A'B是否恒过一定点，并证明你的结论.

?，an，若满足ai??0,1?(i?1,2,3,???,n)，则称数列A为“0-1数列”.20. (本小题共13分）对于数列A：a1，a2，定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A:1,0,1，则2，3,??，令Ak?T(Ak?1),k?1，. T(A):0,1,1,0,0,1.设A0是“0-1数列”

(1) 若数列A2：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列A1,A0；

(2) 若数列A0共有10项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；

(3)若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk，k?1,2,3,???.求lk关于k的表达式.

海淀区高三年级理科试题

数 学（理）

答案及评分参考 2011．5

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 B 8 C 非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9. 6 10. 11 11.

32 ，

116

12. ?t2?2t, (t为偶数)??4 14. ①② , 9 2 13. ?2?(t?1), (t为奇数)??4三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（Ⅰ） f(x)?12(1?cos2?x)?32sin2?x ?????????2分

?12?sin(2?x??62π), ??????????3分

因为f(x)最小正周期为π,所以

2ω?π，解得ω?1, ??????????4分

所以f(x)?sin(2x?π6)?12, ?????????? 5分

所以f(2π3)??12. ??????????6分

（Ⅱ）分别由2k???2?2x??6?2k???2,(k?Z)，2k???2?2x??6?2k??3?2,(k?Z)

可得k???3?x?k???6,(k?Z)，k???6?x?k??2?3,(k?Z).??????8分

所以,函数f(x)的单调增区间为[k???3,k???6],(k?Z)；

f(x)的单调减区间为[k??π6π2?6,k??k22?3π6],(k?Z). ?????????10分

由2x??kπ?,(k?Z）得x?π?,(k?Z). π?π6 (k?Z). ??????????13分

所以，f(x)图象的对称轴方程为x?k216.（共13分）

解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A, ??????????1分 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是， ???????????3分

3165?2?则P(A)?1?P(A)?1???? ???????????6分

381?? .

4(Ⅱ) X的可能取值为0,1,2,3,4, ??????????7分 1由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，

31所以，X?B(4,). ???????????9分

3X P 0 16811 32812 24813 8814 181 ????????????11分 E(X)?4?13?43. ????????????13分

17.(共14分)

（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF?AB ∵AB?AD，AB?AD，AB//DC， ∴四边形ABFD为正方形， ∵O为BD的中点，

EP∴O为AF,BD的交点， ∵PD?PB?2，

AOCBF D

∴PO?BD， ????????????..2分

∵BD?∴PO?AD?AB222?22， ?2，AO?122PB?BO2BD?2，

在三角形PAO中，PO?AO?PA?4，∴PO?AO，???????????4分 ∵AO?BD?O，∴PO?平面ABCD； ???????????5分 (Ⅱ)方法1：连接PF，∵O为AF的中点，E为PA中点， ∴OE//PF，

∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，

∴OE//平面PDC. ???????????9分

22

方法2：由(Ⅰ)知PO?平面ABCD，又AB?AD，所以过O分别做AD,AB的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：

A(?1,?1,0)，B(?1,1,0)，D(1,?1,0) F(1,1,0)，C(1,3,0)，P(0,0,2)，

ABOyPEE(?12,?12,22)，

DxF C????????????????112则OE?(?,?,)，PF?(1,1,?2)，PD?(1,?1,?2)，PC?(1,3,?2).

