2014年高三数学高考考点解析：概率与统计的题型与解法全国通用

概率与统计问题的题型与方法

一、考试内容

离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和平方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计，线性回归。

二、考试要求

⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。 ⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。 ⑷会用样本频率分布去估计总体分布。 ⑸了解正态分布的意义及主要性质。 ⑹了解假设检验的基本思想。 ⑺会根据样本的特征数估计总体。 ⑻了解线性回归的方法。

三、复习目标

1． 了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。

2． 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望

值、方差。

3． 在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个

类似事件的稳定程度。

4． 了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。

5． 了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体N(?,?)转化为标准正态总体N（0，

1）的公式F(x)??(2x???)及其应用。

6． 通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。

7． 了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。 8． 了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算。 9． 了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。

四、双基透视

㈠随机事件和统计的知识结构：

㈡随机事件和统计的内容提要

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1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。

2．随机变量的概率分布

（1）离散型随机变量的分布列： ε ? ? xi x1 x2 P p1 p2 ? pi ? 两条基本性质①pi?0(i?1,2,?)；

②P1+P2+?=1。

（2）连续型随机变量概率分布：

由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)； 总体分布密度函数的两条基本性质： ①f(x) ≥0(x∈R)；

②由曲线y=f(x)与x轴围成面积为1。 3．随机变量的数学期望和方差 （1）离散型随机变量的数学期望：

E??x1p1?x2p2??；反映随机变量取值的平均水平。 （2）离散型随机变量的方差：

[来源:学科网] D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)pn??；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。

（3）基本性质：E(a??b)?aE??b；D(a??b)?aD?。 4．三种抽样方法。 5．二项分布和正态分布

（1）记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；

kpkqn?k(q?1?p,k?0,1,2,?,n)。 其概率Pn(k)?Cn22 期望Eε=np，方差Dε=npq。

（2）正态分布密度函数： f(x)?12??e?(x??)22?2

期望Eε=μ，方差D???2。 （3）标准正态分布： 若?~N(?,?)，则?? P(??b)??(2???~N(0,1)， ?a??b???)，

P(a???b)??(b???)??(?)。

6．线性回归：

当变量x取值一定时，如果相应的变量y的取值带有一定的随机性，那么就说变量y与x具有相关关系。对于它们的一组观测值来说，如果与之相应的在平面直角坐标系中的点大体上集中在一条直线的附近，就说变量y与x之间具有线性相关关系。

相关系数用来检验线性相关显著水平，通常通过查表取显著水平0.05自由度n-2的r0.05，若r?r0.05为显著；否则为不显著。

㈢离散型随机变量的分布列

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随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量最常见的两种类型，即离散型随机变量和连续型随机变量。如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。

离散型随机变量的分布列：如果离散型随机变量?的可能取值为xi（i＝1，2，?），由于试验的各个结果的出现有一定的概率，于是随机变量?取每一个值也有一定的概率P（?＝xi）＝pi，人们常常习惯地把它们写成表格的形式，如： ? x1 x2 ? xi ? P p1 p2 ? pi ? 这种表即为随机变量?的概率分布，简称为?的分布列。 分布列的表达式可有如下几种：（1）表格形式；（2）一组等式；（3）压缩为一个带“i”的等式。

1．在实际问题中，人们常关心随机变量的特征，而不是随机变量的具体值。离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。其中标准差与随机变量本身有相同的单位。

2．离散型随机变量期望和方差的计算公式

设离散型随机变量?的分布列为P（?＝xi）＝pi，i＝1，2，?，则：

E?＝

?xi?1?i ip，D?＝

?(x－E?) p＝?x2

??2

iii pi－(E?)＝E(?)－(E?)。

2

2

2

i?1i?13．离散型随机变量期望和方差的性质

2

E (a?＋b)＝aE?＋b，D (a?＋b)＝a D?。 4．二项分布的期望与方差

若?～B (n，p)，则E?＝np，D?＝np (1－p)。

㈣抽样方法

三种常用抽样方法：

1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。

2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。

系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。

3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。

㈤总体分布的估计

总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布。

总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线。

㈥正态分布

正态分布：如果总体密度曲线是以下函数的图象：

f(x)?12??e?(x??)22?2，x?(??,??) ①

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式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量

