线性代数 习题答案 综合题

2、题型：综合题 3、难度级别：3

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10

6、所需时间：10分钟

7、试题关键字：矩阵的初等变换 8、试题内容：

设A,B为两个同型矩阵，试证：A,B的秩满足R?A??R?B?是A与B等价的充分必要条件.

9、答案内容： 证明:

必要性.A与B等价,则存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B?R(A)=R(B).充分性.设A,B为m?n矩阵,R(A)=R(B)=r.?r?(n?r)??Er则A~???F.??c?(n?r)?r(n?r)?(n?r)?r?Er?r?(n?r)?B~???F.??c?(n?r)?r(n?r)?(n?r)?r

?存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2,使P1AQ1?P2BQ2.?1?1即A?PPBQQ1221?A与B等价.10、评分细则：由题设PAQ?B?R?A??R?B?(2分);将A经初等变换化为标准形(2分) 将B经初等变换化为标准形(2分);得出PAQ11?P2BQ2,P1,Q1,P2,Q2均可逆(2分);所以得出A与B等价(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：347 2、题型：综合题 3、难度级别：4

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10

6、所需时间：12分钟

7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：

已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，

?1,?2,?3是其解，且

1

?1??2??1,1,0,2?,?2??3??1,0,1,3?，求方程组的通解.

9、答案内容： 解:

TT设方程组为As?4x?b.R(A)?3.对于Ax?0.其基础解系含4-3=1个解.?1??2?(?2??3)??1??3是Ax?0的解.?1??2?(?2??3)?(0,1,?1,?1)T?0,?(0,1,?1,?1)T可以作为Ax?0的一个基础解系.111115(?1??2??2??3)?(2,1,1,5)T?(,,,)T为442444Ax?b的一个解.?1??2????0??1???1???Ax?b的通解为?4??c??,c为任意数.???1???1??4???1??5??? ?4?10、评分细则：由题设说明Ax?0的基础解系含一个解向量(2

分);?1??2???2??3???1??3是Ax?0的一个解(2分);说明?1??3可以作为Ax?0 的一个基础解系(2分);说明

1??1??2??3??4?为Ax?b的一个解(2分);所以得出4Ax?b的通解(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：348 2、题型：综合题 3、难度级别：4

4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：10

6、所需时间：15分钟

7、试题关键字：初等矩阵及矩阵的相似与合同 8、试题内容：

?1?1设A???1??1111111111??4??1?0,B???01???1??0000000000??0?试判断A与B是否合同，是否相似.若是，则求出?0?0?使它们合同的矩阵. 9、答案内容：

2

解:A与B合同且相似.E?1?2??E?41??1??E?31??1??E?21??1??E?21??1??E?31??1??E?41??1??E?1?2???B?2?1?1?1???0100?令P?E?21??1??E?31??1??E?41??1??E?1?2?????0010???0001??则P可逆,且PTAP?B?2?1?01?使A与B合同的矩阵为??00??00A??E?0??1??2??3?0,?4且R?A?0E??R?A??1?4?3,?4?0?A一定可以对角化,即A与B???0??0000??000?相似.?000?000??1?1??00?10??01??4

10、评分细则：判断出A与B合同且相似(2分);将A进行初等行变换与列变换化为B的过程以左乘及右乘初等矩阵的形式写出来(3分);因而写出使A与B合同的可逆矩阵P(2分);计算A的特征值(2分);写出与A相似的对角矩阵(1分).

_____________________________________________________________________________

1、试题序号：349 2、题型：综合题 3、难度级别：4

4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：10

6、所需时间：15分钟

7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：

设向量组B:b1,b2,?,br能由向量组A:a1,a2,?,as线性表示为

?b1,b2,?,br???a1,a2,?,as?K，

3

其中K为s?r矩阵，且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是R?K??r. 9、答案内容：

证充分性.R?K??r,则有R?b1b2?br??R?K??r.同时，R?b1b2?br??r.?R?b1b2?br??r.则b1,b2,?,br线行无关.必要性.设?b1b2?x1???x?br??2??0.??????xr??x1???x令x??2?.则Bx?0.?B?AK,则有AKx?0?A?Kx??0. ??????xr??a1,a2,?,as线行无关,?R?A??S.?Kx?0,R?K??r,?Kx?0?x?0.?b1,b2,?,br线行无关.10、评分细则：充分性,由题设推出R?b1,b2,?,br??r?R?K??r,且有