222?????1???∴OE??PF

2∴OE//PF

∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，

∴OE//平面PDC； ?????????????9分 (Ⅲ) 设平面PDC的法向量为n?(x1,y1,z1)，直线CB与平面PDC所成角θ，

????????n?PC?0?x1?3y1?2z1?0则??????，即?， ????n?PD?0?x1?y1?2z1?0????y1?0解得?，令z1?1，则平面PDC的一个法向量为n?(2,0,1)，

??x1?2z1????又CB?(?2,?2,0)

?????则sinθ?cos?n,CB??223?22?33，

∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为18. (共14分）

33. ???????????????14分

解：（I）当a?0时，f(x)?x?xlnx，f'(x)??lnx， ?????????2分 所以f(e)?0，f'(e)??1， ?????????4分 所以曲线y?f(x)在(e,f(e))处的切线方程为y??x?e.?????????5分 （II）函数f(x)的定义域为(0,??)

f'(x)?(ax?x)21x?(2ax?1)lnx?ax?1?(2ax?1)lnx，??????????6分

①当a?0时，2ax?1?0，在(0,1)上f'(x)?0，在(1,??)上f'(x)?0

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上递减； ?????????????????8分

②当0?a?12时，在(0,1)和(12a12a,??)上f'(x)?0，在(1,12a12a)上f'(x)?0

所以f(x)在(0,1)和(③当a?12,??)上单调递增，在(1,)上递减；?????????10分

时，在(0,??)上f'(x)?0且仅有f'(1)?0，

所以f(x)在(0,??)上单调递增； ?????????????????12分 ④当a?12时，在(0,12a12a)和(1,??)上f'(x)?0，在(12a12a,1)上f'(x)?0

所以f(x)在(0,)和(1,??)上单调递增，在(,1)上递减???????????14分

19．(共13分）

解：（I）由题意可得OP?OM， ???????????2分

?????????所以OP?OM?0，即(x,y)(x,?4)?0 ????????????4分 即x2?4y?0，即动点P的轨迹W的方程为x2?4y ?????5分 （II）设直线l的方程为y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则A'(?x1,y1). 由??y?kx?4?x?4y22消y整理得x?4kx?16?0， ????????????6分

2则??16k?64?0，即|k|?2. ????????????7分

x1?x2?4k,x1x2?16. ?????????????9分

直线A'B:y?y2?y2?y1x2?x12y2?y1x2?x1(x?x2)

?y?(x?x2)?y22?y?x2?x1x2?x14x2?x144(x1?x2)x?(x?x2)?x?x1x24x1x242214?x2142??????????????12分

x22?y?? y?

x?即y?x2?x14x?4

所以，直线A'B恒过定点(0,4). ??????????????13分

20. (共13分）

解：(Ⅰ)由变换T的定义可得A1:0,1,1,0,0,1 ?????????????2分

A0:1,0,1 ?????????????4分

(Ⅱ) 数列A0中连续两项相等的数对至少有10对 ?????????????5分

证明：对于任意一个“0-1数列”A0，A0中每一个1在A2中对应连续四项1,0,0,1，在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0,1,1,0，

因此，共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对，

所以A2中至少有10对连续相等的数对. ??????????????????????8分 (Ⅲ) 设Ak中有bk个01数对，

Ak?1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以lk?1?bk，

Ak?1中的01数对有两个产生途径：①由Ak中的1得到； ②由Ak中00得到，

由变换T的定义及A0:0,1可得Ak中0和1的个数总相等，且共有2k?1个，

k所以bk?1?lk?2，

k所以lk?2?lk?2，

由A0:0,1可得A1:1,0,0,1，A2:0,1,1,0,1,0,0,1 所以l1?1,l2?1， 当k?3时，

k?2若k为偶数，lk?lk?2?2

k?4 lk?2?lk?4?2

?

2 l4?l2?2

k?1上述各式相加可得lk?1?2?2???2经检验，k?2时，也满足lk?(2k?1)

3k?2若k为奇数，lk?lk?2?2

24k?2?1(1?41?42)?13(2?1)，

k1k?4 lk?2?lk?4?2

? l3?l1?2

k?1上述各式相加可得lk?1?2?2???2经检验，k?1时，也满足lk?(2k?1)

313k?2?1?2(1?41?42)?13(2?1)，

k?1k(2?1),k为奇数??3所以lk?????…………………………………………………………………………..13分

?1(2k?1),k为偶数??3

说明：其它正确解法按相应步骤给分.

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