2009年江西省芦溪中学高三数学二轮复习 - 三角函数

2009年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《三角函数》大专题

(学生强化专版)

一、专题热点透析

三角函数是高中数学中一种重要的初等函数，是高考数学的一个必考内容，它与代数、几何、平面向量等知识有着密切的联系，其工具性在高考中更进一步得以体现。透析近年高考试题，其趋势为：考小题多重基础，属中、低档题型．主要考察三角函数的基本概念，即：两域（定义域、值域），四性（奇偶性、单调性、周期性、对称性），简单的三角变换（求值、化简）。三角函数的图像、性质及其变换是近年的热点，图像变换已成为“五点法”作图后的另一个热点，与平面向量结合已成为新的考查方向；考大题稳中有降，大题以解答题出现，考查思维能力的难题逐步淡化，而是以考查基础知识与基本技能为主，难度在“较易”到“中等”的程度

二、热点题型范例

题型一、三角函数的求值、化简问题 例1．已知cos??113π，cos(???)?，且0?????。 7142（Ⅰ）求tan2?的值；（Ⅱ）求?。

变式：

已知向量m?(sinA,cosA),n?(1,?2),且m?n?0.

(Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数f(x)?cos2x?tanAsinx(x?R)的值域。

题型二、三角函数的图像与性质问题

例2．函数f(x)?3sin(2x?)的图象为C, 如下结论中正确的是_______. (写出所有正确结

?3论的编号) ①图象C关于直线x?11?对称； 12

2?,0)对称； 3?5?③函数f(x)在区间(?,)内是增函数；

1212②图象C关于点(?个单位长度可以得到图象C。 3??例3. 已知函数f(x)?2sinxcos(?x)?3sin(??x)cosx?sin(?x)cosx

④由y?3sin2x的图象向右平移

22（1）求函数y?f(x)的最小正周期和最值；

（2）指出y?f(x)图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。

变式：

已知函数f(x)?(3sin?x?cos?x)cos?x?（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）画函数f（x）在区间［0，?］上的图象；

（3）将函数f(x)图象按向量a平移后所得的图象关于原点对称，求向量a的坐标（一个即可）．

题型三、三角形中的三角函数问题

28sin例4. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且

1（??0）的最小正周期为?． 2B?C?2cos2A?7. 2(I)求角A的大小；(II) 若a=3， b+ c=3，求b和c的值。

例5. 已知在?ABC中，三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C，向量m?(sinA,cosA)，

??n?(cosB,sinB)且满足m?n?sin2C。

?????（1）求角C的大小；

（2）若sinA,sinC,sinB成等比数列，且CA?(AB?AC)?18，求c的值。

变式：

已知A、B、C是?ABC的三个内角，a，b，c为其对应边，向量

m?(?1,3),n?(cosA,sinA),且m?n?1.

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若AB?(2,1),cosBb?,求?ABC的面积S. cosCc

题型四、三角函数与其他知识交汇问题

例6．已知在?ABC中，AB?BC?3，记AB,BC??． （1）若?ABC的面积S满足3?2S?3，求?的取值范围； （2）若??

例7．已知△ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列．

?3，求?ABC的最大边长的最小值。

（Ⅰ）求△ABC的面积S的最大值；（Ⅱ）求BA?BC的取值范围。

变式：

已知向量a?(cosx,2cosx)，向量b?(2cosx,sin???x?)，若（I）求函数

反馈练习： 1．已知cos???f(x)?a ·b +1 ．

??，求f(x)的最大值和最小值． f(x)的解析式和最小正周期； (II) 若x??0,???2???π?47π??，则?sin??3sin?????的值是（ ）

6?56??B．

A．?23 523 5

C．?4 5 D．

4 52．函数f(x)?cos2x?2sinx的最小值和最大值分别为（ ）

A．?1，1

B．?2，2

C．?3，

3 2D．?2，

3 23．下列函数中，最小正周期是?，且图象关于直线x?A．y?sin(2x??3

对称的是（ ）

???x?) B．y?sin(2x?) C．y?sin(2x?) D．y?sin(?) 36626?6)的一个减区间为 ( )

4．函数f(x)?2cos(x?A.[??2?4?7?5,?] B.[,?] C.[?,?] D.[,?]

336633665．为了得到函数y?sin(2x??6)的图像，可以将函数y?cos2x的图像( )

2????个单位 B 向右平移个单位C 向左平移个单位 D向右平移个单位

3633?26．已知函数y?2sin(x?)?cos2x，则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方

4A 向右平移程是（ ）

A．T=2π，一条对称轴方程为x?C．T=π，一条对称轴方程为x??8

?83? 83?D．T=π，一条对称轴方程为x?

