2015版人教A版数学必修2课本例题习题改编

2015版人教A版必修2课本例题习题改编

湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com

1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

正视图 侧视图 俯视图

改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA?与BC?所成的角为?，求cos?．

AA?A1B3正视图 B?C2侧视图 BCAB11C?A?3俯视图 B? 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

由于底面?ABC的高为1，所以AB?12?12?2． 故所求全面积S?2S?ABC?SBB?C?C?2SABB?A?

AA?C2B

C?3B?1 ?2??2?1?3?2?2?3?2?8?62213这个几何体的体积V?S?ABC?BB???2?1?3?3(cm)

2（Ⅲ）因为AA?//BB?，所以AA?与BC?所成的角是?B?BC?．

在Rt?BB?C?中，BC??(cm2)．

BB?2?B?C?2?32?22?13，故cos??BB?33??13． BC?1313第 1页 共 12页

2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为

22P2P22O?2正视图 O?2O侧视图 2O俯视图 3cm）．

所以所求表面积S???1?2??1?2???1?2?7?(cm)，

2P2O?所求体积V???12?2????12?3?2??133?(cm3)． 3

O 3.原题（必修2第30页习题1.3B组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，

其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。

改编 已知直角三角形ABC，其三边分为a,b,c,（a?b?c）.分别以三角形的a边，b边，c边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1,S2,S3和

V1,V2,V3,则它们的关系为 ( )

A.S1?S2?S3, V1?V2?V3 B.S1?S2?S3, V1?V2?V3

C.S1?S2?S3, V1?V2?V3 D.S1?S2?S3, V1?V2?V3 解：S1??(bc1bc1)(b?c),V1??()2a,S2??ac??c2,V2??bc2 , a3a31S3??ab??b2,V3??b2c, 选B.

34.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：

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(1)(2)(3)(4)

解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．

5.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）

改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为60?的直线共有 12 对.

改编2 如图正方体中，o，o1为底面中心，以oo1所在直线为旋转轴，线段BC1形成的几

何体的正视图为（ ）

D1A1O1B1C1DOABC

(A)(B)(C)第 3页 共 12页

(D)

解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A、B、D不可能，故选C.

6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？

改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（ ）

(A)(B)(C)(D)

解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A、B、D不可能，故选C.

7.原题（必修2第59页例3）改编 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面 α 有无数多个．答案：D.

8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1

相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.

改编 如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。

C 1 B 1 A 1

A

C B

解：液体部分的体积为三棱锥体积的

17，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的，88第 4页 共 12页

33x3777设空出三棱锥的高为x，则3=，所以，x=,液面高度为1?.

18229.原题（必修2第63页习题2.2B组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌

进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？ (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值； (4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BE?BF是定值.

改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______. (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值； (4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BE?BF是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.

（1） （2） （3） 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.

（6） （7）

BP,C??P,D??C,D,10.原题（必修2第79页复习参考题A组第十题）如图，已知平面?,?，且???A是垂足，试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论. 改编 如图，已知平面?,?，且???AB,PC??,PD??C,,D是垂足．（Ⅰ）求证：AB?平面

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PCD；（Ⅱ）若PC?PD?1,CD?2，试判断平面?与平面?的位置关系，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）因为PC??,AB??，所以PC?AB．同理PD?AB．又PC面PCD．

（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB?平面PCD，所以

PD?P，故AB?平

AB?CH,AB?以

?CHD是二面角C?AB?D的平面角．又PC?PD?1,CD?2，所D，所以HCD2?PC2?PD2?2，即?CPD?900．在平面四边形PCHD中，

?PCH??PDH??CPD?900，所以?CHD?900．故平面??平面?．

11.原题（必修2第90页习题3.2B组第一题）已知点M(2,2),N(5,?2),点P在x轴上，且?MPN为直角,求点P的坐标.

改编：已知点M(2,2),N(5,?2),P在x轴上，若?MPN为锐角，则点P的横坐标的取值范围是

________

解： 用向量的数量积判别：MP?NP?0，易求答案为m?6或m?1

12.原题（必修2 第100页习题3.2 A组第三题）已知A(7,?4)，B(?5,6)，求线段AB的垂直平分线的方程.

