Mathematica数学实验 - 极限和导数

教师指导实验4

实验名称：极限和导数的运算

一、问题：求一元函数的极限和导数。 二、实验目的：

学会使用Mathematica求数列和一元函数的极限（包括左极限、右极限），会求一元函数的导数，及利用导函数求原函数的单调区间和极值。 三、预备知识：本实验所用的Mathematica命令提示

1、Limit[f,x→x0] 求函数f(x) 在x→x0时的极限；

2、Limit[f,x→x0,Direction→-1] 求函数f(x) 在x→x0时的右极限；

Limit[f,x→x0,Direction→1] 求函数f(x) 在x→x0时的左极限； 3、D[f, var] 求函数f(x) 对自变量var的导数；

SetAttributes[k,Constant] 设定k为常数；

4、FindMinimum[f, {x, x0}] 从x0出发求函数f(x)的一个极小值点和极小值。 四、实验的内容和要求：

n1?1?1、求数列的极限lim?1??、lim?；

n??n??i(i?1)n??i?11sinx2、求函数的极限lim、limtanx；limx(ex?1)

x???/2x??x?0xn223、求下列函数的导数；sinx?cosnx、cosx?lnx、f(sinx)?f(cos2x)

24、求函数f(x)?2lnx?x的导数，求其单调区间和极值。

n五、操作提示

n1?1?1、求数列的极限lim?1??、lim?；

n??n???n?i?1i(i?1)n1??In[1]:= Limit[?1+?,n->Infinity]

n??Out[1]= e In[2]:= Limit[Out[2]= 1

n1,n->?] ?(i+1)i=1in1sinx2、求函数的极限lim、limtanx；limx(ex?1)

x???/2x??x?0xIn[3]:= Limit[

Sin[x],x->0] xOut[3]= 1

In[4]:= Limit[Tan[x],x->Pi/2,Direction->-1] Out[4]= -? In[5]:= Limit[x(E^Out[5]= 1

1-1),x->Infinity] xn23、求下列函数的导数；sinx?cosnx、cosx?lnx、f(sin2x)?f(cos2x)

In[6]:= D[Sin[x]^n Cos[nx],x] Out[6]= nCos[nx]Cos[x]Sin[x]

-1+n

In[7]:= ?x(Cos[x]^2 Log[x])

（注:?x可以在基本输入输出模板中输入）

2Cos[x]-2Cos[x]Log[x]Sin[x] xIn[8]:= D[f[Sin[x]^2]+f[Cos[2x]]]

Out[7]=

Out[8]= -2Sin[2x]f’[Cos[2x]]+2Cos[x]Sin[x]f’[Sin[x]]

2

4、求函数f(x)?2lnx?x2的导数，求其单调区间和极值。

2

In[9]:= f[x_]:=2Log[x]–xIn[10]:= D[f[x],x]

Out[10]=

2-2x xIn[11]:= Solve[D[f[x],x]==0,x] Out[11]= {{x->-1},{x->1}}

In[12]:= <

In[13]:= InequalitySolve[{D[f[x],x]>0,x>0},x] Out[13]= 0

In[14]:= FindMinimum[-f[x],{x,0.05}] Out[14]= {1.,{x->1.}}

（注：由于Mathematica 4.0没有求f(x)极大值的函数，但可以通过求-f(x)的极小值

求f(x)极大值，以上的输出结果表明当x=1时，函数有极大值1）

In[15]:= FindMinimum[-f[x],{x,0.05}]

FindMinimum::fmnum:Objective function

-14.4095+6.28319i is not real at {x}={-0.000743063} Out[15]= FindMinimum[-f[x],{x,0.05}]

（注：由于f(x)没有极大值，Mathematica便给出信息，以输入形式输出）

In[16]:= Plot [f[x],{x,0.05,4},AspectRatio->1,

AxesLabel->{“x”,”y”},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]

y123-2-4-6-8-10-12Out[16]= -Graphics-

学生练习实验4

实验名称：极限和导数的运算

一、问题：求一元函数的极限和导数。 二、实验目的：

学会使用Mathematica求数列和一元函数的极限（包括左极限、右极限），会求一元函数及复合函数的导数，利用导函数求原函数的单调区间和极值。 三、实验的内容和要求：