2

的抽象总体。其分布叫做正态分布，常记作N(μ，σ)。①的图象被称为正态曲线。

特别地，在函数①中，当μ=0，σ=1时，正态总体称为标准正态总体，这时，相应的函数 表达式是f(x)?12?e?x22，x?(??,??)， ②

相应的曲线称为标准正态曲线。

当我们不知道一个总体的分布时，往往总是从总体中抽取一个样本，并用样本的频率分布去估计总体的分布，而且随着样本容量越大分组的组距越小，样本的频率分布就更加接近总体分布。当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线，即反映总体分布的总体密度曲线。可以知道，反映总体分布的总体密度曲线的形状是形形色色的，不同形状的总体密度曲线是不同总体分布的反映，而正态分布以及反映这种分布的正态曲线是异彩纷呈的总体分布及总体密度曲线中的一类重要分布。 1．正态分布的重要性

正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。例如，产品尺寸是一类典型的总体，对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。又如测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。 2．正态曲线及其性质 对于正态分布函数： f(x)?12??e?(x??)22?2，x∈（-∞，+∞）

由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。 3．标准正态曲线

标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。对于抽像函数??(x0)?p(x?x0)，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N（0，1）、x轴、直线x?x0所围成的图形的面积。再由N（0，1）的曲线关于y轴对称，可以得出等式

??(x0)?1??(x0)，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率P??(b)??(a)。

4．一般正态分布与标准正态分布的转化

由于一般的正态总体N(?,?)其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间

2(x1,x2)的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。这时我们自然会思考：能否将一般

的正态总体N(?,?)转化成标准的正态总体N（0，1）进行研究。人们经过探究发现：对于任一正态总体N(?,?)，其取值小于x的概率F(x)??(22x???)。对于这个公式，课本

中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。这表明，对等式

F(x)??(x???2只要会用它求正态总体N(?,?)在某个特定区间的概)的来由不作要求，

率即可。

5．“小概率事件”和假设检验的基本思想

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“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同。

课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步： 第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布N(?,?)。

第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）。 第三步，作出推断。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果a?(??3?,??3?)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。

上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处。事实上，用反证法证明一个问题时，先否定待证命题的结论，这本身看成一个新的命题，从它出发进行推理，如果出现了矛盾，就把这个矛盾归因于前述新命题不正确，从而将它否定。否定了新命题，也就等于证明了原命题的结论。

2

㈦线性回归

回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。

回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大

??a?bx。致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：y其中

nnb??(xi?1ni?x)(yi?y)?i?xyii?1ni?nxy，a?y?bx。我们称这个方程为y对x的回归

?(xi?1?x)2?xi?12i?nx2直线方程。

1．相关关系

研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：

（1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正方形面积S与边长x之间的关系S?x2就是函数关系。即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系。

（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些。

（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归

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直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计。

相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况。因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度。 2．回归分析

本节所研究的回归分析是回归分析中最简单，也是最基本的一种类型——一元线性回归分析。

对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：

（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。两个变量具有相关关系是回归分析的前提。

（2）散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析。 （3）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。 3．相关系数

有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近，仍可以按照求回归直线方程的步骤求得回归直线方程。显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际意义。那么，在什么情况下求得的回归直线方程才能对相应的一组观测数据具有代表意义？课本中不加证明地给出了相关系数的公式。相关系数公式的作用在于，我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分析，而不是仅凭画出散点图，直觉地从散点图的形状粗浅地得出数据之间的线性相关程度。

4．线性相关性检验

相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的具体办法。限于要求，中学阶段只要求掌握这种检验方法的操作步骤，而不要求对这种方法包含的原理进行深入研究。其具体检验的步骤如下：

（1）在课本中的附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2（n为观测值组数）相应的相关系数临界值r0.05。

（2）根据公式r??xyii?1n2i?1ni?nxyn计算r的值。

2(?xi2?nx)(?yi2?ny)i?1 （3）检验所得结果。

如果|r|?r0.05，那么可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设。 如果|r|?r0.05，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了。这个小概率事件的发生使我们有理由认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为y与x之间具有线性相关关系。 有了相关性检验方法后，我们对一组数据作线性回归分析，只须先对这组数据的线性相关性进行检验。如若具有线性相关性，则可依据求回归直线方程的方法进行求解，而不必像前面那样，先画散点图，再依照散点图呈直线性后再求回归直线方程。这样就使得回归直线方程更能真实地反映实际情况，具有应用于实际的价值。

