五年级数学社团课程

海门市正余中心小学 趣味数学社团·五年级

生活中的正负数

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正数和负数的争吵

大家一定都知道童话王国吧，那你们知道数学王国的事情么？就让我们一起去探索数学王国的秘密吧！

有一天，正数和负数走到了一起，它们可是一对冤家。这不，它们又吵了起来，这次是为了0归谁而争得不可开交。 正数说：“0归我，数数都是从0123456789开始数的，我和0最近，所以0属于我这一边。” 听了正数的话，负数恼怒地说：“0应该属于我这一边，我和0才最近！”

它们就这样吵了起来。这时0走了过来，正数和负数都跑过去问0。正数说：“0，你说，你是属于我呢，还是属于负数？” 0看到它们都这么生气，吓得不敢说话了，于是就胆怯地说：“你……你们去问最有知识的计算器爷爷吧！”说完便飞快地跑走了。

正数和负数都不服气，便跑去问计算器爷爷。计算机爷爷说：“哈哈，你们别争了，告诉你们吧，0既不属于正数，也不属于负数，你们得多学点知识了。” 正数和负数听了，都惭愧地低下了头。

辨一辨

小新最喜欢吃“上好佳”薯片了，爸爸出差回家，带来了两包薯片，小新一见开心极了。不过，爸爸提了个问题：“你能告诉我，你能吃到多少薯片吗？”

“这不简单，”小新一边想，一边查看了产品说明（如下），马上回答：“一包100克，两包我一共吃到200克。”

一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过了5个停靠站，最后到达终点站。下表记录了这两公共汽车全程载客数量的变化情况：

停靠站 上下车人数 起点站 ＋21 中间第一站 －3 ＋8 中间第二站 －4 ＋2 中间第三站 0 ＋4 中间第四站 －7 ＋1 中间第五站 －9 0 终点站 －13 100克（±5克）

同学们，你们说，小新说得对吗？你觉得应该是多少？

挑战自我 1、说说中间5个站点上下车人数各是多少？

2、中间5个站点，哪些站点没有人下车，哪些站点没有人上车？ 3、你还知道了些什么？

如果有兴趣的话，请再收集一些关于正、负数的有趣的题目，和小伙伴们交流交流。

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最大最小

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同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题。 例：两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？

分析与解：将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况： 15=1+14，1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36； 15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54； 15=7+8，7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。

结论1：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等 时，他们的乘积最大。

例：比较下面两个乘积的大小：

a=57128463×87596512，b=57128460×87596515。

分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即

57128463+87596512=57128460+87596515。

因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。

1、用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？

2、两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？

3、要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？

挑战自我

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用割补法求面积

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在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例：在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

（2）拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

（3）等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，

注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

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例：如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。

例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。

分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。

把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。

数学名言

爱因斯坦说：“数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。…。数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。”

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图形的分割与拼接

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怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是

本讲要解决的问题。

例：请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。

分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。 方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。

方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。 方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。

方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。

前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。

例：将右图分割成五个大小相等的图形。

分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有

和

两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。

例：右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。

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例：将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。

分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。

挑战自我

1、有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。

（提示与答案）

2、用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。

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余数问题

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要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

（1）余数小于除数。（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。 （3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 （5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。 性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

例： 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。 分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 5122-66=5056，

5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 5056=26×79。

由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例： 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。 解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，

被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数， 所以 除数×33+52=2058-除数， 所以 除数=（2058-52）÷34=59， 被除数=2058-59=1999。

答：被除数是1999，除数是59。

1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

2、 有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重

挑战自我 7

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数字问题

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在数学问题中有一类被称作“数字问题”的题目，与同学们在书本上学到的一些数学问题相比，似乎“不太规则”，有的数学课外参考书称它为“杂类问题”。解答这类题目要求同学们要认真审题，悉心研究题意，关键是做到合理分类，这样才能正确解题。

例： 在1～1999内，是3的倍数，不是5的倍数的数一共有多少个？为什么？

[分析与解]这道题要求3的倍数有多少个，但有两个条件限制：（1）规定在1～1999内；（2）只是3的倍数，但不是5的倍数。比如：3×5=15，15是3的倍数，但它同时又是5的倍数，不符合题目要求，所以在1999内，15以及15的倍数都不能算进去。这样在1～1999内就把3的倍数分为两类：一类是3的所有倍数；一类是15以及15的倍数。然后从3的所有倍数的个数中减去15以及15的倍数的个数，即为题目所求的问题。有三种解法：

解法（一） 在1～1999内3的倍数共有：1999÷3=666??1。余1，不到3的1倍，可以不考虑。在1～1999内15的倍数共有：1999÷15=133??4。余4，不到15的1倍，也不考虑。两者相减，便是所求的问题：666-133=533（个）。 解法（二） 在1～1999内3的倍数共有666个，那么，666中又包含多少个5的倍数呢？666÷5=133??1。余1，比5小，可以不考虑。两者相减，便是所求的问题：666-133=533（个）。

解法（三） 把数字分段来考虑：比如在1～30中，3的倍数有10个，但要去掉同时能被3、5整除的数2个，还剩10-2=8（个）。1999÷30=66??19。余数19，19÷3=6??1。余数1比3小，不考虑，但要注意，在最后的6个3的倍数中，有一个是5的倍数（1995），应去掉。每段8个，共有：8×66+（6-1）=533（个）。

