2012届高三高考考前回归课本数学复习（文科）

山西省太原市实验中学2011届高三高考考前回归课本数学（文）

第一节 集合与逻辑

1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

如：已知集合A?{x,xy,lg(xy)}，B{0,|x|,y}，且A?B，则x? y? ；（答：

x??1,y??1）

2．区分集合中元素的形式

如?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；?(x,y)|y?lgx?—图象上的点集；

2如：（1）设集合M?{x|y?x?3}，集合N＝y|y?x?1,x?M，则

??M?N?__ ；

????（2）设集合M?{a|a?(1,2)??(3,4),??R}，N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}， 则M?N?_ __ ；（答：[1,??),{(?2,?2)}） A?B?{x|x?A且x?B}；A?B?{x|x?A或x?B}；euA?{x|x?U,x?B}

3．集合的交、并、补运算

A?B?A?A?B?B?A?B?痧UB?痧U(A?B)?UUA?A?痧UB???UA?B??

A? UB;

如：已知A?{x|ax2?2x?1?0}，如果A?R???，则a的取值范围是 （答

a?0）

4．原命题：p?q；逆命题: q?p；否命题：?p??q；逆否命题：?q??p； 互为逆否的两个命题是等价的；

5．若p?q且q?p则p是q的充分非必要条件，或q是p的必要非充分条件；

从命题的角度判断条件的充要性，应先把题目写成命题的形式，并对条件和结论进行简化，然后按充要条件的定义直接判定，由于充分条件和必要条件是相对的，因此在判定时要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的

充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）”，是两种不同形式的问题.

如： \??sin?\是\???\的 条件；（答：充分不必要条件） 6．注意命题p?q的否定与它的否命题的区别:

命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q

命题“p或q”的否定是“?p且?q”，“p且q”的否定是“?p或?q”；

如： “若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是 它的否定是 （答：否命题：“若a和b都是偶数，则a?b是奇数”，否定：“若a和b不都是偶数，则a?b是奇数”）

7．全称命题“?x?M,p(x)”的否定是“?x0?M,?p(x0)”，即全称命题的否定是特称命题．

特称命题“?x0?M,p(x0)”的否定是“?x?M,?p(x)”， 即特称命题的否定是全称命题．

遇到“且”命题否定时变为“或”命题，遇到“或”命题否定时变为“且”命题．

第二节 函数与导数

8．指数式、对数式

a0?1，， lg2?lg5?1，loga1?0，logaa?1，logex?lnx，?1man1log8()2的值为________如：ab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，alogaN?N；

21（答：）

64a?a，anmmn?mn9．基本初等函数类型 （1）一次函数y?ax?b （2）二次函数

①三种形式：一般式y?ax2?bx?c；顶点式y?a(x?h)2?k；零点式

y?a(x?x1)(x?x2)

②区间最值：配方后一看开口方向，二讨论对称轴与区间的相对位置关系；

2二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??b处及区2a间的两端点处取得，具体如下：

如：若函数y?2）

③根的分布：画图，研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号；或采用零点存在定理研究

12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝ （答：2cc(x?0)平移?y?a?(对称中心为(b,a)，两条渐近线) xx?ba（4）对勾函数：y?x?是奇函数。

x（3）反比例函数:y?当a?0时，在(0,a]，[?a,0)递减(a,??),(??,?a)递增；此时函数图象像两个对勾故名

对勾函数 当a?0时，函数为区间(0,??),(??,0)上的增函数；函数不属于对勾函数

10．零点存在定理： f(x)的图象在闭区间[m,n]内是连续不断的曲线且f(m)f(n)?0，则f(x)在区间(m,n)内至少有一个零点，即方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根。

注意：若f(m)f(n)?0成立，则在(m,n)内必有零点；

反之在(m,n)内有零点，则f(m)f(n)?0不一定成立。 ．．．．．

11．反函数：指数函数与同底的对数函数互为反函数，两个函数的图象关于直线y=x对称,

如：y?2x与y?log2x互为反函数且y?2x图象上有点（3,8），而y?log2x图象上有点（8,3）

12．函数的单调性

①定义法 设x1,x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2②导数法；

注意：f?(x)?0?f(x)为增函数；f(x)为增函数?f?(x)?0。

如f(x)?x3在(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

③复合函数由同增异减的判定法则来判定；

如（1）已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，则实数m的取值范围为 要注意定义域 ．．．．．

