2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解

阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2

? 抛物线方程为: y2?4x………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22 ? a?1?2? a2?1?2??2?3?22………………………………（4分）

? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2

? a??2?1? a?2?3?22? b?2?c?2?a?2?22?2? 双曲线方程为： x23?22?y222?2?1………………………………（6分）

（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H

?x?3y1?,?………………………………………………（7分） 令A?x1,y1?, ? C?12??2? DC?112AP??x1?3??y1222

x1?31 CH??a??x1?2a??322

阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 ? DH?DC?CH?21?12?x1?3??y12???x?2a?3?????4?14? ??a-2?x1?a2?3a2222当a?2时,DH??4?6?2为定值;? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?2…………（12分）

2．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点Anan,an?1在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点

??Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上.

（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；

??an, ?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出kb, n为偶数????n值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式

an?1?1??1??1???1???b1??b2??1??1???bn??ann?2?an?0成立，求正数a的取值范围.

解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得

??an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1??n?5, ?n为奇数?（Ⅱ）f?n???………………………………（5分）

2n?1, n为偶数????…………………………………………（4分）

当k为偶数时，k?27为奇数， 当k为奇数时，k?27为偶数， f?k?27??4f?k?……………………（8分）

? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。（Ⅲ）由

35舍去??2an?1?1??1??1???1???b1??b2??1??1???bn??ann?2?an?0

阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 即a??1?1????bn??11??1??1?记f?n??1?1?1???????2n?3?b1??b2??bn??1??1?1?1?????2n?3?b1??b2?1?1??1?1?1?????2n?5?b1??b2?1?1??1?1?1?????bbn??n?1??? f?n?1??? ?f?n?1?f?n?2?2n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3 ?14n2?16n?164n?16n?15? f?n?1??f?n?, 即f?n?递增，? f?n?min?f?1??? 0?a?4515………………………………（14分）

3.（本小题满分12分）将圆O: x2?y2?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E.

求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.

解: (1)设点P(x?, y?), 点M的坐标为(x, y),由题意可知?1445?,5315??x??x,………………(2分)

?y??2y,x2?y2?1. 又x??y??4,∴x?4y?4?42222x2?y2?1.………………(4分) 所以, 点M的轨迹C的方程为4(2)设点A(x1, y1), B(x2, y2), 点N的坐标为(x0, y0), ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)

阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 ㈡设直线l: x?my?3,

??x?my?3由?消去x,

22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0………………① ∴y0??3m,………………(6分)

m2?43m23m2?4343∴x0?my0?3??2, ??22m?4m?4m?4∴点N的坐标为(433m, ?).………………(8分)

m2?4m2?48323m, ?), 由点E在曲线C上, 22m?4m?4①若OE?2ON, 坐标为, 则点E的为(4812m24222得, 即 ∴m?4m?32?0,m?8 (m??4舍去). ??12222(m?4)(m?4)12m2?4m2?164m2?1由方程①得|y1?y2|???1, 22m?4m?4又|x1?x2| ? |my1?my2| ? |m(y1?y2)|,

∴|AB| ? m2?1|y1?y2| ?3.………………(10分)

4(m2?1)2?3,m?8. ②若|AB| ?3, 由①得∴2m?4∴点N的坐标为(362, ?), 射线ON方程为: y??x (x?0), 362?23?2x??x (x?0)236?y???3, ?), 由? 解得? ∴点E的坐标为(233?x2?4y2?4?y??6??3?∴OE?2ON.

综上, OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.………………(12分)

阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 14.（本小题满分14分）已知函数f(x)?x(x?R).

4?211(1) 试证函数f(x)的图象关于点(, )对称;

24n(2) 若数列{an}的通项公式为an?f() (m?N?, n?1, 2, ?,m), 求数列{an}的前m项和

mSm;

(3) 设数列{bn}满足: b1?1111, bn?1?b2. 设. T??????bnnn3b1?1b2?1bn?1若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n, Sn?Tn恒成立, 试求m的最大值.

解: (1)设点P0(x0, y0)是函数f(x)的图象上任意一点, 其关于点(, )的对称点为P(x, y).

1214?x?x01??x?1?x0,??2?2由? 得? 1y??y0.?y?y0?1?2??4?2所以, 点P的坐标为P(1?x0, ?y0).………………(2分) 由点P0(x0, y0)在函数f(x)的图象上, 得y0?∵f(1?x0)?121.

4x0?2141?x04x04x0??, x0x0?24?2?42(4?2)11114x0?y0??x0?(1?x, ?y0)在函数f(x)的图象上. ∴点P,0224?22(4x0?2)2141kk1(2)由(1)可知, f(x)?f(1?x)?, 所以f()?f(1?)? (1?k?m?1),

2mm2km?k11)? , ?ak?am?k?,………………(6分) 即f()?f(mm22∴函数f(x)的图象关于点(, )对称. ………………(4分) 由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ……………… ① 得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ………………② 由①＋②, 得2Sm?(m?1)?∴Sm?

121m?11m1?2am??2???, 226261(3m?1).………………(8分) 12

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