高等数学练习册第八章
更新时间:2023-08-11 13:29:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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同济版高等数学期末复习
第八章 多元函数微分法及其应用
§8.1多元函数的基本概念
一. 基本作业题
1. 求下列函数的定义域:
(1)z ln(y2 4x 8); (2)z
1
arcsin2 x y
2
2
。
解:定义域为 解:定义域为
y2 4x 8 0即y2 4x 8。 0 2 x2 y2 1即1 x2 y2 2。
2. 求下列极限
1 xy 1ln(x ey)(1)lim ; (2)lim;
4x 1x 0xyx yy 0y 0
解: 解:
1 xy 1
lix 0xyy 0
xy1 li x 0
xy 1)2y 0xy(1
1x
lim
x 2y 0
ln(x ey)x y4
ln32
limln(x ey)
x 2y 0
limx y4
x 2y 0
(3)lim(1 xy) ; (4)lim
x 0y 0
x 0y 0
sin(x2 y2)(x y)e
2
2
x2 y2
。
解: 解:
lim(1 xy)
x 0y 0
1x
lim
1xy
sin(x2 y2)(x2 y2)ex
2
2
y
x 0y 0
y22
lim[(1 xy)] e 1
x 0y 0
lim
sin(x y)1
lim 122
x 0(x2 y2)x 0x yy 0y 0e
x2y
3. 证明极限lim4 不存在。
x 0x y4y 0
x2yky21
lim 证明:取路径x ky趋于(0,0),则:lim4
x 0x y4x 0k2y2 y4ky 0y 0
2
极限值随k变化,故极限不存在。
§8.2 偏导数
同济版高等数学期末复习
一.基本作业题 1.求下列函数的偏导数
z z,。 x y
(1)z x3y x2y3 ; (2)z sin(xy);
z z zycos(xy) zxcos(xy)
, 3x2y 2xy3; x3 3x2y2
x y x2xy) y2xy)y
(3)z lncot ; (4)z arctaney;
x
x
zyyy 2tancsc2 xxxx z
;
x
11 e
2xy
1 z ;e y y
xy
11 e
2xy
e
xy
x y2
z1yy tancsc2 yxxx
(5) f(x,y) x y
x2 y2,求fx(3,4)。
fx(x,y) 1 fx(3,4) 1
2.求二阶偏导数
xx2 y2
39 16
25
(1)z x xy xy y; (2)z sin(ax by)。
32232
2z
6x 2y; x2 2z 2x 2y
x y
2z
2x 6y2
y
一.基本作业题
1.求下列函数全微分 (1)z arcsin
2z
2a2cos2(ax by)2
x 2z
2abcos2(ax by)
x y
2z
2b2cos2(ax by)2
y
§8.3 全微分及其应用
x2
; (2)z xy; y
dz 2xydx xdy
2
dz
ydx xdyyy2 x2
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(3)求函数z ln(2x y3)在点(1,2)的全微分。
dz
(1,2)
1
5
(dx 6dy) 二.
§8.4多元复合函数的求导法则
一.基本作业题 1.设z x2 y2,x sint,y cost,求
dzdt
。 解:
dz zdxx
dxydy
dt zdy xdt ydt
x2 y2dt
x2 y
2dt sintcost cost( sint) 0 2.设z e
2x y
,x cost,y t3,求
dz
dt
。 解:
dz zdx zdy 2e2x y( sint) 3t2e2x ydt xdt ydt
e2cost t3
( 2sint 3t2) 3.设z xey
,y cosx,求
dzdx
。 解:
dzdx z x z y
( sinx) ey xey( sinx) 4.设z x2
y xy2
,x ucosv,y usinv,求
z u, z v
。 解:
z z x u x u z y y u
(2xy y2)cosv (x2 2xy)sinv 3u2
sinvcosv(cosv sinv)
z v z x x v z y y v (2xy y2)u( sinv) (x2 2xy)ucovs
2u3sinvcovs(sivn covs) u3(si3nv co3sv)
5.设z x
,x u v,y u v z zy,求
u, v
。
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z z x z y u x u y u
解:111x
( 2)xyxy1 ()21 ()2
yy
y x
x2 y2
111x
( 2)( 1)xyxy1 ()21 ()2
yy
z z x z y
v x v y v
y xx2 y2
2
2
xy
6.设z f(x y,a)(f z z,。 x y
解:
z
f1 (2x) f2 (axyylna) x
z
f1 ( 2y) f2 (axyxlna) y
2z 2z
7.设z f(x,xy)(f具有二阶连续偏导数)。 ,求2,
y xy
2 z z xf2 x) x2f22 解: y x(f222
y
2z
f22 y) f2 x(f21
y x
§8.5 隐函数的求导公式
一.基本作业题
1.设方程确定隐函数y y(x),求
dy。 dx
xy2
(1) xy lny 0; (2)cosy e xy 0。
解:方程两边对x求导有: 解:方程两边对x求导有:
y x
dy1dy 0dxydx
2
y ( siny) exy(xy y) y2 x2yy 0
dyy
dx1 xy
dyy2 yexy
dx siny xexy 2xy