（2）已知函数f(x)?x?ax在[1,??)上是增函数，则a的取值范围是_ ___（答：

3（答：?12?m?） 23(??,3]）

（3）如函数y?log1?x2?2x的单调递增区间是________（答：(1,2)） 千万注．．．

2??意定义域 ．．．．

提醒：已知分段函数

f(x)是定义域上的增函数，则除需保证每段上是增函数外，还需考虑前一段的

右端点的函数值不大于与它相邻的后一段的左端点的函数值

13．函数的奇偶性

①f(x)是偶函数?f(?x)?f(x)?f(|x|)； f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)

定义域含0的奇函数满足f(0)?0；

定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件； ②多项式函数P(x)?anx?an?1xnn?1???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 14．周期性

（1）类比“三角函数图像”得：

①若图像有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则f(x)必是周期函数，且T?2|a?b|

②若f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a?b)，则f(x)是周期函数，且

T?2|a?b|；

③如果函数f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)则函数f(x)必是周期函数，且一周期为T?4|a?b|；

如定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上至少有______个实数根（答：5个）

（2）由周期函数定义“函数f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周期函数，得：

①函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；

1(a?0)成立，则T?2a； f(x)1③若f(x?a)??(a?0)恒成立，则T?2a.

f(x)④若f(x)?f(x?a)?m(a?0)恒成立，则T?2a.

②若f(x?a)?如①设f(x)是R上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则

f(47.5)等于_____（答：?0.5）

②定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若?,?是锐角三角形的两个内角，则f(sin?),f(cos?)的大小关系为_________（答：

f(sin?)?f(cos?)）

15．常见的图象变换

?函数y?f?x?a?的图象 （1）函数y?f?x?的图象???????向右平移a个单位(a?0)向左平移a个单位(a?0)向上平移a个单位(a?0)?函数y?f?x?+a的图象 （2）函数y?f?x?助图象???????向下平移a个单位(a?0)（3）函数y?f?x?的图象??????????函数y?f?ax?(a?0)的图象

所有点纵坐标变为原来的a倍(a?0)（4）函数y?f?x?的图象???????????函数y?af?x?(a?0)的图象 横坐标不变1所有点横坐标变为原来的(a?0)a纵坐标不变如：①要得到y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到（答：y，右）

②若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______（答：

1x??）

2③函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个（答：２个） ④将函数y?f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____（答：f(3x?6)） 【注意】函数图象的变换要特别注意与《选修4-4》中坐标变换的区别和联系 16．函数的对称性

13

（1）若?称 （2）若?（3）函数

函数函数

x?R，f?a?x??f?a?x?或f(2a?x)?f(x)，则f(x)图象关于直线x?a对

x?R，f(a?x)??f(a?x)或f(2a?x)??f(x)，则f(x)图象关于原点对称

y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0对称；

注意区分：是两个函数图象之间的对称y?f(x)与函数y??f(x)的图象关于直线y?0对称； y?f(x)与函数y??f(?x)的图象关于坐标原点对称.

问题与一个函数图象自身的对称问题 如①已知二次函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等根，则f(x)＝___ _（答：?②已知函数f(x)?对称图形。

（4）奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.

12x?x） 2x?1?a(a?R)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,?1)成中心

a?x若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.

如：若函数y?f(x)是定义在区间[?3,3]上的偶函数，且在[?3,0]上单调递增，若实数a满足：f(2a?1)?f(a2)，求a的取值范围.

分析：因为y?f(x)是偶函数，f(2a?1)?f(a2)等价于不等式f(|2a?1|)?f(a2)，又此函数在[?3,0]上递增，则在[0,3]递减.所以3?|2a?1|?a2，解得?1?a??1?2.