改编1 已知A(7,?4)关于直线l的对称点为B(?5,6)，则直线l的方程是（ ） A.5x?6y?11?0 B.6x?5y?1?0 C.6x?5y?11?0 D.5x?6y?1?0 解：依题意得，直线l是线段AB的垂直平分线.∵kAB??1），∴直线l的方程是y?1?2516，∴kl??∵AB的中点为（1，?，6kAB56(x?1)即6x?5y?1?0，故选（B）. 5222改编2 已知圆(x?7)?(y?4)?16与圆(x?5)?(y?6)?16关于直线l对称 ，则直线l的方程是 .

解：依题意得，两圆的圆心A(7,?4)与B(?5,6)关于直线l对称，故直线l是线段AB的垂直平分线，

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由改编1可得直线l的方程为6x?5y?1?0.

改编3 求点A(7,?4)关于直线l:6x?5y?1?0的对称点B的坐标.

?y?46???1??x??5?x?75解：设B(x,y).由AB?l，且AB的中点在直线l上，得?，解得?，

x?7y?4y?6??6??5??1?0?22?∴B(?5,6).

13.原题（必修2第100页习题3.2A组第九题）求过点P(2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 改编1 求过点P(2,3)，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为y?3?x?2或y?或3x?2y?0.

改编2 直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l的方程.

解:依题意，直线l的斜率为±1，∴直线l的方程为y?3?x?2或y?3??(x?2)，即x?y?1?0或x?y?5?0.

14.原题（必修2第101页习题3.2B组第五题）若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l的斜率.

改编： 若直线l沿x轴向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的直线与原来的位置在水平方向上相差2个单位，则原直线的斜率为 4或0.8.

15.原题（必修2第110页习题3.3B组第七题）已知AO是ABC边BC的中线，求证： |AB|2?|AC|2?2(|AO2|?|OC2|.)改编 已知在三角形ABC中，D是BC 边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD= 解:

3x，即x?y?1?0234.

1证：求

0y?16.原题（必修2第110页习题3.3B组第八题）已知0?x?1,?x2?y2?x2?(1?y)22?(1?x)?y2?(1?x2)?(1y?2). ?22改编 长方形ABCD的顶点坐标是A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P是坐标平面上的动点，若

AP2+BP2+CP2+DP2的值最小，则点P的位置在( )

A.长方形的顶点处 B.AB边的中点处 C.两条对角线的交点处 D.三角形ABC的重心处 解:设P(x,y)，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x2+y2+(x-a) 2+y2+(x-a) 2+(y-b) 2+x2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a2+b2

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当P(a/2,b/2)时，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小，选C.

17.原题（必修2 第114页复习参考题A组第3题）求直线2x?5y?10?0与坐标轴围成的三角形的面积.

改编1 过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解：设所求直线方程为y?4?k(x?5)，依题意有

2214(?5)(5k?4)?5， 2k28或k?. 55∴25k?30k?16?0（无解）或25k?50k?16?0，解得k?∴直线的方程是2x?5y?10?0或8x?5y?20?0.

改编2（2006年上海春季卷）已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，

O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为 . 解：设直线AB的方程为y?1?k(x?2)(k?0)，

则S?OAB?1(2?1)(1?2k)?14?4k?1?1[4?(?4k)?(?1)]?1[4?2(?4k)?(?1)]?4，当且仅当

2k2k2k2k?4k??111即k??时取等号，∴当k??时，S?OAB有最小值4. k22改编3 已知射线l:y?4x(x?0)和点M(6,4)，在射线l上求一点N，使直线MN与l及x轴围成的三角形面积S最小.

解：设N(x0,4x0)(x0?1)，则直线MN的方程为(4x0?4)(x?6)?(x0?6)(y?4)?0.令y?0得

225x05x10x10[(x?1)?1]11000，∴S?(x?)?4x0???10[(x0?1)??2] x0?12x0?1x0?1x0?1x0?1?10[2(x0?1)?1即x1?2]?40，当且仅当x0?1?0x0?1x0?1?2时取等号，∴当N为（2，8）时，三角

形面积S最小.

