高三数学 《3年高考2年模拟》第六章 数列 第二节 数列的应用

第六章 数列

第二节 数列的应用

第一部分 三年高考体题荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010江西理）5.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数

()128()()

()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152

【答案】C

【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()'0f

只与函数()f x 的一次项有关；得：412123818()2a a a a a a ??==。

2.（2010江西理）4.

2111lim 1333n x →∞??++++= ???（ ） A. 53 B. 3

2 C. 2 D. 不存在

【答案】B

【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

1133lim ()1213

n n →+∞-=- 3.（2010北京理）（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=

（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12

【答案】C

4.（2010四川理）（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，

则lim n n n

a S →∞= （A ）0 （B ）

12 （C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+

作差得a n ＋2＝2a n ＋1

又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1 ? a 2＝2a 1

故{a n }是公比为2的等比数列

S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1 则111

21lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==- 【答案】B

5.（2010天津理）（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ???

???的前5项和为 （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158

【答案】C

【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

显然q ≠1，所以36

39(1q )1-=121-q 1q q q q

-?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5

511()31211612

T -==-. 【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。

6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =

(A)

【答案】A

【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a a a ===10,所以1

32850a a =,

所以133364564655()(50)a a a a a a a =====7.（2010湖北文）7.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078

a a a a +=+

A.1

B. 1

C. 3+

D 3-

8.（2010安徽理）10、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是

A 、2X Z Y +=

B 、()()Y Y X Z Z X -=-

C 、2Y XZ =

D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D

【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。

【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n 表示代入验证得结论.

（2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n

个圆的面

积之和，则lim n →∞

n s = A ． 22r π B. 83

2r π C.42r π D.62r π

9.（2010福建理）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 【答案】A

【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362

n n n S n n n n -=-+?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

二、填空题

1.（2010浙江理）（14）设1

1

2,,(2)(3)23n n

n n N x x ≥∈+-+ 2012n n a a x a x a x =+++???+， 将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则

2345335511110,,0,,,,2323

n T T T T T ==-==-?????? 其中n T =__________________ .

解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题

2.（2010陕西文）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13

＋23＋33＋43＝ （1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．

为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.

解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方

所以第四个等式．．．．．

为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 3.（2010辽宁理）（16）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则

n a n 的最小值为__________. 【答案】212

【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。

【解析】a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2[1+2+…(n -1)]+33=33+n 2

-n 所以

331n a n n n

=+-

设()f n =331n n +-，令()f n =23310n -+>，则()f n 在)+∞上是单调递

增，在上是递减的，因为n ∈N +,所以当n=5或6时()f n 有最小值。 又因为55355a =，66321662a ==，所以，n a n 的最小值为62162a = 4.（2010浙江文）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列， 那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是 。

答案：2n n +

5.（2010天津文）（15）设{a n }

是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和。记*21

17,.n n n n S S T n N a +-=∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = 。 【答案】4

【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。

2n n n T ==

17]n =-

因为n ≧8

，当且仅当n =4，即n=4时取等号，所以当n 0=4时T n 有最大值。

【温馨提示】本题的实质是求T n 取得最大值时的n

值，求解时为便于运算可以对n 进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.

6.（2010湖南理）15．若数列{}n a 满足：对任意的n N *

∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}

()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *= ，

(())n a **= ．

三、解答题

1.（2010湖南文）20.（本小题满分13分）

给出下面的数表序列：

其中表n （n=1,2,3 ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（I ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；

（II ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 {}n b 求和：3241

22

31n n n b b b b b b b b b ++++

2.（2010全国卷2理）（18）（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+． （Ⅰ）求lim n n n

a S →∞； （Ⅱ）证明：

12222312n n a a a n +++…＞． 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)

(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥?的运用，数列极限和数

列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.

【参考答案】

【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.

估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

3.（2010北京理）（20）（本小题共13分）

已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…

A 与

B 之间的距离为111(,)||i d A B a b -=-∑

（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ?，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d (P). 证明：d （P ）≤2(1)

mn m -. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ 因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||n i i i i

i d A C B C a c b c =--=---∑

由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =.

