曲线积分习题课

曲线积分习题课

?x?2cos3t?1、 求?lxds，其中l是星形线?经A(2,0),C(0,2),B(?2,0)的?ACB3??y?2sint弧段。

2、 设一金属线成半圆形x?acost,y?asint(0?t??)，其上每一点密

度等于该点的纵坐标，求此金属线的质量。

3、 设l是由原点O沿抛物线y?x2到点A(1,1)，再由点A沿直线y?x到原点的封闭曲线。求??larctandy?dx。 4、 计算

x2?1y2xarctandx?arctandy??lxxyyyx，其中l为由曲线所围成区域的边界正向。 ?y3(x?y0)y21?,x2?y24?,y?,x3y3y2(xy?e)dx?(xy?xe?y)dy，其中l是对称于两坐标轴的任5、 求??l意封闭曲线。

6、 计算?c(y?2xy)dx?(x2?2x?2y2)dy，其中c是由点A(4,0)到点O(0,0)的上半圆周y?4x?x2。 7、 计算??ldx?dy，l为x?y?1的逆时针方向。 x?yx2y2x?yx?y8、 计算??lx2?y2dx?x2?y2dy，其中l为沿椭圆a2?b2?1的正方向。

9、 计算?c?yx2A(?1,0)dx?dy，其中为自点沿y?x?1到点c2222x?yx?yB(2,3)的弧。

10、 （1）证明曲线积分?c(y2?yex)dx?(2xy?ex)dy与路径无关。 （2）求(y2?yex)dx?(2xy?ex)dy的原函数u(x,y)。

（3）求

?(1,1)(0,0)(y2?yex)dx?(2xy?ex)dy。

kr11、 设位于(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2（k?0，常数，r为质点A与M之间的距离），质点沿曲线y?2x?x2自点B(2,0)运动到点O(0,0)。求在此运动过程中，质点A对质点M的引力所做的功。

12、 已知f(0)?，确定f(x)，使?l[ex?f(x)]ydx?f(x)dy与路径无关，

并求从点(0,0)到点（1,1）的积分值。

13、 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)?0,f'(0)?1。且

[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f'(x)?x2y]dy?0为一全微分方程。求f(x)及

12此全微分方程的通解。

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