8B．T=2π，一条对称轴方程为x?7．若

cos2?2，则cos??sin?的值为 ??π?2?sin????4??8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若则cosA?

?3b?c?cosA?acosC，

2sin2x?1???9．设x??0，?，则函数y?的最小值为

sin2x?2?10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a?3,b?3,c?30?, 则A＝ 11．已知?ABC的面积为2?3?,?AB?AC?2.

AAA?2sincos?1222的值。

πcos(?A)42sin2（1）求tanA的值；（2）求

12．求值：

cos400?sin500(1?3tan10?)sin701?cos4000

a213．在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且2?tanAcotB

b（1）判断此三角形的形状；

（2）若a=3, b=4，求|CA?CB|的值；

（3）若C=600，ΔABC的面积为3，求AB?BC?BC?CA?CA?AB的值。

14. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知b?c?a?3bc，求： （Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）2sinBcosC?sin(B?C)的值.

15．已知函数f(x)?sin2222?x?3sin?xsin??x??（??0）的最小正周期为π

2??2π?????π?（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围

3

16．已知函数f(x)?sinxxxcos?cos2?2. 222（Ⅰ）将函数f(x)化简成Asin(?x??)?B(A?0,??0,??[0,2?))的形式，并指出f(x)的周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在[?,

17?]上的最大值和最小值。 12

2009年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《三角函数》 大专题 (教师巧拨专版)

一、专题热点透析

三角函数是高中数学中一种重要的初等函数，是高考数学的一个必考内容，它与代数、几何、平面向量等知识有着密切的联系，其工具性在高考中更进一步得以体现。透析近年高考试题，其趋势为：考小题多重基础，属中、低档题型．主要考察三角函数的基本概念，即：两域（定义域、值域），四性（奇偶性、单调性、周期性、对称性），简单的三角变换（求值、化简）。三角函数的图像、性质及其变换是近年的热点，图像变换已成为“五点法”作图后的另一个热点，与平面向量结合已成为新的考查方向；考大题稳中有降，大题以解答题出现，考查思维能力的难题逐步淡化，而是以考查基础知识与基本技能为主，难度在“较易”到“中等”的程度。

二、热点题型范例

题型一、三角函数的求值、化简问题 例1．已知cos??113π，cos(???)?，且0?????． 7142（Ⅰ）求tan2?的值；（Ⅱ）求?．

解：（Ⅰ）由cos??1π12432，0???，得sin??1?cos??1?()?． 7277∴tan??sin?4372tan?2?4383???43．于是tan2??． ???22cos?711?tan?1?(43)47π?13，得0?????．又∵cos(???)?， 2214

（Ⅱ）由0?????

∴sin(???)?1?cos(???)?1?(213233． )?1414由????(???)，得cos??cos[??(???)]

π11343331?cos?cos(???)?sin?sin(???)????? ∴??．

37147142变式：

已知向量m?(sinA,cosA),n?(1,?2),且m?n?0.

(Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数f(x)?cos2x?tanAsinx(x?R)的值域 解：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0，因为cosA≠0，所以tanA=2。

（Ⅱ）由tanA=2得f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2sinx??2(sinx?)?因为x?R,所以sinx???1,1?，当sinx?21223. 231时，f(x)有最大值；

22当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是??3,?. 2??3??题型二、三角函数的图像与性质问题 例1．函数f(x)?3sin(2x?结论的编号)

?3)的图象为C, 如下结论中正确的是__①②③_. (写出所有正确

112??对称；②图象C关于点(,0)对称； 123?5??③函数f(x)在区间(?,)内是增函数；④由y?3sin2x的图象向右平移个单位可以

12123①图象C关于直线x?得到图象C。

例2. 已知函数f(x)?2sinxcos(??x)?3sin(??x)cosx?sin(?x)cosx

22?（1）求函数y?f(x)的最小正周期和最值；

（2）指出y?f(x)图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。 解：（1）y?f(x)最小正周期T??，y?f(x)的最大值为

（2）y?变式：

已知函数f(x)?(3sin?x?cos?x)cos?x?3531?1?，最小值为?1? 22223??3?sin(2x?)左移单位，下移单位y?sin2x 261221（??0）的最小正周期为?． 2

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）画函数f（x）在区间［0，?］上的图象；

（3）将函数f(x)图象按向量a平移后所得的图象关于原点对称，求向量a的坐标（一个即可）． 解：（1）f(x)?sin(2?x?由??)?1 由周期为?得??1，故f(x)?sin(2x?)?1

66??2?2x??6??2得??30 ?x??6，所以函数f(x)的增区间为[k???,k??],k?Z

36?（2）如

?2x? 6 y 图象如下：

y 2 1 ?x ? 63 2? 6?22 5? 12? 1 2? 33? 20 11? 122? 1 ? 13? 63 2下表：

32 O ?6 5?12 2?3 11?12 x

（3）a?(?12,?1)