当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;

当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-

所以1(,)||(,)n

i i

i d A C B C a b d A B =--=-=∑ (II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ (,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.

记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知

(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-= (,)(,)d B C d B A C A h =--=

所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的

个数为l 。

设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，

即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。 （III ）2,1

()(,)A B P m d P d A B C ∈=∑,其中,(,)A B P

d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和， 设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0 则

,(,)A B P d A B ∈∑=1()n

i i i t m t =-∑ 由于i t ()i m t -2

(1,2,...,)4

m i n ≤= 所以,(,)A B P d A B ∈∑2

4nm ≤

从而2

22,1()(,)42(1)A B P m m nm mn d P d A B C C m ∈=≤=-∑

4.（2010天津文）（22）（本小题满分14分）

在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *

N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记222

2323n n n T a a a =+++，证明n 32n T 2n 2<-≤≥（2）. 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，

65618a a =+=。

从而655432

a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。 （II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈

所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+-

()441...41k k =+-++?

()21,*k k k N =+∈.

由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.

所以数列{}n a 的通项公式为221,2,2

n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。 （III ）证明：由（II ）可知()2121k a k k +=+，222k a k =，

以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈

若1m =，则2

222n

k k k n a =-=∑，

若2m ≥，则

()()()22

222112211112212214441221n

m m m m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==??+????=++=++-?? ???++-??????∑∑ ()11312211222m m n m n ??=+-+

-=-- ???. 所以223122n k k k n a n =-=+∑，从而2

2322,4,6,8,....2n k k

k n n a =<-<=∑ （2） 当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈。

()()()22

222222121213142221n m k k k k m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()11314222121

m n m n =+-=---+ 所以2231221n

k k k n a n =-=++∑，从而2

2322,3,5,7,....2n k k k n n a =<-<=∑ 综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有

32 2.2

n n T <-≤ 5.（2010天津理）（22）（本小题满分14分） 在数列{}n a 中，10a =，且对任意*

k N ∈.21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，其公差为k d 。 （Ⅰ）若k d =2k ，证明2k a ，21k a +，22k a +成等比数列（*k N ∈）

（Ⅱ）若对任意*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等比数列，其公比为k q 。

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。

（Ⅰ）证明：由题设，可得*4,2121a a k k N k k -=∈+-。

所以131()()...()2121212123

a a a a a a a a k k k k k -=-+-++-++--- =44(1)...41k k +-++?

=2k(k+1)

由1a =0，得222(1),22,2(1).2122122

a k k a a k k a k k k k k =+=-==++++从而 于是1121222221,,221212a a a a k k k k k k a k a k a a k k k k

++++++===++所以。 所以*2,,,22122k d k k N a

a a k k k =∈++时，对任意成等比数列。 （Ⅱ）证法一：（i ）证明：由2,,2121k a a a k k -+成等差数列，及,,22122

a a a k k k ++成等比数列，得212112,222121221

k a a k k a a a q k k k a a q k k k -+=+=+=+-+- 当1q ≠1时，可知k q ≠1，k ∈*N 从而1

11

111,1(2)111

1111211k q q q q k k k k q k ==+-=≥---------即 所以11q k ??????-????

是等差数列，公差为1。 （Ⅱ）证明：10a =，22a =，可得34a =，从而142,2q ==111

q -=1.由（Ⅰ）有 *11

11,,1k k k k q k N q k

k +=+-==∈-得 所以2*222211221,,2122a a a k k k k k k N a a k a k k k k

+++++

===∈+（）从而 因此，

222

2*2222

(1)222214...........22..2(1),2212(1)(2)122242

k a a a k k k k k a a k a a k k k N k k a a a k k k k k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n 为偶数时，设n=2m(*m N ∈)

若m=1,则2

222n

k k k n a =-=∑.