五、注意事项

㈠1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

[来源:学。科。网]（1）pi≥0，i＝1，2，?； （2）p1＋p2＋?＝1。

k k n-k2．若随机变量?的分布列为：P (?＝k)＝Cnpq。（k＝0，1，2，?，n，0＜p＜1，q＝1－p，则称?服从二项分布，记作?~B (n，p)，其中n、 p为参数，并记Cnpq=b(k；n，p)。

k k n-k用心 爱心 专心

对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：

k k n-k（1）P (?＝k)＝Cnpq＞0，k＝0，1，2，?，n； （2）

?k?0nP (?＝k)＝

?k?0nCnpq＝(p＋q) ＝1。

k k n-kn

二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。

㈡1．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性。若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是

n。 N2．三种抽样方法的各自特点、适用范围、相互联系及共同点如下表： 类 别 共 同 点 各 自 特 点 相 互 联 系 适 用 范 围 从总体中逐个抽 总体中的个体简单随机抽样 取 数较少 [来源:学_科_网][来源:学科网ZXXK]系统抽样 网][来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com][来源:学科抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 [来源:学,科,网Z,X,X,K][来源:学科网]分层抽样 将总体均分成几个部分，然后按照事先确定的规则在各部分抽取 将总体分成几层，分层进行抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 各层抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 总体由差异明显的几部分组成 ㈢总体密度曲线反映了总体分布，即反映了总体在各个范围内取值的概率。总体在区

间（a，b）内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线x=a、x=b所围成曲边梯形的面积。

㈣1．正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量?～N(μ，σ2)，根据定义有： μ=E?，σ=D?。

2．正态曲线具有以下性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 （2）曲线关于直线x =μ对称。 （3）曲线在x =μ时位于最高点。 （4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。

（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

㈤⒈在“标准正态分布表”中相应于x0的值?(x0)是指总体取值小于的概率，则：

（1）?(x0)=P(x< x0)；（2）?(x0)=1-?(-x0)。

⒉对于任一正态总体N(μ，σ)来说，取值小于x的概率F(x)=?(

2

x???)。

⒊从理论上讲，服从正态分布的随机变量?的取值范围是R，但实际上?取区间(μ- 3σ，μ+3σ)外的数值的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ-3σ，μ+3σ)，这即实用中的三倍标准差规则，也叫3σ规则。在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。

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㈥线性回归的相关关系与函数关系不同，有相关关系的两个变量存在密切关系，但不存

在确定性的函数关系。

六、范例分析

例1. 2000年全国高考天津理科卷(13)

某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意连续取出2件，其中次品数? 的概率分布是 ?

0 1 2 p 解：大批产品中抽取产品，认为次品数? 服从二项分布B(2, 0.05) 空格中应填 0.9025, 0.095, 0.0025 考点：离散型随机变量的概率分布，二项分布

例2. 2001年全国高考天津理科卷(14)

一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是__________________.

解1：同时取出的两个球中含红球数 ? 的概率分布为

63 1323232P(? = 0) =C=102=10, P(? = 1) =2=10, P(? = 2) =2CC555C0C2C1C1C2C01?1?6?2?6=6, 空格中应填 6 E? =0?1051010526解2：同时取出的两个球中含红球数 ? 服从超几何分布，其数学期望为 n?MN=3?5=5

例3. 2002年全国高考天津文科卷(15)

甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm）

品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8 2

其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 。

1 1 提示：xˉ甲 = 5( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，xˉ乙 = 5( 9.4 + 10.3 + 10.8 +

9.7 + 9.8) = 10.0;

222222 2 1 2 1 s甲 = 5( 9.8 + ? + 10.2) – 10 = 0.02，s甲 = 5( 9.4 + ? + 9.8) – 10 = 0.244 >

0.02 。

例4. 2003年全国高考江苏卷(14) 辽宁卷(14) 天津文科卷(14) 天津理科卷(14) 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 ，z 30 ， 10 辆。

提示：1200 + 6000 + 2000 = 9200；46 : 9200 = 1 : 20；

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1 1 1 ? 1200 ? 20 = 6，6000 ? 20 = 30，2000 ? 20 = 10。

