实数的连续性定理及其应用研究

摘 要

实数集合的连续性是实数系的一个基本特征, 它是微积分学的坚实的理论基础. 人们从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,得到了一连串的有关实数的连续性定理,其中包括:确界存在定理,闭区间套定理,单调有界收敛定理,聚点定理,有限覆盖定理,柯西准则,致密性定理等.

本文主要阐述实数集八个基本定理及其相关内容,而且在基于实数系连续性公理基础之上,顺序证明了这八个基本定理.首先用单个定理做基础来证明其它的定理,其中重点求证了有限开覆盖定理及区间套定理和其它定理间的等价关系；而后,运用和一般教材不同的证明顺序先后对八个定理进行了循环证明,继而得出定理之间相互等价；最后,介绍它们在研究连续函数性质方面的重要应用并进行了推广,获得了对实数集完备性基本特征的更深刻的认识和理解. 关键词: 连续性；区间套；有限开覆盖；等价性

Abstract

Continuity of the set of real numbers is basic character of the real number system, and it is stable theory background of calculus. People described and depicted it from different angles, and a series of continuous theorems of real numbers are obtained, including existence theorem of supremum, theorem of nested closed interval, bounded monotone convergence theorem, accumulation principle, the finite covering theorem, Cauchy criterion, the compactness theorem and so on.

In this thesis, eight fundamental theorems and related contents for the real number set are described and the eight fundamental theorems are proved in a sequence based on the continuity axiom of real number system. First, with the single theorem, the other theorems are proved, in which the equivalence relation between the finite covering theorem, theorem of nested closed interval and other theorems are mainly discussed. Second, the cycle proof for the eight theorems are given one after another in the order which is different from general textbooks and their equivalence relations are obtained. Finally, their important applications in investigating the properties of the continuous functions are introduced and extended, and deeper understanding of the basic features of completion about the real number set is received.

Keywords: Continuity; the Nested Interval; limited open covering; Equivalence

目 录

引 言 .................................................................. 1 第一章 实数连续性相关概念及定理证明 .................................... 1 1.1实数空间 .......................................................... 1 1.1.1实数的定义与性质 .............................................. 1 1.1.2实数的定义与性质 .............................................. 1 1.1.3实数公理 ...................................................... 3 1.1.4实数集的连通性 ................................................ 4 1.2实数连续型基本定理及证明 .......................................... 5 1.2.1 确界存在定理 .................................................. 5 1.2.2单调有界定理与区间套定理 ...................................... 6 1.2.3紧性定理 ...................................................... 8 1.2.4 柯西准则 ...................................................... 9 1.3实数基本定理的等价证明 ........................................... 10 1.3.1 基本定理循环例证 ............................................. 10 1.3.2用区间套定理证明其他定理 ..................................... 12 1.3.3用单调有界定理证明其余五个定理 ............................... 13 1.3.4 用有限覆盖定理证明其他定理 ................................... 15 第二章 实数连续性的应用研究 ........................................... 16 2.1连续函数性质的证明 ............................................... 18 2.1.1 连续函数的有界性定理 ......................................... 18 2.1.2连续函数的介质性定理 ......................................... 18 2.1.3一致连续性定理 ............................................... 20 2.2实数连续性等价命题的应用 ......................................... 21 2.2.1确界定理在解题中的应用 ....................................... 21 2.2.2有限覆盖定理在解题中的应用 ................................... 22 2.2.3柯西收敛准则在解题中的应用 ................................... 23 2.3实数连续性的推广应用 ............................................. 23 结 论 ................................................................ 26 参考文献 .............................................................. 27

致 谢 ................................................................. 28

引 言

《数学分析》是以函数和各种分析性质为基本基本对象,其主要包含连续性,可积性以及可微性.可积性与可微性是创建在极限理论基础之上的,但是极限理论又是基于在实数空间[1]的连续性,也就是实数集连续性的基础之上.

实数集的连续定理在《数学分析》中属于基础的部分,实数集的连续性定理主要包含有:确界存在性定理,闭区间套定理,单调有界收敛定理,聚点定理,有限覆盖定理,柯西准则,致密性定理,一致连续性定理.

本文阐述了实数集合上八个基本定理和相关内容.以实数系的连续性为公理, 顺序证明.先以单个定理证明其他.其中重点证明区间套定理及有限开覆盖定理与其他定理之间的等价关系.而后运用和一般教材不同的证明顺序先后对七个定理进行了循环证明,继而得出定理之间相互等价；最后,介绍它们在研究连续函数性质等方面的重要应用并进行了推广,获得了对实数集完备性基本特征的更深刻的认识和理解,进一步印证了实数完备性定理在整个数学分析理论体系中的基础地位.

文章开头首先从介绍实数空间开始,为了定义实数空间,首先需要定义实数的运算和关系,并承认有理数的一些熟知性质,如有理数是最小的全序域,所谓全序域简单地说就是可以比较大小,和作加、减、乘、除四则运算.有理数集是稠密的,即对任意有理数a、b?a?b?,总存在有理数c,使得

.

?a?0a?c?b除此之外,有理数还满足阿基米德原理,也就是说对任何正有理数b定有自然数n,使得

na?b,一

.

在实数空间部分,文章中也会对实数的性质和域公理[1],还有对实数集的连通性做了详细阐述.

在数学分析课程的学习中,大家对有界集合的确界概念已经很熟悉了,为了证明其存在性,本文章会引入实数连续性系统的第一个定理-确界存在定理.如果全序集里任何非空且有上界的集合一定存在上确界,则称此全序集是完备的.在全序集中任何区间长趋于零的区间都存在非空交集,我们把该全序集称为是完备的.在本文中我们会给出区间套定理,此定理刻画和描绘了实数集是完备的,同时也给出经过逐步减小搜索范围,来找到所求点的方法.

1

给定序列?xn?,我们有没有办法去判断它有极限还是没有极限.极限定义也可以说是判断有没有极限的一种方法.但用定义判断极限存在需要知道极限值,而困难就在于此.如果序列是单调的,比如它是单调增加的,那么序列有没有极限问题就转换成了序列有没有上界的问题.这种情况下判断有没有极限问题是解决了.若是任意序列,只要序列给定,它有没有极限应是客观存在的事实,为了更好地去判断它,我们引入了序列极限的柯西收敛原理.相应的我们还能得出函数的柯西收敛原理.简单地,函数和序列的柯西收敛原理就构成了实数的完备性.

数学分析的主要研究对象是连续函数,因此熟悉连续函数的基本性质有着十分重要的意义.我们在熟悉连续函数三个基本性质的基础上,指出它们的相关意义,作为实数连通性[1]、紧性定理[1]应用,我们用此可以来证明函数的三个性质（中间值定理、有界定理、最值定理）,至此,我们还可以得到一致连续性定理.

