2+1维KdV方程与Hirota-Satsuma方程的新解

第17卷第2期2004年6月

宁波大学学报(理工版)

JOURNALOFNINGBOUNIVERSITY(NSEE)

Vol.17No.2June2004

文章编号:100125132(2004)0220125205

2+1维KdV方程与Hirota2Satsuma方程的新解

李慧军,阮航宇

(宁波大学理学院,浙江宁波315211)

摘要:对范恩贵教授提出的新代数法与楼森岳教授提出的形式分离变量法进行了比较,发现新代数法只是形式分离变量法的一种特殊情况.将新代数法与形式分离变量法相结合,应用到(2+1)维KdV方程和Hirota2Satsuma方程中,得到了一些新解,如钟型孤波解、扭结型孤波解、Jacobi椭圆函

数解、Weierstrass椭圆函数解、三角函数解.关键词:Ricatti方程;　形式分离变量法;　孤波解中图分类号:O230;O340　　　　　文献标识码:A

TheNewSolutionsof2+1DimensionalKdVEquationandHirota2SatsumaEquation

LIHui2jun,RUANHang2yu

(FacultyofScience,NingboUniversity,Ningbo315211,China)

Abstract:Thenewalgebraicmethod(NAM)andtheformalvariableapproach(FVSA)iscompared.ItisfoundthattheNAMisonlyaspecialexampleoftheFVSA.ThecombiningmethodofNAMandFVSAareusedtosolve2+1dimensionalKdVequationandtheHirota2Satsumaequation.Somenewsolutionsareobtained,suchasthebellshapedsolitarywavesolutions,thekinkshapedsolitarywavesolutions,Jacobiellipticfunctionsolu2tions,Weierstrassellipticfunctionsolutions,thetriangularfunctions.

Keywords:Ricattiequations;theformalvarialbleseparationapproach;thesolitarywavesolutionsCLCnumber:O230;O340　　　　Documentcode:A

随着非线性科学的飞速发展,凝聚态物理[1,2],光学[3],生物学[4],化学,等离子体物理[5]等众多领域中的一些非线性现象可以通过非线性方程来描述.因此,非线性方程的求解成为非线性科学的核心问题之一,尤其是求解这些方程的孤波解.众所周知,寻找非线性偏微分方程的解有许多可行的方法,最重要的一些方法是反散射变换法,双线性方法,Backlund变换和Darboux变换法[6～11].最近,又建立了2种变量分离法:一种变量分离法[12]是通过解

双线性形式,引入一个多项式,得到方程的各种形式的解;另一种方法是形式分离变量法[13],在这种方法中,约化场的独立变量没有被分离出来,且其过程较为复杂,技巧性较强,但此法在解不可积的非线性模型方面有较为普遍的实用性.

本文在介绍范教授提出的新代数法[14]与楼教授提出的形式分离变量法[13]的过程中意外地发现新代数法是形式分离变量法的特例.但是,我们将新代数法的思想应用到形式分离变量法中,去解文献

　收稿日期:2003-10-21.　基金项目“:油气藏地质及开发工程”国家重点实验室开放基金(PLN0402)和宁波市博士基金(2003A61018)资助.　第一作者简介:李慧军(1980-),男,汉族,山西忻州人,在读硕士研究生.

126

宁波大学学报(理工版)　　　　2004

[15,16]中的2个方程时,却得到了一些新的解.在

文献[15,16]中,作者运用形式分离变量法给出了(2+1)维KdV方程的二个孤子解,Hirota2Satsuma方程的钟型孤波解,扭结型孤波解,椭圆函数解;而在本文中,对(2+1)维KdV方程,我们发现了它的一些新解,有钟型孤波解,扭结型孤波解,Jacobi椭圆函数解,Weierstrass椭圆函数解,三角函数解等,对Hirota-Satsuma方程,我们不仅得到了文献[15,16]中的一些类型的解,还发现了一些新解.虽然2

新的代数法:(其实是改进后的tanh函数法的引申)[14]

首先找方程(1)的行波解,作变换u(x,t)=),ξ=x+ct,将偏微分方程化为常微分方程;U(ξ

然后引入一新的变量ψ,它满足下面的方程:ψ(5)′=:0+c1ψ+c2ψ2+c3ψ3+c4ψ4,

方程(5)的解如文献[14].我们假设方程(1)的解具

ni

)=∑有级数展开的形式,u(x,t)=U(ξ,将i=1aψi

其代入经行波变换后的方程,平衡非线性项与最高阶导数项,确定n的大小,然后把U与ψ′代入方程,设ψ及ψ0+c1ψ+c2ψ2+c3ψ3+c4ψ4的各次

),得项系数为0,确定待定系数.最后将其代入U(ξ

到方程(1)的解.从上面2种方法我们可以看到,若在形式分离变量法中取p=1,那么其中的ω与c是等价的.若取K1=ψ′,我们就可以在形式分离变量法中用Ricatti方程的性质来讨论方程的解.由此,我们可以看出新的代数法只是形式分离变量法中的一种特殊情况.

