高等数学笔记

第1章 函数

§1 函数的概念 一、区间、邻域

自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 建立数轴后：

建立某一实数集A与数轴上某一区间对应

区间：设有数 a,b,a

a称为 (a,b) 的左端点，b称为 (a,b) 的右端点。

a?(a,b),b?(a,b)

闭区间： [a,b]={x|a≤x≤b}

a∈[a,b],b∈[a,b]

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半开区间： [a,b)={x|a≤x≤b},a∈[a,b),b?[a,b)

(a,b]={x|a

a，b都是确定的实数，称 (a,b),[a,b),(a,b],[a,b] 为有限区间，“ b?a ”称为区间长度。

记号：

+∞ ——正无穷大 ?∞ ——负无穷大

区间：

[a,+∞)={x|a≤x} (a,+∞)={x|a

称为无穷区间（或无限区间） 文章来源：http://www.codelast.com/

邻域：设有两个实数 a,δ(δ>0) ，则称实数集 {x|a?δ

a 称为 N(a,δ) 的中心， δ>0 称为邻域 N(a,δ) 的半径。

去心邻域：把 N(a,δ) 的中心点 a 去掉，称为点 a 的去心邻域，记为 N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中， ?{a} 表示去掉由 a 这一个数组成的数集。

二、函数概念

例1. 设圆的半径为 x(x>0) ，它的面积 A=πx2 ，当 x 在 (0,+∞) 内任取一个数值（记为 ?x∈(0,+∞) ）时，由关系式 A=πx2 就可以确定A的对应数值。

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例2. 设有半径为 r 的圆，作圆的内接正 n 边形，每一边对应的圆心角 α=2πn ，周长 Sn=n?2rsinπn ，当边数 n 在自然数集 N(n≥3) 任取一个数，通过关系式 Sn=2nrsinπn 就有一个 Sn 对应确定数值。

函数定义：设有数集 X,Y ， f 是一个确定的对应法则，对 ?x∈X ，通过对应法则 f 都有唯一的 y∈Y 与 x 对应，记为 x→fy ，或 f(x)=y ，则称 f 为定义在 X 上的函数。 其中 X 称为 f 的定义域，常记为 Df 。

X ——自变量， Y ——因变量。

当 X 遍取 X 中的一切数时，那么与之对应的 y 值构成一个数集 Vf={y|y=f(x),x∈X} ，称 Vf 为函数 f 的值域。 文章来源：http://www.codelast.com/ 注意：

（1）一个函数是由 x,y 的对应法则 f 与 x 的取值范围 X 所确定的。把“对应法则 f ”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如， y=arcsin(x2+2) 这个式子，由于 x2+2>2 ，而只有当 |x2+2|≤1 时， arcsin 才有意义，因此这个式子不构成函数关系。 又例如， y=lnx2 与 y=2lnx 不是同一个函数，因为定义域不同。而 y=lnx2 与 y=2ln|x| 是同一个函数，因为定义域相同。 （2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。

（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。

若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数 y=f(x) 成立的一切实数所组成的数值。

函数的几何意义：设函数 y=f(x) 定义域为 Df ， ?x∈Df ，对应函数值 y=f(x) 在 XOY 平面上得到点 (x,y) ，当 x 遍取 Df 中一切实数时，就得到点集 P={(x,y)|y=f(x),x∈Df} 。点集 P 称为函数 y=f(x) 的图形。 文章来源：http://www.codelast.com/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性

若 ?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I ，则称 y=f(x) 在区间 I 上有界。否则称 f(x) 在 I 上无界。 注： s.t. 是“使得，满足于”的意思， I 表示某个区间。

例如， y=sinx 在 I=(?∞,+∞) )上是有界的（ ∵|sinx|≤1,x∈(?∞,+∞) ）。 又如， y=1x2+1 在 (?∞,+∞) 上有界。

对任何正数 M>0 （无论多么大），总 ?x1∈I,s.t.|f(x1)|>M ，则称 f(x) 在 I 上无界。 例如， y=1x 在 (0,1) 内无界。 证明：