例5. 抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案.现有100只外型相同的电路板，其中有40只A类版后60只B类板.问在下列两种情况中“从100只抽出3只，3只都是B类”的概率是多少？

⑴ 每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只（称为返回抽样）；

⑵ 每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只（称为不返回抽样）

解：⑴ 设“从100只中抽去3只，3只都是B类”为事件M，先求基本事件总数，由于每次抽去一只，测试后又放回，故每次都是从100只电路板中任取一只，这是重复排列，共有

111C100?C100?C100?1003个.再求M所包含的基本事件数，由于每次抽出后又放回，故是重复

603?0.216 排列，共有60 个，所以P(M)?31003

⑵ 由于取出后不放回，所以总的基本事件数为C100个，事件M的基本事件数为C60，

3C60所以 P(M)?3?0.212

C10033?0(x?0)?例6. 已知连续型随机变量ε的概率密度函数f(x)??kx?1(0?x?2)，且f(x) ≥0，

?0(x?2)?求常数k的值，并计算概率P(1.5≤ε<2.5)。

分析:凡是计算连续型随机变量ε的密度函数f(x)中的参数、概率P(a≤ε≤b)都需要通过求面积来转化而求得。若f(x) ≥0且在[a，b]上为线性，那么P(a≤ε≤b)的值等于以b-a为高，f(a)与f(b)为上、下底的直角梯形的面积，即

1P(a???b)?[f(a)?f(b)](b?a)。

2 解: ∵1?P(???????)?P(?????0)?P(0???2)?P(2?????)

?0?P(0???2)?0

1?[f(0)?f(2)](2?0)?f(0)?f(2)?2?2k21 ∴k??；

2 P(1.5???2.5)?P(1.5???2)?P(2???2.5)

例7. 对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：

甲：27，38，30，37，35，31； 乙：33，29，38，34，28，36。

根据以上数据，试判断他们谁更优秀。

分析:根据统计知识可知，需要计算两组数据的x与S*2，然后加以比较，最后再作出判断。 解: x甲?1(27?38?30?37?35?31)?33， 6用心 爱心 专心

S甲*2?[(27?33)2?(38?33)2?(30?33)2?(37?33)2?(35?33)2?(31?33)2]?15?94?18.8；

1 x乙?(33?29?38?34?28?36)?33，

6 S乙*2?[(33?33)2?(29?33)2?(38?33)2?(34?33)2?(28?33)2?(36?33)2]?15

15?76?15.2

∴x甲?x乙，S甲*2?S乙*2，

15

由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀。

说明：S*2与S2作为总体方差的两个估计量，当样品容量不是很大时，S*2更接近?2，故在实际运用时，我们常用S*2去估计?2，但当容量较大时，S*2与S2则没有什么差别。

例8．几何分布

某射击手击中目标的概率为P。求从射击开始到击中目标所需次数?的期望、方差。 解： ? 1 2 3 ?? ?? K P(1?P) P(1?P)2 P(1?P)K?1 P P 2K?1?? E??1?P?2P(1?P)?3P(1?P)???KP(1?P)n?1令 Sn?1?P?2P(1?P)???nP(1?P)

n?1n (1?P)Sn? 1P(1?P)???(n?1)P(1?P)?nP(1?P)

Sn?(1?P)Sn?P?P(1?P)???P(1?P)n?1?nP(1?P)n

1?(1?P)n?nP(1?P)n PSn?P?1?(1?P)nn ?1?(1?P)?nP(1?P)

11?P limSn??E? D??E(?2)?(E?)2?2 n??PP

例9．设X~N(?,?)，且总体密度曲线的函数表达式为： f(x)?212?e?x2?2x?14，x∈R。

（1）求μ，σ；（2）求P(|x?1|?2)及P(1?2?x?1?22)的值。

分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ。利用一般正态总体N(?,?)与标准正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决。

解： （1）由于f(x)?数表达形式，可知μ=1，??212?e?x2?2x?14?12??2e?(x?1)22(2)2，根据一般正态分布的函

2，故X～N（1，2）。

（2）P(|x?1|?2)?P(1?2?x?1?2)

用心 爱心 专心

?F(1?2)?F(1?2)??2?1??2?1??()??()22 ??(1)??(?1)