1knxn（x为常数）；

n??n??n2nsin3xtanx?12、求函数的极限lim、limtanx；lim

x???/2x?0sin2xx??/4sin4x1?sin21?x?1?xx3、求下列函数的导数；、e、log2f(sinx)

1?x?1?xx4、求函数f(x)?的导数，求其单调区间和极值。

1?x21、求数列的极限lim(1?)；（k为常数）、lim2sin四、操作提示

il2sni1、求数列的极限lim(1?)；、mn??1nknnn??k（k为常数）； 2nIn[1]:= SetAttributes[k,Constant] In[2]:= Limit[?1-Out[2]= e-k

n??1??^(k n),n->?] n?In[3]:= Limit[2Out[3]= k

kSin[n],n->Infinity]

22、求函数的极限limsin3xtanx?1、limtanx；lim x???/2x?0sin2xx??/4sin4xIn[4]:= Limit[

Sin[3x]，x->0]

Sin[2x]Out[4]=

3 2In[5]:= Limit[Tan[x],x->Pi/2,Direction->-1] Out[5]= -?

In[6]:= Limit[Out[6]= -Tan[x]-1,x->Pi/4]

Sin[4x]1 21?sin21?x?1?xx3、求下列函数的导数；、e、log2f(sinx)

1?x?1?xIn[7]:= D[1+x-1-x,x]

1+x+1-x11?1???1-+-1-x+1+x+????21-x21+x21-x21+x????

Out[7]= +21-x+1+x1-x+1+x????In[8]:= D[E^-Sin[12-Sin[]x12],x] x2eOut[8]=

11Cos[]Sin[]xx 2xIn[8]:= D[Log[2,f[Sin[x]]],x] Out[8]=

Cos[x]f'[Sin[x]]

f[Sin[x]]Log[2]4、求函数f(x)?x的导数，求其单调区间和极值。 1?x2x

In[9]:= f[x_]:=

1+x2In[10]:= D[f[x],x] Out[10]= -2x1+ 2(1+x2)1+x2In[11]:= Solve[D[f[x],x]==0,x] Out[11]= {{x->-1},{x->1}}

In[12]:= <

In[13]:= InequalitySolve[{D[f[x],x]>0,x>0},x] Out[13]= -1

In[14]:= FindMinimum[f[x],{x,0}] Out[14]= {-0.5,{x->-1.}}

In[15]:= FindMinimum[-f[x],{x,0.05}] Out[15]= {-0.5,{x->1.}}

In[16]:= Plot [f[x],{x,-10,10},PlotRange->{-0.6,0.6},

AspectRatio->1/3, PlotPoint->500,

PlotStyle->{RGBColor[1,0,0.4],Thickness->0.003}]

0.40.2-10-5-0.2-0.45 Out[16]= -Graphics- In[17]:= g[x_]:=-2x1

+2(1+x2)1+x2In[18]:= D[g[x],x]

8x36xOut[18]= ?(1?x2)3(1?x2)2In[19]:= Solve[D[g[x],x]==0,x] Out[19]= {{x?0},{x?-3},{x?3}}

In[20]:= InequalitySolve[D[g[x],x]<=0,x] Out[20]= x?-3||0?x?3

In[21]:= FindMinimum[g[x],{x,2}] Out[21]= {-0.125,{x->1.73205}} In[22]:= FindMinimum[g[x],{x,-2}] Out[22]= {-0.125,{x->-1.73205}} In[23]:= FindMinimum[-g[x],{x,-1}] Out[23]= {-1.,{x->-3.55325×10

-14

}

In[24]:= Plot[g[x],{x,-6,6},PlotRange->{-0.3,1.2},

AspectRatio->1/2, PlotPoint->500,

PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],Thickness->0.005}]

10.80.60.40.2-6-4-2-0.224 Out[24]= -Graphics-

8x36xIn[25]:= h[x_]:=-32(1+x2)(1+x2)

In[26]:= Plot[h[x],{x,-8,8},PlotRange->{-1.6,1.6},

AspectRatio->1, PlotPoint->500,

PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],Thickness->0.005}]

1.510.5-7.5-5-2.52.55-0.5-1-1.5 Out[26]= -Graphics-

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