08-09微积分(上)期末考试章乃器学院试卷(附答案)

浙江工商大学章乃器学院2008/2009学年第一学期考试试卷(A) 课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟

班级： 学号： 姓名： 得分： .

一、填空题(本题共10小题,每小题2分,共20分.把答案填在题中横线上)

1、函数 f(x) 1

1

1 x

的连续区间为( ,0) (0,1).

x2 522

2、limsin .

x 3x 2x3

x2 3x a

b , 则 a 2 , b 1 . 3、lim

x 22 x

4、lim 1 kx

x

1

x

= 1 （ k为常数 ）.

1( 1)n n! 3n(n)

5、设 f(x) ,则 f(x) . n 1

3x 2(3x 2)

6、设某商品的需求函数为 Q 100 2p,则在需求弹性 时的边际收益为

50 .

7、设 f (lnx) 1 x , 则 f(x) = x ex C . 8、d(2sin3x) = 3 2sinx cos3x ln2dx.

9、函数 y x ln(e ) 的渐近线为 y x 1,x 1.

e

e

1

3

1x

10、lim

2n = .

n 2n2 12n2 22n2 n

1

二、选择题(本题共7小题,每小题2分,共14分)

1、设函数f(x) xcosx,则 ( D ). (A) 当x 时是无穷大

)内有界 (C) 在( ，

(B) 当x 时极限存在

)内无界 (D) 在( ，

2、设 f(x) 可微，则 limf(2 x) f(1) = ( C ).

x 1

x 1

(A) f ( 2) (B) f ( 1)

x

(C) f (1) D) f (2)

3、x 0 是函数 f(x) arctan1 的 ( C ). (A) 可去型间断点 (C) 跳跃型间断点

(B) 无穷型间断点. (D) 连续点

4、F(x) 与 G(x) 都是 f(x) 在 [a,b] 内的原函数，则必成立（ B ）。

(A) F(x) G(x) 1 (B) F(x1) F(x2) G(x1) G(x2), x1,x2 (a,b) (C) dF(x) dG(x) C(C为任意常数） (D) dF(x) F(x),

dG(x) G(x)

(D) 至少3个

5、设函数f(x) (x2 3x 2)sinx,则方程f(x)在(0, )内的驻点个数为 ( D ). (A) 0个

(B) 至多1个

(C) 2个

6、设 f(x) 在 x x0 的附近三阶可导 , f'(x0) 0,f''(x0) 0;

f'''(x) 0,x (x0 ,x0 ) ； 则点 x x0 是f(x) 的 ( C )。

(A) 极大值点但非拐点横坐标 (C) 拐点横坐标但非极值点

n

(B) 极小值点但非拐点横坐标 (D) 既是极值点又是拐点横坐标

n

1000

lnn

7、设当 n 时，对无穷小 (1)0.001,(1)1000,(999)n,1 作阶数高低比较，它们阶数由高到低顺序排列的次序应是：( D ). (A) (1)0.001,(1)1000,(999)n,1

n

n

1000

lnn

(B) (1)1000,(1)0.001,(999)n,1

n

n

1000n

lnn

(C) (999)n,1,(1)0.001,(1)1000

1000

lnn

n

n

(D) (999)n,(1)1000,(1)0.001,1

1000

n

lnn

三、计算题（1）(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)

x2, x 11、设函数 f(x) 在 x 1 处可导, 求常数 a,b 的值.

ax b, x 1

解： a 2,b 1

x .

2、求 limx arctan x 2

解： limx arctanx lim x

2 x

arctanxx

t

1

limt 0t

1x

1( )'

lim( 1 1) lim(1) 1 limt 0t 0t 01 t2t2t'1 2

t

3、设 y ln

12

1 x

, 求 y (0) .

arccosx

解：y [ln(1 x) ln(arccosx)] y'(x)

1111

; y'(0)

22x 22arccosx x2

4、求 sin5xdx.

解： sinxdx (1 cosx)d(cosx) (1 t2)2dt

2121

(1 2t2 t4)dt t t3 t5 C = cosx cos3x cos5x C

3535

5

2

2

t cosx

四、计算题(2)(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)

2

1、设方程 siny x ey 0,(y ( , )) 确定隐函数 y y(x), 求 dy

22

dx

x 0

.

解： y'(0) 1,y''(0) 2

ln(x 1)

xdx.

解： ln(x 1)dx= 4x 2x 1) 2x 1) 2xln(x 1) C

x4x3、计算 2x. (x 4)2

2、计算

4

sin4t1x2xx 解： 2 2dt 2tant 3t sin2t C x 3 C x22 2

cost22x 4(x 4)

x

4、已知函数 f(x) lim[(x-a) ],(a 0) ；试确定：

n a

（1）函数 f(x) 的连续区间； （2）函数 f(x) 的可导区间.

n

x a (x a),

2

解： f(x) 0, a x a ;

a,x a

2

连续区间 ( , a) ( a, ) ; 可导区间 ( , a) ( a,a) (a, )

五．应用题(每小题6分,共12分)

1、已知某厂生产x件产品的成本为C(x) 25000 200x 1x2(元)。问:(1)要使平均成

本最小,应生产多少件产品 ? (2)若产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品？

25000x

解： (x) 200

x40

,

x2

x0 1000 ; L(x) 300x 25000 ,

40

6000 x

2、设三次曲线 y x3 4x2 3x d 中系数 d 是任意实数；试根据 d 的各种取值，

讨论该三次曲线的零点个数。 解：y( ) ,y( ) ;

y'(x) 3x2 8x 3 ; y'(x) 0 x1 3,x2 y( 3) d 18 , y() d 当 18 d

13

14 ; 27

1 ; 3

14

时， 有三个零点； 27

14

当 d 18 或 d 时， 有两个零点；

2714

当 d 18 或 d 时， 只有一个零点。

27

六、证明题(4 + 2分)

设函数f(x)在( , )上连续 ，limf(3x) 1 ；（1）求证: 方程 f(x) 0 在

x

x3

( , ) 上至少有一个实根；（2）若还有条件：limf'(2x) 存在，

x

x

f''(x) 0,x ( , ) ; 证明该方程的实根还是唯一的。

证明： lim lim

x

f(x)1

M1 0:3x3f(x)1

M2 0:x33x

3

x

x M1 f(x) 0 ；

x M2 f(x) 0 ； 故至少有一个实根；

f(x)f'(x)

lim3x 3x2x

lim

x

x

limf(3x) 1

x

limf(x) ； lim

x

f'(x)

1 ； x2

lim

x

f'(x)

1 M0 0 ： x M0 f'(x) 0 ； 2

x

f''(x) 0 f'(x) 递增 f'(x) 0,x ( , ) ；

故该方程最多有一个实根， 所以实根还是唯一的。

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