例： 43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片。问所买的3分画片的总数是多少张？ [分析与解]先来分析一下题目的要求：

（1）从8分到5角就是以“分”为单位，从8到50的43个连续自然数，这正好与43个同学一一对应。 （2）每个同学都把身上带的全部钱各自买画片，就是每人都不许有余钱。 （3）每人既要把钱花光，又要尽量多买5分一张的画片。

我们把钱数是5的倍数（0、15、20、25、30、35、40、45、50）的九个人分为一类。他们不能买3分一张的画片。 钱数被5除余3分（8、13、18、23、28、33、38、43、48）的九个人分为另一类。他们可以买1张3分的画片，9人共买9张。

钱数被5除余1分（11、16、21、26、31、36、41、46）的八个人分为第三类。因为他们身上所余的钱数不是3的倍数，只好退下一个5分与余数1分合成6分，这样每人可以买2张3分画片，8人共买：2×8=16（张）。

用同样的方法，把钱数被5除余2分的8个人再分为一类，每人可买3分画片4张，共买：4×8=32（张）。 把钱数被5除余4分的9个人也分为一类，他们每人可买3分画片3张，共买：3×9=27（张）。 因此，他们所买3分画片的总数共是： 9+16+32+27=84（张）。

数学名言

希尔伯特说：“当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。”

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年龄问题

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我们每个人都有年龄，也常常要根据所学的知识解决有关年龄的问题。你能从变化多样的条件中寻求解决的途径吗？让我们从最简单的开始，将常见的年龄问题整理解答出来。

例： 今年许鹏比爸爸小30岁。4年后爸爸的年龄是许鹏的3倍。问许鹏和爸爸今年各多少岁？

4年后爸爸的年龄是许鹏的3倍，即爸爸的年龄比许鹏大2倍（3－1＝2倍），刚好是他们年龄的差（30岁）。所以4年后许鹏的年龄应该是：30÷（3－l）＝15（岁）；今年许鹏的年龄是：15－4＝11（岁）；今年爸爸的年龄是：11＋30＝41（岁）。

例： 一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁。

想想看，今年每人的年龄是多大？

今年全家四口人年龄之和是100岁，那么十年前全家人口年龄之和应该减少10×4＝40岁；但100－65＝35，说明十年前还没有弟弟。这个差数5，正是弟弟的年龄，从100中减去姐姐和弟弟年龄就是父母年龄和。由此可知，弟弟今年：10×4－（100－65）＝5（岁）；

姐姐今年：5＋8＝13（岁）；父亲今年：（100－5－13＋2）÷2＝42（岁）；母亲今年；42－2＝40（岁）。

例： 一天宋老师对小芳说：“我像你那么大时，你才1岁。”小芳说：“我长到您这么大时，您已经43岁了。”问他们

现在各有多少岁？

小芳从1岁到她现在年龄，从她现在年龄到宋老师现在年龄，和宋老师从现在年龄到43岁，这中间的间隔是相等的，正好都等于他们俩人的年龄差，所以宋老师与小芳的年龄差是（43－1）÷3＝14（岁）。可知小芳现在年龄为：1＋14＝15（岁），宋老师现在年龄为：15＋14＝29（岁）。

例：当问某人的年龄时，他说：“我后天22岁，可去年过元旦时，我还不到20岁。”这样的事可能吗？

这是可能的。这个人的生日是元月2日。他说话时是今年12月31日。这样一来。他去年元旦时是19岁，1月2日20岁，今年元月1日还是20岁，元月2日21岁，明年元月2日就是22岁了。

挑战自我

1、有一家祖孙三人正好同一天生日。这一天他们的年龄加起来正好100周岁。又知道祖父的岁数正好等于孙子过的月数，父亲过的星期数恰好等于他儿子过的天数。请你算一算祖孙三人各有多少岁？ 2、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？

3、妈妈今年的年龄是小红的4倍，3年前妈妈和小红的年龄和是39岁。妈妈和小红今年各几岁？ 4、今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍，二人今年各几岁？

方法点睛：

解答年龄问题，要灵活运用一下三个规律：1.无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的。2.随着时间的向前或向后推移，

几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。3.随着时间的变化，两人年龄之间的倍数关系也会发生变化。

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灵活、合理地应用乘法的结合律、交换律、分配律在四则运算中进行简便计算，是我们小学生必须掌握的基本技能。做到这一点，既能提高运算速度，还能提高运算的准确性。 例1 简算9999×9999。

例2 72×108+108×46-（118×142-118×134） 例3 73×64+27×65 例4 用简便方法计算： 125×24

例5 不要算出结果，比较下面两个积的大小。 A=987654321×123456789 B=987654322×123456788 1．用简便方法计算 （1）51×391÷17 （2）45×204-45×4

（3）1111111111×9999999999 （4）（125×74+125×26）×8

2．胜利村共有村民2308人，1992年1月至6月人均收入为804元，人均存款是189元，求该村平均每月总收入及半年存款数

2．想一想，在括号内填上合适的数。 （1） 12345679×9=111111111 12345679×18=（ ） 12345679×（ ）=444444444 12345679×（ ）=555555555 （2） 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=（ ） 11111×11111=（ ）

3．（1）观察下面二道算式的因数有什么特点？计算方法是怎样的？ ①76×74=56 24 ②39×31=1209

（2）根据上面的计算方法直接写出下面各题的得数。 43×47= 84×86=

巧算

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数学名言

高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登”

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