?2?(1)?1?2?0.8413?1 ?0.6826。

又P(1?2?x?1?22)?F(1?22)?F(1?2) 2 ??(2)??(?1)??(??22?1)??(??2?12)

??(2)??(1)?1?0.9772?0.8413?1 ?0.8185。

说明：在解决数学问题的过程中，将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。通过本例我们还可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联。

例10．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ε～N（173，7）（单位：cm），问车门应设计多高（精确到1cm）？ 分析：由题意可知，求的是车门的最低高度，可设其为xcm，使其总体在不低于x的概率小于1%。

解：设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm，由题意，需使P(ε≥x)<1%。 ∵ε～N（173，7），∴P(??x)??(x?1737)?0.99。查表得

x?1737?2.33，解得

x>179.16，即公共汽车门的高度至少应设计为180cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞。

说明：解决本题的关键是在正确理解题意的基础上，找出正确的数学表达式；而逆向思维和逆向查表，体现解决问题时思维的灵活性。

例11．已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据： 年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 x(kg) 92 108 115 123 130 138 145 y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 （1）求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；

（2）若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量。 分析：（1）使用样本相关系数计算公式来完成；（2）查表得出显著性水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界r0.05比较，若r?r0.05则线性相关，否则不线性相关。

用心 爱心 专心

解：（1）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：] i xi yi xiyi x?151 2 3 4 5 6 70 74 80 78 85 92 7 8 90 95 9 10 11 12 13 14 15 92 108 115 123 130 138 145 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1140 1058 1188 1357 1500.1625 1766.4 1885 6 1515151.7?101，y??10.11， 15152i

?xi?1?1611，2?y?1628.55，?xiyi?16076.8。故蔬菜产量与放用氮肥量

2ii?1i?11515的相关系数 r?16076.8?15?101?10.11(161125?15?101)(1628.55?15?10.11)22?0.8643。

由于n=15，故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值r0.05?0.514，则r?r0.05，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系。

^?bx?a，则 （2）设所求的回归直线方程为yb??xyii?115i?115i?15xy2??xi2?15x16076.8?15?101?10.11?0.0937， 2161125?15?1013 a?y?bx?10.11?0.0937?101?0.646，

∴回归直线方程为y?0.0937x?0.6463?14.701(t)。

说明：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算。如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到

^?xi?1ni，

?yi?1ni，

?yi?1n2i，

?yi?1n2i，

?xyii?1ni这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了。另外，利用计算机中有关

应用程序也可以对这些数据进行处理。

例12.设随机变量ε服从N（0，1），求下列各式的值：

（1）P(ε≥2.55)； （2）P(ε<-1.44)； （3）P(|ε|<1.52)。

分析:一个随机变量若服从标准正态分布，可以借助于标准正态分布表，查出其值。但在标准正态分布表中只给出了x0?0，即P(x?x0)??(x0)的情形，对于其它情形一般用公式：φ(-x)=1-φ(x)；p(a

?1??(2.55) ?1?0.9946

?0.0054; （2）P(???1.44)??(?1.44)?1??(1.44) ?1?0.9251?0.0749；

用心 爱心 专心

（3）P(|?|??1.52)?P(?1.52???1.52)??(1.52)??(?1.52)?2?(1.52)?1 ?2?0.9357?1?0.8714

说明：从本题可知，在标准正态分布表中只要给出了x0?0的概率，就可以利用上述三个公式求出其它情形下的概率。

例13．某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25）。质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm。试问该厂生产的这批零件是否合格？ 分析：欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外。 解：由于圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N（4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7?(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批产品是不合格的。

说明：判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想。

例14．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知y对x呈线性相关关系。试求： （1）线性回归方程；

（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

分析：本题为了降低难度，告诉了y与x间呈线性相关关系，目的是训练公式的使用。 解：（1）列表如下： i 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 xi yi xiyi xi2 2.2 4.4 4 3.8 11.4 9 5.5 22.0 16 6.5 32.5 25 7.0 42.0 36 x?4，y?5 ?xi?152i?90，?xiyi?112.3 i?15 于是b??xyii?15i?15i?5xy2??xi2?5x112.3?5?4?5?1.23， 290?5?4 a?y?bx?5?1.23?4?0.08。