R?K??r??R?K?(4r分).必要性,令B??b1b2?br?,设Bx?0,则有AKx?0(2

分),由题设推出Kx?0?x?0(2分);所以b1,b2,?,br线性无关(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：350 2、题型：综合题 3、难度级别：3

4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：10 6、所需时间：8分钟

7、试题关键字：可逆矩阵及分块运算 8、试题内容：

2已知3阶矩阵A与3维列向量x满足Ax?3Ax?Ax,且向量组x,Ax,Ax线性无关. 2（1） 记P?x,Ax,Ax，求3阶矩阵B，使AP?PB；（2）问A是否可逆，说明理由.

32??9、答案内容：

4

解:(1)AP=PB?A(x =(AxAxA2x)?(AxA2xA3x)A2x3Ax?A2x)?000???(xAxA2x)?103?.?01?1????000????B??103?.?01?1???(2)AP?PB?AP?PB.?x,Ax,Ax2线性无关,?P可逆.则A?B?0.?A不可逆.

10、评分细则：由题设及矩阵的分块运算法,计算出B(6分);由AP?PB?A?B(2分);所以A?B?0?A不可逆(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：351 2、题型：综合题 3、难度级别：4

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10

6、所需时间：12分钟

7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：

设4元非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵A的秩为3，?1,?2,?3是它的3个解向量，且

?1??2,3,4,5?,?2??3??1,2,3,4?，求该方程组的通解.

9、答案内容：

TT 5

解:设方程组为Ax?b.且R(A)?3.对于Ax?0,其基础解系只含一个解.?1??3?2?1?(?2??1)?(?3??1)为Ax?0的一个解.??3????4而?1??3?2?1????0可以作为Ax?0一个基础解系.??5?????6??2???3????? 3???4???Ax?b的通解为?c,c为任意常数.?4???5??????5???6?10、评分细则：由题设推出Ax?0的基础解系含一个解向量(2分);由题设得出Ax?0的一个非零解(2分);说明这非零解可以作为Ax?0的一个基础解系(2分);求出Ax?b的一个解(2分);得出Ax?b的通解(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：352 2、题型：综合题 3、难度级别：4

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10

6、所需时间：10分钟

7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：

设???a1,a2,a3?,???b1,b2,b3?,???c1,c2,c3?，证明三直线

TTTl1:a1x?b1y?c1?0;l2?a2x?b2y?c2?0；l3:a3x?b3y?c3?0,

其中ai2?bi2?0,i?1,2,3，相交于一点的充分必要条件为：向量组?,?线性无关，而向量组?,?,?线性相关. 9、答案内容：

6

证明:?a1x+b1y+c1=0?三直线交于一点??a2x+b2y+c2=0有唯一解.?ax+by+c=033?3?a1x+b1y+c1=0?a1???a2x+b2y+c2=0有唯一解?R?a2?ax+by+c=0?33?3?a3??,?线性无关;?,?,?线性相关.?a1x?b1y?c1?0?10、评分细则：由题设得出?a2x?b2y?c2?0有唯一解(2

?ax?by?c?033?3?a1??R?a2?a?3b1??a1??b2??R?a2?ab3???3b1b2b3?c1???c2??2?c3??b1??a1??b2??R?a2??b3??a3b1?c1??b2?c2??2?b3?c3?

?R??,???R??,?,????2?R??,???R??,?,???2分)(2

分)?R?????R???????2?R?????R??????2(4分)??,?线

性无关,?,?,?线性相关(2分).