（5）

x轴上方的图象不变y?f(x)图象?????????????y=|f(x)|的图象 再将x轴下方的图象对称的翻折到x轴的上方y轴右侧的图象不变?y=f(|x|)的图象 y?f(x)图象??????????????????擦去原来y轴左侧的图象，再将y轴右侧的图象对称的画到y轴的左侧如①作出函数y?|log2(x?1)|及y?log2|x?1|的图象；

②若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于____对称 （答：y轴）

17．函数定义域、值域、单调性等题型方法总结

（1）判定相同函数:定义域相同且对应法则相同

（2）求函数解析式的常用方法：

①待定系数法――已知所求函数的类型

如已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的

线段长为22,则f(x)的解析式为 ；（答：f(x)?②代换（配凑）法――已知形如

12x?2x?1） 2f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。

如（1）已知

f(1?cox)s?si2xn,求fx2??的解析式（答：

； f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]）1122 （2）若f(x?)?x?2，则函数f(x?1)=_____（答：x?2x?3）；

xx（3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，f(x)=________（答：x(1?3x)）

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。

③方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。

如（1）已知f(x)?2f(?x)?3x?2，则f(x)的解析式 （答：

f(x)??3x?2）； 31,则f(x)= （答：x?1g(x)是偶函数，（2）已知f(x)是奇函数，且f(x)+g(x)= x

） 2

x?1

（3）求定义域——使函数解析式有意义(如：分母、偶次根式被开方数、对数真数、底数、

零指数幂的底数、实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；

gx)定义域为________（答：如：（1）函数y?f(x)定义域为?,2?，则f(lo22???1??x|； 2?x?4）

?（2）若函数f(x2?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）

（4）求值域方法

①配方法；如：函数

； y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域 （答：[4,8]）

3xxx②逆求法（反求法）；如：y?通过反解，用y来表示3，再由3的取值范围，通x1?3过解不等式，得出y的取值范围为 （答：（0,1））；

③换元法；如（1）

y?2sin2x?3cosx?1的值域为__ _（答：[?4,17； ]）8（2）y?2x?1?x?1的值域为_____（答：?3,???）（令x?1?t，t?0。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围，此问题实质上是二次函数问题）； ④单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如求y?x?别为

19(1?x?9)，y?sin2x?，y?22x1?sinxx?2?log3?5?x?的值域分

______， ， （答：(0,8011)、[,9]、?0,???）； 92⑤数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

y及y?2x的取值范围分别为______， x?23322（2）求函数y?(x?2)?(x?8)的值域（答：[?,]、[?5,5]，

33[10,??)）；

如（1）已知点P(x,y)在圆x2?y2?1上，则

⑥基本不等式法

（1）求y?（答：[0,]）

xx?2?11?）的值域 （答：；（2）求的值域 y??,2??1?xx?3?22?12x2?x?1（3）求y?的值域 （答：(??,?3]?[1,??)）

x?1⑦导数法、分离常数法；

如（1）求函数f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值 。（答：－48） （2）用2种方法求下列函数的值域：

3?2xx2?x?3(x?[?1,1])②y?①y?,x?(??,0)；

3?2xx（5）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证；

（6）恒成立问题：①分离参数法②最值法③化为一次或二次方程根的分布问题

a?f(x)恒成立?a?f(x)max；a?f(x)恒成立?a?f(x)min

（7）任意定义在R上函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和；即f(x)?g(x)?h(x)

f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)其中g(x)?是偶函数，h(x)?是奇函数

22（8）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、递推法、

反证法等）进行逻辑探究。

如（1）若x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是____（答：奇函数）；

（2）若x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数）；

（3）已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，当0?x?3时，f(x)的图像

cosx?0的解集是_____________（答：如右图所示，那么不等式f(x)?(??,?1)?(0,1)?(,3)）；

22?（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,y?R，都有f()?f(x)?f(y)，

??xy且x?1时，f(x)?0，又f(1)?1，①求证f(x)为减函数；②解不等式2f(x)?f(5?x)??2.（答：?0,1???4,5?）．

18．（1）函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是

y?y0?f?(x0)(x?x0).

（2）导数几何物理意义:k=f(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。

/

v?s'(t)表示t时刻即时速度,a?v'(t)表示t时刻加速度。如一物体的运动方程是s?1?t?t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t?3时的瞬时速度为_____

（答：5米/秒）

19．几种常见函数的导数

(1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4)

(cosx)???sinx.

