圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2sin2 1

|AB|

H

. 2

cos

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典题妙解

下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.

x2y22

1，例1（06湖南文第21题）已知椭圆C1 抛物线，（y m） 2px（p＞0）

43

且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

（Ⅰ）当AB x轴时，求p，m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； （Ⅱ）若p

4

且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程. 3

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x2y2

1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆32

直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC BD，垂足为P.

（1）设P点的坐标为，证明：（x0，y0）（2）求四边形ABCD的面积的最小值.

x0y

0＜1. 32

22

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例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线

分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点. 已知||、

||、||成等差数列，且与同向.

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

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金指点睛

y2

x2 1的上焦点F交椭圆于A、B两点，则1. 已知斜率为1的直线l过椭圆4|AB|=_________.

y2

1的左焦点F作倾斜角为的直线l交双曲线于A、B两点，则2. 过双曲线x

63

2

|AB|=_________.

3. 已知椭圆x 2y 2 0，过左焦点F作直线l交A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积.

2

2

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4. 已知抛物线y2 4px（p＞0），弦AB过焦点F，设|AB| m，△AOB的面积为S，

S2

求证： 为定值.

m

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y2

1上，F为椭圆在y轴正5.（05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆x 2

2

半轴上的焦点. 已知与共线，与共线，且 0.求四边形

PQMN的面积的最大值和最小值.

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6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为 的直线经过抛物线y2 8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若 为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP| |FP|cos2 为定值，并求此定值.

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7. 点M与点F(0,2)的距离比它到直线l:y 3 0的距离小1.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD的最小面积.

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x2

y2 1的焦点相同，8. 已知双曲线的左右焦点F1、F2与椭圆且以抛物线y2 2x的5

准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；

（2）若经过焦点F2且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD

的面积的最小值.

1

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圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案

x2y22b2c

证明：设双曲线方程为2 2 1（a＞0，b＞0），通径H ，离心率e ，

aaab

弦AB所在的直线l的方程为y k（x c）（其中k tan ， 为直线l的倾斜角），其参数方程为

x c tcos ，

. （t为参数）

y tsin .

代入双曲线方程并整理得：（a2sin2 b2cos2 ） t2 2b2ccos t b4 0. 由t的几何意义可得：

|AB| |t1 t2|

2 t1 t2） 4t1t2

2b2ccos 4b22 2） 2

222

asin bcos asin2 b2cos2 2ab2

2

|asin2 b2cos2 |2b2

a|1 e2cos2 |2b2 2

|1 ecos2 |

H

. 22

|1 ecos |

例1.解：（Ⅰ）当AB x轴时，点A、B关于x轴对称， m 0，直线AB的方程为x 1.

（1）（1， ）从而点A的坐标为或.

3

232

点A在抛物线C2上，

99

2p.即p .

84

9

，0），该焦点不在直线AB上. 16

（此时抛物线C2的焦点坐标为

（Ⅱ）设直线AB的倾斜角为 ，由（Ⅰ）知

2

.

x 1）则直线AB的方程为y tan （.

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抛物线C2的对称轴y m平行于x轴，焦点在AB上，通径H 2p

于是有

8

，离心率e 1，3

H8

|AB| .22

sin （31 cos ）

2b21

3，离心率e . 又 AB过椭圆C1的右焦点，通径H

2aH12

|AB| .

|1 e2cos2 |4 cos2

812

.

（31 cos2 ）4 cos2

12

tan . 解之得：cos ，7

2

在直线y tan

（ x 1） 抛物线C2的焦点F（，m）

3

16

. m tan ，从而m

33

当m

时，直线AB的方程为x y 0； 3

6

时，直线AB的方程为6x y 6 0 3

当m

x2y2

1中，a 3，b 2，c 1. 例2.（1）证明：在32

F1PF2 90 ，O是F1F2的中点，

|OP|

122

|F1F2| c 1. 得x0 y0 1. 2

点P在圆x2 y2 1上.

x2y2

1的内部. 显然，圆x y 1在椭圆32

2

2

xy

故0 0＜1.

32

（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为 ，由AC BD可知，直线AC的倾斜角

22

2

.

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32b24通径H ，离心率e .

3a3

又 BD、AC分别过椭圆的左、右焦点F1、F2，于是

H4 ，

1 e2cos2 3 cos2

H4|AC| .2

3 sin 2

1 e2cos（ ）

2|BD|

四边形ABCD的面积

1

|BD| |AC|21443 23 cos2 3 sin2

96 .2

24 sin2 S

0， ， sin22 [0，1].

96 S ，4 .

25

故四边形ABCD面积的最小值为

96. 25

x2y2

例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为2 2 1（a＞0，b＞0）.

ab

|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，设|AB| m，公差为d，则|OA| m d，

|| m d，

(m d)2 m2 (m d)2. 即m2 2dm d2 m2 m2 2dm d2. d

m3m5m

. 从而|OA| ，|OB| . 444

又设直线l1的倾斜角为 ，则 AOB 2 . l1的方程为y

b

x. a

tan

b|AB|4. 而tan2

tan AOB . a|OA|3

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b

2tan a 4.

b31 tan2 1 ()2a

b1

解之得： .

a2

2

b5

. e ()2

a2

（Ⅱ）设过焦点F的直线AB的倾斜角为 , 则

2

.

cos sin . 而sin2

tan2

(1

)2

1 tan2 1. 1 (1252

) cos2 1

5

.

