上1-3习题解答

大学物理习题解答

湖南大学基础物理系

第一章 质点运动学

23

1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t - 2t．试求： （1）第2s内的位移和平均速度；

（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程； （3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．

解：（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)． 在第2s末的位移大小为x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s内的位移大小为Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，

经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为v=Δx/Δt = 4(m·s-1)．

（2）质点的瞬时速度大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2， 因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，v(2) = 12×2 - 6×22 = 0， 质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．

（3）质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t， 因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 12×1 = 0，

第2s内的平均加速度为a= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s)． [注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．

1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证

2(n?1)s加速度为a?．并由上述数据求出量值． 2(n?1)t证：依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得a = (n – 1)vo/t ------- (1) 根据速度与位移的关系式 vt2 = vo2 + 2as， 得a = (n2 – 1)vo2/2s ------- (2) (1}平方之后除以 (2)式证得a?计算得加速度为a?2(5?1)30(5?1)102-2

2(n?1)s(n?1)t2．

= 0.4(m·s-2)．

1.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初

-1

速度65m·s从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问： （1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？

（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？

22.5o 70m 图1.3

解：方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方

-1

向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s)．

取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt - v0 = at，

这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为

t1 = vy0/g = 2.49(s)．

再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 = 2as， 可得上升的最大高度为h1 = vy02/2g = 30.94(m)．

1

他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m)． 根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为

t2?2h2g= 4.49(s)．

因此他飞越的时间为t = t1 + t2 = 6.98(s)．

他飞越的水平速度为vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1)， 所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m)．

-1

（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy = gt = 69.8(m·s)，

221/2-1

落地速度为v = (vx + vy) = 92.08(m·s)， 与水平方向的夹角为υ = arctan(vy/vx) = 49.30o，方向斜向下．

方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程

12gt?v0sin?t?y?0，解得 t?(v0sin??2v0sin??2gy)g．

22这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t = 6.98(s)． 由此可以求解其他问题．

1.4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船

2

速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv，k为常数． （1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为（2）试证在时间t内，船行驶的距离为x?dvv21v?1v0?kt；

1kln(v0kt?1)．

tv证：（1）分离变量得??kdt， 积分

v0?vdv2??k?dt， 可得

01v?1v0?kt．

（2）公式可化为v?dx?v01?v0kt1k2

v01?v0kt1，由于v = dx/dt，所以

xtdt?k(1?v0kt)d(1?v0kt) 积分

?dx?0?k(1?v010kt)d(1?v0kt)．

因此 x?ln(v0k?t1．) 证毕．

[讨论] 当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．

由于a = dx/dt，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程 dt?2

mdvf(v)，

解方程即可求解．在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则dv/dt = -kvn． （1）如果n = 1，则得

dvv??kdt，积分得lnv = -kt + C．

-kt

当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e．

而dv = v0e-ktdt，积分得x?v0?ke?kt?C`．

v0k(1-e?kt当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此 x?)．

2

（2）如果n≠1，则得

dvvn??kdt，积分得

v11?n1?nn?1??kt?C．

1v0n?1当t = 0时，v = v0，所以

v01?n1?n?C，因此

v??(n?1)kt． {[1?(n?1)v0kt](n?2)vn?1(n?2)/(n?1)如果n = 2，就是本题的结果．如果n≠2，可得x??1}n?20k，

读者不妨自证．

1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：

（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；

（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？

解：（1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)， 法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2)；角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)， 切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2)． （2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，

当at = a/2时，有4at = at + an，即an?at3．由此得r?2?r?即 (12t2)2?24t3， 解得 t?3222

3，

3/6．

所以 ??2?4t3?2(1?=3.154(rad)． 3/3)（3）当at = an时，可得rβ = rω2，即 24t = (12t2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．

1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 203m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？ 解：建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为

v0x = v0cosθ，v0y = v0sinθ．

加速度的大小为ax = acosα，ay = asinα． 运动方程为x?v0xt?12axt，y??v0yt?1212aco?s?2212y a ay O α ax θ v0x v0y v0 ayt．