11ex(5) (lnx)??；(loga)??loga. (6) (ex)??ex; (ax)??axlna.

xx20．导数的运算法则

（1）(k?f(x))'?k?f'(x)（k为常数） （2）(u?v)'?u'?v' （3）(uv)'?u'v?uv'. （4）()'?uvu'v?uv'(v?0). 2v21．判别f(x0)是极大（小）值的方法：当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 22．导数应用

（1）过某点的切线不一定只有一条;

如：已知函数f(x)?x3?3x，过点P(2,?6)作曲线y?f(x)的切线，求此切线的方程

（答：3x?y?0或24x?y?54?0）。

（2）研究单调性步骤:分析

y?f(x)定义域?求导数?解不等式f'(x)?0得增区间（或

f'(x)?0得减区间）

如：设a?0函数f(x)?x3?ax在[1,??)上单调函数，则实数a的取值范围_____（答：0?a?3）；

（3）求极值、最值步骤:求导数;求f?(x)?0的根;检验f?(x)在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.

如：（1）函数y?2x?3x?12x?5在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；

32?15）；

（2）已知f(x)?x?bx?cx?d在[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最 值 （答：大，?3215） 232（3）方程x?6x?9x?10?0的实根的个数为__（答：1）

特别提醒：（1）极值点处的导数值为0，但导数值为0的点不一定是极值点。故不能仅凭判断xf?(x0)?0（2）已知函数的极大(小)?x0是函数的极值点f??x0?＝0是x0为极值点的必要而不充分条件。

值，一定要既考虑f?(x0)?0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

如：函数f?x??x3?ax2?bx?a2在x?1处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）

（4）和导数有关的一个结论：

若?m,n?(a,b)且m?n，有

成立

f(m)?f(n)?c恒成立，则在(a,b)内，f?(x)?c恒

m?n第三节 数列

23．等差数列中an=a1+(n-1)（叠加法）

n(n?1)Sn?na1?d=nan?n(n?1)d=n(a1?an)=n?这n项的平均数（倒序相

222加法）

等比数列中an?a1qn?1（叠乘法）当q=1,Sna1(1?qn)a1?anq=（错?na1； 当q≠1,Sn=

1?q1?q位相减法）

24．常用性质、结论：

（1）等差数列中,an?am?(n?m)d, d?am?an;当m+n=p+q,am+an=ap+aq； m?n等比数列中，an?amqn?m； 当m+n=p+q ，aman?apaq；

如①在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；

②各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9则log3a1?log3a2???log3a10? （答：10）。

特别注意：等比数列中各项都不等于0，公比不为0，各项的符号规律：q项异号

?0各项同号，q?0奇偶

（2）常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差；

1?、{anbn}、?an?等比； {an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、??????bn??bn?{an}等差,则ca(c>0)成等比；{bn}( bn?0)等比,则{logcbn}(c>0且

n??c?1)等差。

Sa（3）等差?an?中：若项数2n，则S偶?S奇?nd，偶?n?1，若项数2n?1，则S奇?S偶?an?1

S奇anS奇S偶?n?1，

S2n?1?(2n?1)an?1

n

（4）等比?an?中：若项数为2n，则

S偶S奇?q；若项数为2n?1，则

S奇?a1S偶?q；

Sn1?qn ?mSm1?q（5）等差{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差；

等比{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比。

如：公比为-1时，S4、S8-S4、S12-S8、?不成等比数列 25．等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d；等比三数可设

a,a,aq； q四个数成等比的错误设法：

aa32,,aq,aq (为什么？公比被限定为q?0) 3qq如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 26．等差、等比数列的判定：

｛an｝等差?an?an?1?d(常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*中项) （1）

?an?an?b(一次)?sn?An2?Bn(常数项为0的二次);a,b,A,B??

?an2?an-1?an?1(n?2,n?N)a（2）｛an}等比???n?q(定);

an?1an?0??an?a1?qn?1?sn?m?m?qn;

注意：①Sn等差

②Sn比

其余项都相同且成等?2?3n?2与Sn?2?3n?5对应的数列{an}除首项不同外，

?n2?2n?5与Sn?n2?2n对应的数列{an}除首项不同外，其余项都相同且成

如若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）

27．首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式

?an?0?an?0(或),或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最??a?0a?0?n?1?n?1大或最小项吗？

如（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和

Sn?0成（答：4006）

立的最大正整数n是

28．求和常法（关键找通项结构）

n

分组法求数列的和：如an=2n+3

n

错位相减法求和：如an=(2n-1)2 裂项法求和：如求和：1?29．求通项常法

2n111） ????? （答：

n?11?21?2?31?2?3???n?S1 (n?1)（1）已知数列的前n项和sn,求通项an，可利用公式an??

