高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案含解

小中高 精品 教案 试卷

三 排序不等式

1．顺序和、乱序和、反序和

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．

2．排序不等式(排序原理)

定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，

c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1

＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．

用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)

a5b5c5111 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：33＋33＋33≥＋＋.

bccaababc 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．

11

∵a≥b>0，∴≤.

ab11

又c>0，从而≥.

bcca11111同理≥，从而≥≥. caabbccaab又由于顺序和不小于乱序和，故可得

a5b5c5b5c5a5

＋＋≥＋＋ b3c3c3a3a3b3b3c3c3a3a3b3b2c2a2?222111?＝3＋3＋3?∵a≥b≥c，3≥3≥3?

cba?cab?c2a2b2111

≥3＋3＋3＝＋＋ cabcab111＝＋＋.

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∴原不等式成立．

利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．

π11．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α

22＋sin 2β＋sin 2γ)．

π?π??π?证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在?0，?为增函数，y＝cos x在?0，?为减函

2?2?2??数，

∴0cos β>cos γ>0.

∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin 1

γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

2

2．设x≥1，求证：1＋x＋x＋…＋x≥(2n＋1)x. 证明：∵x≥1，∴1≤x≤x≤…≤x.

由排序原理，得1＋x＋x＋…＋x≥1·x＋x·x即1＋x＋x＋…＋x≥(n＋1)x.①

又因为x，x，…，x1为1，x，x，…，x的一个排列， 由排序原理，得1·x＋x·x＋…＋x≥1·x＋x·x3

2

2

2

4

2n2

2

4

2n22

2nnnnn－1

＋…＋xn－1

·x＋x·1，

nnn,2nn－1

·x＋x·1

nnnn－1

＋…＋xnn－1

·x＋x·1，

nn得x＋x＋…＋x2n－1

＋x≥(n＋1)x.②

2

2n将①②相加，得1＋x＋x＋…＋x≥(2n＋1)x.

用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假 πaA＋bB＋cC 在△ABC中，试证：≤. 3a＋b＋c 可构造△ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得

设) naA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.

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2

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相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得

aA＋bB＋cCπ

≥. a＋b＋c3

在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．

3．设c1，c2，…，cn为正数组a1，a2，…，an的某一排列，求证：＋＋…＋≥n. 111

证明：不妨设0

因为，，…，是，，…，的一个排列，

c1c2cna1a2an由排序原理，得

111111a1a2ana1·＋a2·＋…＋an·≤a1·＋a2·＋…＋an·，即＋＋…＋≥n.

a1a2anc1c2cnc1c2cn4．设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列， 12n－1a1a2an－1

求证：＋＋…＋≤＋＋…＋. 23na2a3an证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1

cn－1是a2，a3，…，an的一个排列，且c1

111则>>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.

c1c2cn－1

利用排序不等式，有

a1a2an－1b1b2bn－112n－1＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋. a2a3anc1c2cn－123n∴原不等式成立．

课时跟踪检测(十一)

1．有一有序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为( ) A．A≥B≥C C．A≤B≤C

B．A≥C≥B D．A≤C≤B

解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A≥C≥B.

2．若A＝x1＋x2＋…＋xn，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( )

3

2

2

2

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A．A>B B．A

解析：选C 序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，

x1为序列{xn} 的一个排列．由排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即

22

x21＋x2＋…＋xn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.

3．锐角三角形中，设P＝A．P≥Q

a＋b＋c2

，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的关系为( )

B．P＝Q C．P≤Q D．不能确定

解析：选C 不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C， 则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A ≥acos B＋bcos C＋ccos A

＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ＝R

＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝P＝a＋b＋c2

.

4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )

A．76

B．20 C．84 D．96

解析：选A 设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．

5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3

的最大值是________，最小值是________．

解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.

答案：32 28

6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s、4 s、3 s、7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.

解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：41

π

7．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的

4大小关系为________．

解析：不妨设a≥b>0，则A≥B>0，由排序不等式

?aA＋bB≥aB＋bA?

??2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)

aA＋bB＝aA＋bB??

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π

＝(a＋b)， 2π

∴aA＋bB≥(a＋b)．

4π

答案：aA＋bB≥(a＋b)

4

a4＋b4＋c4

8．设a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c≤.

abc证明：由题意不妨设a≥b≥c>0.

由不等式的性质，知a≥b≥c，ab≥ac≥bc. 根据排序原理，得abc＋abc＋abc≤ac＋ba＋cb.① 又由不等式的性质，知a≥b≥c，且a≥b≥c. 再根据排序不等式，得

3

3

3

2

2

2

3

3

3

2

2

2

a3c＋b3a＋c3b≤a4＋b4＋c4.②

由①②及不等式的传递性，得

a2bc＋ab2c＋abc2≤a4＋b4＋c4.