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2.设方程确定隐函数z z(x,y),求
z x,z y
。 (1)2z 3y z2 x3 y2 0 ;
解:方程两边对x求偏导有: 方程两边对y求偏导有:
2
z z z x 2z z x
3x2 0
2 y 3 2z y 2y 0 z2
z 3 2y x
3x
2 2z
y 2 2z(2)ez lnxyz 0。
x
z解:方程两边对x求导有:e
z
z
y(z)
x
xyz 0 zz x x( 1 zez)
z y z
y( 1 zez
)
3.求由方程组所确定的函数的导数或偏导数 (1)
3x 2y z 0
x2 y3 z2
2求dxdz,dydz
; 解:方程组两边同时对z求导得:
3dx
2dy 1 0 dzdz
dx 4z 3y2dy2x 6z dxdydz4x 9y2;dz 4x 9y2
2xdz
3y2dz 2z 0(2) x eu
usinv cosv求 u v
x, y
。 y eu
u解:方程组两边同时对x求偏导,得:
u u v (e sinv) ucosv 1
x x
usinv x eu(sin
(eu cosv) u usinv vv cosv) 1 x x 0
同理,方程组两边同时对y求偏导,得: v y sinv euu[eu
(sinv cosv) 1]
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§8.6 多元函数微分学的几何应用
一.基本作业题 1.求曲线x t1 t,y 1 tt
,z t2在t 1处的切线及法平面方程。 解:
在t 1,(x,y,z) (12,2,1), {x (1),y (1),z (1)}, 1
4
, 1,2}
x
1
切线方程: y 2 z 1 1 12
4
法平面方程14(x 1
2
) (y 2) 2(z 1) 0
即
2x 8y 16z 1
2.求曲线x t,y t2,z t3平行于平面x 2y z 4的切线方程。 解: {x (t),y (t),z (t)}, {1,2t,3t2}
由已知得
1,2t,3t
2
1,2,1 0
1 4t 3t2 0 t 1,t 1
3
故所求切线为x 1yx 1y 1z
11 1 2 z 13及
1
2133
3.求曲线 2x2 3y2 z2
9
在点M 3x2
y2 z2
0
0(1, 1,2)处的切线与法平面方程。解:方程组对x求导有:
2x 3y
dydx zdzdx 03x ydydzdx zdx
0解得
dydx 5xdz7x
4y;dx 4z
在点(1, 1,2)有 {8,10,7} x 1y 1z 2
8 10
7
法平面方程为:8(x 1) 10(y 1) 7(z 2) 0
4.求曲面x2
2y2
3z2
21平行于平面x 4y 6z 0的切平面方程。5.求曲面ez z xy 3在点(2,1,0)处的切平面及法平面方程。
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§8.7 方向导数与梯度
一.基本作业题 1. 求函数
z 2x2 3y2在点P(1,2)处沿从点P(1,2)到点Q(2,2 )的方向的方向导数。
解: {1,} cos 1/2,
cos 3/2,
z
4x 1/2 6y 3/2 l
z l
(1,2)
4 1/2 12 3/2 2 6
2. 对函数u xy3 z2 xyz.
(1) 求u xy3 z2 xyz在点P(5,1,2)处沿从点P(5,1,2)到点Q(9,4,14)的方向
的方向导数
(2) 求gradu(5,1,2)
(3) 问此函数在点P(1, 1,2)处沿什么方向的方向导数最大?并求此方向导数的最大值。 解:(1)
{4,3,12} cos 4/13,cos 3/13,cos 12/13
u
4/13 (y3 yz) 3/13 (3xy2 xz) 12/13 (2z xy) l u1 (5,1,2)
l13
(2) gradu(5,1,2)
u
x
(5,1,2)i
u y
(5,1,2)
j
u z
(5,1,2)
k i 5j k
(3) 此函数在点p(1, 1,2)处沿其梯度方向的方向导数最大。
gradu(1, 1,2)
max
u x
(1, 1,2)i
u y
(1, 1,2)
j
u z
(1, 1,2)
k i j 5k
u l
(1, 1,2)
gradu(1, 1,2) 27
§8.8 多元函数的极值及其求法
同济版高等数学期末复习
一.基本作业题
(1) 求函数f(x,y) 6(x y) x2 y2的极值。 解:解方程组
f
6 2x 0 2f(3,3) 2f(3,3) 2f(3,3) x
,得驻点(3,3), 2 2 0 f22
xy x y 6 2y 0
y
4 0,A 2 0 故在点(3,3)取得极大值18。
(2) 求点(2,8)到抛物线y2 4x的最短距离。
解:点(2,8)到抛物线距离,就是此点到抛物线上各点(x,y)的距离之最短者,即求函数
d (x 2)2 (y 8)2在条件y2 4x 0下的条件极值。
即d2 (x 2)2 (y 8)2在条件y2 4x 0下求极值。 令L(x,y, ) (x 2)2 (y 8)2 (y2 4x)
Lx 2(x 2) 4 0
x 4
解方程组 Ly 2(y 8) 2 y 0得: 由实际意义d 25
y 4 2
L y 4x 0
(3) 求函数f(x,y) sinx siny cos(x y)的极值(0 x ,0 y )。
44
解:
f
cosx sin(x y) 0 (1) x
,两式相减得cosx cosy x y,x y( 0 x,y ,舍去) f
4 cosy sin(x y) 0 (2)
y
将x y代入(1)式,注意到0 x 13A 1,B ,C 1, 0
24
函数在驻点取得极大值f(
,得驻点(,),466
3
,) 662
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