2s?t?即 x?v0co?t，

2x y??v0sin??t?asin??t．

2v0sin?asin??103(s)．

令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为t = 0（舍去）；t?将t代入x的方程求得x = 9000m．

[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．

3

1.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度． 解：圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度． 由于h?12R s)． at?t，所以at = 2h/Δt = 0.2(m·

v222-2

图1.7 A 物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(m·s-1)， 这也是边缘的线速度，因此法向加速度为an?R= 0.36(m·s-2)．

-2-1

1.8 一升降机以加速度1.22m·s上升，当上升速度为2.44m·s时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算： （1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；

（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．

解：在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为h1?v0t?螺帽做竖直上抛运动，位移为h2?v0t?由题意得h = h1 - h2，所以h?解得时间为t?1212212at；

2gt．

2(a?g)t，

2h/(a?g)= 0.705(s)．

算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．

[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程 h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．

1.9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变． （1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为t0?（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为t1?（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为t2?2lv；

t01?u/v22； ．

v

v

t01?u/v22证：（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v． （2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为

t1?lv?u?lv?u?2vlv?u22A B B u

?2l/v1?u/v22?t01?u/v22．

v + u A v - u

v A u v （3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为V?v?u，所以飞行时间为

22B

4

t2?2lV?2lv?u22?2l/v1?u/v22 ?t01?u/v22． 证毕．

1.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会h 被雨水淋湿？

解：雨对地的速度v2等于雨对车的速度v3加车对地的速度v1，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα = l/h． 方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得

v1 = v2sinθ + v3sinα，

其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα， 即 v1?v2(sin??lhcos?)． 证毕．

l θ v2 v1 ???图1.10

α h v3 α θ v2 v⊥ l v1 ，所以

方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得

v1?v2sin(???)cos??v2lhv1sin(???)?v2sin(90???)sin?cos??cos?sin?cos??v2(sin??cos?tan?)，

即 v1?v2(sin??cos?)．

方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为l = (v1 – v2sinθ)t，h = v2cosθ?t．两式消去时间t即得所求． 证毕．

5

2.12 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示． 解：珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为F = mgtgθ． 珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ．

根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ， 可得

g2?R?，解得 ???arccos2． cos?R?F O x 图2.13 ω θ r 图2.12

R m mg mg

2.13 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．

解：方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为I?m x ?π/2?0(?kAcos?t)dt??kAπ/2??sin?t0??kA?

方法二：利用动量定理．小球的速度为v = dx/dt = -ωAsinωt，

设小球的质量为m，其初动量为p1 = mv1 = 0，末动量为p2 = mv2 = -mωA， 小球获得的冲量为I = p2 – p1 = -mωA，可以证明k =mω，因此I = -kA/ω．

2.14 一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？ 解：小球动量的大小为p = mv，

???但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义?p?p2?p1 ???得p2?p1??p，由此可作矢量三角形，可得?p?2p?2mv．

-1

2

Δp p1 p2 p1 m R 因此向心力给予小球的的冲量大小为I??p= 1.41(N·s)．

2

[注意]质点向心力大小为F = mv/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量

mv．

R42R4假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力

F = mv2/R = mωv，

其分量大小分别为Fx = Fcosθ = Fcosωt，Fy = Fsinθ = Fsinωt， 给小球的冲量大小为dIx = Fxdt = Fcosωtdt，dIy = Fydt = Fsinωtdt，

I?Ft?mvT2?mv2?R/TT??y Fx F O m Fy R x 积分得Ix?Iy??T/40Fcos?tdt?FT/4?sin?t0?T/4F???mv， F?T/40Fsin?tdt??22F?cos?t0??mv，

合冲量为I?