通径H 2b2a 2b b

a

b. 又设直线AB与双曲线的交点为M、N. 于是有：|MN| H

1 e2cos2

4.

即

b 4.

1 (

2)2 15

解得b 3，从而a 6.

所求的椭圆方程为

x2y2

36 9

1. 1. 解：a 2,b 1,c ，离心率e c2b2a 2

，通径H a 1，直线l的倾斜角

4

.

|AB|

H

1

1 e2sin2

8

1 (

)2 (2)25

. 22

2. 解：a 1,b ,c 2，离心率e c

2b2a 2，通径H

a

6，直线的倾斜角 6.

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|AB|

H

22

|1 ecos |

6|1 22 (

2)|2

3.

x2c2 y2 1，a 2,b 1,c 1，左焦点F( 1,0)，离心率e 3. 解：，通径2a2

2b2

H 2.

a

2b2

2，高|OF| c 1，当直线l的斜率不存在时，l x轴，这时|AB| H a

△AOB的面积S

12

. 2 1

22

当直线l的斜率存在时，设直线l的倾斜角为 ，则其方程为y tan (x 1)，即

tan x y tan 0

，原点O到直线AB的距离

d

|0 t

a 0n t a|n|t a|n

s i. n

2|s e|cta n1

2

1 (

22

) cos2 2

2222

. 22

2 cos 1 sin

|AB|

H

22

1 ecos

12sin

. △AOB的面积S |AB| d 2

21 sin 0＜ ＜ ，

sin ＞0. 从而1 sin2 2sin . S

2sin 2.

2sin 2

当且仅当sin 1，即

2

时，“=”号成立. 故△AOB的最大面积为

2

. 2

4. 解：焦点为F(p,0)，通径H 4p.

当直线AB的斜率不存在时，AB x轴，这时|AB| m 4p，高|OF| p，△

AOB

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的面积S

1

|AB| |OF| 2p2. 2

S24p44p4

p3，是定值. mm4p

当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为 ，则其方程为y tan (x p)，即

tan x y ptan 0

，原点O到直线AB的距离

d

|ptan |tan2 1

p|tan |

psin .

|sec |

|AB|

H4p

.

sin2 sin2

12p2

. △AOB的面积S |AB| d

2sin

S24p414p4sin2 3

. p 22

msin msin 4p

S2

p3（p3为定值）

不论直线AB在什么位置，均有my2

1中，a 2，b 1，c 1. 5. 解：在椭圆x 2

2

1）由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，，且MN PQ.

如图，设直线PQ的倾斜角为 ，则直线MN的倾斜角

2

.

2b22

2，离心率e 通径H .于是有 a2

|MN|

H

1 e2sin2(

2

)

22

，2

2 cos

|PQ|

H22

.222

1 esin 2 sin

四边形PQMN的面积

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1

|MN| |PQ|212222 22 cos2 2 sin2

16 .8 sin22 S

0， ， sin22 [0，1].

16 S ，2 .

9

故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为

16

和2. 9

6.（Ⅰ）解：2p 8,p 4， 抛物线的焦点F的坐标为(0,2)， 准线l的方程为x 2.

（Ⅱ）证明：作AC l于C，FD AC于D. 通径H 2p 8. 则|AB|

H8

,|EF| |FP|cos ,|AD| |AF|cos .

sin2 sin2

|AF| |AC| |AD| p |AF|cos 4. 4

. |AF|

1 cos

|EF| |AF| |AE| |AF|

从而|FP|

1444cos|AB| 21 cos sin2 sin2

|EF|4

. cos sin2

|FP| |FP|cos2 |FP|(1 cos2 )

故|FP| |FP|cos2 为定值，此定值为8.

42

2sin 8. 2

sin

7. 解：（1）根据题意，点M与点F(0,2)的距离与它到直线l:y 2的距离相等，

点M的轨迹是抛物线，点F(0,2)是它的焦点，直线l:y 2是它的准线.

从而

p

2， p 4. 2

所求的点M的轨迹方程是x2 8y.

（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， 它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为 ， 则直线CD的倾斜角为90 .

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抛物线的通径H 2p 8，于是有：

|AB|

H8H8

. ,|CD|

cos2 cos2 cos2(90 )sin2

四边形ACBD的面积

1

|AB| |CD|2188

22

2cos sin 128 .2

sin2 S

2

当且仅当sin2 取得最大值1时，Smin 128，这时2 90 , 45 .

四边形ACBD的最小面积为128.

x2

y2 1中，a ,b 1,c a2 b2 2，8. 解：（1）在椭圆 其焦点为F1( 2,0)、5

F2(2,0).

2

在抛物线y 2x中，p 1， 其准线方程为x

p1 . 22

a21

， a 1,b c2 a2 3. 在双曲线中，c 2,c2y2

1. 所求的双曲线的方程为x 3

2

（2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，

它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为 ，则直线CD的倾斜角为90 .

2b2c

6，离心率e 2. 于是有： 双曲线的通径H

aa|AB|

H6H6

. ,|CD|

1 e2cos2 1 4cos2 1 e2cos2(90 )1 4sin2

四边形ACBD的面积

1

S |AB| |CD|

2166

=18 22

21 4cos 1 4sin

18

. 3 4sin22

1

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2

当且仅当sin2 取得最大值1时，Smin 18，这时2 90 , 45 .

四边形ACBD的最小面积为18.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a4zm.html