在本论文中我们证明了实数连续性的七个等价命题.给出如果把其中一个定理当作公理,其他定理也均可由这一公理及其其他的公理证明.其直接证明方法就是运用每个命题来直接证明其他六个等价命题,而不是用其他命题作为过渡.利用这种证明方法,能够深刻理解每一个命题如何从不同角度来刻画实数连续性及完备性的,促使实数连续性命题的结构和逻辑关系框架进一步清楚.

极限理论问题首先是极限存在问题.给出已知数列能否判断其是否存在极限,不只是与数列本身结构相关,还与数列本身所在的数集有关系.如果在有理数集Q上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,单调有界的有理数列

1??1???n??n就不存在极限,因为它的极限是e,是无理数.因为实数集合有关极限运算是

完全封闭的,这是实数集有别于有理数集的特别特征.因而,我们把极限理论基于实数集性质的基础之上,就能使得极限理论具备了牢固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.

2

第一章 实数连续性相关概念及定理证明

1.1实数空间

1.1.1实数的定义与性质

实数的构成

??有理数（有限小数和无实数??无理数（无限不循环小?限循环小数；或数）qp,p,q为整数且p?0)

其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.在数学上,直观的把实数定义为与数轴上的点具有一一对应关系的数.在数学发展的历史上实数起先把实数仅称作数,再后来随着发展才引入虚数概念.实数可以用来测量连续的量.实际生活中,我们经常把实数近似成一个有限小数,也就是保留小数点后n位,其中n为正整数.在计算机的运用中,是因为计算机只能存储有限位数的小数,实数常常用浮点数来表示.而在理论上看来,任何实数是都能够利用无限小数方式表示的,小数点的右边是一个无穷的数列,并且该小数可以是非循环的,当然也允许是循环的.

实数的性质

? 封闭性:（实数集R对?,?,?,?）四则运算是封闭的.即任意两个实数的

和、差、积、商（除数不为0）仍是实数. ? 有序性:任取一对实数

个:a?b,a?b,a?ba,b一定具有以下关系中的一

.

.

使得na?b? 传递性:a?b,b?c?a?c? 阿基米德性[14]:?a,b?R,b?a?0??n?N.

? 稠密性:两个不等的实数之间总有另一个实数.

实数集合R和规定了单位长度、原点、正方向的直线实数轴上的点一一对应.

1.1.2实数的定义与性质

如果实数域R存在,它应当是由所有有理数基本列组成的序域. 事实上,设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛an｝的极限.则存在k使 ak?a?1,从而 a?1?ak?N,

.

1

1?akn?a 是有理数,有理数域是阿基米德序域,故存在n?N,使n?1?ak.故有

.

因此,R是阿基米德序域.

若R1,R2是两个实数域,则它们的元素都是有理数基本列的极限. 映射

f:R1?R2,若liman?af(a)?a',其中a?R,?an?是有理数的基本列,?an?在R2中

的极限为a',则

易知的.

f.

是R1到R2的同构映射.因此,符合定义的实数域在同构的意义上是唯一

构造 设M是所有有理数基本列的集合.在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下:

对任意?an?,?bn??1?M.

?bn ?an?~?bn?当且仅当lim?an???0；

23 ?an???bn?＝?an ?an???bn??bn?；

???an?bn?；

4?｛?an???bn?当且仅当存在有理数?.

?0,及n0?N,使当n?n0时,bn?an??我们从有理数性质可以知道,以上基本数列的乘法、加法满足交换律、分配律和结合律.所定义的基本列的序是全序.

实数集R的若干性质.

1°有理数Q在R中处处稠密 对任意两实数a,b,若aa?c?b?b,则必存在c?Q,使

.

2°连续统 实数集R与直线上点集R1一一对应.建立对应的方法如下: 在直线l上取O点为原点,OA为单位,A点所在半直线为正向,建立直线坐标系第一次,以OA为单位,从O点开始,向左、右两边等分直线,得第一批分点(与单位端点重合的点),它们对应全体整数.

划分直线,得第nn批分点,其中p?N＋

,p?1, nn=2, 3,….

这样所得分点,连同第一批分点,对应全体有理数.

2

现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间,于是,直线l上每一点B,如果它不是某一批分点,它便包含于一系列子区间之中,这些形成一个区间套.

实数b.这时规定B与b对应.

建立直线坐标系的直线R1称为数直线,或实直线,或连续统；在它上面已不再有“洞”.

由于实数集R与实直线R1等价,以后不再区别R与R1. 3°实数表示成无尽小数形式

由上可知,每一个实数都可以表示成p进制无尽小数.方法如下:

设a是正实数,其在R1上对应的区间套,如果a是有理数,并且还是某些区间的端点,于是规定它在右边区间上.又令a1为区间左端点对应的整数(自然数)；n区间左端点为第an(an列(a1....an...)(0定一个实数.

?0,1,2,???,p?1?1时,

)个分点.于是得到一个唯一确定的非负整数

?a1?p,i?1,2,3,???).

反之,给出一个这样的非负整数列,可以确定唯一的一个区间套,从而唯一地确

1.1.3实数公理

公理1 （域公理）?x,y,z?R,有 (1) 交换律:x?y?y?x,x?y?y?x； (2) 结合律:?x?y??z?x??y?z?,

?x?y??z?x??y?z?；

(3) 分配律:x??y?z??x?y?x?z； (4) 两个特殊元素0与1:?x?R,有

x?0?x,x?1?x；

(5) 每个x?R,关于“+”的逆元?x,关于“·”的逆元x?1（此时x?1x???x??0,x?x?1

公理2（全序公理）与“+”、“·”运算相容的全序公理 (1) ?x,y?R,下列三种关系

x?y,x?y,x?y

有且仅有一个成立；

(2) 传递性:若x?y,y?z,则x?z；

(3) 与“+”相容性:若x?y,则?z?R,有x?z?y?z； (4) 与“·”相容性:若x?y,z?0,则x?z?y?z.

公理3（阿基米德（Archimedes）公理[14]）?x?0[1]?0）,有

,y?0,?n?N,使得nx?y.

公理4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界.

3

1.1.4实数集的连通性

[8]实数集R中有关区间的准确定义:如果R的子集E中至少包含有两个点,而且如果a,b?E,a?b,则有

?a,b???x?子集E被称为是一个区间

Ra?x?b??E

我们熟知,在实数集R中的区间可以分为以下9类:

(??,?),(a,?),[a,?),(??,a),(??,a] (a,b),(a,b] ,[a,b),[a,b]

因为,一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另方面,若是E?R为一

个区间,我们可以看作E有无下（上）界,和在有下（上）界的情况下看做其下（上）确界究竟能否属于E,而把E纳入到上述9类之一

实数空间R是一个连通空间.因为区间(a,?),(??,a)和(a,b)都同胚于R,所以这些区间也都是连通的；由于

(a,?)?[a,?),

(??,a)?(??,a]

(a,b)?[a,b)?[a,b], (a,b)?(a,b]?(a,b)可见区间[a,?),(??,a],[a,b),(a,b]和[a,b]都是连通的.