Ix?Iy?2mv，

所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．

11

2.15 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？ 解：球上升初速度为vy?其速度的增量为?v?2x-1

s)， 2gh= 14(m·2y-1

s)． v?v= 24.4(m·

-1

vy Δv

棒给球冲量为I = mΔv = 7.3(N·s)，

对球的作用力为（不计重力）F = I/t = 366.2(N)．

2.16 如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在

一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s）

解：物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma，物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程T = Ma， 联立方程可得a = g/2 = 5(m·s-2)．

根据运动学公式s = v0t + at/2，可得B拉C之前的运动时间t?2s/a= 0.4(s)．

-1

此时B的速度大小为v = at = 2(m·s)．

物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得2Mv = 3Mv`， 因此C开始运动的速度为v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．

2.17 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？ 解：炮弹在最高点的速度大小为v = v0cosθ， 方向沿水平方向．

根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得

mv/2?m2v`cos45?，

2

-2

vx B C 图2.16 A v0 θ v` 45v v` 所以 v` = v/cos45° =

2v0cos?．

2.18 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？

?解:：取弧长增加的方向为正方向，弧位移ds的大小为ds = Rdθ．

?重力G的大小为G = mg，

45° N θ R F ds f m图2.18

方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为

??dW1?G?ds?Gcos(??π/2)ds??mgRsin?d?，

12

积分得重力所做的功为W1??45?045?(?mgRsin?)d??mgRcos?0??(1?22)mgR．

?摩擦力f的大小为f = μkN = μkmgcosθ，方向与弧位移的方向相反，

??所做的功元为dW2?f?ds?fcosπds??ukmgcos?Rd?，

积分得摩擦力所做的功为W2??45?45?0(??kmgRcos?)d????kmgRsin?0??22?kmgR．

???要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力G、摩擦力f和马的拉力F就是平衡力，即

??????F?G?f?0，或者 F??(G?f)．

??????拉力的功元为dW?F?ds??(G?ds?f?ds)??(dW1?dW2)，

拉力所做的功为W??(W1?W2)?(1?22?22?k)mgR．

由此可见：重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．

2.19 一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求： （1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因数；

（3）在静止以前质点运动了多少圈？

解：（1）质点的初动能为E1 = mv02/2，末动能为E2 = mv2/2 = mv02/8， 动能的增量为ΔEk = E2 – E1 = -3mv02/8，这就是摩擦力所做的功W． （2）由于dW = -fds = -μkNds = -μkmgrdθ， 积分得W??2?0(??kmgr)d???2??kmgr．

3v02由于W = ΔE，可得滑动摩擦因数为?k?16πgr．

（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为at = f/m = -μkg， 根据公式vt – vo = 2ats，可得质点运动的弧长为s?2

2

v022a?v022?kg?8?r3，

圈数为 n = s/2πr = 4/3．

[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量

-fs = ΔE k，可得 s = -ΔE k/f， 由此也能计算弧长和圈数。

2.20 如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m．弹簧的倔强系数k = 400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？

解：取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程mgssin???mgxsin??

s = 3m B A θ = 45° 图2.20

12kx，

213

整理和一元二次方程

mgsin??12kx?mgxsin??mgssin??0，

22解得x?(mgsin?)?2kmgsin?k= 0.24(m)（取正根）．

2.21 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．

证：设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得

1222???根据动量守恒得p0?p1?p2，

mv0?21mv1?21mv2，即 v0?v1?v2；

2222p1 p0 θ p2 其中各动量的大小为p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2， 对矢量式两边同时平方并利用

??222p1?p2?mv1mv2cos?得p0?p1?p2?2p1p2cos?，

2222222即mv0?mv1?mv2?2mv1v2cos?

222化简得v0?v1?v2?2v1v2cos?，

结合机械能守恒公式得2v1v2cosθ = 0，由于v1和v2不为零，所以θ = π/2， 即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．证毕．

2.22 如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳

的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最m1 = 0.8m 低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．

解：钢球下落后、碰撞前的速率为v1?121212O m2 2gl．

图2.22

钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程

m1v1?2m1v`1?2m2v`2，m1v1?m1v1?m2v2．

2``222``整理得m1(v1?v`1)?m2v`2， m1(v1?v1)?m2v2．

``将前式除以后式得 v1 + v1` = v2`，代入整理的下式得 m1v1?m1v1?m2v1?m2v1，

解得 v1?h?v1`2`(m1?m2)vm1?m2?1(1．碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为