∴线性回归方程为：y?bx?a?1.23x?0.08。

（2）当x=10时，y?1.23?10?0.08?12.38（万元） 即估计使用10年时维修费用是12.38万元。

说明：本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。

用心 爱心 专心

^^

例15. （2003年全国高考辽宁卷(20) 天津理科卷(20)）

A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员

是B1、B2、B3 。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员 A队队员胜的概率 2 3 2 5 2 5 A队队员负的概率 1 3 3 5 3 5 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场, 每场胜队得1分, 负队得0分。设A队、B队最后总分分别为 ?、

?。

(Ⅰ) 求 ?、? 的概率分布； (Ⅱ) 求E?、E?。

分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

解：(Ⅰ) ?、? 的可能取值分别为3, 2, 1, 0.

2?2?2?8 P(? = 3) =35575 （即A队连胜3场）

2?3?2?3?2?1?2?2?28 （即A队共胜2场） ? P(? = 2) =235535535575?3?3?1?2?3?1?3?2?30?2 P(? = 1) =2355355355755 （即A队恰胜1场） ?3?3?9?3 P(? = 0) =13557525 （即A队连负3场）

根据题意知 ? + ? = 3，所以

8 P(? = 0) = P(? = 3) = 75， P(? = 2) = P(? = 1) = 25，

28 P(? = 1) = P(? = 2) = 75， 3 P(? = 3) = P(? = 0) = 25 。

8?2?28?1?2?0?3?22 ； (Ⅱ) E? =3?757552515 因为? + ? = 3，

所以E? = 3 – E? =23。

15

七、强化训练和参考答案

1.随机变量?的的分布列如下，则m= （D）

（A）

? p 1 2 m 3 4 1 41 31 61111 （B） （C） （D） 326412.设随机变量?服从二项分布B（6，），则P（?=3）= （A）

2用心 爱心 专心

（A）

5353 （B） （C） （D） 1616883.从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设?为这3支签的号码之中最大的一个。则?的的数学期望为 （B） （A）5（B）5.25（C）5.8（D）4.6

4.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量?，则P（??1）等于 （D） （A）0.9163（B）0.0081（C）0.0756（D）0.9919

5.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是 （C） （A） 与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最大。 （B） 与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最小。 （C） 与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等。 （D） 与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关。

6.一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（D）

（A）分层抽样 （B）抽签法 （C）随机数表法 （D）系统抽样法 7.当一个样本的容量不大时，我们估计总体的标准差σ的常用量是：（C）

2 2

（A）s （B）s（C）s* （D）s*8.从总体中抽一个样本，2、3、4、8、7、6，则样本平均数为x= （B） （A）4 （B）5 （C）6 （D）6.5

2

9.从总体中抽一个样本，3、7、4、6、5，则样本方差s*为 （B） （A）2 （B）2.5 （C）5 （D）3

10.下面哪有个数不为总体特征数的是 （D） （A） 总体平均数（B）总体方差（C）总体标准差（D）总体样本

11.为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5 的汽车检查，这种抽样方法称为 （C） （A）简单随机抽样 （B）随机数表法 （C）系统抽样法 （D）分层抽样法 12.已知n个数据为x1，x2，?，xn，那么

1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]是指 （D） n?1（A）s （B）s* （C）s （D）s*

2

13.总体方差σ的的估计量为 （B） （A）x （B）s （C）s （D）s*

2

14.已知容量为40的样本方差s=3.9，那么s*= （B）

2

2

2

（A）4 （B）2 （C）2 （D）1

15.设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的数学期望为 （B） （A）20 （B）10 （C）5 （D）15

16.某一计算机网络，有几个终端，每个终端在一天中使用的概率p，则这个网络中一天平均使用的终端个数为 （B） （A）np(1-p) （B）np （C）n （D）p(1- p)

17.下列说法正确的是： （D） （A） 甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一

样

（B） 期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比

乙班好

（C） 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习

用心 爱心 专心

情况甲班比乙班好

（D） 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习

情况甲班比乙班好

18. 某射击运动员射击所得环数?的分布列如图所示，

则P(?=8)= (D)