18.原题（必修2第115页复习参考题B组第七题）设a,b,c,d?R，求证：对于任意p,q?R,(a?p)2?(b?q)2?(c?p)2?(d?q)2?(a?c)2?(b?d)2.

改编 设

a,b,c,d?R，a,b,c,d为常数，其中?2a?b?3???2c?d?3??0，对于任意实数x ,

?a?x?2??b?2x?3?2??c?x?2??d?2x?3?2的最小值为 .

解:可设A（a，b），B（c，d），C（x，2x+3），由?2a?b?3???2c?d?3??0，知A，B在直线y=2x+3

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两侧，

?a?x?2??b?2x?3?2??c?x?2??d?2x?3?2的最小值为|AB|=?a?c?2??b?d?2.

22219.原题（必修2第129页例3）改编 若圆x?y?2mx?m?4?0与圆

x2?y2?2x?4my?4m2?8?0相切，则实数m的取值集合是 . 解：∵圆(x?m)?y?4的圆心为O1(m,0)，半径r1?2，圆(x?1)?(y?2m)?9的圆心为

22半径r2?3，且两圆相切，∴O1O2?r1?r2或O1O2?r2?r1，∴(m?1)?(2m)?5O2(?1,2m)，

2222或(m?1)?(2m)?1，解得m??22122或m?2，或m?0或m??，∴实数m的取值集合是55{?122,?,0,2}. 5520.原题（必修2第130页例4）改编 某圆拱型彩虹桥，跨度为20米，高为4米，要用19根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第m根铁索的长度f(m)= _______米. 解：14.5?(m?10)?10.5.

21.原题（必修2第132页习题4.2 A组第三题）求以N(1,3)为圆心，并且与直线3x?4y?7?0相切的圆的方程.

22改编1 （2006年重庆卷）过坐标原点且与圆x?y?4x?2y?225?0相切的直线的方程为（ ） 211x B.y?3x或y??x 3311C.y??3x或y??x D.y?3x或y?x

33A.y??3x或y?22解：设直线方程为y?kx，即kx?y?0.∵圆方程可化为(x?2)?(y?1)?5，∴圆心为（2，-1），2半径为

2k?1101110?.依题意有，解得k??3或k?，∴直线方程为y??3x或y?x，

2332k2?1故选（A）.

改编2 （2006年湖北卷）已知直线5x?12y?a?0与圆x?2x?y?0相切，则a的值为 . 解：∵圆(x?1)2?y2?1的圆心为（1，0），半径为1，∴

225?a5?1222?1，解得a?8或a??18.

改编3 求经过点A(0,5)，且与直线x?2y?0和2x?y?0都相切的圆的方程.

?a2?(5?b)2?r2?解：设所求圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，则?a?2b， 2a?b??r?55?第 9页 共 12页

?a?1?a?5?22解得?b?3或?，∴圆的方程为(x?1)?(y?3)?5或(x?5)2?(y?15)2?125. b?15???r?5??r?5522.原题（必修2第132页练习第三题）某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？

改编 某圆拱桥的水面跨度是20m，拱高为4m.现有一船宽9m，在水面以上部分高3m，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 m时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01m） 解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为x?(y?b)?r.

22??b??10.5?100?b?r∵圆经过点（10，0），（0，4），∴?，解得. ?22r?14.5???(4?b)?r222222∴圆的方程是x?(y?10.5)?14.5(0?y?4). 令x?4.5，得y?3.28(m).

故当水位暴涨1.5m后，船身至少应降低1.5?(3.28?3)?1.22m，船才能通过桥洞.

23.原题（必修2第133页习题4.2A组第九题）求圆x?y?4?0与圆x?y?4x?4y?12?0的公共弦的长.