22m1?m22g2gm1?m2)v1?(m1?m2m1?m2)l= 0.36(m)．

2[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程

12

m1v1?212m2v2?212m1v`1?212m2v`2，m1v1?m2v2?m1v1?m2v2．

14

2```同理可得v1?v1`?v2?v2．从而解得v1`?(m1?m2)v1?2m2v2m1?m2，

，

或者v1`?`或者v2?2(m1v1?m2v2)m1?m22(m1v1?m2v2)m1?m2`?v1；将下标1和2对调得v2?(m2?m1)v2?2m1v1m1?m2m1v1?m2v2m1?m2?v2．后一公式很好记忆，其中

代表质心速度．

A m 圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求： V （1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？

2.23 一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；

（3）物体到达B时对槽的压力．

解：（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得

mgR?12mv?2R v B M 图2.23

12MV，

2根据动量守恒定律得 0 = mv + MV．

11112222(mv)， (MV)?mv?因此mgR?mv?22M22M解得v?2MgRM?m，从而解得V??m2gRM(M?m)12． MVmM2（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量W??mgRM?mM?mM2．

v?（3）物体在槽底相对于槽的速度为v`?v?V?(1?物体受槽的支持力为N，则 N?mg?m因此物体对槽的压力为 N`?mg?m

v`2)v?2(M?m)gRM，

v`2R， 2mM)mg．

R?(3?2.24 在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一

直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．

解： 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得

4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5．

质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得因此k

15

122ermmpv?22012(4mp)v?202201285(5mp)v?k2022erm2，

5ke22?52mp(v?v)?mpv，所以最近距离为rm?4mpv0．

2.25 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：

（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？

（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？

（3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．

解：（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩l不变；由于角动量L = mvl，所以角动量不守恒．

（2）当单摆逆时针运动时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变．

（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此角动量的变化率为

dLdt?M?F?l?mglsin?．

l θ m 图2.25

l θ N mg

2.26 证明行星在轨道上运动的总能量为E??GMmr1?r2．式中M和m分别为太阳和行星的质

量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离． 证：设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为

E?1212mv1?mv?222v2 r1 v1 r2 GMmr1r2 （1） ． （2）

和 E?GMm它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与

速度方向垂直，可得角动量守恒方程

mv1r1 = mv2r2， 即 v1r1 = v2r2． (3)

将（1）式各项同乘以r12得 Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1 (4) 将（2）式各项同乘以r22得Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5) 将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得 E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)

由于r1不等于r2，所以（r2 + r1)E = -GMm， 故 E??

2.27已知某双原子分子的原子间相互作用的势能函数为Ep?x??Ax12GMmr1?r2． 证毕．

?Bx6,其中A、B为常

量，x为两原子间的距离、试求原子间作用力的函数式及原子间相互作用力为零的距离。 解： 原子间作用力为

F???Ep?x??(12Ax13?6Bx7) 由12Ax13?6Bx7＝0得x＝62AB.

16

2.28 质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．

解：设圆柱体的高为H，其体积为V = π(R22 – R12)h，体密度为ρ = M/V．在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为dV = Sdr = 2πrHdr，其质量为dm = ρdV，

绕中心轴的转动惯量为dI = r2dm = 2πρHr3dr， 总转动惯量为I?2??H

R2R1O R1 R2 O` 图2.28

H ?rdr?31244??H(R2?R1)?12m(R2?R1)．

222.29 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明：

（1）薄板对OX轴的转动惯量为IOX?（2）薄板对OZ轴的转动惯量为IOZ?112112Mb； M(a?b)．

222Y a b Z O X 证： 薄板的面积为S = ab，质量面密度为σ = M/S．

（1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为dS = ady， 其质量为dm =σdS，

22

绕X轴的转动惯量为dIOX = ydm = σaydy，

b/2图2.29 积分得薄板对OX轴的转动惯量为IOX??a同理可得薄板对OY轴的转动惯量为IOY?1??b/2ydy??a213b/2y3?b/2?112?ab?3112Mb．

212Ma．

2Y a r y O` X O x Z Z` （2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其面积为dS = bdx，质量为dm = σdS，

绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量

dIO`Z` = b2dm/12．

根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为 dIOZ = x2dm + dIO`Z` = σbx2dx + b2dm/12， 积分得薄板对OZ轴的转动惯量为

a/2b IOZ??b??a/2xdx?2112Mb2?0dm??b13a/2x3?a/2?112bM?2112M(a?b)．

22方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm． 由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX， 因此板绕OZ轴的转动惯量为IOZ?IOY?IOX?