此外还有,如果E是R的一个子集,并且它包含着不少于两个点.如果E不是一个区间,则?a,b?R,a?b,?[a,b]?E,也就是说,存在a?c?b,使得c?E；从而,若令

A?(??,c)?E,B?(c,?)?E

B?于是可得到A和B均是E的非空开集,还有A?通.

B?E与A?空集,所以E不连

定义1 把实数集R分成两个子集X、Y,使满足: （1）X、Y至少包含一个实数； （2）每一实数或属于X,或属于Y；

（3）任一属于X的实数,小于属于Y的实数；

4

（4）X中无最大数.

则称X、Y为实数的一个分划,记作(X类.

定理1（戴德金定理[1]） 设(XY)Y),X称为分化的下类,Y称为分化的上

为以实数分划,则Y必有最小数.

论述到此,我们有上述得到了实数集是全序域,并且还是连通集,我们把此连通的域称为是实数空间,仍用记号R表示.

1.2实数连续型基本定理及证明

1.2.1 确界存在定理

定义2（确界）设S?R,若???R满足: （1）?x?R,x??,即?是S的上界； （2）???0,?x0?S,使得x0????,即?则称?是S的上确界,记为??supS.

若???R,满足:

（1）?x?S,有x??；

（2）???0,?x0?S,有x0????； 则称?是S的下确界,记作??infS??不是S的上界.

.

即:上确界是最小的上界,下确界是最大的下界.

定理2 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.

证明:我们只要能够证明非空且有上界的数列集合一定存在上确界即可,而对非空且有下界的数列集合一定存在下确界能有类似的论明.

在数学分析课程学习的过程中可以知道任一个实数x都能够表示为以下形式

x?[x]?(x)

其中[x]表示x的整数部分,(x)表示x的非负小数部分.我们将(x)表示成无限小数的形式:(x)?a1,a2???an???其中a1,a2???an???的每一个数字都是

0,1,2,???,9中的一

个,若(x)是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实数的无限小数表示.我们可明显注意到有限小数a1,a2???an???和无限小数a1,a2???an???大小是相等的,为表示其

唯一性,预先约定在?x?上无限小数的表示中肯定不出现后者.这样任何一个实数集合S都可以由一个确定的无限小数的集合来表示:

?a0?0.a1a2???an???a0??x?,0.a1a2???an?????x?,x?S.

? 设集合S存在上界,于是可令S中的元素整数的部分的最大数字是?0,可知?0必存在,因为不然,S不可能存在上界,记

S0??xx?S并且?x?=?0?

5

显然S0不是空集,并且对于任意x?S,只要x?S0,就有x??0.

紧接着来考察集合S0里元素无限小数的表示中排在最前位的小数的数字,记它们中最大的数字是?1,类似的我们记S1很明显

S1??x x?S0并且x的第一位小数为?1。x?S?同样不是空集,还有对于任何,只要有

x?S1,就会存在

x??0?0.?1.

如此下去,考察数集Sn-1中元素的无限小数表示中第n位小数的数字,令它们中的最大者为?n,并记Sn??x x?Sn-1并且x的第n位小数为?n。Sn?显然Sn也不是空集,并且对于任意x?S,只要x?不断地做下去,我们得到一列非空数集S?0，?1，?2，????n??，?满足?0?Z,就有x??0?0.?1?2????n.

?S0?S1?????Sn?????,和一列数

, ?k??0,1，???，9?，k?N.

令

?=?0?0.?1?2????n???，

下面我们分两步证明?就是数集S的上确界.

?1?设x?S,则或者存在整数n0x?Sn?0,使得x?Sn0,或者对于任何整数n?0,有

.

Sn0 若x?,便有xN??0?0.?1?2????n0??；

若x?Sn??n?x?,由Sn的定义并逐个比,较x与?的整数部分及每一位小数,即知

S=?.所以对任意的x?,有x??,即?是数集S的上界.

110n0?2?对于任意给定的??0取x0?Sn0,只要将自然数n0取得充分大,便有

??.

,则?与x0的整数部分及前n0位小数是相同的,所以

??x0?110n0??,即x0????,

所以任何小于?的数都不是数集S的上界.即证?是数集S的上确界.

同理可证明非空有下界数集必有下确界.

1.2.2单调有界定理与区间套定理

定理3 单调有界定理:任意单调有界数列一定是收敛的.

6

证明:不是一般性,我们设数列?xn?单调而且递减存在有下界,依照确界原理存在?xn?一定存在下确界?,满足:

?1??n?N?:xn??

?2????0,?xn:xn????00取N=n0,?n所以

?N:??xn?xn????0xn????于是

n???limxn??即证

同理可证单调递增有上界数列也有极限 定义3（区间套）闭区间序列. 若满足条件 ⅰ>对?n,存在[an?1,bn?1]?包含在后面一个闭区间内；

ⅱ>bn?an?0,(n??)[an,bn],即an?an?1?bn?1?bn,也就是有闭区间被

. 即当n??时区间长度趋于零.

则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之,所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列. 定理4 (区间套定理）设??an,bn??为一区间套:

1[an?1,bn?1]?[an,bn]n?1,2????

?2limbn?an?0n???

?R则{[an,bn]} 称为区间套,这时必存在唯一的一点?证明:因为[an?1,bn?1]?[an,bn]使得 an???bn

,所以?an?是单调且递增的数列,并且存在上

界,?bn?是单调且递减的数列,并且存在下界,那么从单调有界定理可知数列

?an?,?bn?的极限均存在

不妨设limn??an??则limn??bn= lim[(bnn???an)?an]= lim(bn?an)n??+ limn??an= ?

7

则?既是?an?的上确界,又是?bn?的下确界,所以an若还有一点??也满足an则有?-??n?????bn,n?1,2,3,

????bn,n?1,2,3,则由上可知?-???bn-an，n?1,2,3,?lim（bn-an）=0所以?=??即证

1.2.3紧性定理

定义4（有限开覆盖）构成的集合.如果S中随意一点均含在H中最少一个开区间里,也就是对?x?S,?I?H,使x?I,我们称H为S的开覆盖,或者称H覆盖了S.

如果H内开区间个数是有限（无限）的,可称H是S的一个有限开覆盖（无限开覆盖）.

定理 4（有限覆盖定理）若H????,???为闭区间?a,b?的无限开覆盖,也就是

在?a,b?的中每个点均含在H中最少一个开区间??,??里.于是在H内一定存在有限数个开区间,它们组建成?a,b?的一个有限开覆盖.

证明:反证法.假设区间[a,b]不能被H中有限个开区间覆盖.将?a,b?等分为两个等长子区间,于是这两个等长子区间中最少有一个不能够被H里有限个开区间覆盖,我们记此区间为?a1,b1?,并且b1?a1?12?b?a?