对给定的 M>0 （不妨设 M>1 ），无论M多么大，必存在 x1=12M∈(0,1) ，使 f(x1)=112M=2M>M

函数的上界、下界：若 ?M（ 不局限于正数）， s.t.f(x)≤M,?x∈I ，则称 f(x) 在区间 I 上有界。任何一个数 N>M ， N 也是 f(x) 的一个上界。

若 ?P,s.t.f(x)≥P,?x∈I ，则称 f(x) 在区间 I 上有下界。若 Q

f(x) 在区间 I 上有界 ?f(x) 在 I 上既有下界又有上界（“ ? ”表示充分必要条件）。

证明：

设 f(x) 在 I 上有界，根据定义， ?M>0,s.t.|f(x)|≤M,?x∈I 。

|f(x)|≤M??M≤f(x)≤M

因此 f(x) 有下界 ?M ，也有上界 M （对 ?x∈I ）

反之，设 f(x) 在 I 上既有下界 m ，又有上界 N ，即 m≤f(x)≤N 如果 m=N=0 ，则 f(x)≡0,?x∈I

∴f(x) 在 I 上有界。

如果 m,N 不同时为零，取 M=max{|m|,|N|}>0 ， 则 ?M≤?|m|≤m≤f(x)≤N≤|N|≤M 即 ?M≤f(x)≤M?|f(x)|≤M,?x∈I

∴f(x) 在 I 上有界。

2. 函数的单调性

若函数 f(x) 在区间 I 上，对任何 x1,x2∈I ，且 x1f(x2) ，则称 f(x) 在 I 上严格单调减。 类似地，也有广义单调减（单调减，非增的）的概念。 文章来源：http://www.codelast.com/ 例如， y=x2,Df=(?∞,+∞) 在 (0,+∞) 上， y=x2 严格单增。 在 (?∞,0) 上， y=x2 严格单减。

又如，取整函数（取一个数的整数部分）：

y=[x]=??????????????1,?1≤x<00,0≤x<11,1≤x<22,2≤x<3......

其函数图形如下：

取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。 文章来源：http://www.codelast.com/ 3. 函数的奇偶性

若 f(x) 在关于原点对称的区间 I 上满足 f(?x)=f(x) ，则称 f(x) 为偶函数。 若满足 f(?x)=?f(x) ，则称 f(x) 为奇函数。

偶函数图形关于 y 轴对称（例如： cosx,x2 ） 奇函数图形关于原点对称（例如： sinx,x3 ） 4. 函数的周期性

设 f(x) 的定义域为 Df ，如果存在非零的常数 T,s.t. 对任意的 x∈Df ，有 (x±T)∈Df，且 f(x+T)=f(x) ，则称 f(x) 为周期函数， T 称为 f(x) 的周期（通常周期是指最小正周期）。 文章来源：http://www.codelast.com/ 四、 复合函数，反函数 1. 复合函数

设 y=u√,u=1?x2 ，把 u=1?x2 代入 y=u√ 中，得到 y=1?x2?????√ ，称为由 y=u√ 与 u=1?x2 复合而成的复合函数。 一般定义：

设 y=f(u) 是数集 Y 上的函数（ Y 是 f(u) 的定义域）， u=φ(x) 的定义域为 X ，值域为 Yφ ，且 Yφ≠Φ（ Φ 表示空集）， Yφ?Y（ 表示 Yφ 是 Y 的子集），这时，对 ?x∈X ，通过 u 都有唯一的 y 值与之对应，从而在 X 上产生一个新函数，用 f?φ （中间是一个实心的点）表示，称 f°φ （中间是一个空心的圈）为 X 上的复合函数：

f→f?φy ，或 y=f[φ(x)]

y=f[φ(x)] 的定义域：由 u=φ(x) 的定义域中使函数 u=φ(x) 的值域 Yφ 满足 Yφ?Y 的那一部分实数组成。

1. 复合函数

y=f(u),u=φ(x)?y=f[φ(x)]