两边同除以abc得证原不等式成立． 9．设a，b，c为任意正数，求解：不妨设a≥b≥c， 则a＋b≥a＋c≥b＋c，由排序不等式，得

111≥≥. b＋cc＋aa＋bab＋cc＋aa＋b＋b＋c的最小值．

aab＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b以上两式相加，得2?∴

＋

＋

bb＋＋cc≥≥bc＋＋ca＋＋

ab， ，

?a＋b＋c?≥3，

??b＋cc＋aa＋b?

3≥，

b＋cc＋aa＋b2

＋＋

abc即当且仅当a＝b＝c时，

ab＋c＋

3

的最小值为. c＋aa＋b2

＋

bc10．设x，y，z为正数，求证：

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x2＋y2y2＋z2z2＋x2

x＋y＋z≤＋＋.

2z2x2y证明：由于不等式关于x，y，z对称， 111222

不妨设0

zyx由排序原理：反序和≤乱序和，得

x2·＋y2·＋z2·≤x2·＋y2·＋z2·，

xyzzxyx2·＋y2·＋z2·≤x2·＋y2·＋z2·， xyzyzxx2＋y2y2＋z2z2＋x2x2＋y2y2＋z2

将上面两式相加，得2(x＋y＋z)≤＋＋，于是x＋y＋z≤＋zxy2z2xz2＋x2

＋. 2y1

1

1

1

1

1

111111

本讲高考热点解读与高频考点例析

考情分析

从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．

真题体验

(陕西高考)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}． (1)求实数a，b的值；

(2)求at＋12＋bt的最大值．

解：(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，

?－b－a＝2，?

则???b－a＝4，

2

解得?

?a＝－3，???b＝1.

(2)－3t＋12＋t＝3·4－t＋t ≤ 3

2

＋14－t2

＋t2

]

＝24－t＋t＝4， 当且仅当

4－tt＝，即t＝1时等号成立， 13

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故(－3t＋12＋t)max＝4.

利用柯西不等式证明有关不等式问题 柯西不等式的一般形式为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋

222222anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，

可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．

11111111

已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：2＋2＋2＋2＞＋＋＋.

abcdabbccdda?1111??11

由柯西不等式?2＋2＋2＋2??2＋2＋?adbcd??bc

1

d2

1?1111?＋2??≥?＋＋＋?2，

a??abbccdda?

11111111

于是2＋2＋2＋2≥＋＋＋.①

abcabbccdda1111

等号成立?＝＝＝?＝＝＝?a＝b＝c＝d.

1111abcdabcdbcdabcda又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立． 11111111即2＋2＋2＋2>＋＋＋.

abcdabbccdda 利用排序不等式证明有关的不等式问题 排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．

a12b12c12101010 设a，b，c为实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

bccaab 由对称性，不妨设a≥b≥c， 111121212

于是a≥b≥c，≥≥.

bccaab由排序不等式：顺序和≥乱序和，得

a12b12c12a12b12c12a11b11c11

＋＋≥＋＋＝＋＋.① bccaababbccabca111111111

又因为a≥b≥c，≤≤，

abc再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得

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a11b11c11a11b11c11

＋＋≤＋＋.② abcbcaa12b12c12101010

由①②得＋＋≥a＋b＋c.

bccaab 利用柯西不等式或排序不等式求最值问题 有关不等式问题往往要涉及对式子或量的围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．

152222

已知5a＋3b＝，求a＋2ab＋b的最大值．

8解：∵??≥?

??5?2?3?2?

?＋??? ??5??3??

3?5?2

×5a＋×3b?

3?5?

2

2

2

＝(a＋b)＝a＋2ab＋b，

35

当且仅当5a＝3b，即a＝，b＝时，等号成立．

8882222

∴×(5a＋3b)≥a＋2ab＋b. 15

88152222

∴a＋2ab＋b≤×(5a＋3b)＝×＝1.

15158∴a＋2ab＋b的最大值为1.

2

2

x2x2x212n－1

已知正实数x1，x2，…，xn满足x1＋x2＋…＋xn＝P，P为定值，求F＝＋＋…＋x2x3xnx2n＋的最小值． x1

不妨设0

111222则≥≥…≥>0，且0

x1x2x2x3

xn?1?1111

∵，，…，，为序列??的一个排列，

xnx1

?xn?

根据排序不等式，得

x2x2x2x212n－1nF＝＋＋…＋＋ x2x3xnx1

111222

≥x1·＋x2·＋…＋xn· x1x2xn＝x1＋x2＋…＋xn ＝P(定值)，

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当且仅当x1＝x2＝…＝xn＝时，等号成立．

22

x2x1x2x2n－1n即F＝x＋x＋…＋x＋x的最小值为P.

23n1

Pn

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