2.30 一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量．

解：半圆的长度为C = πR，质量的线密度为λ = M/C．在半圆上取A 一弧元ds = Rdθ，其质量为dm = λds，到AA`轴的距离为r = Rsinθ， 绕此轴的转动惯量为dI = r2dm = λR3sin2θdθ，半圆绕AA`轴的转动惯

17

112M(a?b)．

22R θ A` 图2.30

量为

ππI??R3?sin?d???R023?201(1?cos2?)d??π2?R?312MR

2

2.31 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．

解：大圆的面积为S = πR，质量的面密度为σ = M/S．大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM = MR2/2．小圆的面积为s = πr2，质量为m = σs，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr2/2， 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为Im = IC + m(R/2)2．

Im?IC?m(R2)?2R r O

r 2

图2.31

14m(2r?R)?2214??r(2r?R)?22214MrR22(2r?R)，

22剩余部分的转动惯量为 I?IM?2Im?12M(R?r?222rR42)．

2.32 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转

-1

速为900r·min．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．

（1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？

（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？

?0.50 0.75 F O 图2.32

解：设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴，在力矩平衡时有0.5N` – 1.25F = 0， 所以N`=2.5F = 250(N)．

闸瓦对飞轮的压力为N = N`= 250(N)， 与飞轮之间摩擦力为f = μN = 100(N)， 摩擦力产生的力矩为M = fR．

飞轮的转动惯量为I = mR2/2，

角加速度大小为β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2)， 负号表示其方向与角速度的方向相反．

飞轮的初角速度为ω0 = 30π(rad?s-1)．

根据公式ω = ω0 + βt，当ω = 0时，t = -ω0/β = 7.07(s)．

再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为θ = -ω02/2β = 333(rad)， 转过的圈数为n = θ/2π = 53r．

[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．

（2）当t = 2s，ω = ω0/2时，角加速度为β = -ω0/2t = -7.5π． 力矩为M = -Iβ，

摩擦力为f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)π．

闸瓦对飞轮的压力为N = f/μ，

需要的制动力为F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)．

18

2

2.33 一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m，轴承无摩擦．求 （1）飞轮的角加速度．

（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．

（3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果．

解：（1）恒力的力矩为M = Fr = 19.6(N·m)， 对飞轮产生角加速度为β = M/I = 39.2(rad·s-2)．

（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为θ = s/r = 25(rad)， 由于飞轮开始静止，根据公式ω2 = 2βθ，可得角速度为 ??飞轮的转动动能为Ek = Iω/2 = 490(J)．

方法二：用动力学定理．拉力的功为W = Fs = 490(J)， 根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek．

根据公式Ek = Iω2/2，得角速度为??s)． 2Ek/I= 44.27(rad·-1

2

2

m F=98N P=98N

(b) (a)

(图2.33)

s)； 2??= 44.27(rad·-1

(3)物体的质量为m = P/g = 10(kg)．

设绳子的张力为T，则P – T = ma，Tr = Iβ．

2

由于a = βr，可得Pr = mrβ + Iβ， 解得角加速度为??Pr2mr?II?IP?绳子的张力为T?= 54.4(N)． 2rmr?I= 21.8(rad·s)．

-2

张力所做的功为W` = Ts = 272.2(J)，这就是飞轮此时的转动动能E`k． 飞轮的角速度为?`?