继续把?a1,b1?等分为两个等长的子区间,一样最少存在一个子区间是不能够被

H内有限个开区间覆盖,我们记此区间是?a2,b2?,并且b2?a2?122?b?a?

如此进行下去,得到一个闭区间列??an,bn??,它满足

?an,bn?而且bn?an?12n??an?1,bn?1?,n?1,2,

?b?a?,于是??an,bn??为区间套,并且每个闭区间均不能够被H内有限数个开区间来覆盖.

由区间套定理可知,有唯一一点?开覆盖,因此有开区间??,???H??an,bn?,n?1,2,?.因为H为?a,b?的一个

,满足???,??,当n充分大的时候存在

?an,bn?0???,??,这就表明?an,bn?能够被H中一个开区间覆盖,得出矛盾.证毕. ,??R定义4SS?U?R,如果?的随意去心领域里均含有S内不同于?的点,也就是

??,????,我们称?为S的一个聚点.

定理6（聚点定理）直线上任意有界无限点集合最少有一个聚点?,也就是在?的

8

任何小邻域里均含有S里无穷多个点（?本身可以属于S,也可以不属于S）.

证明:反证法.设A为有界集.即

x??a,b?A??a,b?.设A无聚点.则对于任意的

Ix,x不为A的聚点,故必有开区间Ix,使得x??,且Ix中至多只含有A的一

个点

x,这样开区间族?n?Ixx??a,b??n覆盖了?a,b?,由有限覆盖定理得,存在

n?Ix1,Ixm???使?a,b??k?1Ixk,当然

k?1Ixk也覆盖A,再有Ix的构造知

kIxk?1k至多含

有A的有限个点,因此A为有限集,这与A为无限集矛盾.即证.

定理7（致密性定理）界数列必有收敛子列. 证明:设数列?an?有界,即a列；如果A?an?b,?n?N.若?ann?N?为有限集,则数列

?an?必有无穷项相同,把这些相同的项依下标从小到大排列得到?an?的一个收敛子

??ann?N?是无限集,从聚点定理可知,A内一定存在一个据点a,再由

据点定义,我们可得一个收敛子列,并且收敛于a.即证.

1.2.4 柯西准则

定理8(柯西准则[11])数列??n?收敛充要条件为:??n,m?N,肯定有?m??n???0,?N?N?,只要

.

?0证明:先正必要性.设?an?收敛于a,则对于任意的?an?a?,?N,?n,m?N,有

?2,am?a??2

于是

am?a??2an?am?an?a?am?a??

再证充分性.先证数列?an?有界.取?0?1,则由定理知

?N0,?n?N0有an?aN0?1?1

令M?max?a1,a2,,aN,aN00?1?1,?则对一切n,成立

an?M?,由致密性定理,在

?N?an?中必有收敛子列:limank??k?a由定理得???0,?N?N,只要n,m再令k,恒有

an?am?an?a??2.在上式中令am.即证.

?ank,当k充分大时,满足nk?N??于是得到

?2??该定理也被称为序列极限的柯西准则,相似的还有函数极限的柯西准则:

9

设f?x?在U0?a?上定义，则极限'limx?af?x?存在的充要条件是：

fx???0，???0，当0?x?a??,0?x?a??'' 时,有

???f?x???

'''1.3实数基本定理的等价证明

1.3.1 基本定理循环例证

[4]例1 确界定理?单调有界定理.

证明:可以设数列?an?为单调递增且有上界,从确界定理知?an?也有具有上确界,记为??sup?an?,显然?就是其极限.事实上,???N?0,由上确界定义知,?aN,使

aN????,由单增性知,当n时,有

,

an????????aN?an??,

即 limn??an??.

例2 单调有界定理?闭区间套定理.

证明:若??an,bn??为一区间套,那么?an?单调递增且有上界,从单调有界定理可知

?an?存在极限?,并且an??,n?1,2,?.由区间套的定义知limn??bn??,又?bn?单减有

下界,所以 bn??,n?1,2,?.此说明

an???bn,n?1,2,???1?bn. ,n?1,2,?下证?是唯一的,设?1变满足上式,即an即?1.

,则有

?1???bn?an?0（n????）.

例3 闭区间套定理?有限覆盖定理[13].

证明:若H是?a,b?内的无限开覆盖,如果定理不成立的话,也就是说不可用H内有限数个开区间覆盖?a,b?.将?a,b?分成两个等长德子区间,那么其中最低会有一个半区间是不会被H内的有限个区间所覆盖的,不妨将它记为?a1,b1?,继续把?a1,b1?分成两个等长的小区间,同样的其中最低会有一个半区间,是不能够被H中有限数个区间所覆盖的,也不妨把它记为[a2,b2],像这样一直下去的话,我们就会得到一个闭区间套,我们把它记为??an,bn??n?1,这之中的每个区间不可被H内有限数个开区间覆盖.经闭区间套定理,可知有唯一的点????,???H??an,bn??,n?1,2,?.因为H为?a,b?的覆盖,因此

?an?bn??,能够使????,??,再由保序性得到:当n相当大的时候,?,

也就是?an,bn????,??,这样就和?an,bn?的组成矛盾,证毕.

例4 有限覆盖定理?聚点定理.

10

证明:设S?R是有界无限点集,则??a,b??R,a,b为有限实常数,使得S??a,b?.

如果S存在聚点,那么该聚点一定是属于?a,b?,我们容易证明?a,b?区间以外随意一个点均不可能是属于S的聚点,所以只要求证出:如果S没有聚点,那么这样就得出了矛盾.

事实上,假设义,

?x??a,b?xS??不存在聚点,即?a,b?中任一点都不是

xS的聚点,由聚点定

,

?0,使得U?x,?x?中只含有

S中有限个点,记

H??U?x,??x??a,b??,显然H是?a,b?的一个开覆盖,由有限覆盖定理知,存在有限

个邻域覆盖?a,b?,从而亦覆盖了S.由U?x,?x?的性质立得S中只有有限个点,矛盾.

例5 聚点定理?柯西收敛准则. 证明:设?xn?是R中任一数列,满足条件:??xn?xm???0,?N?0,?n,m?N,有

?1, 从

. （3）

1由此易证?xn?是有界的（事实上,对?而

xn?xN1?1,?N1?0, 当n?N1时,有xn?xN?1?1?1,取

M?max?x1,x2,?xN,xN11?1?,则

xn?M,n?1.）,记

S??xnn?1,2,??,则S为有界集.如果S是有限集,那么S中最少存在一个元素在?xn?k里会出现无穷多次,令此组成一个常数的子列?xn?,那么它一定是收敛的,假设它的极限是a,也就是有xnk?a,经条件（3）我们可知数列?xn?也收敛于a.如果S为无限集,

那么由聚点定理可知S最少有一个聚点,不妨设为?,于是有

limxm??.

n??我们从聚点等价的定义可明白,在S中存在彼此相互不同的点列,因而是数列

?xn?的一子列,也即是?xn?,也就是有

klimxn??k??k.

xn??又

xn???xn???xn?xnkk,由（3）式立得limn??.