ζ 7 8 9 10

P 0.21 P 0.29 0.22

（A）P(P>0)（B）0.38（C）0.41（D）0.28 19.设随机变量的?的分布列为P（?=k）=

k（k=1、2、3、4、5、6），则P（1.5

5421（B）（C）（D） 21212121120. 如果η～B（15，）则使P（η=k）最大的k是 （D）

4（A）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）3 或4

21.某人有资金10万元，准备用于投资经营甲，乙两种商品，根据统计资料： 经营甲 经营乙

获利（万元） 2 3 -1 获利（万元） 1 4 -2 那么，他

概率 0.4 0.3 0.3 概率 0.6 0.2 0.2 应该选择

经营

甲 种商品。

22.在10件产品中有8件正品，从中任意地取出3件，设取到正品的个数为ζ，则ζ的取值可以有 3 种。

23.要检查某厂的产品合格率，检查人员从1000件产品中任意抽取了50件，问这种抽样的方法是 简单随机抽样法 。

24.若样本a1，a2，a3的方差是2，则样本2a1+3，2a2+3，2a3+3的方差是 8 。

25.甲、乙两种棉花，各抽取50根棉花纤维检验长度，样本方差分别是s甲=1.32，s乙=0.93，这两种棉花质量较好的是 乙 。

26.甲、乙两学生连续五次数学测验成绩如下，甲：80、75、80、90、70；乙：70、70、75、80、65。则可以认为 乙 的数学成绩比较稳定。

27.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出两件，其中次品数?的概率分布是：

ζ 0 1 2

P 0.9025 0.095 0.0025

28.若样本a1，a2，a3的方差是2，则样本2a1，2a2，2a3的方差是 8 。

29.已知随机变量?的分布列如下：

用心 爱心 专心

? p

0 x2 1 x 2 1 4

求x的值。

30.袋中有3个白球，2个红球，从袋中随机取2个球，假设取得1个白球得1分，取得1个红球得0分，求得分值?的分布列。（要写出解题过程，并按要求填空）

?

p

31.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随机地取出3张卡片，设3张卡片的数字之和为随机变量?。 求E?，D?。

32.某市教委，为了指导教师更好地做好2002年高三复习迎考工作，决定对全市第一次高三模拟考试成绩进行分析，要从全市2008张考卷中抽取200份试卷，请你设计一个系统抽样，抽取所需数目的样本。

22

33.已知已个样本的s=0.63，s*=0.7，求样本的容量n是多少？

34.样本（x1，x2，x3，?，xn）的样本均值为xn，样本（x1，x2，x3，?，xn， xn+1）的样本均值为xn?1。 求证：xn?1=

n1xn+ xn+1 n?1n?1

35.据统计，一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a万元（a>100），问a如何确定，可是保险公司期望获利？

36.某公司有三个部门，第一个部门800个员工，第二个部门604个员工，第三个部门500个员工，现在用按部门分层抽样的方法抽取一个容量为380名员工的样本，求应该删除几个人，每个部门应该抽取多少名员工？ 4，160，120，100

37.已知连续型随机变量?的概率密度函数为：

0 f(x)=

x?0kx?1 0?x?2 且f(x)?0， 0x?21求常数k的值，并计算概率p（1.5<ζ<2.5）。k=-, p（1.5

2

用心 爱心 专心

38.在同样条件下，用甲乙两种方法测量某零件长度（单位mm），由大量结果得到分布列如下： 甲：

? 48 49 50 51 52 P 0.1 0.1 0.6 0.1 0.1 乙：

η 48 49 50 51 52 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

问哪种方法精度较好？ E?=Eη=50, D?

39.某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量 平均 标准差 组别

第一组 90 6

第二组 80 4

求全班的平均成绩和标准差。平均为85，51

40.某企业对一项工程的完成有三个方案，甲、乙、丙每个方案的获利情况如下表所示：

方案甲 方案乙 方案丙

自然状况 获利 获利 获利

概率 概率 概率 (万元) (万元) (万元)

巨大成功 0.4 6 0.3 7 0.4 6.5

中等成功 0.3 2 0.4 2.5 0.2 4.5

不成功 0.3 -4 0.3 -5 0.4 -4.5

问企业应选择哪种方案？E?甲>E?乙>E?丙

八、近几年全国高考概率题集锦

1．2000年全国高考天津理科卷(17)

甲乙两人参加普法知识竞赛，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题. (I) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ (II) 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

6?4=4 解：(I) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为10?915(II) 设 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题为事件B，则对立事件B为两人均抽到判