在下面我们将对几个例子进行讨论,说明与新代数法相结合的形式分离变量法的实用性.

种方法结合后的形式分离变量法取的是更一般的情况,但在Maple的帮助下,求解过程几乎不需要经过繁复的运算,就可以得出结果;还有此法的实用性较好.

在本文中我们介绍了新代数法与形式分离变量法的联系,并将新代数法与形式分离变量法结合后的方法分别应用到(2+1)维KdV方程和Hirota2Satsuma方程中,寻找精确解.

1　一般理论

形式分离变量法[13]:

对于一个给定的(n+1)维N阶非线性物理方程

F(x0=t,x1,x2,…,xn,uxi,uxixj,…,uxi

1

2　2+1维KdV方程的孤波解

一般的2+1维不可积的KdV模型[15]

ut+uxxx-avxu-bvux=0,

ux=vy,

(6)(7)(8)(9)

xi…xi

j

)≡

N

F(u)=0,(1)

式中u≡(u1,u2,…,uM)T,F≡(F1,F2,…,FM)T是列矩阵,F(u)为u及其关于xi的各阶导数的多项式.我们可以引入一组形式变量方程

ψxi=Ki,i=0,1,2,…,n,

Kip)

T

在(2)式中取p=1,则形式分离变量方程为:

ψx=K1,ψy=K2,ψt=K3,

(8)式满足相容性条件的最简单的解为:

K2=ω1K1,K3=ω2K1,

(2)

式中ψ≡(ψ1,ψ2,…,ψp)T,Ki≡(Ki1,Ki2,…,

是列矩阵函数,且Ki=Ki(ψ)是ψ的函数,ψ=ψ(xi)是xi的函数.(2)式的相容性条件ψxixj=

式中ω1,ω2是常数.将(4),(8),(9)式及V=V(ψ)代入方程(6),(7),如果函数K1,U,V满足下列常微分方程组:

2′2

ω2K1U′+K3+K1K′-1U +3K1K1U″1U′　　　aK1UV′-bK1VU′=0,K1U′=ω1K1V′,

(10)(11)

ψxjxi要求矩阵函数Ki是互相可交换的.

[Ki,Kj]≡KiKj-KjKi[Ki(ψ+:Kj)-9:

(3)　　Kj(ψ+:Ki)]|:=0=0.

′

′

最后,假设(1)式的解

),u=U(ψ

(1)式决定.

(4)

则u=U(ψ),v=V(ψ)是方程组的解.在实际应用

中,只要K1确定,通过解方程(10),(11)就可以得到方程(6),(7)的解.

在这儿,我们取

K1=:

=0

使u与ψ联系起来,函数Ki和U由(3),(4)式代入

l

∑cψ,U=∑aψ,V=∑bψ,(12)ijl

j=0

l=0

R

i

n

j

m

式中:=±1,将上式代入(10),(11)式,平衡非线性

项与色散项,得到R=n+2,n=m.

我们取n=2,R=4,将(12)式代入(10),(11)式,用Maple得到下列代数方程组:

-2ab2a2-2bb2a2+24a2c4=0,15a2c3-ab1a2-2ab2a1-2bb1a2+

6a1c4-bb2a1=0,

-bb1a1+3a1c3+8a2c2-2ab2a0+2ω2a2-ab1a1-2bb0a2=0,

(15)(16)(13)(14)

(3)(c4>0,c2<0)

22

u3=a0-sn(2

(a+b)(m+1)2

v3=b0-sn2(2

(a+b)(m+1)

c0=

22

2

2.

2

--

2

m+1m2+1

),

),

(23)

c4(m+1)

(4)扭结型孤波解:(c0=,c2<0,c4>0)

4c4u4=a0-v4=b0-

-ab1a0+a1c2+ω2a1-bb0a1+3a2c1=0,2a2-2ω1b2=0,

a1-ω1b1=0.

(17)(18)

ωtanh2(a+btanh2(a+b

-

-

2

ξ),ξ).

(24)

2

利用Maple,我们得到上面的方程有2组解:(ω1≠

0,ω2≠0)

a1=b1=c1=c3=0,ω2=-4c2+

2(5)三角函数解:(c0=,c2>0,c4>0)

4c4u5=a0+v5=b0+

ω1+bb0,

(19)

2

tan(a+btan2(a+b

2

),ξ).

(25)

ωa2=,b2=,

a+ba+b

其中a0,b0,c0,c2,c4,ω1是任意常数.

ω()

a2=b2=c4=0,a0=,

a

a1=

2

(6)钟型孤波解:(c0=0,c2>0,c4<0)ω),sech2(c2ξ

a+b).v6=b0-sech2(c2ξ

a+b

(7)三角函数解:(c0=0,c2<0,c4>0)

u6=a0-

ωcc,b1=,a+ba+b

(20)

(26)

其中b0,c0,c1,c2,c3,ω1,ω2是任意常数.