例6 聚点定理?致密性定理. 证明:设数列?xn?为有界数列,令S立明（过程如例5）.

例7 致密性定理?柯西收敛准则.

证明:设数列?xn?符合柯西收敛准则里的所有条件,于是?xn?为有界数列,那么一定存在收敛的子列,这样便可证得整个数列收敛.

例8 柯西收敛准则?确界定理.

证明:假设S为非空并且存在上界数列,经实数的阿基米德性质我们可知,对随意的正数?,总会存在整数k?,满足?????k?为S上界,但是???????k??1?不为S的

11

??xnn?1,2,??,如果S是有限集,那么由例5

的证明我们可知存在收敛的子列.如果S是无限集,那么存在聚点,有聚点的等价定义

上界,也就是说????S,使

????k??1??.

?1n今分别取??1n,n?1,2,?,则存在n,使得?n为S的上界,但?na??n不是S的上界.于

是,?a?S,

,n?1,2,? （4）

?n?Z??,有 ,?an???n??n?an1n,n?1,2,? （5）

?N由此易得?m?11???n?max?,??mn?,于是,???0,?N?0,?n,m,有

?n??m??,

由柯西收敛准则知??n?收敛,记lim?nn????.下证?是S上确界.由（4）易得?是其上界.

n?N其次,

???0,由

1n?01n得

?N?0,当,有

?n?1n??n??2????,由（5）

知:????S,有????n?????.此说明?为S的上确界.

1.3.2用区间套定理证明其他定理

(1)证明确界存在定理

假设E为非空且有上界M的数集,如果MM?E?E,那么明显有M?SupE,如果

,那么取x0?E,在?x0,M?上构建区间套??an,bn??,使得数列bn一直是E的上

an???limbnn??n??界,数列an总不会是E的上界,经区间套定理我们可得到lim用类似单调有界定理求证确界定理的办法,可证得? (2)证明单调有界定理

假设{xn}是递增且有上界M的数列,即x1?xn?M?SupE,接下来利

.

.在?x1,M?构造区间套

??ak,bk??让bk保持为{xn}的上界,ak一定不是{xn}的上界,故一定有

???bk?N,?n?N,?ak?xn?bk在另方面,经区间套定理可知,一定??使akk??,进而xn???bk?ak,由于当

时,一定有bk?ak?0并且n??,可得xn??.证毕

(3)证明有限覆盖定理[13]

12

设?a,b?存在开覆盖M,没有有限子覆盖,则对?a,b?作区间套??an,bn??让每一闭区间?an,bn?均没有有限子覆盖,由区间套定理,必存在???an,bn?.今作?的邻域

????,????.因为bn?an?0?n???必有?an,bn??????,????.这与?an,bn?的构

造矛盾.故?an,bn?一定有有限子覆盖.

(4)证明聚点定理 设E?{xn}是有界无穷点集合,即存在a,b使aE?x?b.今对?a,b?作区间套

,所以

??ak,bk??使每个?an,bn?均含有集合

,n=1,2,

的无穷个点,从区间套定理,一定

??,????????an,bn?.今作?的邻域??.由于bn?an?0?n???当n相当大的时候,一定存在?an,bn?道????,????????,????,根据?an,bn?的构造方法,能够知

?一定含有E的无穷个点,所以?为集合E的聚点.

(5)证明Cauchy准则定理

设{xn}是Cauchy数列,前已证有界,即?M?0,使

xn?M,今对??M,M?作区间

套??ak,bk??使每个闭区间?ak,bk?都含有{xn}的无数个点,由区间套定理必??使

ak???bk,又由?ak,bk?的性质,必?k使ak从而xnk?xk?bk?k?1,2?于是有

xnk???bk?ak?0?k?????,即???0,?K,?k?K?xnk????xnk??

又因为{xn}是Cauchy数列,即??N1?max?K,N?便有xn?n?0,?N,?n,nk?N?xn?, 取

xn????x?xn?xn???2?,此即limkk,证毕.

n??1.3.3用单调有界定理证明其余五个定理

(1)证明确界存在定理

设E是非空有上界M的数集,若Mx0?E?E,则显然M?SupE,若M?E,则取

,对?x,M?作区间套??an,bn??使bn总是E的上界,an总不是E的上界,由于?an?liman???limbnn??n??递增,?bn?递减,可证明??便E的上界,即?x?E.今证?就是E的上确界. 因为bn总是,又由limn??有x?bn,令n??得x??an??,即

E??0,?N,?n?N有????an????,而an又总不是EE的上界,于是必?x1?.证毕.

.使

an?x1,从而????x1,于是得??supE(2)证明区间套定理

13

假设??an,bn??为区间套,由于?an?是递增有上界数列,从单调有界定理可知,一定??使k?nliman=?n??,由于bn?an?0?n???,所以limbn=lim?bn-an??liman=?n??n??n??,又在

的时侯,存在an?ak?bk?bn,令K??可得an???bn,有关?的唯一性也易

证,证毕.

(3)证明有限覆盖定理

设H是?a,b?的开覆盖.如果H没有有限子覆盖,那么对?a,b?构建区间套,让每一个闭区间?an,bn?均没有有限子覆盖,类似单调有界定理证明区间套定理的方法,由单调有界定理可得limn??an???limbnn??,即

,

???0,?N,?n?N?????an????,????bn???????0,?N,?n?N?????an????,????bn????从而[an,bn]?????,????

??,???这表明?an,bn?已被开区间??盖定理成立.

(4)证明聚点定理 设E??所覆盖,这与?an,bn?的作法矛盾,于是有限覆

?x?是有界无限点集.构建数列?xn??E,类似利用单调有界定理求证柯

西准则的方法,能够得到?xn?一定存在收敛子数列?xn?k?,满足xnnk???k???,因此

的邻域U??，??一定有?xnk?的无穷个点.因为?x???x??E,所以U??，??必含

nk有E的无数个点,这即是说U??，??是E的聚点.

(5)证明Cauchy准则定理

?xn?是Cauchy数列,即???0,?N,?n,m?N?xn?xm???max?xk?1,xk?2,n前已证?xn?有界,若

于是得子列

?xn?的任一项之后总有最大项,则记xnnkk?,k?1,2,?x?,它显然递减且有下界.由单调有界定理知?x?必收敛,设收敛于?,即对

k??0,?K,?k?K?xn????k取N1?max?K,N?,于是当k,n?K时便有

xn???xn?xnk?xnk???2?