S?S (n?2)?nn?1如：数列{an}满足

11114,n?1a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?1）

2,n?2222?（2）先猜后证

（3）递推式为an＋1＝an＋f(n) (采用累加法)；an＋1＝an×f(n) (采用累积法)； 如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?1n?1?n(n?2)，则an=________

（答：an?n?1?2?1）

（4）构造法形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列

如①已知a1?1,an?3an?1?2，求an （答：an?2?； 3n?1?1）

an?1的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan?1?ban?1如①已知a1?1,an?，求an （答：

3an?1?11an?）；

3n?21②已知数列满足a1=1，an?1?an?anan?1，求an （答：an?2）

n（5）倒数法形如an?第四节 三角函数

30．终边相同(β=2kπ+α);

弧长公式：l?2?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3

22如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm）

31．函数y=Asin(??x??)?b（??0,A?0）

①五点法作图; ②振幅?相位?初相?周期T=

22?,频率； ?如（1）函数y?sin?函数）；

?5???2x?的奇偶性是______ （答：偶?2?3)?______ （2）已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5（答：－5）；

（3）函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是________、_______

（答：(（4）已知f(x?)k??k???,1)(k?Z)、x??(k?Z)）； 2828（答：c?o?s(为x偶函)数，求?的值。

sin?(?x?3)??k???6(k?Z)）

③变换:A,?,?,b中的每一个系数的变化只影响一种变换，每一个变换也只改变一个系数

32．正弦定理:2R=

2abc

==; 内切圆半径r=2S?ABC sinAsinBsinCa?b?c22b2?c2?a2S?1absinC?1bcsinA?1casinB余弦定理：a=b+c-2bccosA,cosA?;

2222bc术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°

注意：在△ABC

中：

a?b?A?B?sinA?sinB；

sin(B?C)?sinA，

cos(B?C)??cosA，cos成等差数列，当且仅当BB?CA?sin22，sinB?CA?cos22等，三角形三内角A、B、C

??3.

33．同角关系：如：若

（?sin??3cos?tan?2＝ _；sin??sin?cos??2＝_ _??1，则

sin??cos?tan??1513；） 351?cos2?1?cos2?nis；cos2??．；

2234．诱导公式简记：奇变偶不变，符号看象限（?看作第一象限） 35．重要公式：sin2??x?cosx,nisx?cosx,nisxcosx这三者之间的关系要能熟练地掌握：nis(确的取舍.

cosx)?1n2xiscos2??xx.求值时能根据角的范围进行正

如：已知??(0,?),且sin??cos???1，则tan??＿＿＿＿＿. 5124?0，又由??(0,?)知分析：由sin??cos???平方得2sin?cos???525?49??(,?).则有sin??0,co?s?0.(sin??cos?)2?1?2sin?cos??，得

225

sin??cos??7343.有sin??,cos???，所以tan???. 5554如：f(x)?5sinxcosx?53cos2x?53(x?R)的增区间为_____（答：

2?5?[k??,k??](k?Z)）

1212?(???)???(???)??，2??(???)?(???)，2??(???)?(???)等

32?1?如：已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____（答：）；

225444b2236．辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx?a?bsin?x???(其中tan??)

a3如：（1）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：?)；

2（2）如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= (答：－2)；

37．正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距

离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.

巧变角：如?第五节 平面向量

38．①向量加法几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，

1??(AB?AC)表示△ABC的边BC的中线向量. 2②向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则（终点连结而成的向量，指向被减向量） ③|AB|表示A、B两点间的距离；

????????④以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a+b、a?b（或b?a）.

［例］已知非零向量a,b满足：|a?b|?|a?b|，则向量a,b的关系是――――（ ） A、平行； B、垂直； C、同向； D、反向.

分析：①|a?b|与|a?b|表示以a和b为一组邻边的平行四边形的两对角线的长，而对角线相等的平行四边形是矩形，从而有a?b.选B. 或②|a?b|?|a?b|?(a?b)2?(a?b)2，化简得：

a?b?0，有a?b.

