华南理工大学高等数学统考试卷上1996

1996高等数学上册统考试卷及解答

一、解答题（本题15分，共有3小题，每小题5分，解题时要写出必要的步骤）

1．求limarcsin(x?x2?x)

x???x???limarcsin(x?x2?x)?limarcsinx???xx?x2?x?limx???1??arcsin?

261?1?1x12．已知y?x?x2?x?x2

1?2x?y??1?2x2x?x2?(1?2x)(2x?x2?1)4x?x2x?x2?x?x22x?x2?x?x2，另：先令u?x?x2

3．已知y?ln11?x2，求dy

112x?xdxdy??dln(1?x2)???dx? 22221?x1?x二、解答题（本题15分，共有3小题，每小题5分）

x1．求函数y?log5的导数（0?x?1）

1?x1?1?1?1 y???????x1?x?ln5x(1?x)ln52．求曲线y?(x?1)2(x?2)的凹凸区间

y??2(x?1)(x?1)?(x?1)2?(x?1)(3x?1);y???6x 故曲线在[0,??)上向上凹，在(??,0]向上凸（向下凹）

3．求?dxsin2(2x?)4dx1???cot(2x?)?c ?2?24sin(2x?)4三、解答题（本题18分，共有3小题，每小题6分） 1．计算?e?23?x?

dx

x30?e?23?x?x3dx??edx??e?xdx?ex|0|0?1?e?2?(e?3?1)?2?e?2?e?3 ?2?e?2102．计算?2?12ln1?xdx 1?x共4页第1页

11?x1?x1?x2??f(x)，lndx?0 记f(x)?ln，则f(?x)?ln即f(x)为奇函数，?1?1?x1?x1?x23．计算?1x1?x0dx x1?xu2?18?2??2udu?u3?2u?? u?3?132令u?x?1，?10dx??21四、（本题7分）一个圆形铝盘加热时，随着温度的升高而膨胀，设该圆盘在温度t?C时半径r?r0(1?at)，其中a为常数，求在t1?C时圆盘面积对温度t的变化率

用s表示圆盘的面积，则s??r2??r02(1??t)2

dsds?2?r02(1??t)?，所求变化率为?2?r02(1??t1)? dtdtt?t1五、（本题7分）在积分曲线y??5x2dx中，求通过点(3,53)的曲线方程

y??5x2dx?535x?c，将x?3,y?53代入的c?0，故y?x3为所求 33x3?1dx 六、（本题9分）求?3x?5x2?6xx3?15x2?6x?1?x3?5x2?6xdx??(1?x(x?2)(x?3))dx

5x2?6x?1ABCA(x2?5x?6)?B(x2?3x)?C(x2?2x)设 ????x(x?2)(x?3)xx?2x?3x(x?2)(x?3)?x2:A?B?C?51928?比较系数：?x:5A?3B?2C?6，解得A?,B??,C?

623?1:6A?1?x3?11928dx?x?lnx?lnx?2?lnx?3?c ?x3?5x2?6x623七、（本题9分）抛物线y2?2px与圆(x?a)2?y2?a2相交于O,A,B三点，问p为何值时，抛物线与公共弦AB 为成图形面积最大？并求此最大面积（其中a为定值且a?p?0）

共4页第2页

2??y?2px先求交点A,B。?2，解得xA?xB?2(a?p) 2??x?y?2axyA?4p(a?p)，yB??4p(a?p) 由对称性，抛物线与AB围成图形的面积为s

s?2?2(a?p)032(a?p)20322pxdx?22p?x316?p(a?p)2 33?8a?pds16?13??令?a?p?2?pa?p??(a?4p)?0

??dp3?2p23p?解得唯一解p?故当p?aadsads?0；当a?p?,?0； ；当0?p?,44dp4dpa时，s取得极大值，也是最大值。 4316a?3a?所求最大面积为????3a2

34?4??x(et2?1)dt??0,x?0，求f?(0)之值 八、（本题6分）若f(x)??2x??0,x?0f(x)?f(0)f?(0)?lim?limx?0x?0x?0??ex0t2?1dt?x3ex?11?lim? x?03x232x2y2九、（本题9分）在第一象限部分内的椭圆2?2?1上求一点，使该点的椭圆

ab切线与两坐标轴所围的三角形的面积最小。

2x2yy?b2x设所求点为(x,y)，由2?2?0，得y???2；

abayxXyYb2x切线方程：Y?y??2(X?x) 即2?2?1

abaya2b2a2b2切线的截距为a1?； ,b1?; 三角形的面积 s?xy2xy改求u?xy?bxa2?x2(0?x?a)的最大值， a共4页第3页

dub?2x22??a?x?令?dxa?a2?x2?b(a2?2x2)a???0x?，解得唯一的驻点 ?222?aa?x当0?x?aaduadu?0；当?x?a,?0；

dxdx22,故当x?2时，u取得极大值，也是最大值，即s取得最小值。

b此时，y?

?ab?，所求点为?,? 2?22??十、（本题5分）计算?0xsinxdx

1?cos2x?

?0xsinxdx??sinx??dcosx??2??dx?????arctancosx|0?

201?cos2x241?cos2x2?01?cos2x共4页第4页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/a435.html