若m ≥2，则

2222

122111221(2)(21)42n

m m m k k k k k k k k k k k a a a k -====++=+=∑∑∑∑+ 221111114414411112222(1)2(1)2(1)21113122(1)(1)222.

m m m k k k k k k k m m k k k k k k k k m m n m n ---===??+++????=++=++- ?????++++??????=+-+-=--∑∑∑ 所以22

223132,22,4,6,8...22n

n k k k k k k n n n a n a ==-=+<-<=∑∑从而 (2)当n 为奇数时，设n=2m+1（*

m N ∈） 2

222

22221(21)31(21)4222(1)n m k k k k m k k m m m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ 11314222(1)21

m n m n =+-=--++ 所以22312,21n

k k k n a n =-=++∑从而2

2322,3,5,72n k k k n n a =<-<=∑··· 综合（1）（2）可知，对任意2n ≥,n N *∈,有2

23222n k k k n a =<-≤∑ 证法二：（i ）证明：由题设，可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=- 212221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k k d q d += 232211122222221111k k k k k k k k k k k k k k

a a d d d q q a a q a q a q ++++++++-===+=+=+ 由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。可得

111111111k k k k k q q q q q +-=-=----， 所以11k q ????-??

是等差数列，公差为1。 （ii ）证明：因为120,2,a a ==所以1212d a a =-=。

所以3214a a d =+=，从而3122a q a ==，1111q =-。于是，由（i ）可知所以11k q ????-??

是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得

11k q -= ()11k k +-=，故1k k q k +=。 从而11k k k d k q d k

++==。 所以

12112112................121k k k k k d d d d k k k d d d d k k ----===--，由12d =，可得 2k d k =。

于是，由（i ）可知()221221,2,*k k a k k a k k N +=+=∈ 以下同证法一。

6.（2010湖南理）21．（本小题满分13分）

数列{}*()n a n N ∈中，是函数322211()(3)332n n n f x x a n x n a x =-++的极小值点

（Ⅰ）当a=0时，求通项n a ；

（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

7.（2010江苏卷）19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列

{}n S 是公差为d 的等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；

（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为2

9。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。

（1）由题意知：0d >，(1)(1)n d n d =-=-

21323213233()a a a a S S S S =+?=?-=，2221)]2),d a d -=

化简，得：2211,a d d d a d -+===

22(1),n d n d nd S n d =+-==，

当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形。 故所求2(21)n a n d =-

（2）（方法一）

222222222

m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>?+>??+>?， 22

2m n c k +<恒成立。 又n m k n m ≠=+且3，222222

292()()92m n m n m n k k ++>+=?>， 故92

c ≤，即c 的最大值为29。

d =(1)n d =-，得0d >，22n S n d =。

于是，对满足题设的k n m ,,，m n ≠，有

2

222

222()99()222m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==。 所以c 的最大值max 92

c ≥

。 另一方面，任取实数92a >。设k 为偶数，令331,122

m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，且22222222331()[(1)(1)](94)222m n S S m n d d k k d k +=+=++-=+。 于是，只要22942k ak +<，即当

k >时，22122m n k S S d ak aS +

92。

2009年高考题

一、选择题

1.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且

25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -++

+= A. (21)n n - B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n -

【解析】由25252(3)n n a a n -?=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=，

+???++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+???++=-，选C.

【答案】 C

2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 6

9S S = A. 2 B. 73 C. 83

D.3 【解析】设公比为q ,则36333

(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 ? q 3＝2 于是63693112471123

S q q S q ++++===++ 【答案】B

3.（2009宁夏海南卷理）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。若1a =1，则4s =( )

A.7

B.8

C.15

D.16 【解析】41a ，22a ，3a 成等差数列，

22132111444,44,440,215a a a a a q a q q q q ∴+=+=∴-+=∴==即，S ,选C.

【答案】 C

4.（2009湖北卷文）设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，

[215+],2

15+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列

D.既不是等差数列也不是等比数列

【答案】B

【解析】可分别求得=????，1=.则等比数列性质易得三者构成等比数列.

5.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是

A.289

B.1024

C.1225

D.1378

【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2

n n a n =+，同理可得正方形数构成的数列通项2n b n =，则由2n b n =()n N +∈可排除A 、D ，又由(1)2

n n a n =

+知n a 必为奇数，故选C. 6..（2009安徽卷理）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是

A.21

B.20

C.19

D. 18

【答案】 B

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