注意： f[φ(x)] 与 φ(x) 定义域不一定相同。

例1. 设 f(x)=x2+1x2?1,φ(x)=11+x ，求 f[φ(x)] 并确定定义域。 解： f[φ(x)]=[φ(x)]2+1[φ(x)]2?1=[11+x]2+1[11+x]2?1=?x2+2x+2x(x+2)

当 x≠?1 （由 11+x 可知）且 x≠0,x≠?2 时 f[φ(x)] 有定义。即 f[φ(x)] 定义域为：

(?∞,?2)∪(?2,?1)∪(?1,0)∪(0,+∞)

2. 反函数

设有函数 y=f(x) ，定义域 Df ，值域 Vf 。 ?y∈Vf ，至少可以确定一个 x∈Df,s.t.f(x)=y ，如果把 y 看作自变量，把 x 看作因变量，由函数概念，可以看到一个新函数，记为 x=f?1(y) ，称为 y=f(x) 的反函数。 反函数的定义域为 Vf ，值域为 Df ，把 y=f(x) 称为直接函数， x=f?1(y) 称为反函数。 注意：

1. 虽然直接函数 y=f(x) 是单值的，但反函数 x=f?1(y) 不一定是单值的。 例如，函数 y=x2,Df:(?∞,+∞),Vf:[0,+∞]

反函数 x=f?1(y) 不是单值的（因为对 ?y∈[0,+∞] ，得到 x=±y√ ，有两个值 ?y√,+y√ ，为双值函数）。

x=y√ 是一个单值支。

2. 如果直接函数 y=f(x) 严格单调，则其反函数 x=f?1(y) 也是单值单调的。

3. 直接函数 y=f(x) 与反函数 x=f?1(y) 图形相同，习惯上以 x 表示自变量， y 表示因变量，反函数记为 y=f?1(x) 。这时， y=f(x) 与 y=f?1(x) 的图形关于直线 y=x 对称，如下图所示：

例1. 设 y=f(x)={x2,?2

当 1≤x≤2 时， y=x2,?1≤y≤4?x=+y√ （因为 x 是正数），定义域 ?1≤y≤4 综上所述，反函数为：

x=f?1(y)={2y,?1

或：

y=f?1(x)={2x,?1

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ξ2 初等函数

一、基本初等函数

6类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常量函数（例如 y=C ）称为基本初等函数。 二、初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的、能够用一个数学式子表达的函数称为初等函数。 例如： y=arcsin1?x2?????√,y=ln(x+ex) 文章来源：http://www.codelast.com/ 初等函数结构分析

例如：分析 y=ln(1+x√) 的结构 解：

y=lnu,u=1+x√=1+x12

令 u=1+x12,v=1,w=x12

∴y=lnu,u=v+w,v=1,w=x12

三、双曲函数

双曲正弦函数 shx=ex?e?x2 双曲余弦函数 chx=ex+e?x2

双曲正切函数 thx=shxchx=ex?e?xex+e?x

以上函数与三角函数有类似性质：

ch2x?sh2x=1

sh2x=2shxchx 类似于 sin2x=2sinxcosx ch2x=ch2x+sh2x

三角函数有周期性，双曲函数没有周期性，这是最大的区别。 文章来源：http://www.codelast.com/ 反双曲正弦函数： arshx 注意：不是 arc 反双曲余弦函数： archx 反双曲正切函数： arthx 求双曲函数的反函数的表达式： 令 y=arshx?x=shy=ey?e?y2 令 u=ey?2x=u?1u?u2?2xu?1=0 由二次方程的求根公式，得：

u=2x±4x2+4√2=x±x2+1?????√

即 ey=x±x2+1?????√

∵ey>0

∴ey=x+x2+1?????√ ∴y=ln(x+x2+1?????√)