改编 两圆C1 ：x2+ y2-1=0和C2：x2+ y2-8x+12=0的公切线长为_______. 解：

2222BAC1DC2C1AD(1)C1 ：x+ y=1，C2：（x-4）+ y = 4， |C1 C2|=4

2

2

2

2

BC2(2)

22图（1）：|AB|=4?(2?1)=15；图（2）：|AB|=4?(2?1)=7，即公切线长15和7.

22,?2),B(?2,6),C(4,?2),点P在圆x?y?424.原题（必修2第133页习题4.2B组第2题）已知点A(?2 上运动，求PA?PB2222?PC的最大值和最小值.

222,?2),B(?2,6),C(4,?2),点P坐标满足x2?y2?4，求PA?PB改编1 已知点A(?2 最大值和最小值.

解：设点P的坐标是(x,y)，则

?PC的

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2d?PA?PB?PC?(x?2)2?(y?2)2?(x?2)2?(y?6)?(x?4)2?(y?2)）2222?200??3x?3y?4y?68?3?x2?(y?)2??3?3?22

要求d的最值，即求点P与点Q(0,) 距离d的最值；因为点P坐标满足x?y?4，所以d的最大值为(OQ?2)2，则d的最小值0在点P与点Q(0,) 重合时取得，?d?? '23 '22 '23?200?,88? 3??222改编2 已知A(?2,0)，B(2,0)，点P在圆(x?3)?(y?4)?4上运动，则PA?PB的最小

2值是 .

解：设P(x,y)，则PA?PB22?(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?2(x2?y2)?8?2OP?8.设圆心为

222C(3,4)，则OPmin?OC?r?5?2?3，∴PA?PB的最小值为2?32?8?26.

25.原题（必修2第133页习题4.2B组第3题）已知圆x+y=4，直线l: y=x+b.当b为何值时，圆x+y=4上恰有3个点到直线l的距离都等于1.

22

改编 已知圆x+y=4, 直线l: y=x+b. 圆上至少有三个点到直线l的距离都是1，则b 的取值范围是_____. 解：??2,2?

2

2

2

2

??26.原题（必修2第144页复习参考题B组第2题）已知点M(x,y)与两个定点M1，M2距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m?1和m?1两种情形）. 改编1 已知两定点A(?2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA?2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ） A.? B.4? C.8? D.9? 解：设点P的坐标是(x,y).由PA?2PB，得

(x?2)2?y2?2(x?1)2?y2，化简得

(x?2)2?y2?4，∴点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为4?，故选B.

改编2 由动点P向圆x2?y2?1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，?APB=60，则动点P0

的轨迹方程是 .

00

解：设P(x,y).∵?APB=60，∴?OPA=30.∵OA?AP，∴OP?2OA?2，∴x2?y2?2，

化简得x?y?4，∴动点P的轨迹方程是x?y?4.

改编3 （2006年四川卷）已知两定点A(?2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA?2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ）

A.? B.4? C.8? D.9?

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2222

解：设点P的坐标是(x,y).由PA?2PB，得(x?2)2?y2?2(x?1)2?y2，化简得

(x?2)2?y2?4，∴点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为4?，故选（B）.

改编4（2003年北京春季卷）设A(?c,0),B(c,0)(c?0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a?0)，求P点的轨迹.

解：设动点P的坐标为P(x,y).由

PAPB?a(a?0)，得

(x?c)2?y2(x?c)?y22?a，

化简得(1?a2)x2?(1?a2)y2?2c(1?a2)x?c2(1?a2)?0.

1?a2ac22c(1?a2)222当a?1时，化简得x?y?，整理得(x?c)?y?()； x?c?0222a?1a?11?a222当a?1时，化简得x?0.

1?a22acc,0)为圆心，2所以当a?1时，P点的轨迹是以(2为半径的圆；当a?1时，P点的轨迹a?1a?1是y轴.

27.原题（必修2第144页复习参考题B组第3题）求由曲线x2?y2?|x|?|y|围成的图形的面积. 改编 由曲线x2?y2?2|x|?2|y|围成的图形的面积为_______. 解：围成的图形如图，面积为8?4?.

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