根据文献[14]与式(19)和(20),我们可得到下面的解:

第一种情况:(利用(19)式)

(1)Jacobi椭圆函数表示的双周期解:(c4<0,

c2>0)

u1=a0-

2

),sec(-c2ξ

a+b).v7=b0-sec2(-c2ξ

a+b

(8)普通解:(c0=0,c2=0,c4>0)

u7=a0-

(27)

ωcn2(2

(a+b)(2m-1)

2

),

m2-1cω2,v8=b0+2).a+bξa+bξ

第二种情况:(利用(20)式)

u8=a0+

(9)钟型孤波解:(c0=c1=0,c2>0)u9=

(28)

12cm2

v1=b0-cn2(2

(a+b)(2m-1)

2

(2)2c0=22.

c4(2m-1)(2)(c4<0,c2>0)

ω22

u2=a0-2dn((a+b)(2-m)22

v2=b0-2dn((a+b)(2-m)

(2)2c0=22.

c4(m-2)

m2-1

),

(21)

ω()

a

-

),sech2(

a+b2

(29)

-m2

),

cc).sech2(

a+b2

(10)三角函数解:(c0=c1=0,c2<0)

v9=b0-u10=

ω(ω)

a

ξ),

-m2

(22)

-

ωsec2(a+b

),2

(30)

).sec2(

a+b2

(11)普通解:(c0=c1=c2=0)

v10=b0-

u11=

ω(ω)

a

+

ω2,a+bξ

(1)钟型孤波解:(c0=c1=0,c2>0)u1=-cω

(31)2.a+bξ

(12)Weierstrass椭圆函数解:(c0=c1=c2=0,

v11=b0+c3>0)

u12=

6

+

c2

sech2(

c),2

(37)

v1=b0.

(2)三角函数解:(c0=c1=0,c2<0)u2=-ω

ω(ω)

aω(,g2,g3),+

a+b2

6

+

2

sec2(

),2

(38)

(,g2,g3).(32)a+b2

在上面的解中,ξ=x+ω1y+ω2t,且解的具体

v12=b0+

v2=b0.

(3)普通解:(c0=c1=c2=0)u3=-

形式由方程(6),(7)中的系数确定.这样,就得到了方程(6),(7)的丰富的解.与文献[5]中的二孤波解相比,我们不仅得到了更加丰富的孤波解,而且这种方法应用起来比较方便.

ω-2,6ξ

(39)

v3=b0.

(4)Weierstrass椭圆函数解:(c2=0,c3>0)

u4=-ω,g2,g3),-(

622

(40)

3　一般Hirota2Satsuma方程的

v4=b0,

孤波解

首先给出Hirota2Satsuma方程

vt+3auvx+avxxx=0,

[16]

式中g2=-:

c3

,g3=-

c3

.

第二种情况:(36)式

(5)钟型孤波解:(c0=c1=0,c2>0)

ut+6auux-6vvx+auxxx=0,

对上面的方程组作

t→at,vav,

能得到一个更简洁的形式:

ut+6uux-6vvx+uxxx=0,vt+3uvx+vxxx=0.(33),(34)的2组解:(ω≠0)

a2=b1=b2=c4=0,a1=-c(33)(34)

ω+c),+c2sech2(

32(ω)).v5=-+sech2(

6z2

(6)三角函数解:(c0=c1=0,c2<0)

u5=-u6=-

(41)

类似于上面的讨论,我们可得到代数方程组

cω

2

,a0=-

6

,

(35)

式中b0,b2,c0,c1,c2,c3,ω是任意的常数,

a2=b2=c4=0,a0=-b0=-

ω+c,a1=-c3,3

ω+c),+c2sec2(

32(ω)2).(42)v6=-+sec(

6z2

(7)普通解:(c0=c1=c2=0)

u7=--2,3ξ(43)v7=--2.6ξz

(8)Weierstrass椭圆函数解:(c2=0,c3>0)

u8=-v8=-,g2,g3),-c3γ(

32

(44)

ω+c(36),b1=-,

3zz

式中b2,c0,c1,c2,c3,ω是任意常数,z是方程z2-2=0的根.

,g2,g3),-(

6z2

上式中g2=-,g3=-.

c3

c3

根据文献[14]与式(35),(36)我们可得到方程组(33),(34)的解为:

第一种情况:(35)式

其中ξ=x+ωt.我们得到了3种类型的解:椭圆型函数解,三角型函数解,钟型孤波解,这样,与文献[16]中的解相比,我们得到了一些新解.

[6]　GardnerCS,GreenJM,KruskalMD.Scalinglaw

4　结论与讨论

从上面的讨论我们已经知道:首先,在文献[14]中所提的新代数法是形式分离变量法的特例;其次,

将新代数法的思想应用到形式分离变量法中,能得到在原来的形式分离变量法中得不到的解;再次,2种方法结合后,在Maple的帮助下几乎不需要经过手算就可以得到各种孤波解;最后,此法的实用性较广.参考文献:

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(责任编辑　史小丽)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a53m.html