4?3=13 断题，则 P(B) = 1 – P(B) = 1 –10?915

2．2001年全国高考天津理科卷(18)

用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2. 当 元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作，当元件A正

用心 爱心 专心

(N1) (N2) A A B B C C

常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作. 已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80, 0.90, 0.90，分 别求系统N1、N2正常工作的概率。

解：分别记三个元件A、B、C能正常工作为事件A、B、C， 由题意，这三个事件相互独立， 系统N1正常工作的概率为

P(A ? B ? C) = P(A) ? P(B) ? P(C) = 0.8?0.9?0.9 = 0.648 系统N2中，记事件D为B、C至少有一个正常工作，则

P(D) = 1 – P(B?C) =1 – P(B) ? P(C) = 1 – (1 –0.9)?(1 – 0.9) = 0.99 系统N2正常工作的概率为

P(A ? D) = P(A) ? P(D) = 0.8?0.99 = 0.792 说明：用事件的并可知，系统N2正常工作的概率为

P(AB?AC) = P(AB) + P(AC) – P(ABC) = 0.8?0.9 + 0.8?0.9 – 0.8?0.9?0.9 = 0.792

3．2002年全国高考天津文科卷(20) 天津理科卷(19) （本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。）

某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 (相互独立)。 (Ⅰ) 求至少三人同时上网的概率； (Ⅱ) 至少几人同时上网的概率小于0.3?

解： (Ⅰ) 至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即

012(0.5)6?C6(0.5)6?C6(0.5)6?1?1?6?15?21 1?C66432(Ⅱ) 至少4人同时上网的概率为

456(0.5)6?C6(0.5)6?C6(0.5)6?15?6?1?11?0.3 C66432至少5人同时上网的概率为

56(0.5)6?C6(0.5)6?6?1?7?0.3 C66464因此，至少5人同时上网的概率为小于0.3。

4．2003年全国高考江苏卷(17) 天津文科卷(20) （本小题考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力。）

有三种产品，合格率分别为0.90, 0.95和0.95，各抽取一件进行检验。

(Ⅰ) 求恰有一件不合格的概率； (Ⅱ) 求至少有两件不合格的概率。(精确到0.001) 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C。

(Ⅰ) P(A) = 0.90，P(B) = P(C) = 0.95，P(ˉA) = 0.10，P(ˉB) = P(ˉC) = 0.05。 因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为

ˉ) + P(A ? Bˉ ? C) + P(Aˉ ? B ? C) P(A ? B ? Cˉ) + P(A) ? P(ˉ = P(A) ? P(B) ? P(CB) ? P(C) + P(ˉA) ? P(B) ? P(C)

= 0.90 ? 0.95 ? 0.05 + 0.90 ? 0.05 ? 0.95 + 0.10 ? 0.95 ? 0.95 = 0.176 [[0.17575]]

用心 爱心 专心

答：恰有一件不合格的概率为0.176。 (Ⅱ) 解法一：至少有两件不合格的概率为

ˉ ? B ? ˉˉ ? Bˉ ? Cˉ) P(A ? ˉB ? ˉC) + P(AC) + P(ˉA ? ˉB ? C) + P(A = 0.90 ? 0.05 + 2 ? 0.10 ? 0.95 ? 0.05 + 0.10 ? 0.05 = 0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012。 解法二：三件都合格的概率为

2

2

P(A ? B ? C) = P(A) ? P(B) ? P(C) = 0.90 ? 0.952 = 0.812 [[0.81225]]

由 (Ⅰ) 知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为 1 – [P(A ? B ? C) + 0.176 ] = 1 – ( 0.812 + 0.176 ) = 0.012。 答：至少有两件不合格的概率为0.012，

5．2002年全国高考上海文科卷(7) 上海理科卷(7)

在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件。竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增到14名，但只取其中7 名裁判的评分作为有效分。若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 。(结果用数值表示)

7C12提示：所求概率为 7?3

C14136．2003年全国高考上海文科卷(9) 上海理科卷(9)

某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 。(结果用分数表示)

222?4?C5提示：属于同一个国家的概率为C11C2?71，

190C20所求概率为 1?71?119

190190?5?4?5?119 或：所求概率为 11?4?112190C20

用心 爱心 专心

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