39．单位向量、平行向量、垂直向量的意义、 与非零向量a同向的单位向量a0?a|a|，反向的单位向

????a量a0???.

|a|

［举例］已知△ABC，点P满足AP??(AB|AB|?AC|AC|),(??R)则点P的轨迹是（ ）

A、BC边上的高所在直线； B、BC边上的中线所在直线； C、?A平分线所在直线； D、BC边上中垂线所在直线. （选C）

????40.看两向量的夹角时必须先将其共起点后再看，两向量数量积a?b?|a||b|cos?；

??其中|b|cos?为向量b在向量a上的投影，投影是一个实数可以是正数，负数，也可以是0

?向量b在a方向上的投影︱b︱cos?＝a?ba

A ［例］已知△ABC是等腰直角三角形，?C＝90°，AC＝BC＝2，则AB?BC＝＿＿；

C B

????????????????3?2分析： AB?BC?|AB|?|BC|cos?22?2?(?)??4.

4241.向量运算中特别注意a2?|a|2的应用. （计算模常常先转化为模平方再进行向量运算）

，求|CD|.

???????????［例］已知|a|?2,|b|?1，且a,b的夹角为，又OC??a?bO3D,?a2b?4分析：CD?OD?OC?(2a?b)?(?a?3b)?3a?4b，则|CD|?|3a?4b|，由题知

??????2?2???2a?b?1，所以|CD|?(3a?4b)?9a?24a?b?16b?10. 注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成. 特别提醒：向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结合律，即

a(b?c)?(a?b)c，切记两向量不能相除。

42.向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.

??????已知a?(x1,y1),b?(x2,y2)则a?b?(x1?x2,y1?y2),a?b?x1?x2?y1?y2. ????若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)

????注意：a?(x,y)实质上是其分解形式a?x?i?y?j的“简记”.

与向量坐标运算有关最重要的两个结论： 若

向

量

??a?(x1,y1),b?(x2,y2)则

a?b?x1?x2?y1?y2?0；

a//b?x1?y2?x2?y1?0.

????????????????????［例］设O是坐标原点，OA?2i?3j,OB?4i?j，在x轴上求一点P，使AP?BP最小，

并求此时cos?APB的大小.

??????分析：设P(x,0)，则AP?x(?2,?3),BP(?x4?1,),则AP?BP?(x?2)(x?4)?3=

x2?6x?5?(x?3)2?4，所以当x?3时，AP?BP的最小值为?4.此时

????????AP?(1,?3)，BP?(?1,1)，AP,BP所夹角等于?APBcos?APB?AP?BP|AP||BP|??25. 5，所以

x1x2?y1y2

|a||b|x12?y12x22?y2243.利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是[0,?].

????特别注意：当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充

夹角公式：cosθ=a?b?分条件；

????当?为钝角时，a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充

分条件

［例］已知△ABC，则“AB?AC?0”是“△ABC为钝角三角形”的――――（ ） A、充分不必要条件； B、必要不充分条件； C、充分必要条件； D、既不充分又不必

要条件.

分析：对于△ABC，由AB?AC?0可知?A是钝角，但△ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A.

［例］（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范

围是______（答：???????????41或??0且??）； 33?44．平面向量基本定理：e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a??1e1??2e2(?1,?2唯一)

????????????特别：OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件

如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足

OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是____

（答：直线AB）

45．向量表达式常有几何意义：如在?ABC中，

??????????????????????????????????????1①PG?(PA?PB?PC)?G为的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为的重心； 3????????????????????????②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；

????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)； ③向量?(???|AB||AC|????????④NP?2NQ表示N,P,Q三点共线且Q为NP的中点

????1????1????⑤OS?OA?OB表示A,B,S三点共线且S为AB的中点

22????????????????????如：（1）若O是?ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC?????????????（2）若D为?ABC边BC中点，?ABC所在平面内有一点P，满足PA?BP?CP?0，

?????????????????|AP|O△ABC?OA?OB?CO?0，则设???，则值为___（答：2）；（3）若点是外心，且???|PD|△ABC内角C为 （答:120）

?的

形状为____（答：直角三角形）；

第六节 不等式 46．注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab>0，则

11?。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ab②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

1?x?y?3，1?3x?y?7）如：已知?1?x?y?1，则3x?y的取值范围是______（答：；

47．比较大小的常用方法：

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 48．常用不等式：若a,b?0，

（1）基本不等式a?b?2ab,ab?(围.