2.34 质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈？

解：圆盘对水平面的压力为N = mg，

压在水平面上的面积为S = πR2， 压强为p = N/S = mg/πR2．

O R 图2.34

2Ek/I= 33(rad·s-1)．

`ω0 当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为dS = rdθdr，

对水平面的压力为dN = pdS = prdrdθ， 所受的摩擦力为df = μdN = μprdrdθ，

其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为dM = rdf = μprdrdθ， 总力矩为M?2

2?R??002?prdrd??2π?p13R?323?mgR．

圆盘的转动惯量为I = mR/2，

M4?g??角加速度大小为???，负号表示其方向与角速度的方向相反．

I3R2

根据转动公式ω = ω0 + 2βθ，当圆盘停止下来时ω = 0，所以圆盘转过的角度为

????0222

2??3?0R8?g2，转过的圈数为 n??2??3?0R16??g2．

[注意]在圆盘上取一个细圆环，其面积为ds = 2πrdr，这样计算力矩等更简单。

19

2.35 一个轻质弹簧的倔强系数为k = 2.0N·m．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1 = 80g的物体相连，如力产所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r = 0.05m，质量为m = 100g．先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体m1下降h = 0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑． 解：根据机械能守恒定律可列方程m1gh?2

2

-1

m r m1 图2.35 h m1 12m1v?2

212I??2

212kh，

2其中I = mr/2，ω = v/r，可得2m1gh – kh = m1v + mv/2， 解得v?

2.36 均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度ω绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A轮的重量由B轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为μ，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？ 解：圆轮A对B的压力为 N = M1g，

两轮之间的摩擦力大小为 f = μN = μM1g， 摩擦力对A的力矩大小为MA = fR1 = μM1gR1， 摩擦力对B的力矩大小为MB = fR2 = μM1gR2，

设A和B的角加速度大小分别为βA和βB，转动惯量分别为IA和IB，根据转动定理得方程MA = IAβA，即 βA = MA/IA．

同理可得βB = MB/IB．

当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v，A的角速度为ωA = v/R1， B的角速度为ωB = v/R2．

根据转动运动学的公式得ωA – ω = -βAt，ωB = βBt，

即 v/R1 – ω = -βAt，v/R2 = βBt，化得 v - ωR1 = -βAR1t，v = βBR2t， 将后式减前式得ωR1 = (R1βA + R2βB)t， 解得

?R1?R1 t? ?R1?A?R2?BR1MA/IA?R2MB/IBR1?M1gR1R2?M1gR2?1122M1R1M2R222?M2R1经过的时间为t?．

2?g(M1?M2)?2m1gh?khm1?m/22= 1.48(m·s-1)．

O A R1 B R2 ?R1??R12?g?2?gM1/M2

[注意]在此题中，由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律．

2.37 均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为ω0，转动时受到空气的阻力．阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k．试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半．设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m．

20

a r O dS 图2.37 b r

解：在板上距离转轴为r处取一长度为b，宽度为dr的面积元，其面积为dS = bdr．当板的角速度ω时，面积元的速率为v = ωr，所受的阻力为df = kvdS = kωrbdr，阻力产生的力矩为dM = rdf = kω2r3bdr，因此合力矩为M?2

2

22

a0?k?brdr?2314k?ba．

24板绕转轴的转动惯量为I = ma/3，其角加速度为???负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反．

由于β = dω/dt，可得转动的微分方程分离变量得

3kba4m222MI??3k?ba4m22，

d?dt2??t?3k?ba4m1，

dt??d??2，积分得

3kba4m??C．

3kba4m2当t = 0时，ω = ω0，所以C = -1/ω0，因此转动方程为当ω = ω0/2时，解得时间为t?

4m3kba?02t?1??1?0．

．

2.38 一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上． （1）问它能上升多高？

（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能． 解：（1）碎片上抛的初速度为v0 = ωR， 根据匀变速直线运动公式v2 – v02 = -2gh， 可得碎片上升的高度为h = v02/2g =ω2R2/2g．

（2）余下部分的角速度仍为ω，但是转动惯量只有I?所以角动量为L = Iω = R(M/2 – m)ω．

转动动能为Ek?

