力学中的斜面模型

力学中的斜面模型

（一）斜面上的动力学问题的解题策略

受力分析，建立坐标系进行正交分解，利用三大定律列方程求解。 易错点：

在计算正压力时遗漏除重力以外的其他力产生的作用而导致摩擦力大小计算错误。

例1：如图1所示，三角形木块放在倾角为的斜面上，若木块与斜面间的摩擦系数，则无论作用在木块上竖直向下的外力F多大，木块都不会滑动，这种现象叫做

“自锁”。千斤顶的原理与之类似。请证明之。

图1

证明：当F作用在物体上时，沿斜面向下的力为斜面向上的摩擦力为：

，假设物体滑动，则沿

由，可得：

从上式可以看出，无论力F多大，能提供给物体的“滑动摩擦力”总是大于下滑力，所以物体不会滑动。

（二）斜面上的多体问题命题方向

常以静力学滑块和电磁场中的电荷、导体棒为对象。对静力学滑块常用整体法与隔离法处理；而对于电磁场中的电荷、导体棒则从受力分析、分析运动状态来确定用什么定律解决。所以打好力学基础是关键。

例2：如图2所示，质量为M的劈块，其左右劈面的倾角分别为质量分别为

和

、

，

的两物块，同时分别从左右劈面的顶端自静止开始下

，求）。

滑，劈块始终与水平面保持相对静止，各相互接触面之间的动摩擦因数均为两物块下滑过程中（

和

均未达到底端）劈块受到地面的摩擦力（

图2

解析：选M、

和

构成的整体为研究对象，把在相同时间内，M保持静止、

和

分别以不同的加速度下滑三个过程视为一个整体过程来研究。根据各种性质的力产生的条件，在水平方向，整体除受到地面的静摩擦力外，不可能再受到其他力；如果受到静摩擦力，那么此力便是整体在水平方向受到的合外力。

根据系统牛顿第二定律，取水平向左的方向为正方向，则有：

其中

、

和

分别为M、

和

在水平方向的加速度的大小，而：

负号表示整体在水平方向受到的合外力的方向与选定的正方向相反，所以劈块受到地面的摩擦力的大小为

，方向水平向右。

的木楔ABC静止于粗糙的水平面上，动摩擦因数的斜面上，有一质量

的木块从静止开始沿斜

，在这过程中楔没有动，求地面对楔

例3：如图3所示，质量

。在木楔的倾角为

面下滑，当滑行路程时，其速度

的摩擦力的大小和方向（重力加速度取10m/s2）。

图3

解析：若采用隔离法，分析木楔M时，受的力特别多，求解繁琐，该题中，虽然M的加速度不同，但仍可用整体法，只是牛顿第二定律应写成：

由

，得木块m沿斜面向下运动的加速度为：

与

将物块m和木楔M看作一个整体，它们在竖直方向受到重力和地面的支持力；在水平方向如果受力只能是摩擦力，暂设其存在，大小为，木楔的加速度为零，只有物块加速度a，如图4所示，沿水平方向和竖直方向分解物块加速度a。对整体在水平方向上运用牛顿第二定律，得

受到的摩擦力水平向左。

，解得

，因为

应与

同向，所以木楔

图4

点评：若一个系统内各个物体的加速度不相同，又不需要求系统内物体间的相互作用力时，利用牛顿第二定律应用整体法解题方便很多。本题也可以用隔离法求解，请同学们试一试。

例4：如图5所示，在水平地面上有一辆运动的平板小车，车上固定一个盛水的杯子，杯子的直径为R。当小车做匀加速运动时，水面呈如图所示状态，左右液面的高度差为，则小车的加速度方向指向何处？加速度的大小为多少？

图5

解析：我们由图可以看出物体的运动情况，根据杯中水的形状，可以构建这样的一个模型：一个物块放在光滑的斜面上（倾角为），重力和斜面的支持力的合力提供物块沿水平方向的加速度，其加速度。

我们取杯中水面上的一滴水为研究对象，它相对静止在“斜面”上，可以得出其加速度为

，而，得：，方向水平向右。

点评：在本题中可以突出物体的受力特征，建立等效模型，用简捷的等效物理模型代替那些真实的、复杂的物理情景，从而使复杂问题的求解过程得到直观、优化。

（三）斜面上的平抛问题

解题时在应用平抛运动特点的同时更要善于利用斜面的优势，如倾角等。

例5：如图6所示从倾角为的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为，第二次初速度为

，试比较

和

，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为

，若

，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为的大小。

图6

解析：由平抛运动知识得：

又由得到

（参见图7），所以：

即

仅与有关，因此

图7

结论：以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。

例6：如图8所示，做平抛运动的小球的初动能为6J，不计一切阻力，它落在斜面上P点时的动能为（ ）

A. 12J B. 10J C. 14J D. 8J

图8

解析：把小球的位移分解成水平位移s和竖直方向的位移h。

即，所以：

根据机械能守恒定律：所以

所以正确答案为C

结论：平抛物体落在斜面上时的动能：

例7：如图9所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平初速度向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为的水平距离为

A.

，不计空气阻力

C.

D.

，从A点以水平初速度

可能为（ ）

向右抛出一小球，其落点与A

B.

图9

解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有确。

，A正

若两物体都落在斜面上，由公式

。

水平位移

得，运动时间分别为，

，C正确。

不会小于

，

若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如图10所示），但一定小于

故

，故

是可能的，

不可能。

可能为ABC

图10

（四）斜面上的最值问题

例8：在倾角为的斜面上以初速度面的最大距离是多少？

平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜

方法一：如图11所示，速度方向平行于斜面时，离斜面最远，所以运动时间为

。

，

此时横坐标为

此时速度方向的反向延长线交横轴于处（可证明）：

图11

方法二：建立如图12所示坐标系

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