14

此即xn???n???,如果{xn}中任何一项后均不存在最大项,不失一般性我们

不妨选择自第一项就是如此,并且记xn?n2?n1使xn2?xn121?x1,因为x1不为最大项,在{xn}里一定有

n2,但是又由于xn同样不是最大项,{xn}内也一定有n3?使得

xn?xn32.由此继续推证,一定得到子列{xn},这个子列递增而且是有上界的,再由单

k调有界定理,?xn?一定收敛,假若收敛于?.与上同理可证xn???n???.总之

Cauchy数列?xn?必收敛.

1.3.4 用有限覆盖定理证明其他定理

（1）证明确界定理 设E?R,E??,且?M?R,有?x?E,x?M.任取x0?E,构造闭区间?x0,M?,

假若E无上确界（最小的上界）,那么?x??x0,M?,有

（1）当x是E的上界的时候,必有更加小的上界x1邻域都是E的上界；

（2）当x不为E的上界的时候,明显存在E内的点x2此邻域中的每点都不能为E的上界.

由此,?x0,M?x,所以存在x开邻域?x,此

?x,所以存在x开邻域?x,

?内每个点x均可以找到一邻域?x,这个邻域或者属于第一类,或者

M属于第二类,而且这些个邻域??x:x??x0,??组成?x0,M?一个开覆盖,又从有限覆盖

定理可知,一定有有限子覆盖??x1,?x2,?,?xn?.值得注意的是,M所在区间是属于第一类的,与此相邻的开区间存在公共点,所以也应该属于第一类的,由此继续递推同样可以得到x0在的区间也是属于第一类的.这就与x0(2)利用有限覆盖定理证明单调有界定理

设{xn}是单调递增有上界的数列,若{xn}不收敛,则区间?x1,M?内任一点x都不会是{xn}的聚点,否则,设x的邻域?x??kk?E相互矛盾.

?12k,x?1?k?2?内含有{xn}的无数点,记它们之一

是xn,并且当k不同时,xn取的是不同的点,于是有

x?12k?xnk?x?12k,k.

?1,2,???

令k??得xnk?x又因为{xn}递增,?n（n充分大）必?k,使nk

15

?n?nk?1

从而

xnk?xn?xnk?1

令k??得xn?x0这与假设{xn}不收敛相矛盾.

由于x不可能为{x}的聚点,于是在?x??,x???上只含有{xn}内有限数个点,把x取遍

?x1,M?,可得到开覆盖H,从有限覆盖定理可知,H必为有限子覆盖

m H?U ?xk??k,xk??k???x1,M???xn?

?仅仅含有{xn}中

k?1 这就说明H覆盖{xn},但是另外还有,每一个开区间?xn??k,xk??k 有限个点,所以H一定也仅含有{xn}中的有限个点,如此的话又产生了矛盾.所以

{xn}一定收敛.

(3)用有限覆盖定理推出区间套定理 设??an,bn??是区间套,记

In??an,bn?,Jn?E?In,

?则?Jn?是开集序列,若

n?1In??,则必有?Jn???a1,b1?,即?Jn?是?a1,b1?的开覆盖.由定

理1.4,必存在有限子覆盖

mJnk?k?1?a1,b1?.从而

?a1,an?m???bn,b1??m??a1,b1??这是不可能的. 所以

?

?In??n?1.设??In.即an???bn(n?1,2,n?1,).?的唯一性不必陈述.

(4)证明聚点定理 设E??x?是有界无限点集,必存在a,b使a?x?b.如果不存在聚点,那么在闭

区间?a,b?上有任何一点x均不能是E的聚点,因而x的?x邻域U?x，?x?最多含有E的有限数个点,使x取尽?a,b?就得到开覆盖?U?x，?x?|x??a,b???可知,H一定存在一个有限子覆盖

H??U1,U2,???,Uk???a,b??EH,从前述定理

又因为每一个Ui?i与H

?1,2,,k?均仅含E中有限个点,H一定也仅仅含E有限个点,此

?E而且E为无限集相矛盾,因此E最少含一个聚点.

16

(5)证明Cauchy准则定理 设{xn}为Cauchy数列,也就是说???0,?N,?n,m?N?xn?xm??2

前面已经得证{xn}是有界的,也就是存在a,b,使得a内任何一点x都不会是{xn}的极限,于是必 ??0?N0?xn?b.若{xn}不收敛,则?a,b?00,?N1,?m?N1?xm?x???令

?max?N,N1?则对?n?N0,必?m1??0N0使

xn?x?xm?x?xn?xm1?012这表明

数列{xn}只有有限项满足

xn?x?2,或者说x的邻域U?0??x,??2??只含{xn}的有限项.

现在令x取尽闭区间?a,b?,可得到开覆盖?U?x,?x??有限子覆盖H ??U1,U2,???,Uk???a,b?? ?H,从定理1.4可知,H一定有

?xn?,因为每一个开区间Ui?i?1,2,???,k?上

都只含有{xn}有限个数的点,H一定也只含有{xn}有限个点,但是这和H??xn?并且

?xn?为无限集相互矛盾,因此Cauchy数列必收敛.

17

第二章 实数连续性的应用研究

2.1连续函数性质的证明

2.1.1 连续函数的有界性定理

定理1 连续函数的有界性理:假若函数间[a,b]内有界. 证明:

方法一:应用有限开覆盖定理 从连续函数的局部有界性可知,?使得

f(x)?Mxf在闭区间[a,b]内连续,那么

f在闭区

x?[a,b],?正整数Mx,满足

f在U（x,?x）内,

.

?[a,b],显然,是[a,b]的一个开覆盖.由有限开覆盖定

考虑开区间?={U（x,?x）: xi理,存在子覆盖??={U (xi,?x):xi?[a,b]}?ix??1,2,?,n?,且存在Mi,使得,对一切

i U (xi,?x)

i?[a,b]有

f(x)?Mi.令

M=

maxMi,则对

,x?[ab,]f(x)?Mi?M,证毕.

方法二:应用致密性定理 假若

f(x)在[a,b]内没有上界,于是对?正整数n,有xn?k[a,b]能够让f(xn)?n,

存在数列{xn}a?xn?[a,b],从致密性定理,存在收敛子列{xn},并且记limxnkk??=?.

k?b,由保不等式性得

k??[a,b].有连续函数的性质

f(xn)klimf(xn)k??k=f(?)???,而f(xn)?nk?k???lim=?,矛盾.同理可证

k??有下界,证毕.

2.1.2连续函数的介质性定理

定理2 连续函数的介值性定理:若介于足

f(a)f在[a,b]内连续,而且

f(a)???f(b)f(a)?f(b),?如果

和

f(b)之间随意实数,这里不妨假设

,于是存在x0,能满

f(x0)??.

证明:

方法一:应用区间套定理 令

g(x)=

f(x)-?,则g也是

18

[ab,上的连续函数,且

g(a)=

f(a)-??0,

g(b)=

f(b)-??0.于是问题转化为证明:存在

x0?[a,b]使

得,g(x0)=0.