12I?2R ω 图2.38

12MR?mR，

222

?1M22(?m)?R． 222.39 两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行，两人质量分别为mA = 60kg，mB = 70kg，它们速率分别为vA = 7m·s-1，vB = 6m·s-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为1.5m．求该瞬时： （1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量； （2）系统的角速度；

（3）两人拉手前、后的总动能．这一过程中能量是否守恒？

解：（1）设质心距A的平行线为rA，距B的平行线为rB，则有rA + rB = r， 根据质心的概念可得mArA = mBrB，

mBmAmA r，rB?r． 解方程组得rA?vA mA?mBmA?mBrA rB vB mB 两运动员绕质心的角动量的方向相同，他们的总角动量为

r 21

L?mAvArA?mBvBrB?mAmBmA?mBm·s)． r(vA?vB)= 630(kg·

2-1

（2）根据角动量守恒定律得L = (IA + IB)ω，其中IA和IB分别是两绕质心的转动惯量

IA = mArA2和IB = mBrB2．角速度为ω = L/(IA + IB) = 8.67(rad·s-1)． （3）两人拉手前的总动能就是平动动能Ek1?拉手后的总动能是绕质心的转动动能：Ek2?1212mAvA?2212mBvB= 2730(J)；

22IA??12IB?= 2730(J)，

可见：这一过程能量是守恒的．

[讨论]（1）角动量．根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为

mAmBmAmB222r， I?mArA?mBrB?r(rA?rB)?mA?mBmA?mB角速度为??LI?vA?vBr

可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关．

（2）损失的能量．两人的转动动能为

1mAmB122?(vA?vB)， Ek2?(IA?IB)?2mA?mB2因此动能的变化量为ΔE = Ek2 – Ek1?简化得?E??(mAvA?mBvB)2(mA?mB)21mAmB11222(vA?vB)?(mAvA?mBvB)

2mA?mB22，

负号表示能量减少．可见：如果mAvA≠mBvB，则ΔE≠0，即能量不守恒．在本题中，由于mAvA = mBvB，所以能量是守恒的．

2.40．一均匀细棒长为l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0，在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方l/4处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过O点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度ω0．

解：以O点为转动轴，棒的质心到轴的距离为l/4，在碰撞之前，棒对转轴的角动量为mv0l/4．在碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为Iω0．

棒绕质心的转动惯量为Ic = ml2/12，

2根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为I?Ic?md?l/4 l O l/4 v0 图2.40 112ml?m(214l)?2748ml．

2根据角动量守恒定律得mv0l/4 = Iω0， 所以角速度为?0?

14mv0l/I?12v07l．

22

第三章 狭义相对论

3.1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？

解：地球的半径约为R = 6400千米 = 6.4×106(m)，自转一圈的时间是T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)，赤道上钟的线速度为v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．

将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．

南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时． 方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时

Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．

B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为

1v2?t`2，可求得B钟的本征时为?t`??t1?(v/c)?[1?()]?t， ?t?22c1?(v/c)因此时间差为 ?t??t`?1v25

()?t=1.898×10(s)．在南极上看，赤道上的钟变慢了． 2c方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时

Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)． A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为

?t`??t1?(v/c)2，可求得A钟的本征时为?t??t`1?(v/c)?[1?1v2c221v2()]?t`， 2c因此时间差为 ?t`??t?()?t=1.898×`10(s)．在赤道上看，南极上的钟变慢了．

5

[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．

有人直接应用公式计算时间差

?t??t`??t`1?(v/c)2??t`?[1?1v21v2()]?t`??t`?()?t`， 2c2c由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以

S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．

也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．

?t`??t??t1?(v/c)2??t?[1?1v21v2()]?t??t?()?t 2c2c

3.2 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？

23

解：直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为

lx = lcosθ和ly = lsinθ．

在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据

`2尺缩效应得lx?lx1?(v/c)，因此tan?`?lylx``?tan?1?(v/c)2，

可得夹角为?`?arctan{[1?(v/c)2]?1/2tan?}．

3.3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？

解：在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式

?t`??t1?(v/c)2， 即 5?41?(v/c)2，

可以求两系统的相对速度为v = 3c/5．在S`系中A和B两事件的空间距离为

Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．

3.4 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为?0?2L0c．若

??将这个光钟横放在一个以速度v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，两镜面中心的连线与?v平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？

解：不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时， 所以它们的关系为 ???01?(v/c)2

3.5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．

解：根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式

?x`??x?v?t1?(v/c)2， ?t`??t??xv/c1?(v/c)??xv/c2222----------（1）

由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此

?x`??x1?(v/c)2， ?t`?-----------（2）

21?(v/c)由（2）之上式得它们的相对速度为 v?c1?(?x/?x`)-----------（3） 将（2）之下式除以（2）之上式得 所以 ?t`???x`c?t`?x`??2vc2，

