2018高中数字必修五第三章 3.1 不等关系与不等式讲义学案

不等关系与不等式

预习课本P72～74，思考并完成以下问题 (1)如何用不等式(组)来表示不等关系？ (2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？ (3)不等式的性质有哪几条？ [新知初探]

1．不等式的概念

我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．

2．比较两个实数a，b大小的依据

文字语言 如果a>b，那么a－b是正数； 如果ab?bb，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c； 推论(同向可加性)：

符号表示 a>b?a－b>0 a

a>b?c>d?

??a＋c>b＋d；

1

(4)可乘性：

a>b?a>b?

??ac>bc；??ac0?c<0?

推论(同向同正可乘性)：

a>b>0?c>d>0?

??ac>bd；

(5)正数乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥1)； nn(6)正数开方性：a>b>0?a>b(n∈N*，n≥2)．

[点睛] (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．

(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2( )

(2)若ab，则ac>bc一定成立( ) (4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d( )

解析：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的． (2)正确．不等式a≤b表示a

(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的．

(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．

答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×

2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( ) A．a>b>－b>－a C．a>－b>b>－a

B．a>－b>－a>b D．a>b>－a>－b

解析：选C 法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．

令a＝2，b＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2， 即a>－b>b>－a.

法二：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.

3．设a，b是非零实数，若a

B．ab2

2

11C.2<2 ababbaD.< ab

解析：选C 因为a0， 所以

11b－a11

. 2－2＝22>0，故2>ababababab24．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________． 解析：由题意得，A＝x2＋10x＋21，B＝x2＋10x＋24，所以A－B＝－3<0. 答案：A

用不等式(组)表示不等关系 [典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：

家电名称 工时(h) 空调 1 2彩电 1 3冰箱 1 4若每周生产空调x台、彩电y台，试写出满足题意的不等式组． [解] 由题意，知x≥0，y≥0，每周生产冰箱(120－x－y)台．

111

因为每周所用工时不超过40 h，所以x＋y＋(120－x－y)≤40，即3x＋y≤120；

234又每周至少生产冰箱20台， 所以120－x－y≥20，即x＋y≤100. 3x＋y≤120，??x＋y≤100，

所以满足题意的不等式组为?x≥0，x∈N，

??y≥0，y∈N.

**

1．将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示． [活学活用]

3

1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．

解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000

2．某企业准备投资1 200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格(以班级为单位)：

学段 初中 高中

因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班，请用数学关系式表示上述的限制条件(设开设初中班x个，高中班y个)．

解：根据题意，限制条件为 20≤x＋y≤30，??26x＋54y＋2×2x＋3×2y≤1 200，?x≥0，x∈N，??y≥0，y∈N，

**

硬件建设(万元) 26/班 54/班 配备教师数 2/班 3/班 教师年薪(万元) 2/人 2/人

??x＋2y≤40，即?x≥0，x∈N，??y≥0，y∈N.

**

20≤x＋y≤30，

不等式的性质

[典例] (1)已知b<2a,3db－3d C．2a＋c>b＋3d

(2)下列说法不正确的是( ) A．若a∈R，则(a2＋2a－1)3>(a－2)3 B．若a∈R，则(a－1)4>(a－2)4 1?a?1?bC．若0?3? D．若0

[解析] (1)由于b<2a,3d

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a＋?2＋>0，(2)对于A，因为(a2＋2a－1)－(a－2)＝a2＋a＋1＝?所以a＋2a－1>a－2，?2?4

4

B．2ac>3bd D．2a＋3d>b＋c

则(a2＋2a－1)3>(a－2)3，故A选项说法正确；对于B，当a＝1时，(a－1)4＝0，(a－2)4＝1，所以(a－1)4>(a－2)4不成立；对于C和D，因为0

[答案] (1)C (2)B 1．利用不等式判断正误的2种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 2．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． [活学活用] 1．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A．ab>bc C．ab>ac

B．ac>bc D．a|b|>|b|c

解析：选C 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac. ee

2．若a>b>0，c?a－c??b－d?2证明：∵c－d>0.

又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即又e<0，∴

ee

. 2>?a－c??b－d?2数式的大小比较 [典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； 1

(2)已知a>0，试比较a与a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)

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. 2