“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，；

（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）； （3）若a?b?0,m?0，则

222a?b2)要记住等号成立的条件与a,b的取值范2bb?m?（糖水的浓度问题）。 aa?ma?b2a2?b2)?基本变形： ab?(； 22如：如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________（答：?9,???） ［例］已知正数a,b满足a?2b?3，则

11

?的最小值为＿＿＿＿＿＿. ab

分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由

111a?2ba?2b12ba12ba??(?)?(3??)?(3?22)，当且仅当?等号成ab3ab3ab3ab

立，此时a?32?1,b?32?2.

［例］①y?4x?91(x?)最小值 （答：8）②若x?2y?1，则2x?4y最小值

2?4x2是__（答：22）；

49．解绝对值不等式:①函数图像法②讨论法(零点分段法);③两边平方④公式法：

|f(x)|>g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x) |f(x)|?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)

第七节 立体几何

50．常用定理

a//b??//???b???a//????a//?①线面平行;

a???a????a//??????a????a//? ;

a?????//???a//b?a?????②线线平行:a????a//b;??c//b ??a//b;????a??a//b;

a//cb????????b?????b???a??,b???a????//?????//?a?b?O??//??③面面平行:;;???//? ?a???//???a//?,b//???a?????a?b; ④线线垂直:

b???????a??,b????//??a//b???????l?a????a??;⑤线面垂直:a?b?O??l??;;???b?? a??a????a??,a?l?l?a,l?b???⑥面面垂直：二面角90;

0

a???a//???????;????? a???a???第八节 解析几何

51．倾斜角α∈[0,π）,α=90斜率不存在；斜率k=tanα=

0

K y2?y1 x2?x1π O α

［例］直线l过点P(2,3)与以A(3,2),B(?1,?3)为端点的线段AB有

公共点，则直线l斜率的取值范围是＿＿＿（k??1或k?2，或其斜率不存在） 52．（1）点斜式y?y0?k(x?x0)，过定点(x0,y0)与x轴不垂直；

（2）斜截式

y?kx?b，在y轴上的截距为b与x轴不垂直；

（3）截距式

xy??1，在x轴y轴上的截距分别为a,b与坐标轴不平行且不过坐标原点. ab特别注意：当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，

直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为－1，或此直线过原点.

53．两直线平行和垂直

①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2?k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1

②直线l1：A1x?B1y?C1?0,(A1,B1不全为0）、l2：A2x?B2y?C2?0，（A2,B2不

全为0）.

则l1//l2的充要条件是零；

A1B2?A2B1?0且A1C2?A2C1与B1C2?B2C1至少有一个不为

l1?l2的充要条件是A1A2?B1B2?0；

l1与l2相交的充要条件是A1B2?A2B1?0.

③l1//l2则化为同x、y系数后距离d=54．点线距d=

|Ax0?By0?C|A2?B2|C1?C2|A?B22

;

55．（1）圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.（3）圆的参数方程 ?22?x?a?rcos?.

y?b?rsin??A(x1,y1)，

22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).

（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是

B(x2,y2)).

56．若(x0-a)+(y0-b)r),则 P(x0,y0)在圆(x-a)+(y-b)=r内(上、外) 57．直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，

如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，又:ｄ>r?相离;d=r?相切;d

58．圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R?两圆

相离;d＝r+R?两圆外切;|R－r|

2222

59．把两圆x+y+D1x+E1y+C1=0与x+y+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:

(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;

60．圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 61．椭圆

x2y2①方程2?2?1(a>b>0);参数方程?ab?ycb2|PF1|+|PF2|=2a>2c③e=?1?2aa2

2

2

2

2

2

2

2

?x?acos??bsin?②定义:

?1，

2b2a=b+c④长轴长2a，短轴长2b⑤通径(最短焦点弦)⑥近日点到焦点的距离最小，远日

a2

2

2

点最大 62．双曲线

2x2y2222

①方程2?2?1(a,b>0) ②定义:|PF1|-|PF2||=2a<2c ③e=c?1?b2?1,c=a+b

aaab2b2④四点坐标？实虚轴、渐进线交点为中心⑤通径(最短焦点弦) ⑥焦点到渐进性的

a距离为b 63．抛物线

①方程y=2px②定义:|PF|=d准③顶点为焦点到准线垂线段中点；焦点F(x=-p, 22p④过焦点的弦AB＝x1+x2+p;y1y2=－p,x1x2=其中A(x1,y1)、B(x2,y2) 4⑤通径2p,焦准距p;

2

2

p,0),准线264．Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域

设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是： 若B?0，当B与Ax?By?C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?By?C异号

时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B?0，当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

22 目标函数：截距型z?x?2y；距离型z?(x?1)?(y?2)；斜率型z?2

2

2

2

2

2

2

y?1 x?265．过圆x+y=r上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r;过圆x+y=r外点P(x0,y0)作切线后切点弦方

2

程:x0x+y0y=r;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.