B?C?2cos2A?7. 2题型三、三角形中的三角函数问题

28sin例1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且

(I)求角A的大小；(II) 若a=3，b+ c=3，求b和c的值。

解：（I）在△ABC中有B+C=π－A，由条件可得4[1－cos(B+C)] －4cos2A+2=7 ∵cos(B+C)= －cosA ∴4cos2A－4cosA+1=0 解得cosA?1?,又A?(0,?),?A?. 231b2?c2?a21?,即(b?c)2?a2?3bc （II）由cosA?知22bc2?b?c?3 又a?3,b?c?3代入得,bc?由2.??bc?2?b?1?b?2 .?或??c?2c?1???例2. 已知在?ABC中，三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C，向量m?(sinA,cosA)，

?n?(cosB,sinB)且满足m?n?sin2C。

?????（1）求角C的大小；（2）若sinA,sinC,sinB成等比数列，且CA?(AB?AC)?18，求c的值。

解：（1）∵m?(sinA,cosA)，n?(cosB,sinB)，m?n?sin2C； ∴sinAcosB?cosAsinB?sin2C；∴sin(A?B)?sin2C ∴sinC?2sinCcosC；∴cosC??????1；又C为?ABC的内角；∴C?；

322（2）∵sinA,sinC,sinB成等比数列，∴sinC?sinAsinB， 由正弦定理知：c?ab；又且CA?(AB?AC)?18，即CA?CB?18，

2∴abcosC?18；∴ab?36；∴c?ab?36；∴c?6

2?????变式：

已知A、B、C是?ABC的三个内角，a，b，c为其对应边，向量

m?(?1,3),n?(cosA,sinA),且m?n?1.

cosBb?,求?ABC的面积S. cosCc?1解：（Ⅰ）?m?n?1 ?3sinA?cosA?1 ?sin(A?)?

62?????5?0?A?? ???A????A??. ?A?.

663666cosBbcosBsinB?,?由正弦定理，得?,?cosBsinC?sinBcosC?0,故 （Ⅱ）?cosCccosCsinC??sin(B?C)?0.?B、C为?ABC的内角，?B?C.又A?,?B?C?.??ABC为正

33（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若AB?(2,1),三角形。AB?4?1?5,?S?352AB?3. 44题型四、三角函数与其他知识交汇问题

例1．已知在?ABC中，AB?BC?3，记AB,BC??． （1）若?ABC的面积S满足3?2S?3，求?的取值范围； （2）若??解：（1）

?3，求?ABC的最大边长的最小值．

AB?BC?AB?BCcos?，AB?BC?3， cos?

13??AB?BCsin??????tan? ， ?3?3tan??3，????. 2264?2?（2）若??，则?ABC?，则其所对的边AC最长，由余弦定理

332?3AC2?AB2?BC2?2AB?BCcos?2AB?BC?AB?BC?3??18；

?3cos3?S?当且仅当AB?BC时取等号，?AB?32，??ABC的最大边长的最小值为32 . 例2．已知△ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列． （Ⅰ）求△ABC的面积S的最大值；（Ⅱ）求BA?BC的取值范围． 解：设BC,CA,AB依次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac，

?a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1由余弦定理得cosB????, 故有0?B?，

32ac2ac2ac2又b?ac?a?c?6?b,从而0?b?2

22（Ⅰ）S?（

111?acsinB?b2sinB??22?sin?3，即Smax?3 2223Ⅱ

）

a2?c2?b2(a?c)2?2ac?b2(6?b)2?3b2BA?BC?accosB?????(b?3)2?27

222 ?0?b?2,?2?BA?BC?18 变式：

已知向量a?(cosx,2cosx)，向量b?(2cosx,sin???x?)，若（I）求函数

f(x)?a ·b +1 ．

??，求f(x)的最大值和最小值。 f(x)的解析式和最小正周期； (II) 若x??0,???2?解：（I）∵a?(cosx,2cosx), b?(2cosx,sin???x?),

∴f(x)?a ·b+1?2cos2x?2cosxsin(??x)?1?1?cos2x?2sinxcosx?1

?4)?2．∴函数f(x)的最小正周期T?当2x?2???． 2?cos2x?sin2x?2?2sin(2x?????x??0,??2? (II) ，∴2x????5????,?4?44?． ∴

?4??2,即x??8时，

f(x)有最大值2?2；

当2x??4?5??,即x?时，f(x)有最小值1． 42

反馈练习： 1．已知cos?????π?47π??，则?sin??3sin?????的值是（ C ）

6?56??B．A．?23 523 5

C．?4 5D．

4 52．函数f(x)?cos2x?2sinx的最小值和最大值分别为（ C ）

A．?1，1

B．?2，2

C．?3，

3 2D．?2，

3 23．下列函数中，最小正周期是?，且图象关于直线x?A．y?sin(2x??3对称的是（ B ）

???x?) B．y?sin(2x?) C．y?sin(2x?) D．y?sin(?) 36626?6)的一个减区间为 ( C )

4．函数f(x)?2cos(x?A.[??2?4?7?5,?] B.[,?] C.[?,?] D.[,?]