21?x2??1?()c?x`(?x`)?(?x)= -0.577×10-8(s)．

[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如

24

果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式?x`??x1?(v/c)2，计算它们的相对速度．

3.6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？

解：以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式

x`?x?vt1?(v/c)2和t`?t?vx/c2，

21?(v/c)飞船上观察运动员的运动距离为?x`??t?v?x/c1?(v/c)2?x?v?t1?(v/c)2?100?0.8c?101?0.82≈-4×109(m)．

运动员运动的时间为?t`?2?10?0.8?100/c0.6≈16.67(s)．

在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地9

球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×10m．

3.7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔． 解：根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为

t?t?`2`12t2?t1?v(x2?x1)/c1?(v/c)2?8?4?0.8(40?20)/c0.6?≈6.67(s)．

≈-1.6×109(m)．

``空间间隔为x2?x1?x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)240?20?0.8c?(8?4)0.6

3.8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？ 解：在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应?l??l`1?(v10/c)，可得杆的本征长度为

?l`??l1?(v10/c)22?101?0.982= 50.25(m)．

另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为

v10?v200.98c?(?0.8c)v12?= 0.99796c． ?21?v10v20/c1?0.98(?0.8)在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度

?l``??l`1?(v12/c)= 3.363(m)．

2[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速

度，例如用v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．

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3.9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？

解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根

?t`据时间膨胀公式?t?，可得时间间隔为?t`??t1?(v/c)2= 4(s)．

21?(v/c)

3.10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．

解：方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为ux = 0，uy = c．

`星光在S`系中的速度分量为ux?ux?v1?uxv/c2y` 2??u

y 地球 S S` c 星光 太阳 v=u uy` θ` x x` uy?`uy1?v/c1?uxv/c222?c1?u/c?`2`2222c?u -u O 星光在S`系中的速度为u`?即光速是不变的． ux?uy?c，

uuy`星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为?`?arctan?arctanuc?u22．

方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为uy?`c?ux/?2`2c?u，

uxu`y`22从而可求出星光速度垂直地面的夹角为?`?arctan?arctanuc?u22．

[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．

3.11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？

解：（1）粒子的非相对论动能为Ek = m0v/2，相对论动能为E`k = mc – m0c， 其中m为运动质量m?m01?(v/c)2222

．根据题意得1m0c221?(v/c)?m0c?m0v，

22设x = (v/c)2，方程可简化为2

1?x平方得1 = (1 – x)(1 - x)，化简得x(x2 – x -1) = 0．由于x不等于0，所以x2 – x -1 = 0．

?x)?1x， ?1?x，或 1?(1解得x?1?25，取正根得速率为v?c1?25= 0.786c．

m0v1?(v/c)2（2）粒子的非相对论动量为p = m0v，相对论动量为p`?mv?，

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根据题意得方程m0v1?(v/c)2?2m0v．很容易解得速率为v?32c= 0.866c．

3.12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10s，求其能通过的距离． 解：在相对论能量关系中E = E0 + Ek，

静止能量E0已知，且E0 = m0c，总能量为E?mc?所以

11?(v/c)222-6

22m0c?E01?(v/c)2，

1?(v/c)?E0?EkE0， ?t`1?(vc/)2由此得粒子的运动时为 ?t?E0E0?Ek??t`E0?EkE0．

还可得 1?(v/c)?2，解得速率为 v?c1?(E0E0?Ek)．

2粒子能够通过的距离为

?l?v?t?c?t`(E0?EkE0)?1?3?108?2.6?10?6(1?30)2?1= 24167.4(m)．

2

3.13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：

E0E0?Ekvc?1?E0E22．

证：根据上题的过程已得v?c1?(

)，将E = E0 + Ek代入公式立可得证．

23.14 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量． 解：在结合过程中，质量亏损为Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)， 取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)． 如果取c = 2.997925×10(m·s)，可得释放出的能量为ΔE = 3.549977×10(J)．

8

-1

-13

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