将[a,b]平分,得,[a,c],[c,b],若g(c)=0,则c即为所求； 当g(c)?0 若g(c)??0,[a1,b1]=[a,c],若g(c)12?0,则记[a1,). =

12nb1]=[c,b].

此时,g(a1)0 ,g(b1) ?0,且b1-a1=

?(b?a重复上述步骤,得g(an)0,g(bn)?0.且bn?an(b?a)?0（n??）,如此得

一系列区间{[a,b]},中间可能出现两种情况: a) 某个ci,满足g(ci)=0,则,ci即为所求； b) 不存在这样的ci满足

g(bn)?g(ci)=0,此时在所得的这些区间上,满足g(an)?0

0.

?x0?bn有区间套定理,存在x0,满足an假若g(x0)U(x0.下证g(x0)=0.

??0,可以设其大于零,由连续函数保号性质知,存在有x0的一个邻域 U（x0,?）,所以g(an)?,?),满足an0.矛盾,故必有g(x0)=0,证毕.

方法二:应用确界原理

同样令g(x)=

E?[a,b]g(x0)f(x)-?,记E={x: g(x)?0,xE?[a,b]}.由g(b)?0,得b?E,又

,所以非空有界集.有确界原理,

?存在下确界,设

x?（a,ax0?infE?.下证

x?=0.g(a)b0, g(b)??0,有保号性,存在?,使得??a+?）.g(x)?0,?（b??,）, g(x)0.所以x0 x0?b.所以x0?（a,b）假设g(x0)0,不妨设其

?大于零.由连续函数的保号性,存在x0的邻域U（x0,?）使得,对于任意x,满足g(x)特别有g(x0?0.

?2)?0,所以x0??2?E .这与x0为E的下确界矛盾,证毕.

方法三:有别于一般的证明方法,这里利用有限覆盖定理 由上g(x)的定义,g(a)假设g(x)=0在[a,b?0, g(b)?0,现证g(x)=0在[a,b]上至少有一个实根.

?[a,b],g(x)?]上没有实根,则对每一点x0.

19

因为是g(x)连续的,故存在?x的一个邻域U(x,内的函数值和g(x)的符号相同.

令H={ U (x,?x):xi?x),能够让g(x)在U (x,?x)?[a,b]?[a,b]},H是[a,b]的一个覆盖,由有限开覆盖定理,H中

在每个U (xi,?x)内不变

ii存在子覆盖??={U(xi,?x):xi?（xi?1,?i?1）?[a,b]}?i?1,2,?,n?.g(x)号. ??中的邻域中两两不相包含（若相包含,去掉被包含的）.于是U (xi,?x)?U

n?,即相邻邻域相交.由此得出UU(xi,?x)内不变号,故g(x)在[a,b]i上 不变号.这与题设g(a)?0, g(b)?0,异号矛盾.

i?12.1.3一致连续性定理

[1]定理3（一致连续性定理[9]）设证明:

方法一:（用致密性定理） 反证法,假若的两点x?,x???令?=

ff在[a,b]上连续,则

f在[a,b]上一致连续.

在[a,b]内不一致收敛,那么存在?0,但是

?0对??0?0,均存在有相应

[a,b]虽然x??x????f(x?)?f(x??)????.

1n1n,则与它相应的两点记为xn,xn?[a,b],尽管x??x???,但有

??f(xn)?f(xn)???0

在n取尽所有正整数时,可得到数列{xn},{xn}?[a,b],从致密性定理有{xn}的收敛子列{xn}?而得

xn?k???x0?[a,b]（k??）,与此同时有

??kxn?k?xn?k?1n,进一步

?x0?xn?k?xnk+

?kxn?x0???k,

f(x0)?f(x0)?0即{xn?0?0?}也收敛于x0.因此?0f?limk??f(xn)?f(xn)=,而

,矛盾,所以在[a,b]上一致收敛.

方法二:用有限开覆盖定理

f在[a,b]上连续,??f(x?)?f(x)???0,对每一点,x ?[a,b],存在??U(x,x?0,使得x?? U(x,?x)

?[a,b]为闭区间

时,有

[a,b].由开区间所构成集合H?x2),其中x上一个覆盖,从有限开覆盖定理可知,一定有有限子覆盖

20

???U(x,?x2),

xi?[a,b],在

(i?1,2,?).令

??min1?i?n{?x2i},针对任意

U(x,x?,x???[a,b],x??x????,x??上的某一个开区间,设

x???x2),即

x??xi??xi2.

此时有

x???xi?x??x??+

x??xi??xi2+???xi,

故有

f?x???f?xi???2和 f?x????f?xi???2.

?2由此

f?x???f?x????f?x???f?xi??f?xi??f?x??????2??.

2.2实数连续性等价命题的应用

2.2.1确界定理在解题中的应用

确界定理的作用是确定一个数（上确界或下确界）,在证明问题中需要找到一个性质P的数,这时可考虑使用确界定理.它的基本步骤是:首先根据给出的条件构造一个有界数集,使其确界即为证明问题里应要找到的具备性质P的数；然后再证明次数满足需要.如:

例1 若

f(x)[7]在?a,b?上连续,也有无限多个零点,则

f(a)?0,f?b().

f(x)一定有最大零点.

f(c)?0分析:不妨设

?x?,?c即需证

?c??a,?b,使

,且对

?b,?f?最大零点cx?,0是所求的具备性质P的数.

f(x)首先构建集合E,让其上确界是c,再证c是最大零点.可构造合E?在?a,b?上零点集

?x|x??a,b?,f?x??0?,只需证集合E有上界c?E.

?证明:设E知?c?因为

R?x|x??a,b?,f?x??0?,前提给出E是非空有界集,由确界定理能够

并且c??a,b?.又由已知??cn??f(c)?limf(cn)?0n??可使c?supEE,cn?c（当n???时）,

f(x)在?a,b?上连续,所以

E

故c?

即c?maxE,c即是最大零点.

21

2.2.2有限覆盖定理在解题中的应用

有限覆盖定理与确界存在定理、区间套定理有所不同,后两者是着眼于点的局部,但是有限覆盖定理则是重点在整个区间.其作用是由覆盖区间?a,b?的无数个开区间里选出可数个开区间能覆盖闭区间?a,b?.正是由于这种方法,可以把闭区间?a,b?里每一点具有的部分性质转化成整个区间的整个范围的性质,所以证明中关系到闭区间上全体性质时,可以考虑应用有限开覆盖定理.

它的基本步骤[3]为:首先依据要证明的全体性质P,在闭区间?a,b?上每一个点找

nn寻性质P*,然后构建开区间集合

i?1ai,使?a,b??i?1ai.并在每一开区间ai上性质P*仍成立.

nn则由有限开覆盖定理,有可数个开区间

i?1ai,使?a,b??i?1ai,再证明在?a,b?上性质P

成立.