336633665．为了得到函数y?sin(2x?A 向右平移

?6)的图像，可以将函数y?cos2x的图像( D )

2????个单位 B 向右平移个单位C 向左平移个单位 D向右平移个单位

3633?26．已知函数y?2sin(x?)?cos2x，则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方

4程是（ D ）

A．T=2π，一条对称轴方程为x?C．T=π，一条对称轴方程为x??8

?83? 83?D．T=π，一条对称轴方程为x?

8B．T=2π，一条对称轴方程为x?7．若

1cos2?2，则cos??sin?的值为 ??π?22?sin????4??8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若

?3b?c?cososA? 则cA?acosC，

3 32sin2x?1???9．设x??0，?，则函数y?的最小值为

sin2x2??3

10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a?3,b?3,c?30?, 则A＝

? 611．已知?ABC的面积为2?3?,?AB?AC?2.

AAA?2sincos?1222的值。

πcos(?A)42sin2（1）求tanA的值；（2）求

解：（1）∵S?ABC?1|AB|?|AC|?sinA?2?3， ① 2又∵AB?AC?2，∴|AB|?|AC|?cosA?2. ②

由①、②得tanA?2?3.

2sin2（2）

AAA?2sincos?12(sinA?cosA)222?

πcosA?sinAcos(?A)4?2(tanA?1)2(2?3?1)6????.

1?tanA31?2?312．求值：cos400?sin500(1?3tan10?)00sin701?cos402cos(60??10?)cos10??3sin10?cos40??sin50??cos40??sin50??cos10?cos10?解：原式＝＝＝

sin70??2cos20?sin70??2cos20?2 a213．在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且2?tanAcotB

b（1）判断此三角形的形状；（2）若a=3, b=4，求|CA?CB|的值；

（3）若C=600，ΔABC的面积为3，求AB?BC?BC?CA?CA?AB的值。

a2sin2AsinAcosB?解：（1）∵2?tanAcotB ∴由正弦定理得

bsin2BcosAsinB?于是sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B ∴A=B或A+B=, ∴?为等腰?或直角三角形

2??（2）由（1）得A=B或A+B=，但由于a≠b，∴A+B= ?|CA?CB|?5

22

（3）∵C=600， ∴A=B，即ΔABC是正三角形?S??32a?3?a?2 4222故AB?BC?BC?CA?CA?AB=3×2×2×cos1200=-6

14. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知b?c?a?3bc，求： （Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）2sinBcosC?sin(B?C)的值.

b2?c2?a23bc3?解：(Ⅰ) a?b?c?2bccosA,故cosA???,所以A?.

2bc2bc26222(Ⅱ) 2sinBcosC?sin(B?C)?2sinBcosC?(sinBcosC?cosBsinC)

1?sinBcosC?cosBsinC?sin(B?C)?sin(??A)?sinA?.

215．已知函数f(x)?sin2?x?3sin?xsin??x??（??0）的最小正周期为π

2??2π???（

??π?（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围

3解

：

Ⅰ

）

f(x)?1?cos2?x3311π?1??sin2?x?sin2?x?cos2?x??sin?2?x???．

222226?2?2π?π，解得??1． 2?因为函数f(x)的最小正周期为π，且??0，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?sin2?x???2πππ7ππ?10≤x≤?≤2x?≤．因为，所以，??36666?2所以?1π?π?13?．因此，即f(x)的取值范围为≤sin?2x?≤10≤sin2x??≤????26?6?22???3?0，?． ??2?16．已知函数f(x)?sinxxxcos?cos2?2. 222（Ⅰ）将函数f(x)化简成Asin(?x??)?B(A?0,??0,??[0,2?))的形式，并指出f(x)的周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在[?,17?]上的最大值和最小值。 12

解：(Ⅰ)f(x)=

11?cosx132?3sinx+?2?(sinx?cosx)??sin(x?)?. 2222242故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝. (Ⅱ)由π≤x≤

5?175?52?3π，得??x???.因为f(x)＝]上是减sin(x?)?在[?,

4124432425?17?5?173?2函数，在[

4,12]上是增函数.故当x=4时，f(x)有最小值－π)＝－

6?64＜－2，所以当x=π时，f(x)有最大值－2。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2；而f(π)=－2，f(12

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