_____________________________________________________________________________

1、试题序号：353 2、题型：综合题 3、难度级别：4

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10

6、所需时间：12分钟

7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容： 设矩阵A???1,?2,?3,??4，其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3.向量

Ax??的通解. ????1??2??3?，求方程组

9、答案内容：

7

解：????1??2??3??4，且??1?2?3?x1???x?4??2???.?x3????x4??x1??1?????x?1??2????为Ax??的一个解.?x3??1??????x4???1?又??2,?3,?4线性无关,且?1?2?2??3??1,?2,?3,?4线性相关,则有R??1?2?3?4??R?A??3,所以，Ax?0的基础解系只含一个非零解。?x1??x1??0???????xx2??1?2?????1?2?3?4?????2??4??????也是x3x30??????x?4??x4???1??1??0??1????????1??1???2??Ax?0的一个解.???可以作为Ax?0的一个基础解系.?1??0??1???????10、评分细??1???1??0??1??1??????1?2?通解为???c??,c为任意常数。?1??1???????1??0?则：由题设推出Ax?0的基础解系含一个解向量(2分);求出Ax??的两个解(2分);此两解相减所得向量为Ax?0的一个非零解(2分); 说明这非零解可以作为Ax?0的一个基础解系(2分);得出Ax??的通解(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：354 2、题型：综合题 3、难度级别：5

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10

6、所需时间：15分钟

8

7、试题关键字：矩阵的秩的性质与方程组的解 8、试题内容：

设n阶矩阵A,B满足R?A??R?B??n,证明A与B有公共的特征值，有公共的特征向量. 9、答案内容：

证明:?A??R???R?ATBT??R?AT??R?BT??R?A??R?B??n.?B? ?A??0????x???有非零解,设此非零解为??0.?B??0??A??0?A??0?则有???.B??0B??0???则有?是A与B的公共特征向量,0是A与B的公共特征值.

10、评分细则：R??A?T??R?A?B?BT??R?AT??R?BT??R?A??R?B??n(4分),所以

?A??0??A??0(2分).所以,?是A与B??x???有非零解(2分);设??0是此方程组的解,则有?B0B??0?????的公共特征向量,0是A与B的公共特征值(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：355 2、题型：综合题 3、难度级别：2

4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：10 6、所需时间：6分钟

7、试题关键字：可逆矩阵的高次幂的运算 8、试题内容：

?0?10???0?，B?P?1AP，其中P为一个三阶可逆矩阵，试求出B2008?2A2. 设A??10?00?1???9、答案内容：

9

?0?10??0?10???1?????解：A2??100??100???0?00?1??00?1??0???????100???100??12???????A2???0?10??0?10???0?001??001??0?????00???10?.01??00??10??E. 01???B?P?1AP?B2008?P?1A2008P?P?1E502P?P?1P?E.?100???200??300???????B2008?2A2??010???0?20???030?.?001??00?2??00?1???????10、评分细则：计算出分);B?PAP?B?12008A??E(2

2分);计算出

?A?22?E(2

?P?1A2008P?P?1E502P?E(4分);计算出B2008?2A2(2分).

_____________________________________________________________________________

1、试题序号：356 2、题型：综合题 3、难度级别：5

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10

6、所需时间：15分钟

7、试题关键字：矩阵的伴随矩阵与方程组的解 8、试题内容：

设n阶矩阵A的行列式A?0，且有某个代数余子式Aij?0证明：齐次线性方程组Ax?0的通解为k?Ai1,Ai2,?,Ain?，k为任意常数. 9、答案内容：

T 10

证明:?A?0?R?A??n,且AA*?AE?0.则有R?A??R?A*??n.又?存在某个Aij?0,则A*?0?R?A??n?1.若R?A??n?1?A*?0矛盾.?R?A??n?1.则Ax?0的基础解系只含一个非零解.又AA*?0?A??1?2??i??n???00?0??Ai1??A?1?0?????Ai2????????A?i?0,?i????0.?Aij??????????A?n?0?A???in??Ai1????????Aij?为Ax?0的一个非零解,所以??????A??in??Ai1??????Ax?0的通解为K?Aij?,K为任意常数.??????A??in?

10、评分细则：由题设中条件推出R?A??n?1?Ax?0的基础解系只含一个解向量(4分);

?Ai1??????推出?Aij?为Ax?0的一个非零解并说明它可以作为Ax?0的一个基础解系(4分);因而得

??????A??in?出Ax?0的通解(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：357 2、题型：综合题 3、难度级别：4

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10

6、所需时间：12分钟

11

7、试题关键字：初等矩阵与初等变换 8、试题内容：

A一定可以表示成一个m维非零列向量与一个n维若A为一m?n矩阵且R?A??1，证明：

非零行向量的乘积.