例2.?fn?x??是闭区间?a,b?上的连续函数列,在?a,b?内收敛至函数f?x?,若是对?x??a,b?,?fn?x??为均为单调递减的数列,那么?fn?x??在?a,b?上一致收敛.

分析:“?fn?x??在?a,b?内一致收敛”为整体性质,我们考虑运用有限开覆盖定理.

证明:由已知,??由

fN0?0,?x0??a,b?,?N0?N,有fNfN0?x0??0f?x0?f??,

?x0?及f?x?的连续性,有xlim?x0?0,??x00?x0??0f?x?x0?fN?x0???x0?,所以

对上述??0,使当x??x0??xfN,x0?????a,b?时,有 ,

0?x0??f?x???因?fn?x??单调递减,所以当n?N0时,有

?x??fNfn?x??f0?x0??x0??a,b?f?x???,0

x0在?x0??x理得

0,x0??x0???a,b?上成立.又?a,b???x0??x,x0???,由有限开覆盖定

22

m?a,b??k?1?xk??x0,xk??x0?,设????max?N1,N2,,Nm?,

则当n对?x??a,b?,有

fn?x??f时,

?x???,所以?fn?x??在?a,b?内一致收敛于f?x?.

2.2.3柯西收敛准则在解题中的应用

数列领域的柯西准则仅给出了由数列自身具备的性质来判断数列能否收敛的办法,它和实数理论的构造,及空间的完备性概念引入深度相关,从理论上有着重大意义.

运用柯西准则求证时,平常是由求解不等式这里N与?有关而与P无关.

例3[2]:设数列?x???1?1/22nxn?p?xn??下手,寻到符合关系式的N,

?K?1/n2|n?1,2,3,K2?,证明数列?x?收敛.

n证明:对数列?x?有

nxn?p?xn?1/?n?1???1/?n?p?2

?1/n?n?1???1/?n?p?1??n?p?

=1/n?1/(n?1)?=1/n?1/?n??1/nK?1/(n?p?1)?1/(n?p)p?

时和p?N对???0,取N??1/???1,则对?n?N,都有

xn?p?xn?1/n??

n则由柯西收敛准则知?x?收敛.

2.3实数连续性的推广应用

[6]事实上实数连续性定理不仅在连续函数的性质上有重要应用,其在函数其他领域的研究上都有重要的应用. 例4 设

f(x)在?a,b?上每一点的都存在极限而且均为0.求证

x0?f(x)在?a,b?可积.

x0证明:设

x??x0???a,b?为任意一点,因

limx?x0f(x)?0,

??1?0,???0,当

x0,x0??x0?时,有

xif(x)??1 ?x?x0[a,b]}?.

这样{(

xi??xi,xi??):x?构成[a,b]区间中的一开覆盖.从有限覆盖定

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理,可得到x存在有限子覆盖 {(xi??xi,xi??xi)} ?i?1,2,....k?.

至此证明了除有限个点?x1,x2,...,?1??4?b?a?xk?外,恒有

f(x)??1.

???0,令

xk .取Mk?max?f(x1),f(x2),...,f(xk),?1?,作一分割T,使含有x1,x2,...,的各小区间之总长?i?1?xi??4M.

则

k?f(x)wi?xi??i?1xi?xi??wi?xi?2M?4M?2?k?b?a???.

可积获证. 例5

f(x)在[a,b]可积,则

f(x)的连续点在[a,b]上处处稠密.

f(x)证明:证明上述命题主要归于求证事实上能够这样,可得到?[?,?]?在[a,b]内至少存在一个连续的点.如果

[a,b],由于[?,?]上f?x?能够可积,所以f?x?在

[?,?]内存在连续点,这样就我们就证明了在连续点处处处稠密.

采用区间套定理证明:

f(x)f(x)在[a,b]内至少有一个连续点.

limx?0在

[a,b]可积,所以

?wi?xi?0,对

?1?12,存在分割

f(x)T1使得

?wi?xi??1?b?a?, 如此至少存在一个小区间?xi?1,xi?12,使得其上的振幅

wi??1.否则?wi?xi??1??xi??b?a?,使它的两端点在[a,b]内,记为[a1,b1],则

a?a1?b1?b,b1-a1于

?12?b?a?.

f(x)在[a1?b1]的振幅w[a1,b1]??1?12.同样推存

在

b2理作用

[a1,b1],可知对任意的

-a2??1222=

?b122,

[a2,b2]?[a1,b1],a1?a2?b2?b1,b212?（b1-a1）

?a?,f(x)在[a2]

的振幅w?a2,b2???2?122.

如此进行下去,可得一区间套

[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2]?...?[an,bn]?...

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bn-an?12n（b-a）?0（n??）

,下证

f根据区间套定理,存在唯一一点?∈[an,bn] ?n点连续.

???012n?1,2,??,且an???bn在?,可取n,使得

??,从而令?=min{bn-?,?-an},则,

1?i?nx????时,x

?[an,bn],从而

f(x)?f(?)?w[anbn]?12n??,所以

f在?点连续.证毕.

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结 论

实数的连续性性质是实数域的一个重要的基本特征,微积分学理论的坚实的基础.我们在求证闭区间连续函数性质时,因为实数连续性的七个基本定理具有等价性,以所以可因此能够用任意的其中一个实数的连续性定理来论证在闭区间上的连续函数具有的性质.本文是围绕实数的八个基本定理,实数七个基本定理从根本上讲是等价的,其阐述的角度不同,以不同的形式刻画了实数的连续性,各自又有不同的应用. 尽可能全面的总结出定理之间的相互证明关系,并尝试用不同的办法,不常用的证明方法,顺序进行证明.对其应用更做了汇总与推广,通过其在连续函数方面的应用,可以看出它在极限函数理论方面的基础性作用.我们尝试着继续将其推广,可知实数集合的完备性在实数集上属于基础性特征,不过是在证明的难度上有区别罢了.在平常的学习过程中我们一定要注重实数的完备性的重要性.

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参 考 文 献

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[2] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版[M].北京:高等教育出版社,2004,75-90 [3] 欧阳光中.简明数学分析[M].上海:复旦大学出版社,1988,4-16

[4]刘永健,唐国吉.实属完备性的循环证明及其教学注记[J].时代教育.2009,(2):5-12

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[6] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993,5-12 [7] 陈传璋.数学分析第二版[M].北京:高等教育出版,2007,125-134

[8] 谢惠民,钱定边.数学分析习题课讲义上册[M].北京:高等教育出版社,2003 [9] 良森等.数学分析学习指导书上册[M].出版地: 高等教育出版社,2004.8 [10] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义上册(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003 [11] 华东师范大学数学系.数学分析(第二版)上册[M].高等教育出版

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