66．对称：①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是(ａ,-ｂ), (-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ)

②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解

67．轨迹方程

直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、动点转移法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x、y表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程)等.

68．解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 椭圆焦点三角形的面积公式:S?PF1F2?btan双曲线焦点三角形的面积公式: S?PF1F2?2?2?1|F1F2|?|y0| 周长公式=2a?2c 2b2tan?2?1|F1F2|?|y0| 269．四种常用直线系方程

(1)过定点直线系方程：

经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数;

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待定的系数．

y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方

程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0

(3)平行直线系方程：直线

70．点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2；则(x0?a)2?(y0?b)2?r2?P(x0,y0)在圆外

71．直线与圆的位置关系

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种: （d?Aa?Bb?C22A?Bd?r?相离???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0.

）

72．圆的切线方程

(1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0．

过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条

切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线．

2(2)已知圆x?y?r．过圆上的P点的切线方程为; (x,y)xx?yy?r00000273．抛物线y?2px(p?0)焦半径CF?x0?222p.过焦点弦长CD?x1?x2?p. 2y74．抛物线y2?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt2,2pt)或 P(x?,y?)，其中

2py?2?2px?.

第九节 概率与统计

75．随机事件A的概率0?P(A)?1，随着随机试验次数的增多，事件A发生的频率会越来越接近P(A)故可以用频率估计P(A)。P(A)?1 A必然事件； P(A)?0 A不可能事件 76．等可能事件的概率（古典概率和几何概型）：P(A)=

2m n互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B);

对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):P(A)+P(A)＝1;

77．总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②系统抽样（抽几个个体就将总体分成几个组）③分层抽样(用于个体有明显差异时).

共同点：每个个体被抽到的概率都相等

n。 N78．总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平

均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率

11n平均数：x?(x1?x2?x3???xn)??xi方差：

nni?11s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]

n方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。 提醒：若x1,x2,?,xn的平均数为x，方差为s，则ax1?b,ax2?b,?,axn?b的平均数为ax?b，方差为as。

如已知数据x1,x2,?,xn的平均数x?5，方差S2?4，则数据

2223x1?7,3x2?7,?,3xn?7（答：22，6）

的平均数和标准差分别为

79.利用频率分布直方图估计样本的数字特征

(1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.

(2)平均数:平均数估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (3)众数:在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标.

第十节 复数

80．复数的相等 a?bi81．复数z?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）

. ?a?bi的模（或绝对值） |z|=|a?bi|=a2?b282．复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)

(4)(a?bi)?(c?di)?(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i

ac?bdbc?ad?2i(c?di?0). 222c?dc?d注意：有关回归分析、独立性检验、茎叶图、算法等内容，同学们可以结合自身情况参阅教材

共同点：每个个体被抽到的概率都相等

n。 N78．总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平

均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率

11n平均数：x?(x1?x2?x3???xn)??xi方差：

nni?11s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]

n方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。 提醒：若x1,x2,?,xn的平均数为x，方差为s，则ax1?b,ax2?b,?,axn?b的平均数为ax?b，方差为as。

如已知数据x1,x2,?,xn的平均数x?5，方差S2?4，则数据

2223x1?7,3x2?7,?,3xn?7（答：22，6）

的平均数和标准差分别为

79.利用频率分布直方图估计样本的数字特征

(1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.

(2)平均数:平均数估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (3)众数:在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标.

第十节 复数

80．复数的相等 a?bi81．复数z?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）

. ?a?bi的模（或绝对值） |z|=|a?bi|=a2?b282．复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)

(4)(a?bi)?(c?di)?(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i

ac?bdbc?ad?2i(c?di?0). 222c?dc?d注意：有关回归分析、独立性检验、茎叶图、算法等内容，同学们可以结合自身情况参阅教材

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