9、答案内容：

证明?R?A??1,?A一定可以经过若干初等变换化为标准形?10?0???00?0?.F=??????????00?0?mxn即PAQ?F.P,Q均可逆.?1????1?1?1?0??A?PFQ?P10?0?Q?1.???????0??1???0则P?1???0且为一个m维列向量.??????0??10?0?Q?1?0且为一个n维行向量.?A可以表示成一个非零列向量与一个非零行向量的乘积.

?1?010、评分细则：由题设A经初等变换可化为标准形F???0??00000????0??0?(2分);即0??0?m?n?1???0PAQ?F,P,Q可逆(2分); 则P?1???0是一个m维列向量(2分); 则

??????0??10?0?Q?1是一个n维行向量(2分);所以可以表示成一个非零列向量与非零行向量

的乘积(2分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：358 2、题型：综合题

12

3、难度级别：3

4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：10 6、所需时间：8分钟

7、试题关键字：逆矩阵的运算 8、试题内容：

?a?a?1??设A??????，其中a??1,?，E为同阶的单位矩阵，且

n?a?a???n?nB??E??A?9、答案内容：

?1E??.试求A?E?B?.

?1解:B?E??E?A??E?A??E?1?1??E?A??E?A???E?A??E?A??1??E?A??E?A?E?A??1?2?E?A?E?1?2?E?A?.?1?1

1?E?A?.2a?1?a?1?a1?a?1??B?E???2???a?a??B?E??

?a???a?且可逆?????1?a??1?1?110、评分细则：将B?E写成?A?E?分)?B?E??E?A???A?E??A?E?(4分)?2?A?E?(2

1?A?E?(2分),写出B?E的具体表示(2分). 2_____________________________________________________________________________

1、试题序号：359 2、题型：综合题 3、难度级别：3

4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10 6、所需时间：8分钟

13

7、试题关键字：矩阵及其伴随矩阵的秩 8、试题内容：

**

设A为一个n阶方阵?n?2?，A为其伴随矩阵，证明：当R?A??n，有RA?n；当

??R?A??n?1，有R?A*??1；当R?A??n?2，有R?A*??0.

9、答案内容：

证明当R?A??n?A可逆?A??AA?1?A?可逆?R?A???n.当R?A??n?1?A?0且AA??AE?0?R?A??R?A???n.?R?A???1.当R?A??n?2,由伴随矩阵的定义，则有A??0?R?A???010、评分细则：由伴随矩阵与矩阵的关系得出当A可逆,A也可逆(3分);由伴随矩阵的定义,

*当R?A??n?1,用反证法得出RA?1(4分);当R?A??n?2时,由伴随矩阵的定义有

?R?A???1.若R?A???0?A??0与R?A??n?1矛盾。*

??A*?0(3分).

_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：360 2、题型：综合题 3、难度级别：4

4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：10

6、所需时间：10分钟 7、试题关键字：方阵的特征值 8、试题内容：

设??0是m阶矩阵Am?nBn?m的特征值，证明?也是n阶矩阵Bn?mAm?n的特征值. 9、答案内容：

14

证明???0是AmxnBnxm的特征值，则有?AB?x??x,x?0.即A?Bx???x,x?0.?BA?Bx?=?Bx成立，且x?0.

即?BA??Bx????Bx?,x?0.假设Bx?0，则有A?Bx???AB?x?0.而?AB?x??x且??0,x?0.那么0=?x出现矛盾，?Bx?0,当x?0.则?BA??Bx????Bx?,Bx?0.??也是BA的特征值.10、评分细则：由题设得出BA?Bx????Bx?,x?0(2

分);假设

Bx?0?A?Bx???AB?x?0,而?AB?x??x,??0与?x?0矛盾(2分);所以当

x?0?Bx?0(2分),则?BA??Bx????Bx?,Bx?0(2分);所以?也是BA的特征值(2分)

_____________________________________________________________________________

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a59.html